Комплексное уравнение окружности с центром

Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

Этот онлайн-калькулятор показывает уравнение окружности в стандартной, параметрической и общей формах, по заданному центру и радиусу окружности. Описание и формулы приведены под калькулятором

Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах

Центр окружности

Уравнение окружности

Уравнение окружности — это алгебраический способ описания всех точек, лежащих на некоторой окружности. То есть если координаты точки x и y обращают уравнение окружности в равенство — эта точка принадлежит данной окружности. Существуют разные формы записи уравнения окружности:

• общее уравнение окружности
• стандартное уравнение окружности 1
• параметрическое уравнение окружности
• уравнение окружности в полярных координатах

Общее уравнение окружности

Общее уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:
,
где

В таком виде довольно сложно судить о свойствах заданной этим уравнением окружности, а именно, о координатах центра и радиусе. Но эту форму достаточно легко привести к стандартной форме (ниже), которая гораздо нагляднее.

Стандартное уравнение окружности

Стандартное уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:

Переход от общей формы к стандартной заключается в применении метода выделения полного квадрата. Получив стандартную форму, можно легко узнать координаты центра и радиус. Подробнее можно посмотреть здесь — Метод выделения полного квадрата и здесь — Нахождение центра и радиуса окружности по общему уравнению окружности.

Параметрическое уравнение окружности

Параметрическое уравнение окружности с центром и радиусом выглядит так:

Уравнение называется «параметрическим», потому что и x и y зависят от «параметра» тета. Это переменная, которая может принимать любые значения (но конечно это должно быть одно и то же значение в обоих уравнениях). Для параметрического уравнения используется определение синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике построенном на радиусе и перпендикуляров от точки на окружности до координатных осей.

Уравнение окружности в полярных координатах

Для записи уравнения окружности в полярных координатах требуются полярные координаты центра окружности по отношению к началу координат. Если полярные координаты центра окружности — это , то полярные координаты точки окружности должны удовлетворять следующему уравнению:
,
где a — радиус окружности.

Так, во всяком случае, его называют в англоязычной литературе. Насчет русского термина я не уверен, по-моему эту форму рассматривают просто как еще один способ записи общего уравнения окружности, тем более что переход от общего уравнения к стандартному довольно простой. ↩

Комплексное уравнение окружности с центром

ОКРУЖНОСТЬ – ЭТО КОМПЛЕКСНАЯ КРИВАЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Окружность относят к элементарным кривым, настолько простым, что её исследованием никто не занимался. В статье сделана попытка исследования уравнения окружности и её графика в декартовой системе координат. В результате выяснено, что окружность – это комплексная кривая, которая формируется частично действительными переменными, а частично мнимыми. Соответственно, на окружности существуют точки перехода между действительными и мнимыми областями пространства. Выявленные точки перехода являются точками разрыва функций переменных в уравнении окружности. Последнее значит, что интегрирование и дифференцирование по окружности – это недопустимые математические действия со всеми вытекающими отсюда последствиями.

В математике линия окружности определяется, чаще всего, как геометрическое место точек плоскости , удалённых от некоторой точки – центра окружности – на заданное расстояние , называемое радиусом окружности . Уравнение окружности в декартовых прямоугольных координатах с центром в начале координат обычно записывают в виде [1]:

(1)

где константа R – радиус окружности. В полярных координатах уравнение окружности описывается через полярный угол t и полярный радиус ρ и имеет вид:

при 0≤ t ≤2 π (2)

На рис.1 показана окружность, центр которой совмещён с центром декартовой системы координат и полярной. На рисунке полярная ось 0 ρ совпадает с осью 0 x , а полярный угол t изменяется от 0 до 2 π . При этом радиус окружности обходит контур против часовой стрелки, как это положено в полярной системе координат [1], т.е. по кривой abcda.

При таком расположении осей переход от полярных координат к декартовым принято записывать соотношениями [1]:

(3)

Считается, что система уравнений (3) представляет собой параметрическое уравнение окружности [1]. Однако, из этой системы уравнений вытекает, что при t=nπ, где n – число натурального ряда и 0, она вырождается в уравнение:

(4)

А при t=nπ+π/2 система уравнений (3) вырождается в уравнение:

(5)

Если рассмотреть уравнение (1), то оно точно так же при t=nπ/2 вырождается в уравнения:

(6) и (7)

А это значит, что в точках окружности, где t=nπ/2 перестают действовать уравнения (1) и (3), которые переходят в (4)-(5) и (6)-(7). Ещё более радикальный результат получается при решении системы уравнений способом, который обычно не используется при определении радиуса. Для этого достаточно перемножить правые и левые части исходных уравнений (3). В этом случае, с учётом того, что , получаем выражение:

( 8 )

( 9 )

Как видно из формулы (9) величина радиуса имеет нелинейную зависимость как от переменной x , так и от переменной y . Именно об этом шла речь в статье [2]. Также из уравнения (9) вытекает обязательное условие sin 2 t ≠0 или t ≠ nπ /2 – недопустимость деления на 0. А это значит, что величина радиуса в декартовых координатах, выраженная через зависимости системы уравнений (3), не определена при значениях полярного угла t = nπ /2 . Поэтому радиус окружности из формулы (9) при значениях полярного угла t = nπ /2 необходимо доопределять, что и сделано в (4) и (5). Учитывая сказанное выше, получаем более полную и более точную систему уравнений перехода от полярных координат к декартовым, или систему параметрических уравнений окружности:

(10)

Исходя из более полной системы параметрических уравнений окружности (10), получаем, что окружность на плоскости декартовой системы координат не является непрерывной функцией. У неё существуют четыре точки разрыва для функций переменных x и y , которые соответствуют значениям параметра t=nπ/2. В этих точках происходит замена уравнения окружности (1) и параметрических уравнений (3) уравнениями (6) и (7) или (4) и (5). Т.е. график окружности не может быть представлен непрерывной функцией в декартовой системе координат, потому что описывается несколькими разными функциями – система уравнений (10) как минимум.

Итак, окружность не является элементарной кривой на плоскости в декартовой системе координат. Но и система уравнений не является полным и точным описанием окружности. Потому что полученная выше система уравнений (10) определяет только скалярый аспект или абсолютные значения определённых функций и переменных, характеризующих окружность. А есть ещё упоминание о направлении – например, направление обхода контура. Когда у линии существует направление – она считается векторной величиной. А векторное представление окружности и, соответственно, радиуса – это реальность.

Во-первых, представление направленного замкнутого контура наглядно просматривается в полярной системе координат. Основная характеристика полярной системы координат – это полярный угол t. Величина полярного угла изменяется в пределах от 0 до 360° или 2π. Соответственно, существует направление изменения полярного угла, принятое как положительное (в полярных координатах – против часовой стрелки) [1]. Естественно, что направление обхода контура круга или окружности совпадает с направлением возрастания полярного угла в полярной системе координат. Очевидно, что направление обхода контура должно быть отражено и в функциях, представляющих окружность в декартовой системе координат. Это является важным этапом в исследовании окружности.

Но если есть направление у окружности, то существует направление и у радиуса, поскольку радиус однозначно связан с контуром или окружностью соответствующими формулами. Если исходить из представления окружности в полярной системе координат, все радиусы должны исходить из центра окружности. Исключение составляет радиус-вектор в небесной механике. Начало радиус-вектора орбиты небесного объекта привязано к центру притяжения, а окончание – к небесному телу на линии орбиты [3]. Таким образом, радиус окружности (орбиты) также как и линия окружности является вектором.

С точки зрения векторной алгебры, уравнение (1) – это формула определения скалярной величины радиуса окружности. В этом случае векторная форма записи определения радиуса окружности в соответствии с уравнением (1) имеет вид:

(11)

Вполне естественно, что векторы и имеют направления, которые совпадают с направлением соответствующей оси в декартовой системе координат. При этом следует помнить, что переменные x и y имеют параметрическую зависимость от полярного угла t в соответствии с (10). И, если следовать формуле (11) и правилам векторного сложения [1], то для полярных углов t=30°, 120°, 210° и 300° получаем такие векторы суммы переменных, как показано на диаграммах рис.2. Точки M, K, L, N на окружности рис.2 отмечают перечисленные выше углы.

Как видно из диаграмм рис.2 только один вектор суммы из полученных четырёх векторов расположен, как в полярной системе координат. “Правильный” радиус получен сложением векторов и , которые берут начало из центра окружности или центра системы координат. Т.о. чтобы радиусы в остальных секторах окружности исходили из центра окружности, необходимо, чтобы слагаемые их векторы переменных исходили из центра декартовой системы координат. Однако, в декартовой системе координат это условие выполнимо только для положительных полуосей переменных – что хорошо видно на рис.2.

С другой стороны, необходимое направление координатных полуосей можно получить, используя переменные мнимой области пространства. Т.е. вместо отрицательных полуосей декартовых координат следует ввести оси, полученные через мнимые значения переменных и мнимый полярный угол. Объяснить такой переход просто – он следует из определения мнимой единицы [1]:

(12)

Из него вытекает, что дважды мнимое число – это отрицательное действительное число. Таким образом, дважды мнимые переменные обязательно находятся в области действительных чисел. Для векторных величин дважды мнимость формирует поворот вектора на 180º.

В нашем случае мнимые переменные из (3) можно записать через мнимую величину радиуса и мнимый угол и преобразовать следующим образом:

(13) и

(14)

Поэтому дважды мнимые переменные имеют отрицательные величины и располагаются на действительных осях, направленных в сторону от центра координат. Это даёт нам систему совмещённых координат, которая состоит из четырёх полуосей – двух действительных и двух дважды мнимых. При этом все четыре полуоси исходят из центра координат, что отличает её от декартовой системы координат. И как результат – все радиусы и радиус-векторы имеют правильное расположение – связывают центр с линией окружности. Это хорошо видно на рис.3, где мнимые переменные показаны штриховыми линиями.

Учитывая всё вышеизложенное, получаем, что окружность, расположенная в области действительных чисел наполовину строится мнимыми (дважды мнимыми) переменными. Поэтому система координат при формировании окружности является совмещённой – состоит из двух действительных полуосей и двух дважды мнимых. Естественно, полное описание параметрических уравнений окружности должно иметь вид, отличный от (10), поскольку половина переменных происходит из мнимого пространства. Но это уже вопрос к специалистам.

Что характерно, в области мнимых чисел точно так же формируется окружность. При этом мнимая окружность наполовину строится при содействии действительных величин, которые остались незадействованными на действительной плоскости. Для области мнимых чисел система координат также будет совмещённой – две собственных мнимых полуоси и две из действительной области. Таким образом, две окружности – и мнимая и действительная – формируются одновременно усилиями мнимых и действительных переменных, т.е. дополняют одна другую. Поэтому окружность нельзя назвать однозначно действительной или однозначно мнимой кривой – она всегда комплексная и в области действительных и в области мнимых значений параметров.

И ещё одно замечание. На рис.3 хорошо видно, что центр окружности, для которого x =0 и y =0 , а также точки окружности, для которых x =0 или y =0 , являются точками перехода между мнимыми и действительными областями пространства. Последнее ещё раз подтверждает, что уравнение окружности имеет точки разрыва. В первую очередь это значит, что математические действия интегрирования и дифференцирования по окружности – и rot( a ) – являются недопустимыми математическими действиями, такими как деление на 0. А также это значит, что основные формулы теории электромагнитного поля следует переосмыслить заново.

Понятно, что из-за недостаточно глубокого исследования обычной окружности, математика и физика упустила многое в своих теориях. Поэтому более глубокое исследование функции окружности и её графика с внесением соответствующих корректив в существующие формулы просто необходима. Если восполнить этот пробел, то математики увидят, что решением задачи Пуанкаре о 3-сфере являются две сферы, соединённые через точку пережима (перехода), как это доказал в 80-ых годах прошлого столетия математик Колумбийского университета Ричард С.Гамильтон. А физики поймут, что существование электромагнитного поля невозможно без дополнения его виктори-полем [4]. И ещё многое другое прояснится в теориях и даст свои плоды на практике.

Мысли вслух : интересно, а другие кривые второго (и третьего) порядка тоже являются комплексными кривыми? – и что из этого вытекает?