Комплексные числа и действия над ними уравнения

Выражения, уравнения и системы уравнений
с комплексными числами

Сегодня на занятии мы отработаем типовые действия с комплексными числами, а также освоим технику решения выражений, уравнений и систем уравнений, которые эти числа содержат. Данный практикум является продолжением урока Комплексные числа для чайников, и поэтому если вы неважно ориентируетесь в теме, то, пожалуйста, пройдите по указанной выше ссылке. Ну а более подготовленным читателям предлагаю сразу же разогреться:

Упростить выражение , если . Представить результат в тригонометрической форме и изобразить его на комплексной плоскости.

Решение: итак, требуется подставить в «страшную» дробь, провести упрощения, и перевести полученное комплексное число в тригонометрическую форму. Плюс чертёж.

Как лучше оформить решение? С «навороченным» алгебраическим выражением выгоднее разбираться поэтапно. Во-первых, меньше рассеивается внимание, и, во-вторых, если таки задание не зачтут, то будет намного проще отыскать ошибку.

1) Сначала упростим числитель. Подставим в него значение , раскроем скобки и поправим причёску:

…Да, такой вот Квазимодо от комплексных чисел получился…

Напоминаю, что в ходе преобразований используются совершенно бесхитростные вещи – правило умножения многочленов и уже ставшее банальным равенство . Главное, быть внимательным и не запутаться в знаках.

2) Теперь на очереди знаменатель. Если , то:

Заметьте, в какой непривычной интерпретации использована формула квадрата суммы . Как вариант, здесь можно выполнить перестановку под формулу . Результаты, естественно, совпадут.

3) И, наконец, всё выражение. Если , то:

Чтобы избавиться от дроби, умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение. При этом в целях применения формулы разности квадратов следует предварительно (и уже обязательно!) поставить отрицательную действительную часть на 2-е место:

А сейчас ключевое правило:

НИ В КОЕМ СЛУЧАЕ НЕ ТОРОПИМСЯ! Лучше перестраховаться и прописать лишний шаг.
В выражениях, уравнениях и системах с комплексными числами самонадеянные устные вычисления чреваты, как никогда!

На завершающем шаге произошло хорошее сокращение и это просто отличный признак.

Примечание: строго говоря, здесь произошло деление комплексного числа на комплексное число 50 (вспоминаем, что ). Об этом нюансе я умалчивал до сих пор и о нём мы ещё поговорим чуть позже.

Обозначим наше достижение буквой

Представим полученный результат в тригонометрической форме. Вообще говоря, здесь можно обойтись без чертежа, но коль скоро, требуется – несколько рациональнее выполнить его прямо сейчас:

Вычислим модуль комплексного числа:

Если выполнять чертёж в масштабе 1 ед. = 1 см (2 тетрадные клетки), то полученное значение легко проверить с помощью обычной линейки.

Найдём аргумент. Так как число расположено во 2-й координатной четверти , то:

Угол элементарно проверяется транспортиром. Вот в чём состоит несомненный плюс чертежа.

Таким образом: – искомое число в тригонометрической форме.

Выполним проверку:
, в чём и требовалось убедиться.

Незнакомые значения синуса и косинуса удобно находить по тригонометрической таблице.

Ответ:

Аналогичный пример для самостоятельного решения:

Упростить выражение , где . Изобразить полученное число на комплексной плоскости и записать его в показательной форме.

Постарайтесь не пропускать учебные примеры. Кажутся-то они, может быть, и простыми, но без тренировки «сесть в лужу» не просто легко, а очень легко. Поэтому «набиваем руку».

Краткое решение и ответ в конце урока.

Нередко задача допускает не единственный путь решения:

Решение: прежде всего, обратим внимание на оригинальное условие – одно число представлено в алгебраической, а другое – в тригонометрической форме, да ещё и с градусами. Давайте сразу перепишем его в более привычном виде: .

В какой форме проводить вычисления? Выражение , очевидно, предполагает первоочередное умножение и дальнейшее возведение в 10-ю степень по формуле Муавра, которая сформулирована для тригонометрической формы комплексного числа. Таким образом, представляется более логичным преобразовать первое число. Найдём его модуль и аргумент:

Используем правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме:
если , то

Далее применяем формулу Муавра , которая является следствием указанного выше правила:

Делая дробь правильной, приходим к выводу, что можно «скрутить» 4 оборота ( рад.):

Второй способ решения состоит в том, чтобы перевести 2-е число в алгебраическую форму , выполнить умножение в алгебраической форме, перевести результат в тригонометрическую форму и воспользоваться формулой Муавра.

Как видите, одно «лишнее» действие. Желающие могут довести решение до конца и убедиться, что результаты совпадают.

В условии ничего не сказано о форме итогового комплексного числа, поэтому:

Ответ:

Но «для красоты» либо по требованию результат нетрудно представить и в алгебраической форме:

Здесь нужно вспомнить действия со степенями, хотя одного полезного правила в методичке нет, вот оно: .

И ещё одно важное замечание: пример можно решить в двух стилях. Первый вариант – работать с двумя числами и мириться с дробями. Второй вариант – представить каждое число в виде частного двух чисел: и избавиться от четырёхэтажности. С формальной точки зрения без разницы, как решать, но содержательное отличие есть! Пожалуйста, хорошо осмыслите:
– это комплексное число;
– это частное двух комплексных чисел ( и ), однако в зависимости от контекста можно сказать и так: число , представленное в виде частного двух комплексных чисел.

Краткое решение и ответ в конце урока.

Выражения – хорошо, а уравнения – лучше:

Уравнения с комплексными коэффициентами

Чем они отличаются от «обычных» уравнений? Коэффициентами =)

В свете вышеприведённого замечания начнём с этого примера:

И незамедлительная преамбула по «горячим следам»: изначально правая часть уравнения позиционируется, как частное двух комплексных чисел ( и 13), и поэтому будет нехорошим тоном переписать условие с числом (хотя это и не повлечёт ошибки). Более явственно данное различие, кстати, просматривается в дроби – если, условно говоря, , то это значение в первую очередь понимается как «полноценный» комплексный корень уравнения, а не как делитель числа , и тем более – не как часть числа !

Решение, в принципе, тоже можно оформить пошагово, но в данном случае овчинка выделки не стОит. Первоначальная задача состоит в том, чтобы упростить всё, что не содержит неизвестной «зет», в результате чего уравнение сведётся к виду :

Уверенно упрощаем среднюю дробь:

Результат переносим в правую часть и находим разность:

Примечание: и вновь обращаю ваше внимание на содержательный момент – здесь мы не вычли из числа число, а подвели дроби к общему знаменателю! Следует отметить, что уже в ХОДЕ решения не возбраняется работать и с числами: , правда, в рассматриваемом примере такой стиль скорее вреден, чем полезен =)

По правилу пропорции выражаем «зет»:

Теперь можно снова разделить и умножить на сопряжённое выражение, но подозрительно похожие числа числителя и знаменателя подсказывают следующий ход:

Ответ:

В целях проверки подставим полученное значение в левую часть исходного уравнения и проведём упрощения:

– получена правая часть исходного уравнения, таким образом, корень найден верно.

…Сейчас-сейчас… подберу для вас что-нибудь поинтереснее… держите:

Данное уравнение сводится к виду , а значит, является линейным. Намёк, думаю, понятен – дерзайте!

Конечно же… как можно без него прожить:

Квадратное уравнение с комплексными коэффициентами

На уроке Комплексные числа для чайников мы узнали, что квадратное уравнение с действительными коэффициентами может иметь сопряжённые комплексные корни, после чего возникает закономерный вопрос: а почему, собственно, сами коэффициенты не могут быть комплексными? Сформулирую общий случай:

Квадратное уравнение с произвольными комплексными коэффициентами (1 или 2 из которых либо все три могут быть, в частности, и действительными) имеет два и только два комплексных корня (возможно один из которых либо оба действительны). При этом корни (как действительные, так и с ненулевой мнимой частью) могут совпадать (быть кратными).

Квадратное уравнение с комплексными коэффициентами решается по такой же схеме, что и «школьное» уравнение, с некоторыми отличиями в технике вычислений:

Найти корни квадратного уравнения

Решение: на первом месте расположена мнимая единица, и, в принципе, от неё можно избавиться (умножая обе части на ), однако, в этом нет особой надобности.

Для удобства выпишем коэффициенты:

Не теряем «минус» у свободного члена! …Может быть не всем понятно – перепишу уравнение в стандартном виде :

А вот и главное препятствие:

Применение общей формулы извлечения корня (см. последний параграф статьи Комплексные числа для чайников) осложняется серьёзными затруднениями, связанными с аргументом подкоренного комплексного числа (убедитесь сами). Но существует и другой, «алгебраический» путь! Корень будем искать в виде:

Возведём обе части в квадрат:

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и их мнимые части. Таким образом, получаем следующую систему:

Систему проще решить подбором (более основательный путь – выразить из 2-го уравнения – подставить в 1-е, получить и решить биквадратное уравнение). Предполагая, что автор задачи не изверг, выдвигаем гипотезу, что и – целые числа. Из 1-го уравнения следуют, что «икс» по модулю больше, чем «игрек». Кроме того, положительное произведение сообщает нам, что неизвестные одного знака. Исходя из вышесказанного, и ориентируясь на 2-е уравнение, запишем все подходящие ему пары:

Очевидно, что 1-му уравнению системы удовлетворяют две последние пары, таким образом:

Не помешает промежуточная проверка:

что и требовалось проверить.

В качестве «рабочего» корня можно выбрать любое значение. Понятно, что лучше взять версию без «минусов»:

Находим корни, не забывая, кстати, что :

Ответ:

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни уравнению :

Таким образом, решение найдено правильно.

По мотивам только что разобранной задачи:

Найти корни уравнения

Следует отметить, что квадратный корень из чисто комплексного числа прекрасно извлекается и с помощью общей формулы , где , поэтому в образце приведены оба способа. Второе полезное замечание касается того, что предварительное извлечение корня из константы ничуть не упрощает решение.

А теперь можно расслабиться – в этом примере вы отделаетесь лёгким испугом 🙂

Решить уравнение и выполнить проверку

Решения и ответы в конце урока.

Заключительный параграф статьи посвящён

системе уравнений с комплексными числами

Расслабились и… не напрягаемся =) Рассмотрим простейший случай – систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Решить систему уравнений. Ответ представить в алгебраической и показательной формах, изобразить корни на чертеже.

Решение: уже само условие подсказывает, что система имеет единственное решение, то есть, нам нужно найти два числа , которые удовлетворяют каждому уравнению системы.

Систему реально решить «детским» способом (выразить одну переменную через другую), однако гораздо удобнее использовать формулы Крамера. Вычислим главный определитель системы:

, значит, система имеет единственное решение.

Повторюсь, что лучше не торопиться и прописывать шаги максимально подробно:

Домножаем числитель и знаменатель на мнимую единицу и получаем 1-й корень:

Перед тем, как продолжать дальше, целесообразно проверить решение. Подставим найденные значения в левую часть каждого уравнения системы:

Получены соответствующие правые части, ч.т.п.

Представим корни в показательной форме. Для этого нужно найти их модули и аргументы:

1) – арктангенс «двойки» вычисляется «плохо», поэтому так и оставляем:

Ответ:

Решить систему уравнений

Найти произведение корней и представить его в тригонометрической форме.

Краткое решение совсем близко.

И в заключение ответим на экзистенциальный вопрос: для чего нужны комплексные числа? Комплексные числа нужны для расширения сознания выполнения заданий других разделов высшей математики, кроме того, они используются во вполне материальных инженерно-технических расчетах на практике.

На этом курс Опытного пользователя комплексных чисел завершён – сертификат вам на стену и новых достижений!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: если , то:

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое знаменателю выражение:

Изобразим полученное число на чертеже:

Представим ответ в показательной форме. Найдем модуль и аргумент данного числа:

Поскольку число расположено в 3-й четверти, то:

Таким образом:
Ответ:

Пример 4: Решение:

Пример 6: Решение:

Умножим обе части уравнения на :

Ответ:

Пример 8: Решение:
Первый способ: корни уравнения ищем в виде:

Возведём обе части в квадрат:

Комплексные числа равны, если равны их действительные и их мнимые части:

Из 1-го уравнения следует, что:
1) , но это не удовлетворяет 2-му уравнению (равенство выполняется только в том случае, если и одного знака);
2) – подставим во 2-е уравнение:

Таким образом: либо
Ответ:

Второй способ: используем формулу . В данном случае :

Найдём модуль и аргумент комплексного числа:
;
очевидно, что .
Таким образом:

Ответ:

Пример 9: Решение: . Вычислим дискриминант:

Таким образом:

Ответ:

Проверка: подставим в исходное уравнение :

верное равенство;

верное равенство.
Что и требовалось проверить.

Пример 11: Решение: систему решим методом Крамера:

Таким образом, система имеет единственное решение.
Найдём произведение корней:

Представим результат в тригонометрической форме:

Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, при оформлении введите прoмoкoд: 5530-hihi5

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №38. Определение комплексного числа. Действия с комплексными числами.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) понятие мнимой единицы;

2) определение комплексного числа;

3) действия с комплексными числами и действия над ними.

Глоссарий по теме

Определение. Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b — действительные числа.

Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.

Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Определение. Суммой комплексных чисел z₁ = a₁ + b₁i и z₂ = a₂ + b₂i называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z₁ и z₂, а мнимая часть — сумме мнимых частей чисел z₁ и z₂, то есть z = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂) i.

Определение. Вычесть из комплексного числа z₁ комплексное число z₂, значит найти такое комплексное число z,

Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственная.

Определение. Произведением комплексных чисел z₁=a₁+ b₁ i и z₂=a₂+b₂ i называется комплексное число z, определяемое равенством:

Определение. Разделить комплексное число z₁ на комплексное число z₂, значит найти такое комплексное число z, что z · z₂ = z₁.

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z₂ ≠ 0 + 0i.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа, записываются в виде bi, где i – мнимая единица, причем i 2 = —1.

Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.

Определение. Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b — действительные числа. При этом выполняются условия:

б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:

в) Умножение комплексных чисел определяется правилом:

Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.

Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0

Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с действительным числом a: a + 0i = a.

Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и обозначается bi: 0 + bi = bi.

Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi, отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.

Определение. Суммой комплексных чисел z₁ = a₁ + b₁ i и z₂ = a₂ + b₂i называется комплексное число z, действительная часть которого равна сумме действительных частей z₁ и z₂, а мнимая часть — сумме мнимых частей чисел z₁ и z₂, то есть z = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂) i.

Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

3º. Комплексное число – a – bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi. Комплексное число, противоположное комплексному числу z, обозначается -z. Сумма комплексных чисел z и -z равна нулю: z + (-z) = 0

Пример 1. Выполните сложение (3 – i) + (-1 + 2i).

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

Определение. Вычесть из комплексного числа z₁ комплексное число z₂, значит найти такое комплексное число z, что z + z₂ =z₁.

Теорема. Разность комплексных чисел существует и притом единственная.

Пример 2. Выполните вычитание (4 – 2i) — (-3 + 2i).

(4 – 2i) — (-3 + 2i) = (4 — (-3)) + (-2 — 2) i = 7 – 4i.

Определение. Произведением комплексных чисел z₁=a₁+ b₁ i и z₂=a₂+b₂i называется комплексное число z, определяемое равенством:

Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:

4º. z · = (a + bi) (a – bi) = a 2 + b 2 — действительное число.

На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.

В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.

Пример 3. Выполните умножение (2 + 3i) (5 – 7i).

1 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2⋅ 5 – 3⋅ (- 7)) + (2⋅ (- 7) + 3⋅ 5)i =

= (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i.

2 способ. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2⋅ 5 + 2⋅ (- 7i) + 3i⋅ 5 + 3i⋅ (- 7i) =

= 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.

Определение. Разделить комплексное число z₁ на комплексное число z₂, значит найти такое комплексное число z, что z · z₂ = z₁.

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z₂ ≠ 0 + 0i.

На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

Пусть z₁ = a₁ + b₁i, z₂ = a₂ + b₂i, тогда

В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.

Пример 4. Найти частное

5) Возведение в целую положительную степень.

а) Степени мнимой единицы.

Пользуясь равенством i 2 = -1, легко определить любую целую положительную степень мнимой единицы. Имеем:

i 4 = i 2 i 2 = 1,

i 6 = i 4 i 2 = -1,

i 7 = i 5 i 2 = -i,

i 8 = i 6 i 2 = 1 и т. д.

Это показывает, что значения степени i n , где n – целое положительное число, периодически повторяется при увеличении показателя на 4 .

Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.

Пример 5. Вычислите: (i 36 + i 17 ) · i 23 .

i 36 = (i 4 ) 9 = 1 9 = 1,

i 17 = i 4⋅ 4+1 = (i 4 ) 4 ⋅ i = 1 · i = i.

i 23 = i 4⋅ 5+3 = (i 4 ) 5 ⋅ i 3 = 1 · i 3 = — i.

(i 36 + i 17 ) · i 23 = (1 + i) (- i) = — i + 1= 1 – i.

б) Возведение комплексного числа в целую положительную степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых комплексных сомножителей.

Пример 6. Вычислите: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3⋅ 4 2 ⋅ 2i + 3⋅ 4⋅ (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.

Стоит отметить. что с помощью комплексных чисел можно решать квадратные уравнения, у которых отрицательный дискриминант.

Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.

Пример 7. Решите уравнения:

а) x 2 – 6x + 13 = 0; б) 9x 2 + 12x + 29 = 0.

Решение. а) Найдем дискриминант по формуле
D = b 2 – 4ac.

Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то
D = (– 6) 2 – 4×1×13 = 36 – 52 = – 16;

Корни уравнения находим по формулам

б) Здесь a = 9, b = 12, c = 29. Следовательно,
D = b 2 – 4ac =122 – 4×9×29 = 144 – 1044 = – 900,

Находим корни уравнения:

Мы видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то квадратное уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: единичный выбор

Вычислите сумму (2 + 3i)+ (5 – 7i).

Решение: 2 + 3i + 5 — 7i = (2 + 5) + (3 — 7)i = 7 — 4i.

Можем сделать вывод, что верный ответ

№2. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Чему будет равно частное: (5 + 3i):(1 — 2i)=______

Лекция по математике. Тема:»Комплексные числа и действия с ними»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Комплексные числа и действия с ними

1 . Введение понятия комплексного числа.

2.Алгебраична форма комплексного числа.

3. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

1 . Введение понятия комплексного числа.

Как известно, имеются различные числовые системы: натуральных, целых, рациональных, действительных чисел. Каждая из этих числовых систем моделирует определенные типы количественных отношений действительного мира, другими словами, предназначена для решения определенного вида задач. Исторически почти одновременно возникли понятия натурального и положительного рационального (дробного) чисел. При помощи натуральных чисел решаются произвольные задачи, связанные с определением количества элементов любого конечного множества, т. е. решается любая задача счета. В множестве рациональных чисел решаются любые задачи, связанные с операцией деления, которые, как легко видеть, в множестве натуральных чисел не всегда имеют решения. Намного позже люди пришли к понятию отрицательного числа. Необходимость введения этого понятия связана с моделированием процессов, величин, которые меняются в двух противоположных направлениях. Примерами таких величин являются температура, уровень реки, прибыль, скорость прямолинейного движения некоторого тела .

Таким образом, на каждом этапе необходимость расширения понятия числа связана с тем, что в имеющемся множестве чисел не всегда решаются отдельные важные задачи, т. е. не всегда выполнимы некоторые операции и новые числа вводятся так, чтобы рассматриваемые операции стали выполнимыми.

Мнимые числа, которыми мы дополняем действительные числа, записываются в виде bi , где i – мнимая единица, причем i 2 = — 1 .

Исходя из этого, получим следующее определение комплексного числа.

Определение . Комплексным числом называется выражение вида a + bi , где a и b — действительные числа. При этом выполняются условия:

б) Сложение комплексных чисел определяется правилом:

в) Умножение комплексных чисел определяется правилом:

2. Алгебраическая форма комплексного числа.

Запись комплексного числа в виде a + bi называют алгебраической формой комплексного числа, где а – действительная часть, bi – мнимая часть, причем b – действительное число.

Комплексное число a + bi считается равным нулю, если его действительная и мнимая части равны нулю: a = b = 0

Комплексное число a + bi при b = 0 считается совпадающим с действительным числом a : a + 0 i = a .

Комплексное число a + bi при a = 0 называется чисто мнимым и обозначается bi : 0 + bi = bi .

Два комплексных числа z = a + bi и = a – bi , отличающиеся лишь знаком мнимой части, называются сопряженными.

3.Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

Над комплексными числами в алгебраической форме можно выполнять следующие действия.

Сложение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

3º. Комплексное число – a – bi называется противоположным комплексному числу z = a + bi . Комплексное число, противоположное комплексному числу z , обозначается — z . Сумма комплексных чисел z и — z равна нулю: z + (- z ) = 0

Пример 1. Выполните сложение (3 – i ) + (-1 + 2 i ) .

(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i .

Теорема . Разность комплексных чисел существует и притом единственна.

Пример 2. Выполните вычитание (4 – 2 i ) — (-3 + 2 i ) .

(4 – 2i) — (-3 + 2i) = (4 — (-3)) + (-2 — 2) i = 7 – 4i .

Умножение комплексных чисел обладает следующими свойствами:

3º. Дистрибутивность умножения относительно сложения:

4º. z · = ( a + bi )( a – bi ) = a 2 + b 2 — действительное число.

На практике умножение комплексных чисел производят по правилу умножения суммы на сумму и выделения действительной и мнимой части.

В следующем примере рассмотрим умножение комплексных чисел двумя способами: по правилу и умножением суммы на сумму.

Пример 3. Выполните умножение (2 + 3 i ) (5 – 7 i ) .

1 способ . (2 + 3i) (5 – 7i) = (2  5 – 3  (- 7)) + (2 (- 7) + 3 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15)i = 31 + i .

2 способ . (2 + 3i) (5 – 7i) = 2  5 + 2  (- 7i) + 3i 5 + 3i (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i .

Теорема. Частное комплексных чисел существует и единственно, если z ₂ ≠ 0 + 0 i .

На практике частное комплексных чисел находят путем умножения числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю.

Пусть z ₁ = a ₁ + b ₁ i , z ₂ = a ₂ + b ₂ i , тогда .

В следующем примере выполним деление по формуле и правилу умножения на число, сопряженное знаменателю.

Пример 4. Найти частное .

.

.

5) Возведение в целую положительную степень.

а) Степени мнимой единицы.

Пользуясь равенством i 2 = -1 , легко определить любую целую положительную степень мнимой единицы. Имеем :

Это показывает, что значения степени i n , где n – целое положительное число, периодически повторяется при увеличении показателя на 4 .

Поэтому, чтобы возвести число i в целую положительную степень, надо показатель степени разделить на 4 и возвести i в степень, показатель которой равен остатку от деления.

б) Возведение комплексного числа в целую положительную степень производится по правилу возведения двучлена в соответствующую степень, так как оно представляет собой частный случай умножения одинаковых комплексных сомножителей.

Пример 6. Вычислите : (4 + 2i) 3

1.Выполнить сложение комплексних чисел:

(3+2ί) + (-1-5ί) = (3-1) + (2-5)ί = 2-3ί

(4-5ί) + (2-ί) = (4+2) + (-5-1)ί = 6-6ί

(2+3ί) + (6-3ί) = (2+6) + (3-3)ί= 8

(10 – 3ί) + (-10+3ί) = (10-10) + (-3+3)ί = 0

2.Выполнить вычитание комплексних чисел.

(3+4ί) – (1+2ί) = (3-1) + (4-2)ί = 2 + 2ί;

(-5+2ί) – (2+ί) = (-5-2) + (2-1)ί = -7+ί;

(6+7ί) – (6-5ί) = (6-6) + (7+5)ί = 12ί;

(0,3+2,5ί) – (-0,75+1,5ί) = (0,3+0,75ί) + (2,5-1,5ί) = 1,05+ί;

1+1/2) – (1/4-3/5) = (1/3-1/4) + (1/2+3/5) = 1/12 + 11/10.

3. Выполнить умножение комплексних чисел.

1) (4-5ί)(3+2ί) = 12+8ί -15ί -10ί²= 12+10-7ί =22-7ί;

3)8ίх3ίх3 = -243; 4)(2-ί)(-5) = -10+5ί; 5)(-4-3ί)(-6ί) = -18+24ί.

4. Найти произведение комплексних чисел.

(3+5ί)(3-5ί) = 9+25 = 34;

(4+3ί)(4-3ί) = 16+3 = 19;

(3/4+2/5ί)(3/4-2/5ί) = 9/16+4/25 = 289/400.

5. Разложить на множители двучлен

2)16 m ²+25 n ² = (4 m +5 n ί)(4 m -5 n ί);

6. Найти частное комплексних чисел.

1) (2+5ί)/(3-2ί) = (2+5ί)(3+2ί)/(3-2ί)(3+2ί) = (-4+19ί)/13 = -4/13+19ί/13;

7. Возвести в степень двучлени:

(2+5ί)² = 4+20ί +25ί² = -21+20ί;

(3+2)³ = 27+54ί +36ί²+8 = -9+36ί;

(1-ί) = (1-2ί +ί) ² = (-2ί) ² = 4ί² = -4;

(1+ί) = ((1+ί)²)³ = (2ί) ³ = 8ί³ = -8 ί;

Вопросы для самопроверки :

1. Имеет уравнение решение на множестве комплексных чисел?

2.Что називается комплексним числом?

3. Назовите мнимую и действительную части комплексного числа и какими символами их обозначают?

4. В каком случае комплексное число совпадает с действительным числом?

5. В каком случае комплексное число называется чисто мнимым?

6. Имеет смысл понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел?

7.Какие комплексные числа называются сопряженными?

8.Что называется суммой двух комплексных чисел?

9.Какие комплексные числа называют противоположными?

10.Что называется разностью двух комплексных чисел?

11. Что называется произведением двух комплексных чисел?

12.Что называется частным двух комплексных чисел?