Комплексные числа и координатная плоскость уравнения

Конспект урока по теме: «Комплексные числа и координатная плоскость»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Конспект урока по теме: «Комплексные числа и координатная плоскость»

Урок по алгебре в 10 классе

по учебнику А.Г. Мордковича, П.В. Семенова «Алгебра и начала анализа. Профильный уровень».

— Помочь учащимся овладеть умением выполнять геометрическую интерпретацию комплексного числа, выполнять действия сложения и вычитания над комплексными числами в алгебраической и векторной форме;

— Развивать умения наблюдать, анализировать, обобщать;

— Прививать навыки самостоятельной работы.

Повторение теоретического материала

Что называют комплексным числом?

(Комплексным числом называют сумму действительного числа и чисто мнимого числа z =— мнимая единица)

В каком случае выражения и считаются равными?

(Выражения и считаются равными тогда и только тогда, когда а=с и b = d )

При каком условии комплексное число отождествляется с действительным числом а?

(Каждое выражение вида а+0 i отождествляется с действительным числом а)

Какое комплексное число называют мнимым числом?

(Комплексное число вида bi называют мнимым числом)

Какое комплексное число называют мнимой единицей?

(Комплексное число i называют мнимой единицей)

Что называют действительной частью, мнимой частью числа z =.

Как обозначают действительную часть, мнимую часть числа z =?

(Число а называют действительной частью числа z = и обозначают , число b называют мнимой частью числа и обозначают Im z = b )

Что называют суммой комплексных чисел и ?

( C уммой выражений и называют выражение ( a + c )+( b + d ) i )

Что называют разностью комплексных чисел и ?

(Разностью комплексных чисел и называют выражение )

Объяснение нового материала

Алгебраический способ изображения комплексных чисел .

1) Как известно, действительные числа можно изображать точками числовой прямой. При этом, каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой прямой. Например, действительному числу соответствует точка А, находящаяся справа от начальной точки О на расстоянии в единиц длины; действительному числу -2 соответствует точка В, находящаяся слева от точки О на расстоянии две единицы длины; действительному числу соответствует точка С, находящаяся справа от О на

расстоянии в единиц длины (рис.1) Обратно, каждой рис.1

точке числовой прямой соответствует вполне определенное действительное число.

Например, точкам А и В соответствуют рациональные числа и -2, а точке С – иррациональное число.

Таким образом, множество всех действительных чисел находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех точек числовой прямой.

2) Подобно тому, как действительные числа можно изображать точками числовой прямой, комплексные числа можно геометрически представлять точками плоскости.

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат. Комплексное число изображается точкой плоскости с координатами (рис.2 ).

Каждая точка плоскости имеет определенные координаты. Поэтому при выбранном соответствии каждой точке плоскости будет соответствовать некоторое комплексное число.

Например, точке А с координатами (2;3) соответствует число 2 +3 i , точке В с координатами (-1;1) — число -1 + i , точке С с координатами (4;0) — число 4 +0 i , а

точке D с координатами (0;-2) – число 0-2 i (рис.3 ).

3) Но не может ли случиться так, что одной и той же точке плоскости, например, точке , будут соответствовать различные комплексные числа. Например, и ? Если бы было так, то мы имели бы ; . Отсюда . Но в таком случае, числа и были бы равны между собой. Итак, каждому комплексному числу соответствует единственная точка плоскости с координатами и, наоборот, каждой точке плоскости с координатами соответствует единственное комплексное число .

Таким образом, множество всех комплексных чисел находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех точек плоскости.

4) При такой интерпретации действительные числа а , т.е. комплексные числа вида а + 0 i , изображаются точками с координатами ( а;0 ), т.е. точками оси абсцисс. Поэтому ось абсцисс называют действительной осью. Чисто мнимые числа bi =0 + bi изображаются точками с координатами (0; b ), т.е. точками оси ординат, поэтому ось ординат называют мнимой осью. При этом точка с координатами (0; b ) обозначается bi . Например, точка (0;1) обозначается i , точка (0;-1) – это точка – i , точка (0;2) – это точка 2 i . Начало координат — это точка О

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

5) Пример. Изобразите на координатной плоскости множество всех комплексных чисел, у которых:

а) действительная часть равна -4;

б) мнимая часть является четным однозначным натуральным числом;

в) отношение мнимой части и действительной части равно 2;

г) сумма квадратов мнимой и действительной частей равна 9.

а) нас интересуют комплексные числа , у которых х = — 4. Это уравнение прямой, параллельной оси ординат.

б) Нас интересуют комплексные числа , у которых у = 2,4,6,8. Геометрический образ состоит из четырех прямых, параллельных оси абсцисс.

в) Нас интересуют комплексные числа , у которых , или у=2х, х≠0. Это прямая, проходящая через начала координат.

— В чем же состоит алгебраический способ изображения комплексных чисел?

( Любую точку на координатной плоскости можно воспринимать как упорядоченную пару (а; b ) действительных чисел).

Векторный способ изображения комплексных чисел .

Взаимно однозначное соответствие приводит к следующей геометрической интерпретации комплексных чисел: каждое комплексное число геометрически изображается на плоскости как А(а; b ) или как вектор с началом в начале координат и с концом в точке А с координатами (а; b ) (рис.6).

Действия над комплексными числами .

Пользуясь геометрическим изображением комплексных чисел с помощью векторов легко дать геометрическую интерпретацию сложения и вычитания комплексных чисел.

а) Геометрическое изображение суммы комплексных чисел.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию сложения двух комплексных чисел и . Сумма чисел и есть число Рассмотрим векторы , конец которого находится в точке , , конец которого находится в точке , и , конец которого находится в точке . Вектор является диагональю параллелограмма (рис.7).

Таким образом, сложение комплексных чисел и можно интерпретировать как правило сложение по правилу параллелограмма соответствующих им векторов и .

— С каким геометрическим преобразованием связана операция сложения комплексных чисел?

( Сложению комплексных чисел отвечает сложение векторов точек, изображающих эти числа на комплексной плоскости; отсюда следует, что отображение , сопоставляющее каждой точке z точку z + a , имеет простой геометрический смысл- оно является параллельным переносом на вектор, равный радиус-вектору точки А(а)).

б) Геометрическое изображение разности комплексных чисел.

Векторы, изображающие противоположные комплексные числа и , симметричны относительно начала координат, поскольку концы этих векторов – точки M ( a ; b ) и N (- a ;- b ) – симметричны относительно начала координат )(рис.8).

Пусть даны числа и . Так как , то вычитание из числа числа можно заменить прибавлением к числу числа, противоположного числу .

Рассмотрим векторы , конец которого находится в точке ; вектор , конец которого находится в точке , и , конец которого находится в точке (рис.9).

Построим параллелограмм . Тогда , т.е. вектор изображает разность комплексных чисел — . Так как также является параллелограммом, то . Это означает, что длина отрезка , соединяющего точки, соответствующие комплексным числам и , равна и модуль разности двух комплексных чисел и представляет собой расстояние между точками и , изображающими эти числа.

в) Геометрическое изображение сопряженных комплексных чисел.

В координатной плоскости ясный геометрический смысл имеет операция сопряжения (перехода к сопряженному числу). Действительно, если изобразить комплексные числа и на координатной плоскости, то получатся точки (х;у) и (х;-у), симметричные относительно оси абсцисс.

Значит, геометрическая операция сопряжения есть осевая симметрия относительно оси абсцисс. Сопряженные друг другу комплексные числа равноудалены от начала координат, а вектора, изображающие их, наклонены к оси абсцисс под одинаковыми углами, но расположены по разные стороны от этой прямой. Сложим, например, «по правилу параллелограмма» комплексные числа и , а затем отразим их, и весь параллелограмм симметрично относительно оси абсцисс. Получим: .

Упражнения для закрепления

33.2 а) Отметьте на координатной плоскости точки, соответствующие комплексным числам = — 5 – 4 i , = 1 + 8 i , = -2-4 i , =8 + I , = -1-8 i .

б) Соедините заданные точки последовательно отрезками. Сколько получилось точек пересечения с осями координат? Запишите комплексные числа, которым соответствуют эти точки.

-2; -1; 7; 2 i; 4i; -3i; -6i.

Изобразите на координатной плоскости множество всех комплексных чисел z , удовлетворяющих условию:

а) действительная часть на 4 больше мнимой части;

б) сумма действительной и мнимой части равна 4;

в) сумма квадратов действительной и мнимой частей равна 4;

г) действительная часть равна квадрату мнимой части или квадрат действительной части равен мнимой части.

а) Нас интересуют комплексные числа , у которых у=х-4-это уравнение прямой, проходящей через точки с координатами (0;-4) и (4;0).

а) Изобразите на координатной плоскости числа =-3+ i и =5+2 i .

б) Найдите действительный коэффициент а , при котором — чисто мнимое число.

в) По правилу параллелограмма постройте сумму чисел и а из пункта б).

г) Найдите действительный коэффициент а , при котором — действительное число. По правилу параллелограмма найдите сумму этих чисел.

б) =-3+ i и =5+2 i ; = 0+ у i ; -3+5 a =0; 5 a =3; a =0,6.

в ) 0,6 =3+1,2i.

г ) =-3+i и =5+2i; = х +0i; 1+2a=0; 2a=-1; a=-0,5.

-0,5 =-2,5-i.

Постройте точки, соответствующие комплексным числам:

-1 ; 3+4 i , 2-3 i , -5+2 i

Найти сумму и разность комплексных чисел и :

а ) = — 2 + i, = 3 +(-1) i,

б ) = 2 + 3i, = 2 + (-3) i,

в ) = 1 + (-2) i, = (-1) + (-2) i,

г ) = 3 i; = 2 + 0i,

Что представляет геометрическое множество всех комплексных чисел :

Постройте точки, соответствующие комплексным числам:

-8-7 i , 2 i , -3 i , 1,

Найти сумму и разность комплексных чисел и :

а ) = 2 + (-1) i, = 0 + 2i,

б ) = -3, = 4i

в ) = 1 + (-2) i, = -1 + 2i,

г ) = 2 + (-2) i, = -1 + i.

Что представляет геометрическое множество всех комплексных чисел :

Подведение итогов урока

— В чем состоит геометрическое изображение комплексных чисел?

— Какому геометрическому преобразованию плоскости соответствует сумма двух комплексных чисел?

— Как расположены точки комплексной плоскости, соответствующие числам a + bi и a — bi ?

— Как расположены на комплексной плоскости точки, соответствующие противоположным числам z и — z ?

— Во что переходит круг единичного радиуса с центром в начале координат при преобразовании ?

§33 № 33.1: Отметьте на координатной плоскости точки, соответствующие комплексным числам.

№ 33.4: Изобразите на координатной плоскости множество всех комплексных чисел z , удовлетворяющих заданным условиям.

Геометрия комплексных чисел pdf слайды

Комплексные числа имеют геометрическую интерпретацию как точки на плоскости или двумерные векторы.

Комплексная плоскость

Рассмотрим плоскость и прямоугольную систему координат на ней. Ось абсцисс обозначим $\operatorname z$ и будем называть действительной осью, а ось ординат обозначим $\operatorname z$, будем называть мнимой осью. Каждому комплексному числу $z=x+iy$ сопоставим точку на этой плоскости с координатами $(x,y)$, и, другими словами, радиус-вектор с координатами $(x,y)$.

Заметим, что соответствие между комплексными числами и точками на комплесной плоскости является взаимнооднозначным соответствием (а в случае с вещественными числами, соответствие строится с точкам на вещественной прямой).

Модуль комплексного числа $z=x+iy$ равен длине вектора, соответствующего данному числу на комплексной плоскости, $$|z|= \sqrt.$$ Несложно проверить, что расстояние между двумя точками комплексной плоскости $z_1$ и $z_2$ равно $|z_1-z_2|$. То есть, модуль разности двух комплексных чисел есть расстояние между точками на комплексной плоскости, которым соответствуют этим числам.

Определение. Аргументом комплексного числа $z=x+iy$ называется угол $\varphi$ между вектором $(x,y)$ и положительным направлением действительной оси $\operatorname z$ измеряемый против хода часовой стрелки.
Аргумент числа $z$ обозначается $\operatorname z$.

Строго говоря, аргумент комплексного числа определен не однозначно, в общем виде аргумент можно записать как $$ \operatorname z = \arg z + 2\pi k ,\text < где >k\in\mathbb Z, $$ где $\arg z$ — главное значение аргумента, $0\leqslant \arg z Сумма

Разность $z_1-z_2$ представляется вектором, конец которого находится в точке $z_1$, а начало — в точке $z_2$.

Геометрический смысл умножения на мнимую единицу $i$ состоит в повороте на угол $\pi/2$. Действительно, пусть $z=x+iy$, тогда $i\cdot z = -y + ix$. Преобразование $(x,y)\mapsto(-y,x)$ — это поворот вектора $(x,y)$ на $\pi/2$ против часовой стрелки.

Умножение комплексного числа $z=x+iy$ на комплексную экспоненту $e^$ соответстует повороту на угол $\theta$ против часовой стрелки.

Комплексным сопряжением числа $z$ на комплексной плоскости является вектор, симметричный вектору $z$, относительно оси абсцисс.

В качестве несложного упражнения, изобразите как на комплексной плоскости будет выглядеть вектор $-z$.

Пример 1. Зафиксируем $z_0\in\mathbb C$ и $r\in\mathbb R$, $r>0$. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, соответствующих комплексным числам $z$, которые удовлетворяют условиям: $$ 1) \ |z-z_0|=r, \quad 2) \ |z-z_0|\leqslant r. $$

1) Пусть $z=x+iy$ и $z_0=x_0+iy_0$. Распишем модуль комплексного числа $|z-z_0|$ по определению: \begin |z-z_0| = |x+iy — (x_0+iy_0)| =\\ |x-x_0 + i(y-y_0)|= \sqrt<(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2>. \end Тогда равенство $|z-z_0|=r$ равносильно \begin \sqrt <(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2>= r \quad \text < или >\quad (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2. \end В свою очередь, уравнение $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2$ задаёт окружность с центром в точке $(x_0,y_0)$ и радиусом $r$.

2) Рассуждая аналогичным образом, приходим к выводу, что неравенство $|z-z_0|\leqslant r$ равносильно неравенству $(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 \leqslant r^2$, которое задаёт круг.

Пример 2. Исходя из геометрических рассуждений, доказать неравенство \begin \left|\frac<|z|>-1\right| \leqslant \arg z. \end

Число $\frac<|z|>$ находится на единичной окружности. Построим на комплексной плоскости вектор, соответствующий разности $\frac <|z|>— 1$.

Длина дуги единичной окружности, соединяющей точки $1$ и $\frac<|z|>$, равна $\arg z$ и не может быть меньше длины отрезка соединяющего эти точки.

Тригонометрическая форма записи

Пусть $z=x+iy$ и $\varphi = \operatorname z$, тогда \begin\label \cos\varphi = \frac<\sqrt>, \quad \sin\varphi = \frac<\sqrt>. \end Обозначим $\rho = \sqrt$. Из \eqref выводим \begin\label \operatorname z = x = \rho\cos\varphi \quad\text< и >\quad \operatorname z = y = \rho\sin\varphi. \end В итоге из \eqref имеем \begin\label z = \rho(\cos\varphi+i\sin\varphi). \end

Запись \eqref называется тригонометрической формой комплексного числа, где $\rho=|z|$, а $\varphi = \operatorname z$.

Например, найдём число $z=1+i$ в тригонометрической форме.
Данное число $z$ на комплексной плоскости является вектором с координатами $(1,1)$. Вектор направлен по диагонали единичного квадрата, и поэтому угол $\varphi=\pi/4$. Длина вектора (модуль $z$) $\rho = \sqrt <1+1>= \sqrt<2>$. Таким образом, $$z=\sqrt<2>(\cos\frac<\pi> <4>+ i\sin\frac<\pi><4>).$$

Задачи

2. Пусть $|z|=2$ и $\arg z = \frac<\pi><6>$. Представить $z$ в виде $x+iy$.

3. Найти геометрическое место точек $z$ на комплексной плоскости, которые удовлетворяют соотношению $|z-i| + |z+i| = 16$.

Эллипс с фокусами в точках $-i$ и $i$, каноническое уравнение $\frac<63>+\frac <64>=1$.

4. Представить $z=\sqrt<3>+i$ в тригонометрической форме.

5. Представить $z=-2+i2\sqrt<3>$ в тригонометрической форме.

7. Вычислить $(1+\cos\theta+i\sin\theta)^n$, где $n\in\mathbb N$.

Комплексные числа и координатная плоскость уравнения

VII .1. Формы записи комплексных чисел и действия над ними

Комплексным числом называется выражение вида z = x + iy , (7.1)

где x и y – действительные числа, а i так называемая мнимая единица. Соотношение для мнимой единицы

Если x =0, то число 0+ iy = iy называется чисто мнимым; если y =0, то число x + i ∙0= x отождествляется с действительным числом x , а это означает, что множество R всех действительных чисел является подмножеством множества C всех комплексных чисел, то есть .

Число x называется действительной частью комплексного числа z и обозначается x = Re z , а y – мнимой частью комплексного числа z и обозначается y = Im z .

Понятия «больше» и «меньше» для комплексных чисел не вводятся.

Числа z = x + iy и называются комплексно сопряженными.

Всякое комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой M ( x ; y ) плоскости x 0 y такой, что x = Re z , y = Im z . Верно и обратное: каждую точку M ( x ; y ) координатной плоскости можно рассматривать как образ комплексного числа z = x + iy (рис. 7.1).

Комплексное число z = x + iy можно задавать с помощью радиус-вектора . Длина вектора , изображающего комплексное число z , называется модулем этого числа и обозначается | z | или r . Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором называется аргументом комплексного числа, обозначается Arg z или φ.

Для комплексного числа z =0 аргумент не определен. Аргумент комплексного числа – величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2π k ( k =0;–1;1;–2;2…): , где arg z – главное значение аргумента, заключенное в промежутке (–π;π). Иногда в качестве главного значения аргумента берут величину, принадлежащую промежутку [0;2π).

Алгебраической формой комплексного числа называется з апись числа z в виде z = x + iy.

Модуль r и аргумент φ можно рассматривать как полярные координаты вектора , изображающего комплексное число z = x + iy (см. рис. 7.1). Тогда из соотно­шений сторон в прямоугольном треугольнике получа­ем

Равенство (7.3) есть тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль r = |z| однозначно определяется по формуле

Аргумент определяется из формул:

При переходе от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической достаточно определить главное значение аргумента комплексного числа z , то есть считать φ= arg z . Знаки полученных значений cos φ и sin φ по формулам (7.5), дают возможность определить, какой координатной четверти принадлежит угол φ.

Используя формулу Эйлера

комплексное число можно записать в так назы­ваемой показательной (или экспоненциальной) форме

где r =| z | — модуль комплексного числа, а угол ( k =0;–1;1;–2;2…).

Функция e i φ – периодическая с основным пери­одом 2 π, поэтому для записи комплексного числа в показательной форме по формуле 7.7 достаточно найти главное значение его аргумента, то есть считать φ = arg z .

Пример 7.1. Записать комплексные числа в тригонометрической и показательной формах.

Решение. Для z ₁ имеем . Поэтому .

Для действительного числа . Поэтому

На множестве комплексны х чисел определен ряд операций.

Из равенства (7.9) следует, что геометрически комплексные числа вычитаются как векторы. При этом число z = z ₁ – z ₂ изображается вектором, соединяющим концы векторов , и исходящим из конца вычитаемого в конец уменьшаемого (см. рис. 7.2). Таким образом, модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию d между точками, изображающими эти числа на плоскости:

Из (7.11) следует важнейшее соотношение i 2 = –1. Действительно,

Найдем произведение комплексных чисел и . Производя все необходимые выкладки согласно формуле (7.11), получим формулу произведения комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме :

Видно, что при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются. Это правило распространяется на любое конечное число множителей. Нетрудно видеть, что если есть n множителей и все они одинаковые, то частным случаем равенства (7.12) является формула возведения комплексного числа в натуральную степень:

(7.13) называется первой формулой Муавра.

Произведение двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

4. Частным двух комплексных чисел z ₁ и называется комплексное число z , которое, будучи умноженным на z ₂, дает число z ₁, то есть , если .

Пусть , тогда с использованием этого определения получаем:

На практике при нахождении частного двух комплексных чисел удобно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, с дальнейшим применением равенства i 2 = –1 и формулы разности квадратов.

Деление комплексных чисел осуществляется также и в тригонометрической форме, при этом имеет место формула:

Видно, что при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются соответственно.

Частное двух комплексных чисел в показательной (экспоненциальной) форме имеет вид:

Пример 7.2. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел .

Решение. По формуле (7.8) сумма заданных чисел равна .

Согласно формуле (7.9) разность заданных чисел равна .

Пользуясь формулой (7.11), вычислим их произведение

На основании формулы (7.14) вычислим их частное

Пример 7.3. Найти произведение и частное комплексных чисел , представив их в тригонометрической и показательной форме.

Решение. Используя (7.4) и (7.5), получаем:

Аналогично, для z ₂ можно записать:

По формулам (7.12) и (7.16) получим в тригонометрической форме:

Пользуясь формулами (7.14) и (7.17), получим в показательной форме:

5. Извлечение корня n -ой степени – операция, обратная возведению

в натуральную степень, определенному ранее формулой (7.13).

Корнем n -ой степени из комплексного числа z называется комплексное число ω, удовлетворяющее равенству ω n = z , то есть , если ω n = z .

Пусть , тогда по данному определению и формуле (7.13) Муавра можно записать: . Сравнивания части этого равенства, получим: . Отсюда (корень арифметический). Окончательно получаем:

(7.18) называется второй формулой Муавра.

Видно, что для любого корень n -ой степени из комплексного числа z имеет равно n различных значений.

Пример 7.4. Найти все корни уравнения z 4 +16=0.

Решение. Запишем уравнение в виде z 4 =–16+0∙ i . Отсюда по формуле (7.18) получим:

Сформулируем несколько иначе основную теорему алгебры 3.2 над полем комплексных чисел .

Теорема 7.1 (основная теорема алгебры). Для всякого многочлена с комплексными коэффициентами

Приведем еще одну теорему, имеющую место над множеством комплексных чисел.

Теорема 7.2. Если многочлен P_n ( x ) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень a + ib , то он имеет и сопряженный корень a – ib

В разложение многочлена комплексные корни входят сопряженными парами. Пусть корни многочлена x 1 = a + ib и x 2 = a – ib . Перемножив линейные множители разложения , получим трехчлен второй степени с действительными коэффициентами x 2 + px + q и отрицательным дискриминантом. Действительно,

Таким образом, произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным корням, можно заменить квадратным трехчленом с действительными коэффициентами, а соответствующее квадратное уравнение будет иметь отрицательный дискриминант.