Комплексные числа тригонометрическая форма решить уравнения
Квадратный корень из комплексного числа
Корни четвертой и пятой степени
Возведение в степень
Мнимая и действительная часть
Можно использовать следующие функции от z (например, от z = 1 + 2.5j):
Правила ввода выражений и функций
3.14159.. e Число e — основание натурального логарифма, примерно равно
2,7183.. i Комплексная единица oo Символ бесконечности — знак для бесконечности
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Где учитесь?
Для правильного составления решения, укажите:
Примеры решений задач с комплексными числами
На этой странице вы найдете подробные готовые задания с ответами по разделу «Комплексные числа»: действия с комплексными числами, преобразование в алгебраическую, тригонометрическую и показательную форму, возведение в степень и извлечение корня по формуле Муавра, решение уравнений с комплексными корнями и т.п.
Если вам нужна помощь в выполнении работы по комплексным числам, мы будем рады помочь: стоимость задания от 70 рублей, срок от 1 дня, гарантия месяц, подробное оформление (см. Решение задач на заказ).
Еще полезные ссылки для изучения:
Графические задачи с комплексными числами
Задача 1. Найдите геометрическое место точек, изображающих $z$, удовлетворяющих системе неравенств: $$ |z-1| \lt 1, \\ Re z \le 1, \\ Im z \le 1.$$
Задача 2. Изобразите на $C$: $Re z^2 =-1$.
Действия с комплексными числами. Решения задач
Задача 3. Вычислить сумму $(z_1 + z_2)$ и разность $(z_1 — z_2)$ комплексных чисел, заданных в показательной форме, переведя их в алгебраическую форму. Построить операнды и результаты на комплексной плоскости. $$ z_1 = 2 e^<-\pi i>, z_2=4 e^<\pi i>.$$
Задача 4. Вычислить произведение $z_1 \cdot z_2$ и частное $z_1 / z_2$ комплексных чисел. Операнды и результаты изобразить на комплексной плоскости. $$ z_1 = 4+3i, z_2=1-\sqrt <3>i.$$
Задача 5. Найти все значения корней из заданного комплексного числа $\sqrt[4]<-9>.$
Задача 6. Вычислить $\left(\frac<1-i> <1+i>\right)^<40>.$ Представить результат в алгебраической и показательной формах.
Формы комплексных чисел. Решения задач
Задача 7. Найти $|z|$, $\arg z$, записать число $z$ в тригонометрической и показательной форме $z=-\sqrt<3>-i.$
Задача 8. Найдите $z$ в тригонометрической форме, если $z=(3-3i\sqrt<3>)(5\sqrt<3>+5i).$
Задача 9. Дано комплексное число $a$. Требуется:
1) записать число $a$ в алгебраической и тригонометрической формах;
2) найти корни уравнения $z^3+a=0$. $$a=\frac<1><\sqrt<3>-i>.$$
Уравнения с комплексными числами. Решения задач
Задача 10. Решите уравнение (ответ запишите в алгебраической форме): $sh z — ch z =2i.$
Задача 11. Решить уравнения или вычислить: $$ \frac
Задача 12. Найти все комплексные корни заданного уравнения, отметить найденные корни на комплексной плоскости: $z^6-7z^3-8=0.$
Тригонометрическая форма комплексного числа
Рассмотрим комплексное число, заданной в обычной (алгебраической) форме:
z=a+ib. | (1) |
Задача заключается в представлении комплексного числа (1) в тригонометрической форме. Для этого на комплексной плоскости введем полярные координаты. Примем за полюс начало координат, а за полярную ось вещественную ось R.
Как известно, полярными координатами точки z являются длина r ее радиус-вектора, равной расстоянию от точки z до полюса, и величина ее полярного угла, т.е. угла, образованного между полярной осью и вектором-радиусом точки z. Отметим, что направление отсчета угла берется от полярной оси до вектора-радиуса против часовой стрелки (Рис.1, Рис.2).
На Рис.3 изображено комплексное число z. Координаты этого числа в декартовой системе координат (a, b). Из определения функций sin и cos любого угла, следует:
. |
. | (2) |
Подставляя (2) в (1), получим:
. | (3) |
Эта форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
Уравнения (2) возведем в квадрат и сложим:
. |
(4) |
r−длина радиус-вектора комплексного числа z называется модулем комплексного числа и обозначается |z|. Очевидно |z|≥0, причем |z|=0 тогда и только тогда, когда z=0.
Величина полярного угла точки, соответвующей комплексному числу z, т.е. угла φ, называется аргументом этого числа и обозначается arg z. Заметим, что arg z имеет смысл лишь при z≠0. Аргумент комплексного числа 0 не имеет смысла.
Аргумент комплексного числа определен неоднозначно. Если φ аргумент комплексного числа, то φ+2πk, k=0,1. также является аргументом комплексного числа, т.к. cos(φ+2πk)=cosφ, sin(φ+2πk)=sinφ.
Приведение комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую
Пусть комплексное число представлено в алгебраической форме: z=a+bi. Представим это число в тригонометрической форме. Вычисляем модуль комплексного числа: . Вычисляем аргумент φ комплексного числа из выражений или . Полученные значения вставляем в уравнение (3).
Пример 1. Представить комплексное число z=1 в тригонометрической форме.
Решение. Комплексное число z=1 можно представить так: z=1+0i. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=1/1. Откуда имеем φ=0. Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: z=1(cos0+isin0).
Пример 2. Представить комплексное число z=i в тригонометрической форме.
Решение. Комплексное число z=i можно представить так: z=0+1i. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=0/1. Откуда имеем φ=π/2. Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: .
Ответ. .
Пример 3. Представить комплексное число z=4+3i в тригонометрической форме.
Решение. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=4/5. Откуда имеем φ=arccos(4/5). Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: .
Ответ. , где φ=arccos(4/5).
Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме записи
z1·z2=[r1(cosφ1+i sinφ1)][r2(cosφ2+i sinφ2]=r1r2[cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)] |
z1z2=r1r2[cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)] | (5) |
В результате умножения комплексных чисел в тригонометрической форме мы получили комплексное число в тригонометрической форме, следовательно |z1z2|=r1r2, или
|z1z2|=|z1||z2|, | (6) |
т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей .
arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2), | (7) |
т.е. аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей .
Пример 4. Умножить комплексные числа и .
Решение. Воспользуемся формулой (5):
Ответ. .
Деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи
(8) |
Отсюда следует, что или
(9) |
Далее , или
(10) |
Следовательно, модуль частного двух комплексных чисел равен модулю делимого, деленному на модуль делителя, а аргумент частного двух комплексных чисел получается вычитанием аргумента делителя от аргумента делимого .
Пример 5. Делить комплексные числа и .
Решение. Воспользуемся формулой (8):
Ответ. .
http://www.matburo.ru/ex_ma.php?p1=makn
http://matworld.ru/kompleksnye-chisla/trigonometricheskaja-forma-kompleksnogo-chisla.php