Тригонометрическая форма комплексных чисел
Второй урок по комплексным числам. Если вы только начинаете изучать эту тему (что такое комплексная единица, модуль, сопряжённые), см. первый урок: «Что такое комплексное число».
Сегодня мы узнаем:
Начнём с ключевого определения.
1. Тригонометрическая форма
Определение. Тригонометрическая форма комплексного числа — это выражение вида
\[z=\left| z \right|\cdot \left( \cos \text< >\!\!\varphi\!\!\text< >+i\sin \text< >\!\!\varphi\!\!\text < >\right)\]
где $\left| z \right|$ — модуль комплексного числа, $\text< >\!\!\varphi\!\!\text< >$ — некоторый угол, который называется аргумент комплексного числа (пишут $\text< >\!\!\varphi\!\!\text< >=\arg \left( z \right)$).
Любое число $z=a+bi$, отличное от нуля, можно записать с тригонометрической форме. Для этого нужно вычислить модуль и аргумент. Например:
Записать в тригонометрической форме число $z=\sqrt<3>+i$.
Переписываем исходное число в виде $z=\sqrt<3>+1\cdot i$ и считаем модуль:
Выносим модуль за скобки:
\[z=\sqrt<3>+1\cdot i=2\cdot \left( \frac<\sqrt<3>><2>+\frac<1><2>\cdot i \right)\]
Вспоминаем тригонометрию, 10-й класс:
Понятно, что вместо $\frac<\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><6>$ с тем же успехом можно взять аргумент $\frac<13\text< >\!\!\pi\!\!\text< >><6>$. Синус и косинус не поменяется. Главное — выбрать такой аргумент, чтобы в тригонометрической форме не осталось никаких минусов. Все минусы должны уйти внутрь синуса и косинуса. Сравните:
Записать в тригонометрической форме число $z=-1-i$.
2. Умножение и деление комплексных чисел
Комплексные числа, записанные в тригонометрической форме, очень удобно умножать и делить.
Теорема. Пусть даны два комплексных числа:
\[\begin
Тогда их произведение равно
\[<
А если ещё и $\left| <
Получается, что при умножении комплексных чисел мы просто умножаем их модули, а аргументы складываем. При делении — делим модули и вычитаем аргументы. И всё!
Найти произведение и частное двух комплексных чисел:
\[\begin
\[\begin
По сравнению со стандартной (алгебраической) формой записи комплексных чисел экономия сил и времени налицо.:)
3. Формула Муавра
Пусть дано комплексное число в тригонометрической форме:
\[z=\left| z \right|\cdot \left( \cos \text< >\!\!\varphi\!\!\text< >+i\sin \text< >\!\!\varphi\!\!\text < >\right)\]
Возведём его в квадрат, умножив на само себя:
\[\begin
Затем возведём в куб, умножив на себя ещё раз:
Несложно догадаться, что будет дальше — при возведении в степень $n$. Это называется формула Муавра.
Формула Муавра. При возведении всякого комплексного числа
\[z=\left| z \right|\cdot \left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)\]
в степень $n\in \mathbb
Простая формула, которая ускоряет вычисления раз в десять! И кстати: эта формула работает при любом $n\in \mathbb
Представим первое число в тригонометрической форме:
\[\begin
По формуле Муавра:
Последним шагом мы воспользовались периодичностью синуса и косинуса, уменьшив аргумент сразу на 28π.
Следующую задачу в разных вариациях любят давать на контрольных работах и экзаменах:
Теперь второе число запишем в комплексной форме:
По формуле Муавра:
Вот так всё просто! Следующие два раздела предназначены для углублённого изучения. Для тех, кто хочет действительно разобраться в комплексных числах.
4. Дополнение 1. Геометрический подход
Многие путают местами косинус и синус. Почему комплексная единица стоит именно у синуса? Вспомним, что есть декартова система координат, где точки задаются отступами по осям $x$ и $y$:
А есть полярная система координат, где точки задаются поворотом на угол $\varphi $ и расстоянием до центра $r$:
А теперь объединим эти картинки и попробуем перейти из декартовой системы координат в полярную:
Комплексное число $z=a+bi$ задаёт на плоскости точку $C$, удалённую от начала координат на расстояние
Треугольник $ABC$ — прямоугольный. Пусть $\angle BAC=\varphi $. Тогда:
\[\begin
С другой стороны, длины катетов $AB$ и $BC$ — это те самые отступы $a$ и $b$, с помощью которых мы задаём комплексное число. Поэтому:
\[\begin
Итак, мы перешли от пары $\left( a;b \right)$ к паре $\left( \left| z \right|;\varphi \right)$, где $\left| z \right|$ — модуль комплексного числа, $\varphi $ — его аргумент (проще говоря, угол поворота).
Важное замечание. А кто сказал, что такой угол $\varphi $ существует? Возьмём число $z=a+bi$ и вынесем модуль за скобку:
Осталось подобрать такой угол $\varphi $, чтобы выполнялось два равенства:
Такой угол обязательно найдётся, поскольку выполняется основное тригонометрическое тождество:
На практике основная трудность заключается именно в поиске подходящего аргумента.
5. Дополнение 2. Как найти аргумент?
В учебниках пишут много разной дичи, типа вот этой:
Формула правильная, но пользы от неё — ноль. Запомнить сложно, а применять и вовсе невозможно. Мы пойдём другим путём.
5.1. Точки на координатных осях
Для начала рассмотрим точки, лежащие осях координат.
Тут всё очевидно:
- На положительной полуоси абсцисс $\varphi =0$ (фиолетовая точка $A$).
- На отрицательной — $\varphi =\pi $ (синяя точка $B$).
- На положительной полуоси ординат $\varphi =\frac<\pi ><2>$ (зелёная точка $B$).
- На отрицательной — $\varphi =\frac<3\pi ><2>$ (красная точка $C$). Однако ничто не мешает рассмотреть $\varphi =-\frac<\pi ><2>$ — результат будет тем же самым.:)
5.2. Точки с арктангенсом
А если точки не лежат на осях, то в записи комплексного числа $a+bi$ числа $a\ne 0$ и $b\ne 0$. Рассмотрим вспомогательный угол
Очевидно, это острый угол:
Зная знаки чисел $a$ и $b$, мы немедленно определим координатную четверть, в которой располагается искомая точка. И нам останется лишь отложить вспомогательный угол $<<\varphi >_<1>>$ от горизонтальной оси в эту четверть.
В правой полуплоскости мы откладываем от «нулевого» луча:
Точка $A\left( 3;4 \right)$ удалена от начала координат на расстояние 5:
\[\begin
Для точки $B\left( 6;-6 \right)$ арктангенс оказался табличным:
\[6-6i=6\sqrt<2>\cdot \left( \cos \left( -\frac<\pi > <4>\right)+i\sin \left( -\frac<\pi > <4>\right) \right)\]
В левой полуплоскости откладываем от луча, соответствующего углу $\pi $:
Итого для точки $C\left( -2;5 \right)$ имеем:
\[\begin
И, наконец, для точки $D\left( -5;-3 \right)$:
\[\begin
Звучит просто, выглядит красиво, работает идеально! Но требует небольшой практики. Пробуйте, тренируйтесь и берите на вооружение.
А в следующем уроке мы научимся извлекать корни из комплексных чисел.:)
Тригонометрическая форма комплексного числа
Рассмотрим комплексное число, заданной в обычной (алгебраической) форме:
z=a+ib. | (1) |
Задача заключается в представлении комплексного числа (1) в тригонометрической форме. Для этого на комплексной плоскости введем полярные координаты. Примем за полюс начало координат, а за полярную ось вещественную ось R.
Как известно, полярными координатами точки z являются длина r ее радиус-вектора, равной расстоянию от точки z до полюса, и величина ее полярного угла, т.е. угла, образованного между полярной осью и вектором-радиусом точки z. Отметим, что направление отсчета угла берется от полярной оси до вектора-радиуса против часовой стрелки (Рис.1, Рис.2).
На Рис.3 изображено комплексное число z. Координаты этого числа в декартовой системе координат (a, b). Из определения функций sin и cos любого угла, следует:
. |
. | (2) |
Подставляя (2) в (1), получим:
. | (3) |
Эта форма записи называется тригонометрической формой записи комплексного числа.
Уравнения (2) возведем в квадрат и сложим:
. |
(4) |
r−длина радиус-вектора комплексного числа z называется модулем комплексного числа и обозначается |z|. Очевидно |z|≥0, причем |z|=0 тогда и только тогда, когда z=0.
Величина полярного угла точки, соответвующей комплексному числу z, т.е. угла φ, называется аргументом этого числа и обозначается arg z. Заметим, что arg z имеет смысл лишь при z≠0. Аргумент комплексного числа 0 не имеет смысла.
Аргумент комплексного числа определен неоднозначно. Если φ аргумент комплексного числа, то φ+2πk, k=0,1. также является аргументом комплексного числа, т.к. cos(φ+2πk)=cosφ, sin(φ+2πk)=sinφ.
Приведение комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую
Пусть комплексное число представлено в алгебраической форме: z=a+bi. Представим это число в тригонометрической форме. Вычисляем модуль комплексного числа: . Вычисляем аргумент φ комплексного числа из выражений или . Полученные значения вставляем в уравнение (3).
Пример 1. Представить комплексное число z=1 в тригонометрической форме.
Решение. Комплексное число z=1 можно представить так: z=1+0i. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=1/1. Откуда имеем φ=0. Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: z=1(cos0+isin0).
Пример 2. Представить комплексное число z=i в тригонометрической форме.
Решение. Комплексное число z=i можно представить так: z=0+1i. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=0/1. Откуда имеем φ=π/2. Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: .
Ответ. .
Пример 3. Представить комплексное число z=4+3i в тригонометрической форме.
Решение. Вычислим модуль этого числа: . Вычислим аргумент этого числа: cosφ=4/5. Откуда имеем φ=arccos(4/5). Подставляя значения модуля и аргумента в (3), получим: .
Ответ. , где φ=arccos(4/5).
Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме записи
z1·z2=[r1(cosφ1+i sinφ1)][r2(cosφ2+i sinφ2]=r1r2[cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)] |
z1z2=r1r2[cos(φ1+φ2)+isin(φ1+φ2)] | (5) |
В результате умножения комплексных чисел в тригонометрической форме мы получили комплексное число в тригонометрической форме, следовательно |z1z2|=r1r2, или
|z1z2|=|z1||z2|, | (6) |
т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей .
arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2), | (7) |
т.е. аргумент произведения комплексных чисел равен сумме аргументов сомножителей .
Пример 4. Умножить комплексные числа и .
Решение. Воспользуемся формулой (5):
Ответ. .
Деление комплексных чисел в тригонометрической форме записи
(8) |
Отсюда следует, что или
(9) |
Далее , или
(10) |
Следовательно, модуль частного двух комплексных чисел равен модулю делимого, деленному на модуль делителя, а аргумент частного двух комплексных чисел получается вычитанием аргумента делителя от аргумента делимого .
Пример 5. Делить комплексные числа и .
Решение. Воспользуемся формулой (8):
Ответ. .
VMath
Инструменты сайта
Основное
Навигация
Информация
Действия
Содержание
Комплексные числа
Алгебра — это наука о решении уравнений. Но в каких числах? Если принимать в рассмотрение только множество натуральных чисел $ \mathbb N_<> $, то уравнение $ 5+x=3 $ решений не имеет. Дополнив множество $ \mathbb N_<> $ нулем и отрицательными числами, мы добиваемся того, что во множестве $ \mathbb Z_<> $ целых чисел любое уравнение $ a+x=b $ получает решение, причем единственное. Но вот уравнение $ 2\cdot x=3 $ решений снова не имеет… Снова дополняем множество $ \mathbb Z_<> $ дробными числами до множества $ \mathbb Q_<> $ рациональных чисел. В этом множестве будет существовать единственное решение уравнения $ a\cdot x=b $ если только $ a_<>\ne 0 $. Но вот уравнение $ x^2-2=0 $ решений в $ \mathbb Q_<> $ не имеет. Пополнив множество рациональных чисел числами иррациональными, мы получаем решение — в вещественных числах $ \mathbb R_<> $ — и этого уравнения, но, однако же, не любого квадратного! Так, не существует вещественного числа, удовлетворяющего уравнению $ x^2+1=0 $.
Задача. Расширить множество вещественных чисел так, чтобы в этом расширении уравнение $ x^2+1=0 $ имело решение.
Такое расширение должно «наследовать» все свойства вещественных чисел, т.е. в этом множестве операции должны подчиняться аксиомам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности:
7. существует нейтральный элемент $ <\mathfrak e>$ относительно умножения: $ <\mathfrak a>\cdot <\mathfrak e>= <\mathfrak a>$.
Все указанные равенства должны выполняться для произвольных чисел $ <\mathfrak a>, <\mathfrak a>_1,<\mathfrak a>_2,<\mathfrak a>_3 $.
Определение
Комплéксным 1) числом называется упорядоченная пара вещественных чисел $ z=(a,b) $. Аксиоматически вводятся понятие равенства комплексных чисел, а также правила действий над ними.
Два комплексных числа $ z_1=(a,b) $ и $ z_2=(c,d) $ называются равными: $ z_1=z_2 $ тогда и только тогда, когда $ a=c $ и $ b=d $. В противном случае они называюся неравными.
Суммой комплексных чисел $ z_1=(a,b) $ и $ z_2=(c,d) $ называется комплексное число $$ z_3=z_1+z_2 = (a+c,b+d) \ . $$
Пример. $ (1,-1)+(2,1)=(3,0) $, $ (0,1)+(1,0)=\qquad \qquad $ , $ (3,2)+(-3,-2)=\qquad $ .
Произведением комплексных чисел $ z_1=(a,b) $ и $ z_2=(c,d) $ называется комплексное число $$ z_4=z_1\cdot z_2 = (ac-bd,\ ad+bc) \ . $$
Так же как и в случае вещественных чисел, для знака умножения используют $ \times_<> $; часто его вовсе опускают: $ z_1\cdot z_2 = z_1\times z_2 = z_1z_2 $.
Пример. $ (2,3)\cdot (1,2)=(-4,7) $, $ (1,-1)\cdot(1,1)= \qquad $ , $ (0,1)\cdot(0,1)=\qquad $ .
В отличие от суммы комплексных чисел, определение произведения кажется довольно искусственным. Ответ на вопрос
Что послужило основанием для такого правила умножения?
будет дан ☟ НИЖЕ. А пока убедимся, что даже введенное таким «неестественным» способом, оно, тем не менее, сохранит те свойства операций над числами вещественными, которые упомянуты выше. Имеем, например: $$z_1\cdot z_2=(ac-bd,\ ad+bc),\ z_2\cdot z_1=(ca-db,\, da+cb) \ \Rightarrow \ z_1\cdot z_2=z_2\cdot z_1 \ . $$ Остальные свойства проверяются аналогично.
Теперь осталось определить операции, противоположные сложению и умножению, т.е. вычитание и деление.
Разностью комплексных чисел $ z_1 $ и $ z_2 $ называется число $ z_5 $ такое, что $ z_2+z_5=z_1 $. Этот факт записывают: $ z_5 = z_1-z_2 $.
Вопрос о существовании и единственности такого числа решается конструктивно: его построением. Пусть $ z_1=(a,b) $, $ z_2=(c,d) $, $ z_5=(x,y) $, тогда $$(c,d)+(x,y)=(a,b) \ \iff \ c+x=a,\ d+y=b \ \iff \ x=a-c,\ y=b-d \ , $$ т.е. $ (a,b)-(c,d)=(a-c,\, b-d) $. В частности, $$(a,b)-(a,b)=(0,0) \quad \mbox< или >\quad (a,b)+(0,0)=(a,b)$$ для любого комплексного числа. Таким образом, комплексное число $ (0,0) $ играет для сложения ту же роль, что для вещественных чисел играл нуль $ 0 $.
Частным комплексных чисел $ z_1 $ и $ z_2 $ называется число $ z_6 $ такое, что $ z_2\cdot z_6=z_1 $. Этот факт записывают: $$ z_6= z_1\colon z_2 \quad \mbox< или >\ z_6 = z_1\big/ z_2 \ . $$
Вопрос о существовании и единственности такого числа решается конструктивно: его построением. Пусть $ z_1=(a,b) $, $ z_2=(c,d) $, $ z_6=(x,y) $, тогда $$(c,d)\cdot (x,y)=(a,b) \ \iff \ \left\<\begin
А пока что заметим, что введенные на множестве комплексных чисел операции полностью подчиняются указанной в начале раздела системе аксиом 1 — 7 чисел вещественных. Нейтральный элемент относительно сложения совпадает с числом $ (0,0) $, а относительно умножения — с числом $ (1,0) $: $$ (a,b)\cdot (x,y)=(a,b)\ \iff \ \left\< \begin
Каждое комплексное число может быть представлено в виде $$z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0)(0,1) \ , $$ т.е. в виде комбинации комплексных чисел вида $ (a,0) $ — с нулевой второй компонентой, и одного специального числа $ (0,1) $. За последним закрепляется обозначение 2) $$ \mathbf i = (0,1) \ . $$
Польза от нормальной формы записи состоит в том, что она упрощает действия с комплексными числами. В самом деле, перемножение двух комплексных чисел, представленных в нормальной форме, можно начать производить по обычным правилам перемножения вещественных чисел: $$(a+\mathbf i \, b)(c+ \mathbf i \, d)=ac + \mathbf i\, ad+ \mathbf i\, bc+ \mathbf i^2 bd \ , $$ а затем воспользоваться равенством $ \mathbf i^2 = -1 $: $$= (ac-bd)+\mathbf i \, (ad+bc) \ . $$ Мы получили тот же результат, что формально определен аксиомой.
Если $ n_<> $ — целое число, то число $$ z^n = \left\< \begin
Пример. Найти нормальную форму числа $ (1+\mathbf i )^3 $.
Решение. Разложение по формуле бинома дает $ (1+\mathbf i)^3= (1-3) +\mathbf i (3-1) =-2+2\mathbf i $. ♦
Пример. Найти нормальную форму числа
Решение. $$(3+2\mathbf i)^2=5+12 \mathbf i \ , (5+12 \mathbf i)(1-3\mathbf i)=5-15\mathbf i+12\mathbf i-36\mathbf i^2=41-3\mathbf i \ ,$$ $$(3+\mathbf i)^2=8+6\mathbf i \ ,\ (8+6\mathbf i)(1+2\mathbf i)=8+16\mathbf i +6\mathbf i +12\mathbf i^2=-4+22 \mathbf i \ .$$
Ответ. $ -\frac<23> <50>-\frac<39> <50>\mathbf i $.
Прием, использованный нами при решении последнего примера, можно сделать универсальным.
Число $ a-\mathbf i b $ называется числом, комплексно-сопряженным (или просто сопряженным) числу $ z=a+\mathbf i b $. Оно обозначается $ \overline
Пример. $ \overline<-2-2\mathbf i>=-2+2\mathbf i,\ \overline<3\mathbf i>=-3\mathbf i,\ \overline<4>=4 $.
а) $ \overline<\overline
б) $ \overline
в) $ \overline
Легко установить, что сумма и произведение двух комплексно-сопряженных чисел будет числом вещественным: $$ <.>_<> \mbox < при >z= a+ \mathbf i b \ \mbox < имеем: >z+\overline
Для комплексного числа, представленного в нормальной форме $ z=a+\mathbf i b $, число $ a $ называется вещественной частью и обозначается $ \mathfrak
Аксиому равенства комплексных чисел можно записать теперь в виде: $$z_1=z_2 \quad \iff \quad \mathfrak
Найти вещественное число $ x_<> $, удовлетворяющее уравнению
$$ (1+ \mathbf i)x^3+(1+2\, \mathbf i)x^2- (1+4\,\mathbf i)x — 1+ \mathbf i = 0 \ . $$
Верно ли равенство $ \mathfrak
Множество всех комплексных чисел с определенными выше операциями обозначается $ \mathbb C_<> $ . Отождествление комплексного числа $ z_<> $, у которого $ \mathfrak
Однако, несмотря на то, что не всегда удается установить параллель между свойствами двух объектов, хотя бы некоторые результаты, а также приемы исследования, могут допускать распространение. Один из таких приемов лежит на виду. Вспомним, что вектор на плоскости может быть задан не только в декартовых координатах, но и в полярных, т.е. своей длиной и углом, образованным вектором с полярной осью.
Тригонометрическая форма комплексного числа
Для числа $ z=a+\mathbf i \, b $ его модулем (или абсолютной величиной) называется неотрицательное вещественное число обозначаемое $ |z| $, определяемое как $$|z|=\sqrt= \sqrt
Геометрическая интерпретация модуля комплексного числа очевидна: это длина вектора, этим числом порождаемого. В случае когда $ \mathfrak
Аргументом комплексного числа $ z=a+\mathbf i \, b\ne 0 $
называется величина угла 4) , образованного на комплексной плоскости вектором $ \vec <\mathbf OA>$ с вещественной осью. При этом, для однозначности определения, договоримся, что угол будет отсчитываться от вещественной оси в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, и что он будет находиться в интервале $ [0,2\, \pi[ $ если вычисляется в радианах. Аргумент комплексного числа $ 0_<> $ не определяется. Будем обозначать аргумент числа $ z_<> $ через $ \operatorname
Итак, ненулевое комплексное число $ z\ne 0 $, наряду со своей нормальной формой $ z=a+\mathbf i \, b $, может быть представлено еще и в форме $$ z= \rho \left(\cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right) \quad npu \ \rho\ge 0,\ 0 \le \varphi 0 & \pi/2 \\ -6\,\mathbf i=0-6\,\mathbf i \ & \sqrt<0+36>=6 & 0 & 0 & 3\pi/4 \\ \frac<1><2>-\mathbf i \frac<\scriptstyle<\sqrt<3>>> <\scriptstyle 2>\ & \sqrt<\frac<1><4>+\frac<3><4>>=1\ & \frac<1> <2>& 0 & \arccos \left(-\scriptstyle<2>/\scriptstyle<\sqrt<5>> \right) \approx \\ & & & & \approx 2.67794 \end
Ответ. а) $ 4\left(\cos \pi + \mathbf i \, \sin \pi \right) $; б) $ \cos \pi/2 + \mathbf i \, \sin \pi/2 $; в) $ 6\left(\cos 3\pi/2 + \mathbf i \, \sin 3\pi/2 \right) $; г) $ \sqrt <2>\left(\cos 3\pi/4 + \mathbf i \, \sin 3\pi/4 \right) $;
д) $ \cos 5\pi/3 + \mathbf i \, \sin 5\pi/3 $;
е) $ \sqrt <5>\left\<\cos \left( \arccos \left( -\scriptstyle<2>/\scriptstyle<\sqrt<5>> \right) \right) +\mathbf i \sin \left( \arccos \left(-\scriptstyle<2>/\scriptstyle<\sqrt<5>> \right) \right) \right\> \approx 2.23606 \left( \cos 2.67794 + \mathbf i \sin 2.67794 \right) $.
Пусть $ z=a+\mathbf i \, b $. Выразить а) $ \operatorname
С учетом этого допущения, сформулируем следующий критерий равенства чисел $ z_ <1>$ и $ z_ <2>$, представленных в тригонометрической форме.
Теорема. Комплексные числа равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а их аргументы различаются на целое кратное числа $ 2\, \pi $ или, если использовать терминологию из теории чисел, сравнимы по модулю $ 2\, \pi $:
$$ \rho_1 \left(\cos \varphi_1 + \mathbf i \, \sin \varphi_1 \right)= \rho_2 \left(\cos \varphi_2 + \mathbf i \, \sin \varphi_2 \right) \ \iff $$ $$ \iff \ \rho_1=\rho_2 , \ \varphi_1 \equiv \varphi_2 \pmod <2\, \pi>\ . $$
Доказательство следует из аксиомы равенства комплексных чисел. ♦
Тригонометрическая форма комплексных чисел позволяет дать геометрическую интерпретацию правилам их умножения и деления.
Теорема. Имеет место равенство:
$$\rho_1 \left(\cos \varphi_1 + \mathbf i \, \sin \varphi_1 \right) \cdot \rho_2 \left(\cos \varphi_2 + \mathbf i \, \sin \varphi_2 \right)= $$ $$ = \rho_1 \rho_2 \left(\cos (\varphi_1+\varphi_2) + \mathbf i \, \sin (\varphi_1+\varphi_2) \right)\ ; $$ иными словами: при перемножении комплексных чисел перемножаются их модули и складываются аргументы (по модулю $ 2\, \pi $): $$ \left| z_1\cdot z_2 \right| = \left| z_1 \right| \cdot \left| z_2 \right| \ ,\ \operatorname
Доказательство. $$ z_1z_2=\rho_1 \rho_2\big(\left[\cos \varphi_1\cos \varphi_2 — \sin \varphi_1\sin \varphi_2 \right] + \mathbf i \, \left[\cos \varphi_1\sin \varphi_2 + \sin \varphi_1\cos \varphi_2 \right] \big) = $$ $$ =\rho_1 \rho_2\left(\cos (\varphi_1+\varphi_2) + \mathbf i \, \sin (\varphi_1+\varphi_2) \right) \ . $$ ♦
Переписав равенство для модуля произведения из последней теоремы для нормальной формы записи комплексных чисел, получаем совершенно вещественное равенство (фактически, если рассматривать входящие в это равенство параметры как переменные величины — тождество для полиномов от нескольких переменных ): $$(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 \ , $$ иными словами: произведение суммы квадратов на сумму квадратов есть снова сумма двух квадратов. Существуют ли подобные тождества с большим, чем $ 2_<> $ числом квадратов? Ответ оказывается положительным: подобные тождества для $ 4_<> $-х квадратов были получены Эйлером (см. ☞ ЗДЕСЬ ), а для $ 8_<> $-ми квадратов — Кэли. Доказано, что других случаев быть не может. Эта задача тесно связана с понятием гиперкомплексных чисел, т.е. многомерных аналогов комплексных чисел (см. ☞ ЗДЕСЬ ).
$$ \frac
Индукцией по числу сомножителей показывается справедливость общей формулы:
$$ \prod_
В частном случае, когда все сомножители одинаковы, приходим к одной замечательной формуле —
Формула Муавра
Теорема. Для любого целого $ n $ справедлива формула Муавра:
$$ \left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right)^n = \cos n\varphi + \mathbf i \, \sin n\varphi \ . $$
Доказательство для положительных $ n $ следует из результата предыдущего пункта. При $ n=0 $ формула фактически является формальным определением нулевой степени комплексного числа. Для отрицательного показателя $ n=-m, m\in \mathbb N $ справедливость формулы доказывается сведением к уже рассмотренному случаю положительного показателя: $$ \left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right)^
Справедлива формула возведения в степень комплексного числа, представленного в тригонометрической форме:
$$ \left[ \rho \left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right) \right]^n = \rho^n \left( \cos n\varphi + \mathbf i \, \sin n \varphi \right) \ npu \ \forall \ \rho \ne 0 \ u \ n\in \mathbb Z \ . $$
Пример. Вычислить
Решение. С одной стороны, можно воспользоваться формулой бинома Ньютона — мы получим точный ответ, хотя и дорогой ценой… Если же нас интересует приближенное значение, то его можно получить по формуле Муавра, предварительно представив число в тригонометрической форме: $$ \left| z \right| = 1, \ \cos (\operatorname
Неравенства для модуля
Теорема. Справедливо неравенство треугольника: $$ \left| z_1 + z_2 \right| \le \left| z_1\right| + \left| z_2\right| \ . $$
Доказательство. Имеем: $$\left| z_1 + z_2 \right|^2=\left( z_1 + z_2 \right)\overline<\left( z_1 + z_2 \right)>= \left( z_1 + z_2 \right)\left( \overline
При каких условиях на $ z_ <1>$ и $ z_ <2>$ неравенство треугольника превращается в равенство?
$ \displaystyle \left| \sum_
$ \displaystyle \left| z_1 + z_2 \right| \ge \big| | z_1 | — | z_2 | \big| \ , \ \left| z_1 — z_2 \right| \ge \big| | z_1 | — | z_2 | \big| $.
Доказать «равенство параллелограмма»:
$$ |z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2|z_1|^2 + 2|z_2|^2 \quad \mbox < при >\ \
Выведение тригонометрических формул
Сумма синусов (косинусов)
Задача. Найти компактное выражение для $$ B= \sin \varphi + \sin 2\, \varphi + \dots + \sin n\, \varphi \ . $$
Для пояснения такой постановки сошлемся на известные выпускнику школы формулы, выражающие суммы арифметической и геометрической прогрессий: $$ a+(a+d)+\dots+(a+(n-1)d)=\frac<(2a+(n-1)d)n> <2>\ , $$ $$ a+aq+\dots+aq^
Поставленную задачу будем решать путем ее усложнения. Попробуем одновременно с указанной суммой свернуть и сумму $$ A= \cos \varphi + \cos 2\, \varphi + \dots + \cos n\, \varphi \ . $$ Для этого составим выражение $$ A+ \mathbf i B= \left( \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right) + \left( \cos 2\, \varphi + \mathbf i \sin 2\,\varphi \right) + \dots + \left( \cos n\, \varphi + \mathbf i \sin n\, \varphi \right)= $$ на основании формулы Муавра: $$ =\left( \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right) + \left( \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right)^2 + \dots + \left( \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \right)^n \ . $$ Введем новую переменную: $ z= \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi $. Тогда последняя сумма оказывается суммой геометрической прогрессии: $$ A+ \mathbf i B =z+z^2+\dots +z^n =\frac
$$ \sin \varphi \cdot \sin \frac<1> <2>\, \varphi + \sin 2\, \varphi \cdot \sin \frac<1> <2>\, \varphi + \dots + \sin n\, \varphi \cdot \sin \frac<1> <2>\, \varphi = $$ и преобразуем каждое произведение в разность косинусов: $$ =\frac<1> <2>\bigg(\cos \frac<3> <2>\, \varphi — \cos \frac<1> <2>\, \varphi + \cos \frac<5> <2>\, \varphi — \cos \frac<3> <2>\, \varphi + \dots + $$ $$ + \cos \left( n + \frac<1> <2>\right) \, \varphi — \cos \left( n — \frac<1> <2>\right) \, \varphi \bigg) = $$ все слагаемые, кроме двух, сокращаются: $$ =\frac<1> <2>\left(\cos \left( n + \frac<1> <2>\right) \, \varphi — \cos \frac<1> <2>\, \varphi \right) = \sin \displaystyle \frac
$$\cos \varphi + \cos 3\, \varphi + \dots + \cos (2n-1)\varphi \ . $$
Ответ ☞ ЗДЕСЬ
Применение формулы суммы косинусов см. в разделе ☞ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
Синус и косинус кратного угла
Задача. Найти общую формулу, выражающую $ \cos n \varphi $ через $ \cos \varphi $ и $ \sin \varphi $.
Из школьного курса алгебры известна такая формула для $ n_<>=2 $: $ \cos 2 \varphi = \cos^2 \varphi — \sin^2 \varphi $. Для выведения же общей формулы воспользуемся двумя формулами разложения $ \left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right)^n $: формулой бинома Ньютона $$ \left(\cos \varphi + \mathbf i \, \sin \varphi \right)^n = $$ $$ =\cos^
Пример.
$$ \begin
Найти выражения $ \sin \, n \varphi $ через $ \sin \varphi $ и $ \cos \, n \varphi $ через $ \cos \varphi $.
Решение ☞ ЗДЕСЬ.
Найти выражение $ \operatorname
Решение обратной задачи: выражение $ \cos^n \varphi $ и $ \sin^n \varphi $ через косинусы и синусы кратных углов, т.е. через $ \cos \varphi,\sin \varphi,\cos 2\varphi , \sin 2\varphi ,\dots, \cos n\varphi , \sin n\varphi $ ☞ ЗДЕСЬ.
Извлечение корня из комплексного числа
Пусть $ n_<> $ означает натуральное число. Корнем $ n_<> $-й степени из комплексного числа $ z_<> $ называется такое комплексное число $ w_<> $, что $ w^n=z $. Очевидно, что корень первой степени из $ z_<> $ совпадает с самим числом $ z_<> $ и корень любой степени из $ 0_<> $ равен $ 0_<> $ (в дальнейшем эти случаи рассматривать не будем). Обозначение корня при $ n\ge 2 $ такое же как и в случае вещественных чисел: $$ w = \sqrt[n]
Задача. Вычислить $ \displaystyle \sqrt[n]
Квадратный корень
Пусть $ z_<> $ представлено в каноническом виде: $ z=a+\mathbf i b $ при $ \< a,b \>\subset \mathbb R $. Будем искать число $ w $ также в каноническом виде: $ w=x+ \mathbf i y $, где $ x_<> $ и $ y_<> $ неизвестные вещественные величины. По определению квадратного корня, должно быть выполнено: $$w^2=z \ \iff \ (x+ \mathbf i y)^2 = a+\mathbf i b \ \iff \ (x^2-y^2) + 2\,\mathbf i xy = a+\mathbf i b \iff $$ $$ \ \iff \ x^2-y^2 = a,\ 2\, xy = b \ . $$ (на основании аксиомы равенства комплексных чисел). Возведем оба получившихся уравнения в квадрат и сложим: $$\left(x^2+y^2 \right)^2 = a^2+ b^2 \ \iff \ x^2+y^2 = \sqrt \ \mbox <(поскольку >\
Пример. Решить уравнение $ z^2-2\, z+3=0 $.
Решение. Здесь $ \mathcal D=-8 $ и $ \sqrt<\mathcal D>= \pm \mathbf i 2 \sqrt <2>$.
Ответ. $ 1\pm \mathbf i \sqrt <2>$.
Пример. Решить уравнение $ z^2-(3+2\, \mathbf i )\, z +(5+5\, \mathbf i ) =0 $.
Решение. Здесь $ \mathcal D=(3+2\, \mathbf i )^2-4\, (5+5\, \mathbf i )=-15 — 8\, \mathbf i $. По формуле извлечения корня: $ \sqrt<\mathcal D>=\pm (1-4\, \mathbf i ) $.
Ответ. $ 2- \mathbf i ,\ 1+3\, \mathbf i $.
Пример. Решить уравнение $ (3- \mathbf i )\, z^2+(1+ \mathbf i )\, z + 6\, \mathbf i =0 $.
Решение. Можно сначала поделить все уравнение на коэффициент при $ z^2 $, но можно действовать и напрямую, обобщив понятие дискриминанта: $$ \mathcal D=(1+ \mathbf i )^2- 4\, (3- \mathbf i )\, 6\, \mathbf i=-24-70\, \mathbf i \ , \ \sqrt<\mathcal D>=\pm ( 5 — 7\, \mathbf i ) \ ,$$ а также формулу вычисления корней: $$ z_<1,2>=\frac<-(1+ \mathbf i) \pm ( 5 - 7\, \mathbf i )> <2 (3- \mathbf i)>\ . $$
Ответ. $ 1-\mathbf i \ , -\frac<6> <5>+ \frac<3> <5>\mathbf i $.
Общий случай
Алгоритм предыдущего пункта может быть очевидным образом обобщен для нахождения корней степеней $ 2^m $ из комплексных чисел. Понятно также, что количество корней возрастает вдвое при переходе от $ 2^m $ к $ 2^
Попробуем найти приемом, задействованным в предыдущем пункте, величину $ \sqrt[3]
Речь идет о формуле Кардано представления корней кубического уравнения в радикалах относительно коэффициентов этого уравнения. Однако в данном конкретном примере мы сталкиваемся с так называемым неприводимым случаем формулы Кардано: заведомо вещественные корни могут быть выражены только посредством мнимых чисел! Получаем порочный круг 6) : искомые комплексные величины $ \sqrt[3]
Рассмотрим теперь случай $ a_<>=0 $. Уравнение принимает вид $$4\, x^3 — 3\, x \sqrt[3]=0 \ ,$$ из которого сразу же находятся значения $ x_<> $: $$x_1=0,\ x_<2,3>= \pm \frac<\sqrt<3>> <2>\sqrt[3] \ . $$ Соответствующие значения для $ y $: $$ y_1=- \sqrt[3],\ y_<2,3>= \frac<1> <2>\sqrt[3] \ . $$ Таким образом, кубический корень из чисто мнимого числа $ z=\mathbf i b $ имеет три значения: $$ \left\< -\mathbf i \sqrt[3],\ \sqrt[3] \left( \pm \frac<\sqrt<3>>2 + \frac<1><2>\, \mathbf i \right) \right\> \ . $$
Теперь приведем другой способ вычисления $ w=\sqrt[n]
Теорема. Существует $ n_<> $ различных значений корня $ n_<> $-й степени из комплексного числа $ z=\rho (\cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi ) $. Все они даются формулой
Доказательство того, что при любом целом числе $ k_<> $ числа $ w_k $ являются корнями $ n $-й степени из $ z_<> $ уже проведено. Далее, из периодичности $ \sin $ и $ \cos $ следует, что $$w_<0>=w_
Пример. Вычислить $ \sqrt[3] <\mathbf i>$ .
Решение. $ \mathbf i= \cos <\pi>/2 + \mathbf i \sin <\pi>/2 $ $$\sqrt[3] <\mathbf i>= \sqrt[3]<\cos \frac<\pi>2 + \mathbf i \sin \frac<\pi><2>>= \cos \frac<<\pi>/2 + 2\pi k> <3>+ \mathbf i \sin \frac<<\pi>/2 + 2\pi k> <3>\ npu \ k \in \<0,1,2\>.$$ Видим, что значения $$w_0=\cos \frac<\pi>6 + \mathbf i \sin \frac<\pi>6=\frac<\sqrt<3>>2 + \frac<1> <2> <\mathbf i>\ , \quad w_1= \cos \frac<5\pi>6 + \mathbf i \sin \frac<5\pi>6=-\frac<\sqrt<3>>2 + \frac<1> <2> <\mathbf i>\ , \quad w_2=\cos \frac<3\pi>2 + \mathbf i \sin \frac<3\pi>2=-\mathbf i $$ совпадают с выведенной выше формулой для $ \sqrt[3] <\mathbf i b>$. ♦
Пример. Вычислить $ \sqrt[7] <1+9\, \mathbf i>$.
Изобразим корни на комплексной плоскости: видим, что они располагаются на окружности с центром в $ 0_<> $ и радиусом $ \sqrt[14] <82>\approx 1.36993 $; и делят эту окружность на $ 7_<> $ дуг одинаковой длины. Аналитика подтвержает это: число $ w_k $ может быть получено домножением $ w_0 $ на число $ \cos 2 \pi k/7 + \mathbf i \sin 2 \pi k/7 $, что соответствует повороту вектора $ \vec
Корни из единицы
Обобщим соображения из последнего примера: корень $ n_<> $-й степени из комплексного числа $ z_<> $ можно представить в виде произведения $$ \sqrt[n] <\rho>\left(\cos \frac<\varphi+2 \pi k>
Теорема. Множество всех корней $ n_<> $-й степени из комплексного числа $ z_<> $ можно представить в виде произведения какого-то фиксированного корня на множество всех корней $ n_<> $-й степени из $ 1_<> $:
Доказательство. Для $ j=0 $ справедливость утверждения уже показана. Для $ j>0 $ она очевидно следует из равенства $ w_j \varepsilon_k=w_0 \varepsilon_
Пример. Множества корней $ n_<> $-й степени из $ 1_<> $:
$$\begin
Уравнение $ z^n-1=0 $ называется уравнением деления круга — с очевидным геометрическим смыслом 7) .
Теорема. Для любых $ \
Пусть $ \varepsilon_<> $ — корень $ n_<> $-й степени из $ 1_<> $. Говорят, что он является первообразным корнем n-й степени из 1 или что он принадлежит показателю n если $ \varepsilon_<> $ не является корнем меньшей степени из $ 1_<> $: $$ \varepsilon^j \ne 1 \quad npu \ j\in \<1,\dots,n-1\>,\quad \varepsilon^n = 1 \ . $$ Образно говоря: если мы построим таблицу подобную той, что построена в предыдущем примере, для всех корней степеней $ 2,3,\dots, n $, то первообразным корнем $ n_<> $-й степени из $ 1_<> $ будет тот, который нигде раньше в этой таблице не встречался.
Пример. В приведенном выше примере, корень $ \displaystyle -\frac<1> <2>+ \mathbf i \frac<\sqrt<3>> <2>$ не является первообразным корней $ 6_<> $-й степени из $ 1_<> $, но является первообразным корнем $ 3_<> $-й степени из $ 1_<> $.
Теорема. Корень
$$ \varepsilon_k = \cos \frac<2 \pi k>
Указать индексы $ k\in\ <0,\dots, 15\>$, которые соответствуют первообразным корням $ \displaystyle \cos \frac<2 \pi k> <16>+ \mathbf i \sin \frac<2 \pi k> <16>$ степени $ 16 $ из $ 1_<> $.
Будет ли произведение двух первообразных корней степени $ n_<> $ первообразным корнем степени $ n_<> $ ?
При любом $ n\in \mathbb N $ корень
$$ \varepsilon_1 = \cos \frac<2 \pi >
Будет ли $ \varepsilon_
Число первообразных корней $ n_<> $-й степени из $ 1_<> $ равно $ \phi (n) $, где $ \phi $ — функция Эйлера.
[2]. Пусть $ \varepsilon_
Произвольный корень $ n_<> $-й степени из $ 1_<> $ может быть получен как некоторая степень произвольного первообразного корня $ n_<> $-й степени из $ 1_<> $.
В самом деле, если $ \varepsilon^n=1 $ и $ \varepsilon^j\ne 1 $ при $ j\in \ <1,2,\dots,n-1\>$, то все числа $ \varepsilon, \varepsilon^2,\dots,\varepsilon^
В каком случае степень первообразного корня будет первообразным корнем?
Подробнее об уравнении деления круга ☞ ЗДЕСЬ
Экспоненциальное представление комплексного числа
Еще одно представление комплексного числа может быть организовано на основании важной функции комплексного аргумента.
В курсе математического анализа доказывается существование следующего предела $$ \lim_
По аналогии с рядами Тейлора для функций $$ \sin x = x — \frac
В комплексной плоскости (как и на вещественной оси) справедливы тождества $$ \sin (-z) \equiv — \sin z,\quad \cos (-z) \equiv \cos z \ , $$ т.е. функция $ \sin $ является нечетной, а функция $ \cos $ — четной.
Теорема [Эйлер]. Формула
$$ e^ <\mathbf i z>\equiv \cos z + \mathbf i \sin z $$ имеет место при всех $ z \in \mathbb C $.
Доказательство. $$ \begin
Для вещественного числа $ \varphi $ имеем
$$ e^<<\mathbf i>\varphi >= \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi \ ; $$ сравнивая это выражение с тригонометрической формой комплексного числа $ z_<> $ получаем его экспоненциальное представление $$ z= \rho e^<<\mathbf i>\varphi > \ . $$
Следующая формула Эйлера связывает между собой четыре знаменитые математические величины:
См. по поводу этой формулы ☞ цитату А.Н.Крылова.
Тригонометрические функции комплексного аргумента могут быть выражены как линейные комбинации экспонент:
Угадайте первые три цифры числа $ 1001^ <1000>$.
А зачем они всё же нужны?
Этот вопрос — о полезности комплексных чисел, о необходимости их введения — остается открытым. Проанализируем все полученные в настоящем разделе результаты на предмет ответа на вопрос: «стоила ли овчинка выделки?», т.е. оправдано ли введение новой (и подозрительно мнимой) сущности получением новых и вещественных результатов?
1. Применение комплексных чисел для выведения тригонометрических формул. Действительно, использование аппарата мнимых чисел позволило упростить вывод вещественных равенств. Однако, после получения ответа в задаче о суммировании $ \sin \varphi + \sin 2\,\varphi+\dots + \sin n\, \varphi $ был сразу же показан альтернативный способ получения того же ответа без использования комплексных чисел. Можно ожидать, что и остальные результаты того пункта — как то выражение синусов и косинусов кратных углов как степеней косинусов и синусов исходного угла, а также решение обратной задачи — тоже допускают принципиально вещественное решение 9) . Таким образом, польза от введения комплексных чисел не очень оправдана применением их для решения подобных задач.
2. Геометрические приложения. Проанализируем их на примерах трех введенных операций. Пусть $ w=x+ \mathbf i y $ — переменная величина, т.е. числа $ \ < x,y \>\subset \mathbb R $ могут принимать произольные значения, а $ z=a+ \mathbf i b $ — фиксированное комплексное число. Геометрический смысл операции суммирования $ w+z $ заключается в преобразовании комплексной плоскости, а именно — в сдвиге ее точек $$ (x,y) \mapsto (x+a,y+b) $$ на фиксированную величину.
Вторая из введенных операций — комплексное сопряжение — также имеет простое геометрическое содержание: $$ w \mapsto \overline
Наконец, операция умножения комплексных чисел: $ w \mapsto w\cdot z $. Геометрию этой операции мы анализировали ВЫШЕ переходом к тригонометрической форме записи комплексного числа. Проведем более подробый анализ. Рассмотрим сначала частный случай числа $ z_<> $: пусть его модуль равен $ 1_<> $, т.е. $ z = \cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi $. Умножение числа $ w_<> $ на такое число $ z_<> $ равносильно повороту точек комплексной плоскости на угол $ \varphi $ вокруг начала координат. Так, к примеру, умножению на мнимую единицу $ \mathbf i $ соответствует поворот точек плоскости на угол $ \pi/2 $; а если еще раз повернем на тот же угол — то результатом будет преобразование $$ (x,y) \mapsto (-x,-y) \ ; $$ и результат снова полностью соответствует основополагающему правилу комплексных чисел: $ \mathbf i^2=-1 $.
Рассмотрим теперь другой частный случай выбора числа $ z_<> $. Пусть оно будет вещественно: $ z=a \in \mathbb R $ и отлично от $ 0_<> $. Тогда $$ w \mapsto a \cdot w \quad \iff \quad (x,y) \mapsto (ax,ay) ; $$ и мы имеем дело с растяжением каждого отрезка комплексной плоскости, имеющего одним концом начало координат, на величину 10) $ a_<> $.
Теперь понятно, что умножение $ w_<> $ на произвольное число $ z = \rho (\cos \varphi + \mathbf i \sin \varphi) $ (отличное от $ 0_<> $) сводится к комбинации рассмотренных выше преобразований: т.е. к одновременному повороту вокруг начала координат на угол $ \varphi $ и растяжению с коэффициентом $ \rho $.
Подводим итоги: комплексные числа позволяют дать аналитические выражения (формулы) для ряда важных операций на плоскости, как то — сдвига, зеркального отражения, поворота, растяжения. Сразу же возникают соображения о возможности комбинирования этих операций ($ w \mapsto z_1\cdot w + z_2 $, $ w \mapsto z_1\cdot (\overline
Дело в том, что все указанные геометрические преобразования могут быть аналитически представлены и без введения комплексной переменной. Формулы $$ X=x+a, Y=y+b \ ; $$ $$X=x,Y=-y \ ; $$ $$X= x \cos \varphi — y \sin \varphi, \ \quad Y=x \sin \varphi + y \cos \varphi \ ; $$ $$ X=ax, Y=ay $$ полностью описывают все обсужденные операции на вещественной плоскости $ (x,y) $. Никакой мнимой единицы вводить не нужно… И мы вынуждены повторить приведенный выше вывод: польза от введения комплексных чисел не очень оправдана применением их для решения подобных задач.
3. Решение уравнений. Да, задача, поставленная в начале раздела, решена: мы придали смысл словам «решить уравнение $ x^2+1 = 0 $»; более того, на основе разработанного аппарата, мы смогли решить любое уравнение второго порядка. А зачем это нужно? Какой смысл имеют мнимые корни такого уравнения, какую реальность они отражают? — Ответа на этот вопрос пока не даем. Отметим только два обстоятельства. Первое: если полагать, что реальную смысловую нагрузку несут хотя бы вещественные решения уравнения, то, оказывается, что без комплексных чисел не обойтись.
Пример. Решить уравнение $ x^3-3\,x+1=0 $.
Ответом будут три вещественных корня: $$ 2 \cos (<2\pi>/9) \approx 1.53208,\ 2 \cos (<4\pi>/9) \approx 0.34729,\ 2 \cos (<8\pi>/9) \approx -1.87938 \, . $$ Истинность можно проверить подстановкой в уравнение (с применением формулы приведения для степени косинуса, выведенной ☞ ЗДЕСЬ ). Как был получен этот ответ? Решение этого примера на основе формулы Кардано изложено ☞ ЗДЕСЬ. Это решение существенно использует комплексные числа в промежуточных выкладках, хотя они и не участвуют в конечном результате. В данном конкретном примере можно было бы обойтись без них — например, каким-то чудесным способом угадав ответ. Но попробуйте угадать ответ для, скажем, уравнения $ x^3-17\,x+2=0 $ (которое также имеет три вещественных корня). Ответ можно выразить в виде определенной комбинации коэффициентов уравнения, но эта комбинация будет явным образом содержать $ \mathbf i $. Попытки избавиться от мнимой единицы не приводят к результату. Именно эта задача — решения кубического уравнения с вещественными коэффициентами и заведомо вещественными решениями — привела к первому появлению комплексных чисел на математическом горизонте в XVI веке; иными словами, для получения правильного вещественного ответа пришлось вводить число с парадоксальным правилом возведения в квадрат: $ \mathbf i^2=-1 $. См. свидетельство «психологического шока» первооткрывателя ☞ слова Кардано. ♦
Второе обстоятельство, оправдывающее введение комплексных чисел, заключается в их достаточности для решения произвольного уравнения вида $ a_0x^n+a_1x^
4. Наконец, исключительно важное значение мнимые числа имеют в экономической науке. К примеру, вручение престижной премии в номинации «Экономика» за 2002 г. см. ☞ ЗДЕСЬ.
Задачи
Источники
[1]. Uspensky J.V. Theory of Equations. New York. McGraw-Hill. 1948
[2]. Задача № E 1899 из журнала American Mathematical Monthly, v. 74, N 8, 1967, c. 1010
[3]. Яглом И.М. Комплексные числа и их применение в геометрии. М.Едиториал УРСС, 2004
[4]. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.Наука. 1984
[5]. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М. Наука. 1965
http://matworld.ru/kompleksnye-chisla/trigonometricheskaja-forma-kompleksnogo-chisla.php
http://vmath.ru/vf5/complex_num