Комплексные схемы и уравнения цепей

Символический (комплексный) метод расчета цепей переменного тока

Одним из способов расчета цепей переменного тока является комплексный, или еще как говорят, символический метод расчета. Этот метод применяется при анализе схем с гармоническими ЭДС, напряжениями и токами. В результате решения получают комплексное значение токов и напряжений, используя для решения любые методы (эквивалентных преобразований, контурных токов, узловых потенциалов и т.п.). Но для начала необходимо иметь понятие, в каких именно формах может представляться синусоидальная величина. 1. Одна из форм представления – это вращающийся вектор (см. рис.1):

Рис.1. Вращающийся вектор

С помощью рисунка ясно видно, как с течением времени меняется значение синусоидальной величины. В нашем случае – это величина а на графике, которая может быть, например, входным напряжением. Величина имеет некоторое начальное значение при t = 0 при начальной фазе φ

имеет положительное максимальное значение при угле ωt₃, когда при времени t₃ сумма ωt₃ + φ = 90° и соответственно,

имеет отрицательное максимальное значение при угле ωt₇, когда при времени t₇ сумма углов ωt₇ + φ = 270° и, соответственно,

и имеет два нулевых значения при ωt_n + φ = 0, когда ωt_n = —φ (на рис.1 эта область не показана и находится слева от начала координат)

и имеет нулевое значение при угле ωt₁₁, когда при времени t₁₁ сумма ωt₁₁ + φ = 360° и соответственно,

Именно по такому закону и меняется привычное нам переменное напряжение 220 В, изменяясь по синусоидальному закону от значения 0 В до максимальных 311 В и обратно.

2. Другая форма представления – это комплексное число. Чтобы представить ранее рассмотренную форму представления синусоидальной величины, которая имеет некоторую начальную фазу φ, создают комплексную плоскость в виде графика зависимости двух величин (рис.2)

Рис.2. Комплексное число на комплексной плоскости

Длина вектора Am на такой комплексной плоскости равна амплитуде (максимальному значению) рассматриваемой величины. С учетом начальной фазы φ такое число записывают как .

На практике при использовании для расчетов символического (комплексного) метода расчета используют для некоторых удобств не амплитудное значение величины, а так называемое действующее значение. Его величина в корень из двух раз меньше амплитудного и обозначается без индекса m, т.е. равна

На рисунке выше этот вектор также показан.
Например, при том же нашем напряжении в сети, максимальное значение синусоидально изменяющегося напряжения равно 311 В, а действующее значение, к значению которого мы привыкли

При работе с комплексными числами и расчетов применяют различные формы записи комплексного числа. Например, при сложении комплексных чисел удобнее использовать алгебраическую форму записи таких чисел, а при умножении или делении – показательную форму записи. В некоторых случаях пишут тригонометрическую форму.
Итак, три формы записи комплексного числа:

1) показательная форма в виде

2) тригонометрическая форма в виде

3) алгебраическая форма

где ReA — это действительная составляющая комплексного числа, ImA — мнимая составляющая.

Например, имеем комплексное число в показательной форме вида

в тригонометрической форме записи это запишется как

при подсчете получим число, плавно переходящее в алгебраическую форму с учетом того, что

В итоге получим

При переходе от алгебраической формы к показательной комплексное число вида

переходит к показательному виду по следующим преобразованиям

Таким образом, и получим

Перейдем к рассмотрению несложных примеров использования символического, или по-другому, комплексного метода расчета электрических цепей. Составим небольшой алгоритм комплексного метода:

1. - Составить комплексную схему, заменяя мгновенные значения ЭДС, напряжений и токов их комплексным видом
  - В полученной схеме произвольно выбирают направления токов в ветвях и обозначают их на схеме.
  - При необходимости составляют комплексные уравнения по выбранному методу решения.
  - Решают уравнения относительно комплексного значения искомой величины.
  - Если требуется, записывают мгновенные значения найденных комплексных величин.

Пример 1. В схеме рис.3 закон изменения ЭДС e = 141sin*ωt. Сопротивления R1 = 3 Ом, R2 = 2 Ом, L = 38,22 мГн, С = 1061,6 мкФ. Частота f = 50 Гц. Решить символическим методом. Найти ток и напряжения на элементах. Проверить 2-ой закон Кирхгофа для цепи.

Рис.3. Схема с последовательным соединением элементов

Составляем комплексную схему, обозначив комплексные токи и напряжения (рис.4):

Рис.4. Схема с комплексными обозначениями

По закону Ома ток в цепи равен

где U — комплексное входное напряжение, Z — полное сопротивление всей цепи. Комплекс входного напряжения находим как

Пояснение: здесь начальная фаза φ = 0°, так как общее выражение для мгновенного значения напряжение вида при φ = 0° равно

Соответственно, комплекс входного напряжения в показательной форме запишется как

Полное комплексное сопротивление цепи в общем виде

Находим комплексное сопротивление индуктивности

Находим комплексное сопротивление емкости

Соответственно, общее комплексное сопротивление цепи

Комплексные напряжения на элементах

Проверяем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура, т.е. должно выполняться равенство

С небольшим расхождением из-за округлений промежуточных вычислений всё верно.

Пример 2. В электрической цепи (рис.5) однофазного синусоидального тока, схема и параметры элементов которой заданы для каждого варианта в таблице, определить:
1) полное сопротивление электрической цепи и его характер;
2) действующие значения токов в ветвях;
3) показания вольтметра и ваттметра;

Исходные данные: Е = 220 В, f = 50 Гц, L1 = 38,2 мГн, R2 = 6 Ом, С2 = 318 мкФ, L2 = 47,7 мГн, R3 = 10 Ом, С3 = 300 мкФ.

Рис.5.Цепь однофвзного синусоидального тока

Решение:
1. Находим комплексные сопротивления ветвей и всей цепи:
Учитываем, что

Комплексное сопротивление первой ветви:

Комплексное сопротивление второй ветви:

Комплексное сопротивление третьей ветви:

Общее сопротивление цепи

— нагрузка носит активно-индуктивный характер

2. Находим действующие значения токов в ветвях:

Рис.6. Схема с обозначенными комплексными токами

Действующие значения, соответственно,

3. Определим показания приборов:
Вольтметр подключен по схеме параллельно источнику питания. Соответственно его показание равно:
U=220 В
Ваттметр включен токовой обмоткой в разрыв третьей ветви, а обмоткой напряжения также к выводам третьей ветви, измеряя, таким образом, активную мощность третьей ветви. Эта мощность равна мощности на сопротивлении R3. Его показания:

Комплексная схема цепи

Покажем на примере электрической цепи синусоидального тока ее вид и математическое описание.

Исходная схема цепи	Развернутая комплексная схема цепи	Компактная комплексная схема цепи

e₁(t), e₂(t), J₃(t), i₁(t), i₂(t), u_J₃(t) — синусоидальные функции времени.	— комплексы, соответствующие функциям времени.	комплексные сопротивления ветвей.

Описание режимов в электрических цепях по комплексным схемам замещения по законам Кирхгофа

Для развернутой схемы цепи
Для компактной схемы цепи

Если сравнить компактную схему и ее описание с подобной цепью постоянного тока, то можно сделать вывод о том, что они относятся к одному классу уравнений – это линейные алгебраические уравнения. Различие только в том, что в первой системе коэффициенты являются комплексными числами — комплексными сопротивлениями, а во второй – действительные числа R – сопротивления.

Из этого следует, что все свойства и методы расчета линейных цепей постоянного тока можно применить и к расчету цепей синусоидального тока комплексным методом.

Дата добавления: 2016-01-29 ; просмотров: 3083 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Комплексные уравнения электрического состояния цепи.

Электрическое состояние цепей синусоидального тока, так же как и цепей постоянного тока, описывается с помощью уравнений, составленных в соответствии с законами Кирхгофа.

В общем виде тригонометрическое уравнение по первому закону Кирхгофа для узла цепи синусоидального тока имеет вид

, (57)

где n – число ветвей, сходящихся в узле.

Этому уравнению соответствует уравнение первого закона Кирхгофа в комплексной форме (например, для действующих значений)

. (58)

Правила знаков при составлении уравнений (58) остаются теми же, что и в цепях постоянного тока: токи, положительные направления которых направлены от узла, следует брать со знаком минус, а токи, положительные направления которых направлены к узлу – со знаком плюс.

Для любого контура цепи с синусоидальными напряжениями справедливо тригонометрическое уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа.

В идеализированных электрических цепях магнитное поле считается сосредоточенным только на участках цепи, содержащих индуктивные элементы. При обходе замкнутого контура цепи всегда можно выбрать путь, лежащий вне переменного магнитного поля, а участок, содержащий индуктивный элемент, характеризовать разностью потенциалов, т. е. напряжением на его зажимах; при этом изменение потенциала в любом замкнутом контуре цепи синусоидального тока равно нулю. Поэтому, согласно второму закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений напряжений всех участков замкнутого контура равна нулю:

, (59)

где m — число участков, рассматриваемого контура.

Тригонометрическое уравнение можно заменить соответствующим ему комплексным уравнением второго закона Кирхгофа (например, для действующих значений)

. (60)

Применительно к схемам замещения с источниками ЭДС второй закон Кирхгофа можно сформулировать таким образом: алгебраическая сумма комплексных напряжений на пассивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме сторонних ЭДС, входящих в этот контур:

. (61)

Правила знаков при составлении уравнений (60) и (61) остаются теми же, что и в цепях постоянного тока: слагаемые берут со знаком плюс в случае, когда направление обхода совпадает со стрелкой положительного направления соответственно напряжения, тока или ЭДС.

Последовательное соединение элементов в цепи синусоидального тока.

Рассмотрим в качестве примера цепь с последовательным включением резистора, индуктивной катушки и конденсатора. Такая цепь с достаточной точностью описывается схемой замещения, представленной на рисунке 13. Найдем связь между напряжением на входе цепи и током , используя комплексные числа.

Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа в комплексной форме:

. (62)

Выразим слагаемые правой части уравнения через комплексное значение тока , воспользовавшись записью закона Ома в комплексной форме для каждого из элементов цепи:

и перепишем (62) в виде

. (63)

Соотношение (63) является записью закона Ома рассматриваемой цепи в комплексной форме, а комплекс – эквивалентным комплексным сопротивлением цепи:

. (64)

Таким образом, при последовательном соединении элементов цепи эквивалентное комплексное сопротивление цепи равно сумме комплексных сопротивлений всех последовательно включенных элементов, т. е. правило определения эквивалентного комплексного сопротивления последовательной цепи совпадает с аналогичным правилом для цепи постоянного тока. Очевидно, полученный результат справедлив для цепи с последовательным включением любого числа элементов.

Пример расчёта цепи синусоидального тока.

Произведём расчёт токов цепи синусоидального тока, представленной на рисунке 14.

, (65)

где — промышленная частота.

Токи в схеме рисунка 14 можно рассчитать любым методом, аналогичным образом как для цепи постоянного тока.

Метод контурных токов.

В схеме рисунка 14 задаём направление неизвестных токов. Также выбираем направление контурных токов (например, по часовой стрелке). В схеме рисунка 14 можно выделить три контурных тока. Последовательные соединения -, -, — элементов заменяем на эквивалентные. Результаты произведённых действий представлены на рисунке 15.

Для схемы рисунка 15 получаем эквивалентные сопротивления

, (66)

источники ЭДС в комплексной форме

. (67)

Для определения контурных токов необходимо составить следующую систему уравнений:

. (68)

Уравнения для контурных токов можно записать в матричной форме:

(69)

. (70)

Решением уравнения (70) будет

. (71)

Далее необходимо определить неизвестные токи через контурные токи:

(72)

Метод узловых потенциалов.

Аналогичным образом, как в методе контурных токов, представляем исходную схему в виде, представленном на рисунке 16.

В схеме (рисунок 16) потенциал . Для определения токов необходимо составить систему уравнений, неизвестными которой являются потенциалы узлов. Данная система составляется следующим образом: