Компонентные и топологические уравнения тепловой системы

Компонентные и топологические уравнения тепловой системы

В тепловой системе фазовыми переменными типа потока являются температуры Т, К, а типа потенциала — тепловые потоки Ф, Вт (или Дж/с).

Рассмотрим одномерный процесс теплопередачи в твердом теле, полагая, что передача тепловой энергии осуществляется только вдоль оси х. Разделим твердое тело вдоль этой оси на слои толщиной I, осуществив тем самым дискретизацию сплошной сре­ды. Каждый из полученных при этом дискретных элементов можно характеризовать средними значениями параметров: плот­ности , теплоемкости с_т и коэффициента теплопроводности . Очевидно, что эти реальные физические элементы, имеющие оп­ределенные геометрические формы и объемы, являются сложны­ми, так как обладают одновременно инерционными и диссипативными свойствами, что характерно для сеточных методов дискретизации. Однако и в этом случае физические свойства дис­кретных элементов, так же как и в механической или гидравли­ческой системе, можно отобразить простыми абстрактными эле­ментами: инерционным и диссипативным.

Изменение тепловой энергии в каждом дискретном эле­менте пропорционально приращению его температуры Т. В результате можно записать следующее дифференциальное урав­нение:

(3.32)

где с_т — теплоемкость дискретного элемента, Дж/К:

(3.33)

С — удельная теплоемкость материала, Дж/(кг-К); V — объем дискретного элемента, м 3 .

Изменение тепловой энергии в единицу времени представ­ляет собой тепловой поток , поэтому уравнение (3.32)

(3.34)

Сопоставляя уравнение (3.34) с выражением (3.1), приходим к выводу, что оно является компонентным уравнением инерци­онного элемента тепловой системы.

Диссипативные свойства тепловой системы описываются уравнением Фурье . В одномерном случае уравнение Фурье имеет вид

(3.35)

где — плотность теплового потока, Дж/(м 2 с):

А — площадь поверхности контакта дискретного элемента с ис­точником тепловой энергии или со смежным дискретным элемен­том; X — коэффициент теплопроводности, Дж/(смК).

Заменим частную производную дТ/дх отношением конечной разности

(3.37) (3.37)

где , Т₂ — температуры в узлах дискретизации 1 и 2, т.е. на границах выделенных элементов твердого тела; — длина дис­кретного элемента.

В выражении (3.37) учтено, что градиент температуры вдоль оси х отрицателен (температура падает по мере удаления от ис­точника тепла).

Подставим значения и дТ/дх в уравнение (3.35):

(3.38) (3.38)

Формула (3.38) позволяет определить величину потерь теп­лового потока в дискретном элементе в процессе теплопередачи.

Следовательно, она дает математическое описание диссипативного элемента.

(3.39) (3.39)

где — коэффициент теплового сопротивления дискретного эле­мента, Дж/(сК); V — объем дискретного элемента, м 3 .

С учетом (3.39) получаем компонентное уравнение дисси­пативного элемента тепловой системы

(3.40) (3-40)

По формуле (3.39) определяют при передаче тепла в твер­дом теле теплопроводностью, т.е. при индуктивном теплообме­не. На поверхностях контакта твердого тела с жидкостной или га­зовой средой осуществляется конвективный теплообмен. Тепловой поток при конвективном теплообмене, в соответствии с законом Ньютона, пропорционален разности температур среды Т_с и поверхностного слоя твердого тела :

(3.41)

где .

В этом случае коэффициент теплового сопротивления опре­деляется по формуле

(3.42)

где — коэффициент теплообмена (теплоотдачи) через конвек­цию, Дж/(см 2 К).

Упругими свойствами тепловая система не обладает. Это следует из того, что тепловая энергия может передаваться только от более нагретых дискретных элементов к менее нагретым. Иными словами, тепловой поток при теплопередаче в твердом те­ле направлен противоположно градиенту температуры.

Значение фазовой переменной типа потенциала Ф_и характе­ризует величину теплового потока, затрачиваемую на изменение кинетической энергии дискретного элемента твердого тела в про­цессе теплопередачи, а значение Ф_д — величину потерь, обуслов­ленную преодолением теплового сопротивления. Переменные Ф_и и Ф_д представляют собой внутренние потенциалы элементов теп­ловой системы. Параметрами инерционных и диссипативных элементов являются соответственно теплоемкость с_Т и коэф­фициент теплового сопротивления .

Фазовая переменная типа потока Т_и характеризует температуру дискретного элемента, а представляет собой разность тем­ператур смежных дискретных элементов.

Топологические уравнения имеют вид

Первое уравнение выражает условие равновесия потенциа­лов на поверхностях контакта дискретных элементов, а второе — условие непрерывности функции температуры.

Компонентные и топологические уравнения

Для одного и того же объекта (детали) на микро- и макроуровнях используют разные математические модели. На микроуровне ММ должна отражать внутренние по отношению к объекту процессы, протекающие в сплошных средах. На макроуровне ММ того же объекта служит для отражения только тех его свойств, которые характеризуют взаимодействие этого объекта с другими элементами в составе исследуемой системы [51].

Математические модели элементов на макроуровне получают одним из способов, рассмотренных ранее.

Математические модели систем (ММС) формируют из математических моделей элементов (ММЭ), излагаемых ниже.

Уравнения, входящие в ММЭ, называют компонентными. Наряду с компонентными уравнениями в ММС входят уравнения, отражающие способ связи элементов между собой в составе системы и называемые топологическими. Топологические уравнения могут выражать законы сохранения, условия неразрывности, равновесия и т. д.

В используемых в САПР методах формирования ММС принято моделируемую систему представлять в виде совокупности физически однородных подсистем. Каждая подсистема описывает процессы определенной физической природы, например механические, электрические, тепловые, гидравлические. Как правило, для описания состояния одной подсистемы достаточно применять фазовые переменные двух типов — потенциала и потока.

Особенностью топологических уравнений является то, что каждое из них связывает однотипные фазовые переменные, относящиеся к разным элементам системы. Примером могут служить уравнения законов Кирхгофа, записываемые относительно либо токов, либо напряжений ветвей. Для компонентных уравнений характерно то, что они связывают разнотипные фазовые переменные, относящиеся к одному элементу. Например, уравнение закона Ома связывает ток и напряжение резистора.

Дата добавления: 2015-08-21 ; просмотров: 1074 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

примеры компонентных и топологических уравнений

Уравнения, входящие в ММЭ(математических моделей элементов), называют компонентными. Наряду с компонентными уравнениями в ММС(Математические модели систем) входят уравнения, отражающие способ связи элементов между собой в составе системы и называемые топологическими .Топологические уравнения могут выражать законы сохранения, условия неразрывности, равновесия и т. д.

В используемых в САПР методах формирования ММС принято моделируемую систему представлять в виде совокупности физически однородных подсистем. Каждая подсистема описывает процессы определенной физической природы, например механические, электрические, тепловые, гидравлические. Как правило, для описания состояния одной подсистемы достаточно применять фазовые переменные двух типов — потенциала и потока.

Особенностью топологических уравнений является то, что каждое из них связывает однотипные фазовые переменные, относящиеся к разным элементам системы. Примером могут служить уравнения законов Кирхгофа, записываемые относительно либо токов, либо напряжений ветвей. Для компонентных уравнений характерно то, что они связывают разнотипные фазовые переменные, относящиеся к одному элементу. Например, уравнение закона Ома связывает ток и напряжение резистора.

Рассмотрим примеры компонентных и топологических уравнений для некоторых разных по своей физической природе объектов.

(1) Электрические системы

2) Механическая система

3) Механические вращательные систем

4) Гидравлические и пневматические системы

5) Тепловые системы

59.Принципы системного подхода

Основной общий принцип системного подхода заключается в рассмотрении частей явления или сложной системы с учетом их взаимодействия. Системный подход выявляет структуру системы ее внутренние и внешние связи.

Принцип системного подхода (Принцип системности) – основополагающий принцип построения, который предполагает, что каждое явление (процесс, объект) рассматривается и оценивается во взаимосвязи с другими процессами и объектами как единое целое, а не совокупность его отдельных частей. Свойства системы могут быть оценены только с позиций всей системы, так как ее составные элементы и происходящие в ней процессы взаимосвязаны с учетом внутренних и внешних факторов. Системный подход позволяет глубже изучить объект, получить более полное представление о нем, выявить причинно-следственные связи между отдельными его частями. При формировании системы определяются: цели и требования к системе, выделяются функциональные подсистемы, их структуры и решаемые в них задачи, выявляются и анализируются связи между подсистемами. Системный подход предполагает проведение двухаспектного анализа, получившего название макро и микроподходов.

При макроанализе система или ее элемент рассматриваются как часть системы более высокого порядка. Особое внимание уделяется информационным связям: устанавливается их число, выделяются и анализируются те связи, которые обусловлены целью изучения системы, а затем выбираются наиболее предпочтительные, реализующие заданную целевую функцию. При микроанализе изучается структура объекта, анализируются ее составляющие элементы с точки зрения их функциональных характеристик, проявляющихся через связи с другими элементами и внешней средой. В процессе проектирования АИС системный подход позволяет использовать математическое описание функционирования, исследование различных свойств отдельных элементов и системы в целом, моделировать изучаемые процессы для анализа работы вновь создаваемых систем.

Практическое значение системного подхода и моделирования состоит в том, что они позволяют в доступной для анализа форме не только отразить все существенное, интересующее создателя системы, но и использовать ЭВМ для исследования поведения системы в конкретных, заданных экспериментатором условиях. Поэтому в основе создания АИС в настоящее время лежит метод моделирования на базе системного подхода, позволяющий находить оптимальный вариант структуры системы и тем самым обеспечивать наибольшую эффективность ее функционирования.

Классификацию САПР осуществляют по ряду признаков, например по приложению, целевому назначению, масштабам (комплексности решаемых задач), характеру базовой подсистемы — ядра САПР.

По приложениям наиболее представительными и широко используемыми являются следующие группы САПР:

§ САПР для применения в отраслях общего машиностроения. Их часто называют машиностроительными САПР или системами MCAD (Mechanical CAD);

§ САПР для радиоэлектроники: системы ECAD (Electronic CAD) или EDA (Electronic Design Automation);

§ САПР в области архитектуры и строительства.

Кроме того, известно большое число специализированных САПР, или выделяемых в указанных группах, или представляющих самостоятельную ветвь классификации. Примерами таких систем являются САПР больших интегральных схем (БИС); САПР летательных аппаратов; САПР электрических машин и т. п.

По целевому назначению различают САПР или подсистемы САПР, обеспечивающие разные аспекты (страты) проектирования. Так, в составе MCAD появляются рассмотренные выше CAE/CAD/CAM-системы.

По масштабам различают отдельные программно-методические комплексы (ПМК) САПР, например: комплекс анализа прочности механических изделий в соответствии с методом конечных элементов (МКЭ) или комплекс анализа электронных схем; системы ПМК; системы с уникальными архитектурами не только программного (software), но и технического (hardware) обеспечений.

По характеру базовой подсистемы различают следующие разновидности САПР:

1. САПР на базе подсистемы машинной графики и геометрического моделирования. Эти САПР ориентированы на приложения, где основной процедурой проектирования является конструирование, т. е. определение пространственных форм и взаимного расположения объектов. К этой группе систем относится большинство САПР в области машиностроения, построенных на базе графических ядер.

В настоящее время широко используют унифицированные графические ядра, применяемые более чем в одной САПР (ядра Parasolid фирмы EDS Urographies и ACIS фирмы Intergraph).

2. САПР на базе СУБД. Они ориентированы на приложения, в которых при сравнительно несложных математических расчетах перерабатывается большой объем данных. Такие САПР преимущественно встречаются в технико-экономических приложениях, например при проектировании бизнес-планов, но они имеются также при проектировании объектов, подобных щитам управления в системах автоматики.

3. САПР на базе конкретного прикладного пакета. Фактически это автономно используемые ПМК, например имитационного моделирования производственных процессов, расчета прочности по МКЭ, синтеза и анализа систем автоматического управления и т. п. Часто такие САПР относятся к системам САЕ. Примерами могут служить программы логического проектирования на базе языка VHDL, математические пакеты типа MathCAD.

4. Комплексные (интегрированные) САПР, состоящие из совокупности подсистем предыдущих видов. Характерными примерами комплексных САПР являются CAE/CAD/CAM-системы в машиностроении или САПР БИС. Так, САПР БИС включает в себя СУБД и подсистемы проектирования компонентов, принципиальных, логических и функциональных схем, топологии кристаллов, тестов для проверки годности изделий. Для управления столь сложными системами применяют специализированные системные среды.