Конечно разностные уравнения как решить

Решения разностных уравнений

Разностные уравнения для чайников

На этой странице мы рассмотрим примеры решения типовых задач, встречающихся в курсе дифференциальных и разностных уравнений, а именно нахождение общего или частного решения линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами. Чаще всего в контрольных встречаются уравнения второго или третьего порядка:

$$ a_0 y(x) + a_1 y(x+1) + a_2 y(x+2)=f(x), \\ a_0 y(x) + a_1 y(x+1) + a_2 y(x+2)+ a_3 y(x+3)=f(x). $$

Здесь $a_i$ — постоянные коэффициенты, $f(x)$ — правая часть (неоднородность уравнения), $y(x)$ — искомая неизвестная функция.

Решение разностных уравнений практически полностью аналогично решению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (см. тут примеры): ищется решение однородного уравнения через составление характеристического уравнения, и частное решение неоднородного уравнения по виду правой части.

Примеры решений разностных уравнений

Задача 1. Решить разностное уравнение: $y(x+2)-4y(x+1)+4y(x)=2^x$

Задача 2. Найти общее решение линейного разностного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Задача 3. Решить разностное уравнение третьего порядка

$$ y(x+3)-16y(x+2)+83y(x+1)-140y(x)=0, \quad y(0)=3, y(1)=18, y(2)=120. $$

Задача 4. Найти частное решение однородного разностного уравнения:

Помощь с разностными уравнениями

Если вам нужна помощь с решением задач и контрольных по дифференциальным и разностным уравнениям (и другим разделам математического анализа), обращайтесь в МатБюро. Стоимость подробной консультации от 100 рублей , оформление производится в Word, срок от 1 дня.

Разностные уравнения

Содержание:

Разностные уравнения

Понятие разницы и разностного уравнения

Если для значений переменной x₁, x₂, x₃, . функция f (x) принимает значения f (x₁), f (x₂), f (x₃) . , то приращения функции составляют f (x₂) – f (x₁), f (x₃) – f (x₂), .

Приращение функции при переходе от значения x_i к значению x_i+1 будем обозначать: В частности можно взять в качестве значения независимых переменных x и x + 1 . Разность Δf (x) = f (x + 1) — f (x) называется первой разностью или разностью первого порядка. Она может рассматриваться в свою очередь как функция от x, а потому и для нее можно определить разницу:

Введем обозначения ΔΔf (x) = Δ 2 f (x), тогда Δ 2 f (x) = f (x + 2) — 2 f (x + 1) + f (x) и называется разностью второго порядка.

Аналогично можно найти разности третьего, четвертого и т. д. порядков.

Определим разности некоторых важнейших функций.

1) Если f (x) = С, где С — постоянная величина, то
Δf (x) = f (x + 1) – f (x) = С – С = 0.

Понятно, что и все разности следующих порядков будут также равняться нулю.

2) Если f (x) = ax + b, то
Δf = Δf (x + 1) — f (x) = a (x + 1) + b — ax — b = a.

Разница первого порядка линейной функции равна постоянной, а все остальные будут равны нулю.

3) Если f (x) = ax 2 + bx + c, то

Поскольку разница первого порядка является линейной функцией, то разница второго порядка — постоянная, а все последующие разности равны нулю.

4) Если f (x) = a x , то

В экономических исследованиях часто встречаются задачи, в которых время t является независимой переменной, а зависимая переменная определяется для времени t, t + 1, t + 2 и т. д.

Обозначим y_t — значение функции y в момент времени t; y_t+1 — значение функции в момент, сдвинутый на одну единицу, например, на следующий час, на следующую неделю и т. д., y_t+2 — значение функции y в момент, сдвинутый на две единицы и т. д.

Очевидно, что

Откуда:

За разность второго порядка, имеем или
поэтому

Аналогично можно доказать, что

Итак, любую функцию

можно представить в виде: (7.50)
и наоборот.

Определение. Уравнение
(7.51)
называется разностным уравнением n-го порядка.

Решить разностное уравнение n-го порядка — это значит найти такую ​​функцию y_t, которая превращает уравнение (7.50) или (7.51) в тождество.

Решение, в котором есть произвольная постоянная, называется общим; решение, в котором постоянная отсутствует, называется частным.

Определение. Уравнение
(7.52)
где a₀, a₁, . a_n — постоянные числа, называется неоднородным разностным
уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Если в уравнении (7.52) f (t) = 0, то уравнение называется однородным разностным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами:
(7.53)

Уравнение есть однородное разностное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами a и b, а уравнение — неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами a, b, c.

ТЕОРЕМА 1. Если решениями однородного разностного уравнения (7.53) является y₁ (t) и y₂ (t), то его решением будет также функция y₁ (t) + y₂ (t).

ТЕОРЕМА 2. Если y (t) является решением однородного разностного уравнения (7.53), то его решением будет также функция Ay (t), где А — произвольная постоянная.

ТЕОРЕМА 3. Если y (t) — частное решение неоднородного уравнения (7.52) и y (t, A₁, A₂, . A_n) — общее решение однородного уравнения (7.53), то общим решением неоднородного разностного уравнения будет функция: y (t) + y (t, A₁, A₂, . A_n).

Эти теоремы схожи с теоремами для дифференциальных уравнений, которые были приведены нами в предыдущем разделе.

Разностные уравнения первого порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим неоднородное разностное уравнение
(7.54)

Соответствующее ему однородное уравнение будет:
(7.55)

Возьмем функцию и убедимся, что она будет решением уравнения (7.55). Поскольку , тогда . Подставим y_t и y_t-1 в уравнение (7.55):
Итак, является решением уравнения (7.55).

По теореме (2) общее решение однородного разностного уравнения (7.55) является функция , где А — произвольная постоянная.

Пусть — частное решение неоднородного разностного уравнения (7.54). По теореме (3) общим решением неоднородного разностного уравнения (7.54) будет функция

Частное решение найти нетрудно, если f (t) = α, где α — некоторая постоянная. На самом деле, если где u — постоянная. Подставим в уравнение (7.54), имеем: u — au = α, откуда
Итак, общее решение уравнения (7.54) запишем в виде: .

Разностные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Пусть задано неоднородное разностное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
(7.56)
и соответствующее ему однородное уравнение
(7.57)

Убедимся, что функция будет решением уравнения (7.58). Подставим в уравнение (7.57) (λ ≠ 0), получим Поскольку λ ≠ 0, то поделим на λ t-2 , имеем λ 2 + aλ + b = 0 (7.58)

Это уравнение называется характеристическим уравнением для уравнения (7.57).

Здесь могут иметь место следующие три случая:

1. D = a 2 – 4b > 0, тогда уравнение (7.58) будет иметь два действительных различных корня.
Общее решение уравнения (7.57) запишется в виде:

а общее решение неоднородного уравнения (7.56) запишется так:

2. D = a 2 – 4b = 0, тогда и и

В этом случае однородное уравнение (7.57) примет вид:
(7.59)
Тогда

Легко убедиться, что решением уравнения (7.59) является также функция
Поэтому общим решением уравнения (7.59) является функция а общим решением неоднородного уравнения (7.56) функция

3. D = a 2 – 4b 2 – 5λ + 6 = 0 будет иметь действительные разные корни (D = 25 – 24 = 1 > 0), λ1 =2, λ2 = 3.
Общим решением однородного уравнения является функция

Далее положим, что y_t = y — частное решение неоднородного уравнения, тогда

Таким образом, общим решением неоднородного уравнения является функция Постоянные A₁ и A₂ определим из начальных условий: y₀ = 5, y₁ = 9. Тогда для t = 0 и t = 1 соответственно будем иметь:

Решим эту систему уравнений относительно A₁ и A₂:

Откуда

Итак, — общее решение заданного в условии разностного уравнения.

Примеры применения разностных уравнений в экономических задачах

Пример 1. Пусть некоторая сумма средств выдается под сложный процент p, то к концу t-го года ее размер будет составлять:
Это однородное разностное уравнение первого порядка. Его решением будет функция , где A — некоторая постоянная, которую можно найти из начальных условий.

Если положить y₀ = F , то A = F, откуда

Это известная формула величины фонда F, который выдается под сложный процент.

Пример 2. Пусть величина предложения сельскохозяйственной продукции в t-м году есть функция цены прошлого года а спрос на эту продукцию есть функция цены в этом году. Следовательно, спрос: а предложение

Цена равновесия для данной продукции определяется равенством:
а это разностное уравнение первого порядка.

Положим, что функция спроса определяется формулой а функция предложения — формулой

Цена равновесия запишется: то есть Решением этого уравнения является функция Постоянная A определяется из начальных условий, для t = 0 цена составляет p₀.

Тогда p₀ = A и решением уравнения является функция
Если начальная цена p₀ = 0, то p_t = 0 для всех значений t.

Следовательно, цена не подлежит изменению.

Вообще говоря, функция предложения — возрастающая, а потому b > 0; а функция спроса — убывающая, и поэтому a

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Конечно-разностные аппроксимации производных (стр. 1 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7

Конечно-разностные аппроксимации производных

Конечно-разностные аппроксимации производных (конечные разности) — способ приближенного вычисления частных производных

Выражения для конечных разностей можно получить из разложения функции в ряд Тейлора:

Или более коротко с использованием индексов точек:

Отсюда , где — остаток.

Отбрасывая остаток можно получить правую разность:

Погрешность такой аппроксимации определяется старшим членом в отброшенном остатке и в данном случае этот член содержит в первой степени.

Аналогичным образом, разлагая в ряд функцию можно получить:

Получим новую аппроксимацию первой производной:

которая называется левой разностью. У нее погрешность также определяется членом, содержащим в первой степени. Однако, если из выражения (1) вычесть (2), то можно получить более точную аппроксимацию первой производной, которая называется центральной разностью:

В этом случае член, определяющий погрешность аппроксимации, будет содержать во второй степени.

Аппроксимацию второй производной можно получить исходя из ее определения, — отношение приращения функции к приращению аргумента, где в качестве функции выступает аппроксимация первой производной. Также ее можно получить из выражений (1) и (2), если из (1) вычесть (2), отбросить члены содержащие производные старше второй, то получим:

Отброшенный остаток будет содержать член с во второй степени (после деления на )

Исходя из определения, можно получить выражения для третьей, четвертой и более старших разностей:

Для функции двух переменных выражения для конечных разностей, в предположении что первый индекс относится к координате , а второй — , будут выглядеть следующим образом:

правая разность по оси : ; правая разность по оси : ; левая разность по оси : ; левая разность по оси : ; центральная разность по оси : ; центральная разность по оси : ; вторая разность по оси : ; вторая разность по оси : .

Смешанная производная может быть получена следующим образом:

Алгоритм решения стационарных краевых задач методом конечных разностей

Метод конечных разностей — универсальный сеточный численный метод решения задач микроуровня.

Алгоритм решения стационарных краевых задач методом конечных разностей — последовательность действий, приводящая к решению стационарной задачи микроуровня

Нанесение на объект сетки или дискретизация пространства. Сетка — совокупность точек (узлов) дискретного пространства, аппроксимирующего непрерывное исходное пространство. Сетка выбирается таким образом, чтобы на ней легко можно было аппроксимировать производные с помощью конечных разностей. Как правило это равномерная прямоугольная сетка, но может быть и сетка заданная в полярных координатах, и неравномерная сетка, если таковая быстрее приводит к решению задачи. При наненсении сетки, если это возможно, следует учесть симметрию объекта. Это поможет сократить размерность аппроксимирующей системы уравнений. Нумерация узлов сетки. Для повышения эффективности решения в условиях использования свойства разреженности матрицы коэффициентов математической модели нумерацию следует проводить так, чтобы разность номеров соседних узлов была минимальной. Так, если двумерный объект имеет размер по оси больше, чем по оси , то нумерацию узлов нужно выполнять вдоль оси (вдоль короткой стороны). Запись разностного уравнения для каждого внутреннего узла сетки. При необходимости запись уравнений граничных условий для приграничных узлов. В результате должна быть получена замкнутая система, в общем случае, нелинейных алгебраических уравнений. Решение системы алгебраических уравнений.

Решение линейных одномерных стационарных краевых задач с помощью МКР

Предположим необходимо определить распределение температуры в стержне, теплоизолированном с цилиндрической стороны, и с заданной температурой на боковых гранях.

Одномерное стационарное уравнение теплопроводности для изотропной среды выглядит следующим образом:

В соотвествии с алгоритмом решения стационарных краевых задач методом конечных разностей наносим на объект равномерную сетку, как это показано на рис. 1.

Для каждого внутреннего узла сетки записываем разностный аналог исходного дифференциального уравнения:

для узла 1:
для узла 2:

В результате получили замкнутую систему линейных алгебраических уравнений, где неизвестными являются и , а и — известные граничные условия.

Решив систему уравнений, получим и . Это решение является точным, поскольку в исходной постановке задача линейная.

Рассмотрим теперь решение задачи с краевым условием второго рода, на правой границе стержня задан тепловой поток:

Пусть и .

Запишем разностные аналоги для внутренних узлов сетки:

для узла 1:
для узла 2

Получили незамкнутую систему алгебраических уравнений (неизвестными являются , и ), дополнить которую можно разностным аналогом краевого условия (1).

Проще всего воспользоваться левой разностью:

Решая эту систему уравнений, получим , , .

Однако можно заметить, что аппроксимация задачи во внутренних узлах имеет второй порядок точности, а на границе — первый.

Можно вспомнить, что аппроксимация первой производной с помощью центральной разности имеет второй порядок точности, но для этого необходимо, чтобы граничный узел 3 был бы центральным узлом. Используется следующий прием: вводиться дополнительный фиктивный узел за пределами области, бывший граничный узел 3 становиться как бы внутренним (см. рис. 2)

Теперь можно записать следующую систему конечно-разностных уравнений:

для узла 1:
для узла 2:
для узла 3:
граничное условие второго рода:

За повышение точности пришлось заплатить увеличением размерности системы конечно-разностных уравнений.

Решение нелинейных одномерных стационарных краевых задач с помощью МКР

Предположим необходимо определить распределение температуры в стержне, теплоизолированном с цилиндрической поверхности, и с заданной температурой на боковых гранях.

Одномерное стационарное уравнение теплопроводности для анизотропной среды выглядит следующим образом:

где — коэффициент теплопроводности.

Возможны нелинейности двух типов: коэффициент теплопроводности может зависеть от координаты (среда с неоднородными свойствами) и от температуры. Рассмотрим случай зависимости коэффициента теплопроводности от координаты на примере приближенного решения задачи об остываниии комнаты через окно с одинарным и двойным остеклением.

Предположим, что толщина стекла . Температура в комнате , на улице —

Тепловой поток на улицу пропорционален градиенту температуры, то есть .

В соотвествии с алгоритмом решения стационарных краевых задач наносим на объект равномерную сетку, в предположении, что промежуток между стеклами равен двойной толщине стекла, как это показано на рис. 1.

Для каждого внутреннего узла сетки записываем разностный аналог исходного дифференциального уравнения:

для узла 1:
для узла 2:
для узла 3:

В результате получили замкнутую систему линейных алгебраических уравнений, где неизвестными являются , и , а и — заданные граничные условия. Условно будем читать, что (реальные значения , ).

Решив систему уравнений, получим , и . В этом случае градиент температуры составит , то есть двойное остекление в 20 раз эффективнее одинарного.

В том случае, когда коэффициент теплопроводности зависит от температуры, например для металлов он пропорционален ей, придем к следующей системе нелинейных алгебраических уравнений (для сетки из четырех узлов, два из которых внутренние):

для узла 1:
для узла 2:

Данную систему придется решать итерационными методами.

Решение нестационарных одномерных задач с помощью МКР

Для решения нестационарных задач с помощью МКР используется та же идея дискретизации независимой переменной, что и при решении стационарных задач, в данном случае такой независимой переменной помимо пространства является время. На ось времени наносится сетка, в узлах которой выполняется аппроксимация частной производной по времени.

Но поскольку при этом возможны различные сочетания конечных разностей по оси координат и по времени, можно получить различные схемы решения нестационарных задач. Рассмотрим их на примере нестационарного уравнения теплопроводности:

Пусть при записи разностей нижний индекс соответствует оси , а верхний — оси времени.

Первый вариант разностного уравнения, апроксимирующего исходное (1):

называется явной разностной схемой, поскольку в этом уравнении всего одна неизвестная величина , которая может быть вычислена явным образом. Остальные переменные, входящие в уравнение (2) известны либо как начальные условия (при ), либо с предыдущего временного слоя.

Второй вариант разностного уравнения, апроксимирующего исходное (1):

называется неявной разностной схемой, поскольку в этом уравнении несколько неизвестных величин, относящихся к -му временному слою. Для их нахождения придется записать систему разностных уравнений для всех внутренних узлов сетки, и решить ее.

Графическое изображение разностных уравнений получило название шаблонов решения сответствующих задач. В данном случае на рис. 1,а представлен шаблон явной разностной схемы, а на рис. 1,б — неявной.

Рис. 1. Шаблоны явной и неявной разностной схемы

Использование шеститочечного шаблона применено в схеме Кранка-Николсона:

В общем случае использования шеститочечного шаблона, имеем схему с весами:

которая при является неявной.

Примеры решения нестационарных задач с помощью МКР

Предположим необходимо определить изменение распределения температуры в стержне во времени (изменение температурного поля), теплоизолированном с цилиндрической стороны, с заданной температурой на боковых гранях (граничные условия) и заданной температурой стержня в нулевой момент времени (начальные условия).

Решим задачу с помощью явной разностной схемы.

Одномерное нестационарное уравнение теплопроводности для изотропной среды выглядит следующим образом:

Пусть , выберем значения шага по оси и значение шага по оси времени .

Наносим на объект равномерную сетку по оси , как это показано на рис. 1.

Записываем явную разностную схему для узла 1:

где — граничное условие, — начальные условия, отсюда .

Записываем явную разностную схему для узла 2:

где — граничное условие, — начальные условия, отсюда .

Таким образом найдено температурное поле в момент времени .

Аналогично для момента времени :

Для момента времени :

Получили картину прогревания стержня в течение трех единиц времени, представленную на рис. 2.

Результат явно не соответствует физическим процессам, произошло это из-за того, что явная разностная схема является неустойчивой. Неустойчивость выражается в том, что существует некоторое значение шага по времени, при превышении которого погрешность вычислений резко возрастает. Исследование устойчивости выходит за рамки этого изложения, но согласно литературе для данной задачи должно выполняться следующее соотношение:

Как нетрудно проверить, условие не было выполнено. Чтобы удостовериться в работоспособности явной разностной схемы, повторим вычисления для :

для момента времени ; для момента времени для момента времени .

Теперь картина прогревания не противоречит физическому смыслу задачи.

Аналитическое условие устойчивости можно получить только для простых модельных задач, но можно обеспечить устойчивость вычислений алгоритмически в том числе и для нелинейных задач следующим образом:

вычислить значения производных по времени во всех внутренних узлах объекта; определить максимальное из этих значений; разрешить измениться переменной в этом узле на некоторую заданную величину, которая определяется из физического смысла задачи. (Например для нашей задачи максимальной значение температуры внутри стержня , за один шаг по времени можем позволить измениться ей, допустим, на . Исходя из этого вычисляем значение ); выполняем шаг по времени для всех узлов, изменение температуры во всех узлах не превысит разрешенной величины; если модельное время не закончилось переходим к пункту 1.

Рассмотрим решение задачи явной разностной схемой с граничными условиями второго рода (типа Неймана).

Предположим необходимо определить изменение распределения температуры в стержне во времени (изменение температурного поля), теплоизолированном с цилиндрической стороны, с заданной температурой с левой стороны, заданным тепловым потоком с правой (граничные условия) и заданной температурой стержня в нулевой момент времени (начальные условия)(см. рис. 3).