Конспект для решения системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений
план-конспект занятия

Системы линейных уравнений

Скачать:

Предварительный просмотр:

Перед тем, как перейти к написанию лекции . ОБЯЗАТЕЛЬНО посмотрите видеоурок. для того, чтобы понимать способы решения ЛУ.

Системы линейных уравнений

Определение 1. Системой линейных уравнений , содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

где числа a ij – называются коэффициентами системы, числа b ij – свободными членами.

Определение 2. Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она не имеет ни одного решения.

Определение 3. Совместная система называется определенной , если она имеет единственное решение, и неопределенной , если она имеет более одного решения.

В последенем случае каждое решение системы называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если совместна, найти ее общее решение.

1.2 Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:

Матрица А = , составленная из коэффициентов при неизвестных х i (i = 1,2,…n), называется матрицей системы .

Матрица B = , составленная из коэффициентов при неизвестных и свободных членов, называется расширенной матрицей .

Определение 4. Матрица А называется матрицей треугольного вида , если все ее элементы выше (ниже) главной диагонали равны нулю.

Например, А = или В = — матрицы треугольного вида.

Метод Гаусса удобно использовать при решении систем с большим количеством уравнений. Этот метод заключается в последоваетльном исключении неизвестных. Систему линейных уравнений приводят к системе с треугольной матрицей с помощью эквивалентных преобразований. Затем из полученной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок.

К эквивалентным преобразованиям относят следующие :

• умножение и деление коэффициентов и свободных членов на одно и тоже число, отличное от нуля.
• Сложение и вычитание уравнений.
• Перестановка уравнений.
• Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты равны нулю.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Выпишем расширенную матрицу системы:

Для упрощения вычислений поменяем первую и вторую строки местами:

Умножим первую строку на –3 и сложим ее со второй строкой. Первую строку умножим на –4 и сложим с третьей сторокой, получим эквивалентную матрицу:

Умножим вторую строку на –1:

Умножим вторую строку на 5 и сложим с третьей строкой:

Разделим третью строку на –11:

Получили матрицу треугольного вида (все элементы ниже главной диагонали равны нулю). Выпишем систему уравнений треугольного вида:

Ответ: х = -1, у = 3, z = 2

1.3 Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Для решения систем линейных уравнений с большим количеством уравнений применяют метод Гаусса. Если же уравнений в системе не так много, то удобнее использовать метод Крамера. Этот метод основан на вычислении определителей.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

Составим определитель матрицы системы:

Заменим в определителе Δ первый столбик, соответствующий переменной х 1 , на столбец свободных членов b 1 , b 2 , …,b n , получим определитель Δ х1 :

Заменим в определителе Δ второй столбик, соответствующий переменной х 2 , на столбец свободных членов b 1 , b 2 , …,b n , получим определитель Δ х2 :

Аналогично поступаем с третьим, четвертым, …, n –ым столбцами определителя Δ . В итоге получим n+1 определитель. Для того, чтобы найти неизвестные х 1 , х 2 , …, х n используем формулы Крамера:

, , …,

При вычислении определителей могут возникнуть следующие случаи:

• если определитель матрицы системы Δ отличен от 0, то система линейных уравнений имеет единственное решение;
• если определитель матрицы системы Δ равен 0, а среди определителей Δ х1 , Δ х2 , …, Δ хn есть хотя один отличный от 0, то система линейных уравнений не имеет решений;
• если определитель матрицы системы Δ равен 0 и все определители Δ х1 , Δ х2 , …, Δ хn равны 0, то система линейных уравнений имеет бесконечно много решений.

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Выпишем определитель матрицы системы Δ и вычислим его:

Так как Δ 0, то система имеет единственное решение.

Заменим в определителе Δ первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Δ х :

Заменим в определителе Δ второй столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Δ у :

Найдем значения переменных х и у по формулам Крамера:

,

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Выпишем определитель матрицы системы Δ и вычислим его:

Так как Δ 0, то система имеет единственное решение.

Заменим в определителе Δ первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Δ х :

Заменим в определителе Δ первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Δ у :

Заменим в определителе Δ первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Δ z :

Найдем значения переменных х , у и z по формулам Крамера:

, ,

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Разделы: Математика

Пояснительная записка

Данная методическая разработка предназначена для проведения занятия по дисциплине “Математика” на тему “Решение систем линейных уравнений методом Гаусса” по программе учебной дисциплины, разработанной на основе Федерального государственного образовательного стандарта для специальностей среднего профессионального образования.

В результате изучения темы студент должен:

знать:

• элементарные преобразования над матрицами;
• этапы решения систем линейных уравнений методом Гаусса.

уметь:

• решать системы линейных уравнений методом Гаусса.

Цели занятия:

обучающие:

• рассмотреть элементарные преобразования над матрицами;
• рассмотреть метод Гаусса для решения систем линейных уравнений.

развивающие:

• развивать умения анализировать полученную информацию, делать выводы;

воспитательные:

• воспитывать у студентов интерес к изучаемой дисциплине, показывать значимость знаний по данной теме для их дальнейшей профессиональной деятельности;
• воспитывать готовность и способность к образованию, в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни.

Ход занятия

Фиксируют тему в тетрадь1 минОбъясняет ход занятияФиксируют план лекции в тетрадь3 минЗнакомит с методом ГауссаФиксируют этапы решения системы линейных уравнений методом Гаусса15 минЗнакомит с элементарными преобразованиями матрицыФиксируют элементарные преобразования матрицы15 минРассматривает метод Гаусса на конкретном примереФиксируют ход решения в тетрадь12 мин4. Практическая частьВыполняют задания25 минОсуществляет консультирование студентов по итогу проведения занятияЗадают вопросы5 мин5. Итоги занятияПроверяет результаты работыОценивают результаты своей работы5 минФиксирует результаты проверки в журналВыдает внеаудиторную самостоятельную работу с объяснениямиФиксируют задание, озвучивают вопросы по выполнению3 мин

Оценка “отлично”:

• работа выполнена полностью;
• в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
• в решении нет математических ошибок (возможна одна неточность, описка, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).

Оценка “хорошо”:

• работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
• допущены одна ошибка или есть два–три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).

Оценка “удовлетворительно”:

• допущено более одной ошибки или более двух–трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.

Оценка “неудовлетворительно”:

• допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере.

Общее время — 90 мин.

План занятия:

1. Организационный момент;
2. Проверка внеаудиторной самостоятельной работы;
3. Теоретическая часть;
4. Практическая часть;
5. Итоги занятия.

Теоретическая часть

Одним из наиболее универсальных и эффективных методов решений систем линейных уравнений является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Система n линейных уравнений с m неизвестными может имеет вид:

, где

i=1, 2, 3, …, n; j=1, 2, 3. m.

Заметим, что число неизвестных m и число уравнений n в общем случае между собой никак не связаны. Возможны три случая: m=n, m > n, m 22.12.2016

Конспект урока алгебры по теме «Системы линейных уравнений. Метод Гаусса» для 9 класса

ГБОУ средней общеобразовательной школы №618 г. Москвы

«Системы линейных уравнений.

Контингент: 9 – 11 класс

Тип урока: урок — лекция

Макарова Татьяна Павловна,

ГБОУ средней общеобразовательной школы №618

Конспект урока по теме «Системы линейных уравнений. Метод Гаусса»

Макарова Татьяна Павловна,

ГБОУ средней общеобразовательной школы №618 г. Москвы

Формирование и закрепление у учащихся навыков решения систем линейных уравнений методом Гаусса.

Сформировать навыки и умения решения систем линейных уравнений, используя метод Гаусса.

Прививать интерес к предмету через привлечение различных источников информации; расширять кругозор учащихся; способствовать формированию исследовательских и коммуникативных компетенций, навыков само- и взаимопроверки.

Развивать логическое мышление, способность к абстрагированию, анализу.

Воспитывать самостоятельность и активность учащихся.

Тип урока: урок – лекция

Методы и педагогические приёмы :
• словесный метод;
• наглядный метод;
• методы самостоятельной учебной работы и работы под руководством учителя;
• методы контроля (устный, письменный);
• методы самоконтроля и взаимоконтроля;
• дифференцированная работа.

Формы организации совзаимодействия на уроке: учебная, групповая работа, индивидуальная работа

Оборудование: раздаточный материал

Контингент: 9-11 классы

I. Организационный момент (приветствие учащихся).

II. Актуализация.
Продолжаем рассматривать системы линейных уравнений.

Сначала немного систематизируем знания о системах линейных уравнений.

Сколько решений может иметь система линейных уравнений?

Предполагаемый ответ учащихся:

Система линейных уравнений может:

1) Иметь единственное решение.
2) Иметь бесконечно много решений.
3) Не иметь решений (быть несовместной ).

Какие методы решения систем линейных уравнений вы знаете?

Предполагаемый ответ учащихся:

Метод подстановки, сложения, графический метод.

III. Основная часть.

Метод Гаусса – наиболее мощный и универсальный инструмент для нахождения решения любой системы линейных уравнений.

Известный немецкий математик Иоганн Карл Фридрих Гаусс еще при жизни получил признание величайшего математика всех времен, гения и даже прозвище «короля математики». А всё гениальное, как известно – просто!

Метод Гаусса — метод последовательного исключения неизвестных.

Рассмотрим систему, состоящую из n уравнений первой степени с n неизвестными, или систему линейных уравнений.

Первый индекс коэффициентов при неизвестных обозначает номер уравнения, а второй — номер переменной. Такая система может быть несовместной, если она не имеет решения, и совместной, если имеет хотя бы одно решение. Совместная система уравнений, имеющая только одно решение, называется определенной, а более одного — неопределенной.

При помощи элементарных преобразований сначала исключаем из всех уравнений, кроме первого, переменное x ₁ . Далее исключаем из всех уравнений, кроме первого и второго, переменную x ₂ и так далее. В конечном итоге мы приходим к системе следующего вида:

Если в полученной системе (2) в последнем уравнении свободный член не равен нулю, а коэффициент в левой части равен нулю, то исходная система (1) несовместна, т.е. не имеет решений. Если в системе (2) все коэффициенты в левой и правой части последнего уравнения равны нулю, тогда система (1) будет совместной неопределенной. В остальных случаях система будет обладать единственным решением.

Напомним, что к элементарным преобразованиям системы относятся следующие:

1). Перемена местами двух уравнений в системе;

2). Умножение какого — либо уравнения системы на действительное число, не равное нулю.

3). Прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на произвольное число, не равное нулю.

Системы линейных уравнений (1) и (2) являются эквивалентными, т.к. множество их решений совпадают.

На практике более удобным оказывается применение метода Гаусса не, собственно, к самой системе линейных уравнений, а к ее расширенной матрице. Когда расширенная матрица будет приведена к треугольному виду, на этом цепь элементарных преобразований над матрицей завершается.

Пример 1. Найти решения системы уравнений:

Решение. Выпишем расширенную матрицу данной системы. Первый столбец будет стоять из коэффициентов, находящихся при переменной х ₁ , второй столбец — соответственно из коэффициентов при х ₂ , третий столбец — из коэффициентов при х ₃ , четвертый столбец расширенной матрицы — из свободных членов.

Расширенная матрица коэффициентов исходной системы ( A / b ) сводится к треугольной матрице ( A ’/ b ’) последовательными элементарными преобразованиями:

1). Первая строка матрицы (А/ b ) умножается на (-2) и на (-5) и прибавляется соответственно ко второй и третьей строке.

2). Вторая строка умножается на 1/7.

3). К третьей строке прибавляем вторую, умноженную на (-17).

Треугольная система, соответствующая матрице ( A ’/ b ’) имеет вид:

Таким образом, тройка чисел (1;0;-1) является решением исходной системы линейных уравнений, что можно легко проверить подстановкой.

Пример 2. Решите систему уравнений:

Последней строке матрицы ( A ’/ b ’ ) соответствует уравнение эквивалентной системы , которое не имеет решений.

Ответ: решений нет.

III. Закрепление пройденного материала. Работа в группах.

Задание. Решить систему уравнений методом Гаусса.

Задание. Решить систему уравнений методом Гаусса.