Конспект на тему квадратные уравнения

Конспект урока в 8-м классе «Квадратные уравнения»

Презентация к уроку

Тип урока: Урок изучения нового.

Цели урока: Организовать коллективный способ изучения нового материала, повторение формул сокращенного умножения, работу с учебником. Сформулировать определение квадратного уравнения; доказать теорему о корнях уравнения х 2 = d.

В результате ученик

• какие учебные задачи стоят перед ним при изучении темы,
• определение квадратного уравнения,
• название коэффициентов квадратного уравнения:

• из предложенных уравнений выбирать квадратные,
• определение квадратного уравнения,
• составлять квадратное уравнение, если заданы коэффициенты:

• необходимость изучения темы «Квадратные уравнения»

Структура урока:

1. Мотивационно-ориентировочная часть:
   • актуализация знаний
   • мотивация, постановка учебной задачи.
2. Операционно-познавательная часть:
   • решение учебной задачи (цели урока).
3. Рефлексивно-оценочная часть:
   • подведение итогов урока,
   • выдача домашнего задания.

Ход урока

«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».
С. Коваль.

I. Мотивационно-ориентировочная часть.

1. Актуализация имеющихся знаний и умений учащихся.

– Каков общий вид линейного уравнения? (ах + с = 0)

– Как называются числа а и с, какие значения они могут принимать? (Это коэффициенты уравнения, они могут быть любыми, кроме случая, когда

– Дайте определение корня уравнения. (Корень уравнения – это такое число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство)

– А что значит решить уравнение? (Решить уравнение – найти все его корни или установить, что их нет)

– При изучении каких предметов вам приходилось составлять и решать уравнение? (При изучении физики, химии, геометрии)

– Какую тему я просила вас повторить? (Разложение квадратного трехчлена на множители)

– Чему вы научились за время изучения этой темы, покажут задания, которые я предлагаю вам решить:

(открыть створку доски)

1) Решите уравнения (устно):

2) Разложите на множители способом группировки: х 2 -12х+20;

х 2 – 12х + 20 = х 2 – 10х — 2х + 20 = х (х – 10) – 2(х – 10) = (х – 10) (х – 2)

II. Операционно-познавательная часть.

1 Ребятам предлагается решить задачу №1 в учебнике. Читаем задачу. Учащимся предлагается сформулировать алгоритм решение такого типа задач. На доске ученик записывает решение.

Если х см – это высота прямоугольника, то (х + 10) см – основание
х (х + 10) см 2 – площадь прямоугольника, она равна 24 см 2 . Следовательно
х (х + 10) = 24
х 2 + 10х – 24 = 0 Разложим левую часть на множители способом группировки
х 2 + 10х – 24 = х 2 + 12х – 2х – 24 = (х 2 + 12х) – (2х + 24) =
х (х + 12) — 2 (х + 12) = (х + 12) (х – 2)
(х – 2) (х + 12) = 0
х – 2 = 0 или х + 12 = 0
х₁ = 2, х₂ = -12. Так как длина отрезка не может быть отрицательным числом, то высота прямоугольника равна 2 см.

Учитель обращает внимание, что при решении этой задачи было получено уравнение х 2 + 10х – 24 = 0

Что мы имеем в левой части? (Квадратный трехчлен)

Как вы думаете называется уравнение х 2 + 10х – 24 = 0? (Квадратным уравнением)

Значит тема сегодняшнего урока «Квадратные уравнения».

Мы должны дать определение квадратного уравнения, научиться составлять квадратное уравнение по его коэффициентам, выбирать из предложенных уравнений квадратные.

Учитель дает определение квадратного уравнения.

Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где а, b, с – заданные числа, а ≠ 0.

Числа a, b, c – это коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым или старшим коэффициентом, b – вторым коэффициентом, а c – свободным членом.

2. Из истории квадратных уравнений. Презентация.

3. Решить уравнение х 2 = 64.

Теорема. Уравнение х 2 = d, где d > 0? Имеет два корня х₁ =, х₂ = —.

х 2 = d
х 2 – d = 0
Т.к d > 0, то d = () 2 .
х 2 — () 2 = 0
(х — ) (х +) = 0
х — = 0 или х + = 0
х₁ = х₂= —

Если d = 0, то уравнение имеет один корень х = 0.

Если d 2 – 17х + 14 = 0;
б) х 2 + 14 + 0;
в) – 7х 2 + 14 – 5х = 0;
г) – 17х + 14 = 0;
д) – 17х + х 2 = 0;
е) 3х 3 – 17х + 14 = 0;
ж) 5х – 8 — 3х 2 = 0

2. Составьте квадратное уравнение по его коэффициентам:

а) а = 3, b = 7, с = 6;
б) а = 2; b = 0; с = 10;
в) а = 4; b = 1; с = 0

3. Приведите данные уравнения к виду ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0

а) х 2 + 2х – 3 = 2х + 6;
б) х (х + 1) – 3 = х (2х – 4) + х 2 ;
в) х 2 = (3х – 2 ) 2

– Что нового вы сегодня узнали на уроке?

(Понятие квадратного уравнения)

– Какую цель мы поставили в начале урока?

(Дать определение квадратного уравнения, научиться составлять квадратное уравнение по коэффициентам, выбирать среди уравнений квадратные)

– Так какое же уравнение называется квадратным? (Учащиеся отвечают)

Какую работу мы должны провести дальше с уравнениями нового класса?

(Научиться решать, исследовать вопрос о количестве корней уравнения, изучить свойства)

– Об этом мы поговорим на следующих уроках

Запишем домашнее задание.

1. Знать определение квадратного уравнения п.25
2. №403 (2; 4 ), 404 (2; 4 ), 405 (2; 4; 6 ), 408 (2; 4; 6 ), 409 (2; 4; 6 )
3. Для желающих доклады:
   а) Исследования Декарта по решению алгебраических уравнений.
   б) Диофант Александрийский.
   в) Трактат «Китаб аль – джебр валь – мукабала» аль Хорезми. Приемы решений уравнений вида ах 2 = bх.

Полностью текст работы приведен в Приложении.

Конспект урока «Квадратные уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

по алгебре в 8 классе

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА по алгебре 8 класс
« Квадратные уравнения»

«Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы».

Цели и задачи урока:

систематизировать знания, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений .

формирование практических и теоретических умений и навыков по теме “Квадратные уравнения”;

способствовать развитию умения рассуждать, развитию познавательного интереса, умению видеть связь между математикой и окружающей жизнью;

формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли;

развивать эмоции учащихся через создание на уроке ситуаций эмоциональных переживаний;

Воспитывать умение работать с имеющейся информацией в необычной ситуации;

Воспитывать интерес к предмету, умение видеть математические задачи в окружающем нас мире;

воспитывать внимательность и культуру мышления, мобильность самостоятельность, взаимопомощь и умение общаться.

Тип урока: закрепление и расширение ранее полученных знаний.

Форма урока: практикум.

Сообщение цели и задач урока.

Актуализация знаний по теме «Квадратные уравнения».

4)Подготовка учащихся к работе на основном этапе.

5)Этап психологической разгрузки.

6)Закрепление умений и навыков по изучаемой теме.

7) Саморазвитие и конструирование полученных знаний по теме.

8)Подведение итогов урока и задание на дом.

1. Организационно-мотивационный момент.

Сегодня мы с вами продолжим читать главу «Квадратные уравнения». Покажем не только знания, но и свои умения, навыки решения примеров и задач по этой теме.

А, как вы думаете, какая тема сегодняшнего урока?

«Решение квадратных уравнений».

Из записанных на доске уравнений, выберете те уравнения, которые нужно исключить из данной группы и объясните почему. ( слайд №1 )

Квадратные уравнения применяются, так же для решения задач геометрии, физики. Эти уравнения занимают одно из главных мест в математике .( слайд №2 )

3. Актуализация знаний по теме «Квадратные уравнения».

Дайте определение квадратного уравнения.

Квадратным уравнением называют уравнение вида ax 2 + bx + c =0, где Х- неизвестное, коэффициенты a , b , c – некоторые числа ( a 0).( слайд №3 )

Как называются каждый из коэффициентов квадратного уравнения?

называется первым коэффициентом;

называется вторым коэффициентом;

— свободным членом.

А сейчас я предлагаю вам следующее задание.

Выпишите коэффициенты квадратных уравнений:

( Учащиеся заносят полученные результаты в таблицу)

На какие группы можно разбить полученные уравнения?

Полные и неполные уравнения.

Какие уравнения называются полными? Неполными?

Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три коэффициента ; иными словами, это уравнение, у которого .( слайд№4 )

Неполное квадратное уравнение – это уравнение, у которого присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. (слайд №5)

.На какие еще группы можно разбить данные уравнения?

Приведенные и неприведённые.

Какие уравнения называются приведёнными? Неприведёнными?

Квадратное уравнение называют приведенным, если его старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если его старший коэффициент отличен от 1.( слайд №6 )

Давайте вспомним как решаются неполные квадратные уравнения( слайд №7 )

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 + bx =0.

Уравнение имеет 2 корня: x ₁ =0, x ₂ = —

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c =0. У равнение не имеет корней при c 0, и 2 корня x _1, =и x ₂ =- если c 0.

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0.

уравнение имеет 1 корень: x =0.

4.Подготовка учащихся к работе на основном этапе.

Работа в группах

Молодцы, ребята! А сейчас переходим к работе в группах. Класс делится на 3 группы и решают задания

-На прошлом уроке мы по знакомились с решением полного квадратного уравнения. Давайте, вспомним, как найти решение полного квадратного уравнения. (слайд № 8 )

Привести квадратное уравнение к общему виду: аx 2 +вx+с=0.

Находим дискриминант D =в 2 -4*а*с .

Находим корни уравнения .

При — уравнение имеет 2 корня

При уравнение не имеет действительных корней.

Сейчас я диктую вам уравнения, вы пишите решение самостоятельно в тетрадь.

а) x 2 — 2 x +1=0, в) 16 x 2 +8 x +1=0.

б) -7 x 2 -3 x -5=0; г) 3 x 2 -3 x +2=0.

А какие способы решения квадратных уравнений вы еще знаете?

по формуле со вторым четным коэффициентом;

выделением квадрата двучлена;

по теореме Виета

5.Этап психологической разгрузки.

Учащимся предлагается закрыть глаза, представить, что нос стал как у Буратино и, обмакнув нос в чернильницу написать, слово « уравнение».

6.Закрепление умений и навыков по изучаемой теме.

Молодцы, ребята! Кстати, а вы знаете, когда появились первые квадратные уравнения?( слайд №10,11 )

Квадратные уравнения появились очень давно. Их решали в Вавилоне около 2000 лет до нашей эры, а Европа в 2002 г. отпраздновала 800летие квадратных уравнений, потому что именно в 1202 году итальянский ученый Леонард Фибоначчи изложил формулы квадратного уравнения. И лишь в 17 веке, благодаря Ньютону, Декарту и другим ученым эти формулы приняли современный вид. А вот понятие дискриминант придумал английский ученый Сильвестр, он называл себя даже “математическим Адамом” за множество придуманных терминов. В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто представлялись в стихотворной форм е. Вам уже известна задача знаменитого индийского математика XII века Бхаскары:

Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась,
А двенадцать по лианам
Стали прыгать, повисая
Сколько ж было обезьянок
Ты скажи мне, в этой стае?

Сколько обезьян забавлялась на поляне ?

Восьмая часть в квадрате

Сколько обезьян прыгали по лианам ?

Что нужно узнать в задаче?

Сколько всего обезьян.

По мере ответа учеников на слайде появляется решение задачи. ( слайд №12 )

Для закрепления знаний осуществляется раздача тестов. Проверка теста осуществляется путем обмена между собой. Учитель диктует правильные ответы.

Опорный конспект по теме «Квадратные уравнения»

Квадратное уравнение – это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где x – переменная, a, b и c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Пример квадратного уравнения:

Числаa, b и c–коэффициенты квадратного уравнения.

Числоaназываютпервым коэффициентом, число b – вторым коэффициентом, а число c – свободным членом.

Приведенное квадратное уравнение.

Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1, называют приведенным квадратным уравнением.

Примеры приведенного квадратного уравнения:

здесь коэффициент при x 2 равен 1 (просто единица во всех трех уравнениях опущена).

Неполное квадратное уравнение.

Если в квадратном уравнении ax 2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называютнеполным квадратным уравнением.

Примеры неполного квадратного уравнения:

здесь есть коэффициент а, который равен -2, есть коэффициент c, равный 18, а коэффициента b нет – он равен нулю.

здесьа = 1, b = -5, c = 0 (поэтому коэффициент c в уравнении отсутствует).

Как решать квадратные уравнения.

Чтобы решить квадратное уравнение, надо совершить всего два действия:

1) Найти дискриминант D по формуле:

Если дискриминант – отрицательное число, то квадратное уравнение не имеет решения, вычисления прекращаются. Если D ≥ 0, то

2) Найти корни квадратного уравнения по формуле:

Сначала определимся с коэффициентами нашего уравнения:

D = b 2 – 4ac = (–5) 2 – 4 · 3 · (–2) = 25 + 24 = 49.

D > 0, значит, уравнение имеет смысл, а значит, можем продолжить.

Находим корни квадратного уравнения:

Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант.

Латинской буквой D обозначают дискриминант.

Дискриминант — это выражение, от которого зависит число корней данного уравнения.

Если D 0 , то уравнение имеет два корня.

Пример. Решим уравнение 12x 2 + 7x + 1 = 0.

Сначала вычислим дискриминант.

Мы видим, что а = 12, b = 7, c = 1.

D = b 2 – 4ac = 7 2 – 4 · 12 · 1 = 49 – 48 = 1.

D > 0. Значит, уравнение имеет корни (причем два корня), а значит, можно вычислять дальше.

Чтобы найти корни, применим формулу корней квадратного уравнения:

Находим оба значения x:

Из формулы №1 можно получить другую формулу, которой удобно пользоваться в случаях, когда второй коэффициент – четное число. В этом случае раскладываем его на множители, один из которых – множитель 2. То есть второй коэффициент представляем в виде 2k, где k – это половина изначально заданного числа. Тогда удобно пользоваться формулой:

Пример. Решим уравнение 5x 2 – 16x + 3 = 0.

Записываем -16x в виде 2 · (-8x). Тогда k = -8, a = 5, c = 3. Мы уже можем найти дискриминант D₁:

D₁ = k 2 – ac = (-8) 2 – 5 · 3 = 64 – 15 = 49.

Теперь находим оба значения x:

При решении квадратного уравнения по данным формулам целесообразно поступать следующим образом:

1) вычислить дискриминант и сравнить его с нулем;

2) если дискриминант положителен или равен нулю, то воспользоваться формулой корней; если дискриминант отрицателен, то записать, что корней нет.