Конспект по теме тригонометрические уравнения

Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений»

Разделы: Математика

Образовательные:
– актуализировать знания учащихся по теме “Решение тригонометрических уравнений” и обеспечить их применение при решении задач вариантов ЕГЭ;
– рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;
– закрепить навыки решения тригонометрических уравнений.

Развивающие:
– содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;
– формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;
– отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.

Воспитательные:
– вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;
– способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Оборудование: компьютер и мультимедийный проектор.

1. Вводно-мотивационная часть.

1.1. Организационный момент.

Задачи этапа: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению.

Учитель: Здравствуйте, садитесь! Сегодня мы проводим урок обобщения по теме “Общие методы решения тригонометрических уравнений”. Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ.

Эпиграфом нашего урока будут такие слова:

Результат учения равен
произведению способности
на старательность.
Если старательность равна нулю,
То и все произведение равно нулю.
А способности есть у каждого.

2. Проверка готовности учащихся к уроку.

Учитель: Все готовы к уроку? Итак, внимание. Начинаем!

3. Озвучивание целей урока и плана его проведения.

Учитель: Сегодня на уроке мы с вами должны решить тригонометрические уравнения (задание на столах. Приложение 1). Как вы думаете, что мы должны знать, чтобы приступить к их решению?

– Табличные значения тригонометрических функций.
– Формулы тригонометрии.
– Способы решения тригонометрических уравнений.
– Формулы корней простейших тригонометрических уравнений.

1.2. Устная работа.

Задачи этапа: актуализировать знания и умения учащихся, которые будут использованы на уроке.

Учитель: давайте вспомним формулы тригонометрии (на экране появляется начало формулы, учащиеся говорят продолжение формулы, затем правильный ответ появляется на экране).

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

Задачи этапа: обеспечивать развитие у учащихся общеучебных умений и навыков: умение анализировать, синтезировать, сравнивать, обобщать, поиск способов решения, отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений.

Учитель: А теперь выполним самостоятельную работу.

1 ) Найдите значения тригонометрических выражений:

На экране проецируется задание.

2.2. Рефлексивно-оценочная часть урока. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

Задачи этапа: дать качественную оценку работы каждого ученика по выполнению самостоятельной работы.

После выполнения задания на экране появляются ответы, учащиеся сами себя проверяют.

Учитель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:

План- конспект урока на тему «Тригонометрические уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

ПЛАН- КОНСПЕКТ УРОКА 27 « Тригонометрические уравнения »

Приветствовать обучающихся, отметить отсутствующих.

Проверить подготовленность обучающихся к учебному занятию.

Подготовится к учебному занятию.

Проверка выполнения домашнего задания

Ответы на вопросы по домашнему заданию (решение примеров)

Контроль усвоения материала. «Тригонометория вокруг нас»

Найти предметы, имеющие форму прямоугольного треугольника, вокруг вас.

Вспомнить основные ТФ. Показать отношения в прямоугольном треугольнике.

Тригонометрические функции острого угла есть отношения различных пар сторон прямоугольного треугольника

1) Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin A = a / c .

2) Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos A = b / c .

3) Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему: tan A = a / b .

4) Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему: cot A = b / a .

5) Секанс — отношение гипотенузы к прилежащему катету: sec A = c / b .

6) Косеканс — отношение гипотенузы к противолежащему катету: cosec A = c / a .

Ответить на вопросы

Показать д — е задание.

Подготовка обучающихся к работе на основном этапе

Цели урока: Образовательные: — актуализировать знания учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений» и обеспечить их применение при решении задач;

— рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;

— закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;

— познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

Развивающие: — содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;

— формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;

— отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.

Воспитательные:- вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;

— способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.

Мобилизирующий момент: Составим кластер на тему «Уравнения».

Объявление темы урока

Тема Раздел 4. Тригонометрические уравнения.

Простейшие тригонометрические уравнения.

Методы решения тригонометрических уравнений.

Подготовить тетради и ручки.

Участвовать в составлении кластера.

Алгебра и начала математического анализа.

Формирование новых знаний и способов деятельности

Консультация Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим .

Простейшие тригонометрические уравнения.

Внимательно слушать консультацию. Записывать важные информации.

Алгебра и начала математического анализа.

Первичная проверка понимания изученного материала

Составим кластер «Что мы узнали о тригонометрических уравнениях».

Работа на доске.

Закрепление новых знаний и способов деятельности

Методы решения тригонометрических уравнений. Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида ( см. выше ) и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод . Этот метод нам хорошо известен из алгебры

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители . Этот метод рассмотрим на примерах.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево: sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4 x cos 2 x = 2 cos ² 4 x ,

cos 4 x · ( cos 2 x – cos 4 x ) = 0 ,

cos 4 x · 2 sin 3 x · sin x = 0 ,

1). cos 4 x = 0 , 2). sin 3 x = 0 , 3). sin x = 0 ,

Приведение к однородному уравнению. Уравнение называется однородным относительно sin и cos , если все его члены одной и той же степениотносительно sin и cos одного и того же угла . Чтобы решить однородное уравнение, надо:

а ) перенести все его члены в левую часть;

б ) вынести все общие множители за скобки;

в ) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени;

д ) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4 y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = -1, y ₂ = -3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу. Рассмотрим этот метод на примере:

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла. Рассмотрим уравнение вида:

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:

6. Преобразование произведения в сумму . Здесь используются соответствующие формулы.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin 2 x · sin 6 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

cos 4 x – cos 8 x = cos 4 x ,

7. Универсальная подстановка. Рассмотрим этот метод на примере.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 4 cos x = 3 .

Таким образом, решение даёт только первый случай.

Решить примеры вместе с преподавателем. Записывать важные информации.

Алгебра и начала математического анализа. 10-11 Алимов Москва 2014

Применение знаний и способов деятельности

Учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11», Алимов. стр192 620-623

Работа на доске.

Обобщение и систематизация знаний

Фронтальный опрос «Место тригонометрии в моей будущей профессии?»

Контроль и самоконтроль усвоения знаний и способов деятельности

1. Уравнение sin x –3 cos x = 0 решается методом:

а) введения новой переменной;

б) разложения на множители;

в) деления обеих частей уравнения на cosx;

г) деления обеих частей уравнения на cos 2 x.

2. Решением уравнения cos 2 x–cos x–2=0 являются:

а) х=2 k, k ;

б) х= + k, k ;

в) х= arccos 2+2 k, х= +2 k, k ;

3.Решением уравнения 3cos 2 x=sin x cos x являются:

а) х= arctg 3+ k, k ;

б) х= + k, x=arctg 3+ k, k ;

в) х= +2 k, х=arctg 3+ k, k ;

г) x=arctg 3+ k, k .

4. Наименьший положительный корень уравнения sin 2x=cos 2x равен:

а) ; б) ;

в) ; г) .

5. Уравнение 3sin x cos x–2cos x=0 решается методом:

а) введения новой переменной;

б) разложения на множители;

в) деления обеих частей уравнения на cosx;

г) деления обеих частей уравнения на cos 2 x.

Коррекция знаний и способов деятельности

Метод «Вопрос — ответ»- обучающийся- преподаватель, обучающийся- обучающийся.

Информация о домашнем задании

Учебник «Алгебра и начала математического анализа 10-11», Алимов §33 ,34, 35,36 прочитать и конспектировать, № 624-627

Записать домашнее задание

Алгебра и начала анализа

Подведение итогов занятия и рефлексия

Дать качественную оценку работы всей группы и отдельных обучающихся. Рефлексия групповая « Знал. Узнал. Хочу знать. »

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №47. Методы решения тригонометрических уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Формирование системы знаний и умений решать тригонометрические уравнения различными методами;
Применение метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений;
Применение метода оценки при решении тригонометрических уравнений;
Прием домножения левой и правой частей уравнения на тригонометрическую функцию при решении тригонометрических уравнений.

Глоссарий по теме

Теорема — основа метода разложения на множители

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Теорема — основа метода замены переменной

Уравнение равносильно на ОДЗ совокупности уравнений

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс.327-332

Шахмейстер А.Х. Тригонометрия. М.: Издательство МЦНМО : СПб.: «Петроглиф» : «Виктория плюс», 2013. – 752 с.: илл. ISBN 978-5-4439-0050-6, сс.219-221, 245-262

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На этом уроке мы продолжаем заниматься решением тригонометрических уравнений. И здесь мы рассмотрим такие методы как разложение на множители, метод оценки, а также продолжим решать тригонометрические уравнения методом замены переменной. Кроме того, мы узнаем, как использовать домножение правой и левой частей уравнений для получения более простого уравнения, как использовать тригонометрические формулы для решения уравнений.

Сейчас выполните несколько заданий.

Представьте в виде произведения:

Используем формулы приведения, затем формулу преобразования суммы косинусов в произведение:

(На последнем шаге мы фактически использовали формулу двойного аргумента:

Ответ: .

Воспользуемся формулой понижения степени и формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов. Появившийся при этом общий множитель вынесем за скобки:

Воспользуемся тем, что косинус – функция четная и известным значением косинуса. В результате получим:

При выполнении этого задания будем использовать прием домножения о деления левой части на одно и то же тригонометрическое выражение.

Но сначала заметим, что .

Теперь запишем левую часть: .

теперь домножим и разделим это выражение на : .

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и получим:

. Теперь еще раз воспользуемся формулой двойного аргумента, предварительно домножив числитель и знаменатель на 2:

Учитывая, что , получаем: .

То есть исходное равенство верно.

Объяснение новой темы

1. Рассмотрим метод разложения на множители

Теоретической основой метода разложения на множители является теорема:

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Для того чтобы применить эту теоремы, нужно исходное уравнение привести к виду , используя разные приемы.

Решить уравнение:

Перенесем правую часть уравнения в левую и преобразуем:

, .

Ответ: .

В этом случае мы использовали метод группировки для разложения на множители тригонометрического выражения.

Часто для преобразования выражения в произведение нужно использовать тригонометрические формулы. Рассмотрим такой пример:

Решить уравнение:

Преобразуем разность синусов в произведение:

Теперь вынесем за скобку общий множитель:

И решим каждое из двух уравнений: .

. Заметим, что вторая серия решений включается в первую. Поэтому мы можем оставить в ответе только первую серию.

Ответ: .

2. Замена переменной

Еще один метод решения тригонометрических уравнений — это метод разложения на множители. Мы уже знакомились с ним, когда решали уравнения, сводимые к квадратному или другому алгебраическому уравнению, когда решали однородные уравнения, а также знакомились с универсальной тригонометрической подстановкой. На этом уроке мы познакомимся еще с одной заменой, которая позволяет решать тригонометрические уравнения.

Рассмотрим уравнение вида:

или .

Для его решения введем новую переменную .

Тогда .

Выразим отсюда (или ).

Решите уравнение

Сделаем замену . Тогда .

Вспомогательное уравнение имеет вид:

Вернемся к исходной переменной:

Решим каждое из этих уравнений с помощью формулы введения вспомогательного угла:

, .

Так как , то оба уравнения имеют решения:

, .

Ответ: .

3. Теперь рассмотрим метод оценки

Часто этот метод применяют в том случае, когда уравнение включает в себя функции разного типа, например, тригонометрические и показательные, и обычные преобразования на приводят к результату. Но мы рассмотрим метод оценки при решении тригонометрических уравнений. Он основан на свойстве ограниченности тригонометрических выражений.

Решить уравнение: .

Мы знаем, что . С другой стороны, для того чтобы произведение двух различных чисел было равно 1, то они должны быть взаимно обратными, то есть если одно из них меньше 1,то другое больше 1. Но так как косинус больше 1 быть не может, то равенство может выполняться только в двух случаях:

или .

Вторая система ни при каких значениях k и n не имеет решений.

Первая система имеет решения при n=3m, k=2m, поэтому ее решения, а значит, и решение уравнения:

Ответ:

Рассмотрим еще один пример, в котором метод оценки применяется для решения уравнения, правая и левая части которого являются функциями разного типа.

Рассмотрим левую часть уравнения и преобразуем его:

Поэтому

Теперь рассмотрим правую часть: .

Поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет

Рассмотрим несколько задач.

Домножим уравнение на 2 и воспользуемся формулой понижения степени:

Теперь воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов с произведение:

Теперь перенесем правую часть в левую и вынесем за скобку общий множитель:

Теперь используем формулу преобразования разности косинусов в произведение:

Теперь решим три простейших тригонометрических уравнения:

, .

В этом случае достаточно оставить первые две серии решений, так как числа вида при нечетных значениях m попадают в первую серию решений, а при четных — во вторую.