Конспект решение простейших тригонометрических уравнений

Тема урока: «Решение простейших тригонометрических уравнений». 10-й класс

Разделы: Математика

Класс: 10

Тип занятия: изучение нового материала.

Цели урока:

• Дидактическая: ввести понятия простейших тригонометрических уравнений, формул их корней; закрепить умение находить значения обратных тригонометрических функций
• Развивающая: формировать умение анализировать, искать аналоги и различные варианты решения.
• Воспитательная: воспитывать внимательность, уверенность; активность, наблюдательность; стремление в взаимовыручке, умение работать в группе и самостоятельно.

Форма проведения: работа в группах, индивидуальная, самостоятельная.

Формы контроля: текущий.

Оборудование: презентация «Простейшие тригонометрические уравнения», проектор, экран; доска, цветной мел; листы отчета работы в группах; карточки-тесты, индивидуальные задания на карточках; листы.

В результате изучения новой темы студенты должны:

• знать: понятия простейших тригонометрических уравнений и формулы их корней; частные случаи простейших тригонометрических уравнений;
• уметь: применять формулы корней уравнений при решении упражнений; находить значения обратных тригонометрических функций на единичной окружности.

План проведения занятия:

1. Организационный момент
2. Проверка знаний, воспроизведение и коррекция опорных знаний.
   • Тест с выбором ответа (по 2 вариантам)
3. Мотивационный момент
4. Изучение нового материала
5. Первичное применение приобретенных знаний
   • Работа под руководством преподавателя
   • Работа в группах
6. Рефлексия
   • Самостоятельная работа студентов
7. Итог занятия
8. Задание на дом

Структура занятия

1. Организационный момент

2. Проверка знаний, воспроизведение и коррекция опорных знаний.

Тест с выбором ответа по 2 вариантам на карточках. (Приложение)

3. Мотивационный момент

– обоснование необходимости изучения данной темы, сообщение темы
– вовлечение студентов в процесс постановки целей и задач занятия (Приложение \ Презентация, слайды № 1-2)

4. Изучение нового материала

Определение Простейшие тригонометрические уравнения – уравнения вида Sinx = a, Cosx = a, tgx = a, ctgx = a.

Решить простейшее тригонометрическое уравнение – значит найти множество всех значений аргумента, при котором данная тригонометрическая функция принимает значение а.

Рассмотрим решения данных уравнений

Т.к. функция у = Cosxимеет смысл при , то рассмотрим основные случаи решения данного уравнения.

Рассмотрим ещё несколько случаев решения данного уравнения, при решении которых используется единичная окружность.

(разбираем решение на доске).

Уравнение Sinx = a

Т.к. функция у = Sinxтакже имеет смысл при , то аналогично рассмотрим основные случаи решения данного уравнения.

при .

Рассмотрим также несколько случаев решения данного уравнения, при решении которых используется единичная окружность.

1) (разбираем решение на доске).

2) (разбираем решение по презентации)

Уравнение tgx = a (вспомнить линиюtgxна окружности!)

.

Т.о.

Уравнение ctgx = a

Аналогично рассматривается

(разбираем решение на доске).

5. Первичное применение приобретенных знаний

Работа под руководством преподавателя

№ 1. Решить уравнения:

а)
б)

Работа в группах

Разделяю студентов на группы, выдаю листы отчета работы в группах
№ 2. Решить уравнения (Приложение \ Презентация – слайд № 14)
Далее проводим проверку и разбор решения по ответам на экране (Приложение \ Презентация, слайд № 15)

6. Рефлексия

Самостоятельная работа студентов

Проводится в трех вариантах + Работа по индивидуальным заданиям – карточкам
Задания по вариантам – Приложение \ Презентация, слайд № 16)
Задания по карточкам – Приложение
Проверка и оценивание самостоятельной работы и оценок по карточкам проводится во время записи домашнего задания студентами

7. Итог урока

Во фронтальной беседе повторить основные моменты нового материала. Подведение итогов, выставление оценок.

8. Задание на дом:

а) теория – учебник Н.В. Богомолова «Математика» (п. 39), конспект

конспект урока-лекции «Решение простейших тригонометрических уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

МОУ В И Д Н О В С К А Я Г И М Н А З И Я

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ОТКРЫТОГО УРОКА – ЛЕКЦИИ

ПО АЛГЕБРЕ И НАЧАЛАМ АНАЛИЗА В 10 КЛАССЕ ПО ТЕМЕ:

« РЕШЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

Учитель математики МОСОЛОВА Н.А.

2007 – 2008 учебный год

УРОК — ЛЕКЦИЯ (2 часа)

ЦЕЛЬ УРОКА : Создание у учащихся целостного представления о тригонометрических уравнениях. Сформировать у них умения и навыки, которые обеспечат успешное решение простейших тригонометрических уравнений.

1. Обеспечить в ходе урока повторение следующих основных понятий: арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа.

2. Продолжить развивать у учащихся умение выделять главное, существенное в изучаемом материале, обобщать изучаемые факты, составлять конспект по вопросам теории, логически излагать мысли.

3. Привлечь учащихся к объяснению отдельных этапов доказательства на основе фронтальной беседы с классом.

1. Кодоскоп, плакаты, карточки с вопросами.

2. Вопросы к уроку имеются на каждом столе у учащихся, по этим вопросам учащиеся дома самостоятельно готовятся к уроку (вопросы к уроку прилагаются).

3. У каждого учащегося имеются планшеты с графиками тригонометрических функций

Х О Д У Р О К А:

1. Подготовка к восприятию нового материала начинается с устной работы с классом ( кодоскоп)

а) Найти значение тригонометрических функций, если известен угол:

б) Обратная задача: найти .

в) Как называется число, которое обращает уравнение в верное числовое равенство? (подошли к теореме о единственности корня.

г) Можно эту теорему доказать, можно дать только формулировку, это зависит от уровня математической подготовленности класса.

2. Объяснение нового материала:

Обратим внимание на графики функций

Каждая из этих функций возрастает (убывает) на каком-то промежутке.

• а) для графика у = sin x это промежуток (выбираем промежуток ближе к началу координат). Если есть уравнение sin x = a , то на этом промежутке есть одно число « b », удовлетворяющее данному уравнению (х = b ).

Вопрос к аудитории: Какие значения может принимать «а»?

Итак, еще раз повторим уравнение sin x = a будет иметь корни тогда и только тогда, когда | a | 1 . Решим уравнение sin x = a графическим способом, построим графики функций у = sin x и у = а.

X ₁ = arcsin a + 2

X ₂ = , т . к .

к = 2 n и к = 2 n+1 , то

Х =

ИСКЛЮЧЕНИЯ: sin x = 0, то х = П к, к

sin x = — 1, то х = —

sin x = 1, то х =

Например: Решить уравнения:

а)

б) (не табличное значение),

в) (нет корней)

г) .

• б) для графика функции у = cos x это промежуток , где функция убывает. Рассмотрим уравнение со s x = a . Какие значения может принимать «а»? ( | a | 1 ) . На экране высвечивается графики функций у = cos x и у = а , рассматривается решение тригонометрического уравнения со s x = a .

Х ₁ =

Х ₂ =

Х =

ИСКЛЮЧЕНИЕ: cos x = 0, то х =

cos x = -1, то х =

cos x = 1, то х =

а)

б)

в) (не табличное значение)

г) (нет корней).

• в) рассмотрим последние два тригонометрических уравнения tg x = a и ctg x = a . Функция у = tg x – возрастает на всей своей области определения. Для уравнения tg x = a рассматривается промежуток . Учащиеся могут самостоятельно записать корень данного уравнения х = . Функция у = ctg x — убывает на всей своей области определения и для уравнения ctg x = a рассматривается промежуток , х = . Исключений для этих двух тригонометрических уравнений – нет. Графический способ решения уравнений tg x = a и ctg x = a позднее показать на экране:

а)

б)

в)

г)

Может ли уравнение tg x = a не иметь корней?

Еще раз повторить основные моменты урока- лекции:

1. Формулы всех простейших тригонометрических уравнений.

3. Условие существования корня для тригонометрических уравнений

sin x = a, cos x = a.

4. Промежутки, в которых находятся корни всех простейших тригонометрических уравнений.

ДОПОЛНИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ уровня № 2 (для сильных учащихся).

б)

в)

Прочитать конспект урока. Выписать на обложку тетради все основные формулы для решения простейших тригонометрических уравнений и выучить их.

Выписать формулы исключения и выучить их.

Знать на каких промежутках решаются простейшие тригонометрические уравнения.

Знать условие существования корней для уравнений

sin x = a и cos x = a.

Решить по учебнику А.Н Колмогорова п. 8 — 9. № 136 – 143.

Конспект занятия » Простейшие тригонометрические уравнения»

Тема «Решение простейших тригонометрических уравнений»

Цели занятия:

• Вывести формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
• Сформировать у студентов первичные умения и навыки решения простейших тригонометрических уравнений.

• Развивать математическое мышление.
• Умение наблюдать, сравнивать, обобщать и анализировать математические ситуации.

• Воспитывать активность, самостоятельность, упорство и достижение цели.

Тип занятия: комбинированный.

Обеспечение занятия:

Наглядные пособия: таблицы значений тригонометрических функций, сводные таблицы решения тригонометрических уравнений.

ТСО: компьютер, интерактивная доска.

Оснащение ТСО: программа Microsoft office PowerPoint.

Вычислительные средства: микрокалькуляторы, таблицы значений тригонометрических функций.

Междисциплинарные связи: физика, информатика, геодезия, техническая механика, геофизика, гидрогеология.

Ход занятия:

1. Организационный момент:

Проверка отсутствующих, заполнение журнала.

Постановка темы и целей урока.

1. Проверка знаний:

Фронтальный опрос (устные вопросы слайд №2)

1. Дайте определение функции . Назовите ее область определения и область значения.
2. Чему равен ?
3. Сформулируйте определение арккосинуса числа.
4. Чему равен ?
5. Дайте определение функции . Назовите область определения и область значения этой функции.
6. Чему равен ?
7. Дайте определение арккотангенса числа.
8. Чему равен ?

Устный счет по таблицам значения тригонометрических функций:

Проверка домашней работы:

Студентам предлагается исправить ошибки решенной на доске домашней работы и сделать соответствующие комментарии. (6 человек по 1 примеру)

Домашняя работа на доске с ошибками:

Остальные студенты сверяют решение домашнего задания по своим тетрадям.

1. Объяснение нового материала:

Актуализация опорных знаний:

Обратные тригонометрические функции необходимы нам для изучения новой темы «Решение простейших тригонометрических уравнений»,

так как они используются при решении тригонометрических уравнений.

В курсе алгебры вы уже встречались с различными видами уравнений. Давайте вспомним какие это уравнения?

Предполагаемый ответ: линейные, квадратные, кубические, логарифмические, показательные, иррациональные.

Сегодня мы с вами познакомимся с тригонометрическими уравнениями.

Это не последние уравнения в математике, например, на втором курсе мы начнем решать дифференциальные уравнения.

3.1 (Слайд № 3: Определение и виды простейших тригонометрических уравнений)

Давайте запишем определение тригонометрического уравнения.

Тригонометрическим называется уравнение, содержащие переменную под знаком тригонометрической функции.

Сегодня мы рассмотрим решение простейших из них:

Решить тригонометрическое уравнение – это значит найти все его корни.

Корнем тригонометрического уравнения называется такое значение входящей в него переменной, которая удовлетворяет этому уравнению.

Рассмотрим уравнение вида .

Так как , то уравнение при и не имеет решений.

Период синуса равен , поэтому достаточно найти все решения этого уравнения на любом отрезке длины . Из рисунка видно что, что на отрезке синус возрастает и принимает каждое свое значение один раз. Следовательно, на этом отрезке . На отрезке синус убывает и принимает каждое свое значение тоже один раз. Чтобы найти решение на этом отрезке, вспомним что . Если , то

, и поэтому решением уравнения на отрезке будет .

Для получения всех решений уравнения к каждому из двух полученных решений прибавим числа вида где .Следовательно,

Обе серии решений можно объединить:

называют параметром, при к четном получается формула (1), при к нечетном получается формула (2)

3.3 (Слайд № 5: Частные случаи уравнения . )

При а=1 уравнение имеет решения , .

При а=-1 уравнение имеет решения ,

При а=0 уравнение имеет решения , .

3.4Уравнение вида: (Слайд №6: уравнение вида: )

Рассмотрим уравнение . При и уравнение не имеет решений, так как .

Так как период косинуса равен , то при для нахождения всех решений достаточно рассмотреть отрезок длины . Удобнее всего выбрать отрезок . Очевидно, что уравнение на отрезке имеет решение , а на отрезке — решение так как функция косинус четная. Таким образом на отрезке уравнение имеет решения

Чтобы записать все решения уравнения необходимо, учитывая периодичность косинуса, прибавить к каждому из найденных значений по , где . В итоге получим бесконечное множество решений

3.5(Слайд №7: Частные случаи уравнения )

При а=1 уравнение имеет решения , .

При а= -1 уравнение имеет решения ,

При а=0 уравнение имеет решения , .

3.6 Уравнения вида: , (Слайд №8: уравнения вида: , : )

Так как период тангенса равен , то для того чтобы найти все решения уравнения , достаточно найти все его решения на любом отрезке длины . По определению арктангенса решение уравнения на промежутке есть .

Для того чтобы получить все решения уравнения нужно к решению, полученному на отрезке длины , прибавить . Следовательно,,

И решение уравнения

(Слайд № 9:Сводная таблица решения простейших тригонометрических уравнений)

Сводная таблица решения простейших тригонометрических уравнений

Уравнение

Общее решение

Частные случаи

Студенты заполняют сводную таблицу по ходу объяснения материала.

4.Обобщение и систематизация знаний:

Решение примеров у доски.

1. Подведение итогов занятия:

Сегодня мы с вами познакомились с формулами для решения простейших тригонометрических уравнений и закрепили их при решении задач. На следующем занятии мы рассмотрим более сложные тригонометрические уравнения и познакомимся с методами их решения. Активным студентам выставление оценок.

Домашнее задание: §28, решить примеры (Слайд№10: домашнее задание).

Примеры для домашнего задания.

1. Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа: Учебник. Ч.1/ Под ред. Г.Н. Яковлева – М.: Наука, 1987 – 464с.
2. Н.В. Богомолов Практические занятия по математике: Учеб. Пособие для средних спец. Заведений / Н.В. Богомолов – М.: Высшая школа, 2003-495с.