Конспект уравнение плоскости 11 класс

Конспект по теме «Уравнение плоскости»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Метод координат. Уравнение плоскости.

Нормальный вектор плоскости – любой ненулевой вектор, который лежит на прямой, перпендикулярной к данной плоскости.

Существует бесконечное количество нормальных векторов данной плоскости. Если – нормальный вектор плоскости, то вектор (t≠0) – также нормальный вектор этой плоскости.

Каждый из векторов считается нормальным вектором соответственно плоскости Oyz, Oxy, Oxz.

Для определения координат нормального вектора достаточно знать уравнение плоскости вида Ax + By + Cz + D =0

Пример : Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(–1;2;–3) и два неколлинеарных вектора .

3(x+1) + 28(z+3) – 10(y-2) – (-15(z+3) + 4(y-2) + 14(x+1)) = 0 3x + 3 + 28z + 84 – 10y + 20 + 15z + 45 – 4y + 8 – 14x – 14 = 0

–11x – 14y + 43z + 146 = 0 => 11x + 14y – 43z – 146 = 0.

II. Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки M₀(x₀, y₀, z₀), M₁( x ₁ , y ₁ , z ₁ ), M ₂ ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ), не лежащие на одной прямой.

1 способ: Если точка, лежит на плоскости, то её координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости, т.е. подставляем координаты каждой точки в уравнение плоскости Ax + By + Cz + D =0 и решаем систему из трёх уравнений.

Пример : Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M(0; 1; 0), N(1; 0; 0),

,

Таким образом, уравнение искомой плоскости примет вид: –Dx – Dy + Dz + D = 0 │: (–D) => x + y – z – 1 = 0.

IV. Уравнение плоскости, проходящей через точку M(x₀, y₀, z₀), параллельно плоскости A₁x + B₁y + C₁z + D₁ =0.

У параллельных плоскостей один и тот же вектор нормали, поэтому искомое уравнение плоскости будет отличаться от данного только свободным коэффициентом, который можно найти, подставляя координаты точки M в уравнение A₁x + B₁y + C₁z + D = 0.

Уравнение плоскости, виды уравнения плоскости

В предыдущем разделе, посвященном плоскости в пространстве, мы рассмотрели вопрос с позиции геометрии. Теперь же перейдем к описанию плоскости с помощью уравнений. Взгляд на плоскость со стороны алгебры предполагает рассмотрение основных видов уравнения плоскости в прямоугольной системе координат O х у z трехмерного пространства.

Определение уравнения плоскости

Плоскость – это геометрическая фигура, состоящая из отдельных точек. Каждой точке в трехмерном пространстве соответствуют координаты, которые задаются тремя числами. Уравнение плоскости устанавливает зависимость между координатами всех точек.

Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат 0хуz имеет вид уравнения с тремя переменными х , у и z . Удовлетворяют уравнению координаты любой точки, лежащей в пределах заданной плоскости, не удовлетворяют координаты любых других точек, которые лежат вне заданной плоскости.

Подстановка в уравнение плоскости координат точки данной плоскости, обращает уравнение в тождество. При подстановке координат точки, лежащей вне плоскости, уравнение превращается в неверное равенство.

Уравнение плоскости может иметь несколько видов. В зависимости от специфики решаемых задач уравнение плоскости может быть записано по-разному.

Общее уравнение плоскости

Сформулируем теорему, а затем запишем уравнение плоскости.

Всякая плоскость в прямоугольной системе координат O x y z в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида A x + B y + C z + D = 0 , где А , В , С и D – некоторые действительные числа, которые одновременно не равны нулю. Всякое уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 , определяет плоскость в трехмерном пространстве

Уравнение, имеющее вид A x + B y + C z + D = 0 носит название общего уравнения плоскости. Если не придавать числам А , В , С и D конкретных значений, то мы получаем уравнение плоскости в общем виде.

Важно понимать, что уравнение λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 , будет точно так же определять плоскость. В уравнении λ — это некоторое отличное от нуля действительное число. Это значит, что равенства A x + B y + C z + D = 0 и λ · A x + λ · B y + λ · C z + λ · D = 0 равнозначны.

Общим уравнениям плоскости x — 2 · y + 3 · z — 7 = 0 и — 2 · x + 4 · y — 2 3 · z + 14 = 0 удовлетворяют координаты одних и тех же точек, расположенных в трехмерном пространстве. Это значит, что они задают одну и ту же плоскость.

Дадим пояснения к рассмотренной выше теореме. Плоскость и ее уравнение неразделимы, так как каждому уравнению A x + B y + C z + D = 0 соответствует плоскость в заданной прямоугольной системе координат, а каждой плоскости, расположенной в трехмерном пространстве, соответствует ее уравнение вида A x + B y + C z + D = 0 .

Уравнение плоскости A x + B y + C z + D = 0 может быть полным и неполным. Все коэффициенты А , B , С и D в полном уравнении отличны от нуля. В противном случае, общее уравнение плоскости считается неполным.

Плоскости, которые задаются неполными уравнениями, могут быть параллельны координатным осям, проходить через оси координат, совпадать с координатными плоскостями или располагаться параллельно им, проходить через начало координат.

Рассмотрим положение в пространстве плоскости, заданной уравнением 4 · y — 5 · z + 1 = 0 .

Она параллельна оси абсцисс и располагается перпендикулярно по отношению к плоскости O y z . Уравнение z = 0 определяет координатную плоскость O y z , а общее уравнение плоскости вида 3 · x — y + 2 · z = 0 соответствует плоскости, которая проходит через начало координат.

Важное уточнение: коэффициенты А , В и С в общем уравнении плоскости представляют собой координаты нормального вектора плоскости.

Когда говорят об уравнении плоскости, то подразумевают общее уравнение плоскости. Все виды уравнений плоскости, которые мы разберем в следующем разделе статьи, получают из общего уравнения плоскости.

Нормальное уравнение плоскости

Нормальное уравнение плоскости – это общее уравнение плоскости вида A x + B y + C z + D = 0 , которое удовлетворяет следующим условиям: длина вектора n → = ( A , B , C ) равна единице, т.е. n → = A 2 + B 2 + C 2 = 1 , а D ≤ 0 .

Также запись нормального уравнения плоскости может иметь следующий вид cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 , где p – это неотрицательное число, которое равно расстоянию от начала координат до плоскости, а cos α , cos β , cos γ — это направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины.

n → = ( cos α , cos β , cos γ ) , n → = cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1

То есть, согласно нормальному уравнению плоскости, плоскость в прямоугольной системе координат O х у z удалена от начала координат на расстояние p в положительном направлении нормального вектора этой плоскости n → = ( cos α , cos β , cos γ ) . Если p равно нулю, то плоскость проходит через начало координат.

Плоскость задана общим уравнением плоскости вида — 1 4 · x — 3 4 · y + 6 4 · z — 7 = 0 . D = — 7 ≤ 0 , нормальный вектор этой плоскости n → = — 1 4 , — 3 4 , 6 4 имеет длину, равную единице, так как n → = — 1 4 2 + — 3 4 2 + 6 4 = 1 . Соответственно, это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости.

Для более детального изучения нормального уравнения плоскости мы рекомендуем перейти в соответствующий раздел. В теме приведены разборы задач и характерные примеры, а также способы приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду.

Уравнение плоскости в отрезках

Плоскость отсекает на координатных осях O х , O у и O z отрезки определенной длины. Длины отрезков задаются отличными от нуля действительными числами a , b и с . Уравнение плоскости в отрезках имеет вид x a + y b + z c = 1 . Знак чисел а , b и с показывает, в каком направлении от нулевого значения следует откладывать отрезки на координатных осях.

Построим в прямоугольной системе координат плоскость, которая задана уравнением формулы плоскости в отрезках x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .

Точки удалены от начала координат в отрицательном направлении на 5 единиц по оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении по оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении по оси аппликат. Отмечаем точки и соединяем их прямыми линиями.

Плоскость полученного треугольника является плоскостью, соответствующей уравнению плоскости в отрезках, имеющего вид x — 5 + y — 4 + z 4 = 1 .

Более подробно информация об уравнении плоскости в отрезках, приведении уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости размещена в отдельной статье. Там же приведен ряд решений задач и примеров по теме.

Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.
план-конспект занятия по геометрии (10, 11 класс)

Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Составление уравнений сферы, плоскости, прямой.

Цели: формировать умение обучающихся решать задачи на данную тему; развивать логическое мышление, пространственное воображение; умение сравнивать, проводить аналогию, воспитание трудолюбия, усердия в достижении цели, формировать общие компетенции ОК.2, ОК.3, ОК.4, ОК.5, ОК.6.

Справочный материал и примеры.

Теоретический материал для самостоятельного изучения:

Общее уравнение прямой имеет вид: Ax + By + C , где А, В, С – некоторые числа. При этом коэффициенты одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл.

Вектор нормали — это вектор, перпендикулярный искомой прямой. Вектор нормали чаще всего записывается так: ( n 1; n 2 ) Координаты точки ( х 0 ; у 0 ) .

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору: Если известна некоторая точка, принадлежащая прямой, и направляющий вектор этой прямой, то уравнение данной прямой можно составить по формуле: n 1 (x-х 0 )+n 2 (y-у 0 )=0

Общее уравнение плоскости:

Общее уравнение плоскости имеет вид Ax +By+Cz+D=0 , где коэффициенты A, B, C, D одновременно не равны нулю.

Уравнение плоскости по точке и направляющему вектору: Если известна некоторая точка, принадлежащая плоскости, и вектор n, перпендикулярный этой плоскости (который называют вектором нормали к плоскости), то уравнение данной плоскости можно составить по формуле:

A(x-х 0 )+B(y-у 0 )+C(z-z 0 )=0

Уравнение поверхности сферы:

Сфера радиуса R с центром в начале координат представлена уравнением второй степени. x 2 +y 2 +z 2 =R 2 (R – радиус сферы)

Сфера радиуса R центр которой не совпадает с началом координат представлена другим уравнением второй степени.

(x−a) 2 +(y−b) 2 +(z−c) 2 =R 2 (R — радиус сферы; a, b, c — смещение центра сферы относительно центра координат)

Задания для практической работы:

1. Составить уравнение сферы радиуса R = 5 с центром в начале координат.
2. Найти центр и радиус сферы (х+ 4) 2 + (y —3) 2 + z 2 =100.
3. Написать уравнение сферы с центром в точке С (2; —3; 5) и радиусом, равным 6.
4. Составить уравнение прямой по точке и направляющему вектору М (4, -2), n (3,2)
5. Составить уравнение плоскости по точке Р (4, -2; -1) и вектору нормали, n (-5;3,-2)
6. Доказать, что уравнение х 2 + у 2 + z 2 —2х+ 4у—6z+ 5 = 0, является уравнением сферы.
7. Найти уравнение прямой, проходящей через две точки: (-1, 2) и (2, 1).
8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной вектору ВС, если А(-4; 2; -1), В(1; 2;-1), С(-2; 0; 1).

1. Какой вид имеет общее уравнение плоскости?
2. Какой вид имеет уравнение плоскости по точке и вектору нормали?
3. Какой вид имеет уравнение прямой по точке и направляющему вектору?
4. Какой вид имеет общее уравнение прямой?
5. Какой вид имеет уравнение сферы?