Конспект уравнения и системы уравнений

Конспект обобщающего урока по теме «Уравнения и системы уравнений». 9-й класс

Класс: 9

Цель. Обобщение и систематизация практических умений по теме “Уравнения и системы уравнений”.

Ход занятия

План урока.

1. ИВУ
2. Тренаж в ПСС
3. Проверочная работа.
4. Работа в ПСС по методике ВОЗ.
5. Итог.

Информационный ввод учителя.

– Мы будем закреплять теоретические знания и практические умения по теме “Уравнения и системы уравнений” с использованием методик ВТ и ВОЗ технологии КСО.

Прежде, чем мы приступим к работе по методике ВТр, повторим, какие виды уравнений вы знаете?

– Какое уравнение называют биквадратным?

– Что называется системой уравнений?

– Что значит решить систему уравнений?

– Какие способы решения систем уравнений вы знаете?

– Так как вы будете работать по методике взаимообмен заданиями, то нужно повторить правила и алгоритм работы в паре.

Ознакомься с заданием карточки.

А) Выполни оба задания;

Б) Проверь по решебнику.

Работа с напарником.

а) Выполни с объяснением задание “А” у напарника в тетради (вполголоса проговаривая объяснение);

б) Напарник слушает;

в) Отложи карточку;

г) Выслушай объяснение напарника. Напарник делает запись в твою тетрадь, проговаривая вполголоса объяснение.

а) Задание “В” выполняйте самостоятельно;

б) Проверьте друг у друга;

в) Исправьте ошибки;

г) Поблагодарите друг друга.

Ищите новую пару.

Тренаж в парах сменного состава.

3. Работа в ПСС.

Четыре сводных отряда.

Тема карточек	Отрабатываются умения	Задания для взаимообмена	Упражнения для само- и взаимоконтроля
1. Целое уравнение	Решать целое квадратное уравнение.	Решите уравнения	А) (8х-1)(2х-3)-(4х-1) 2 =38 В) (6-х)(6+х)-(х-11)х=36
2. Уравнения, приводимые к квадратным.	Решать уравнения с помощью введения вспомогательной переменной	Решите уравнения.	А) (х 2 +3) 2 -11(х 2 +3)+28=0 В) (х 2 -4х) 2 +9(х 2 -4х)+20=0
3. Биквадратные уравнения.	Решать биквадратные уравнения.	Найдите корни биквадратного уравнения.	А) х 4 -5х 2 -36=0 В) у 4 -6у 2 +8=0
4. Графический способ решения систем уравнения.	Умение решать уравнения графическим способом.	Решите графически систему уравнений.	А) В)
5. Решение систем уравнений способом подстановки.	Умение решать системы уравнений способом подстановки.	Решите способом подстановки систему уравнений.	А) В)
6. Решение систем уравнений способом сложения.	Умение решать уравнения способом сложения.	Решите систему уравнений, используя способ сложения.	А) В)

4. Самостоятельная работа.

Для каждого учащего приготовлены карточки с заданиями типа:

1. Решите уравнение:

2. Решите систему уравнений:

5. Итог.

Подведение итогов работы в ПСС.

Слово командирам сводных отрядов.

• Выполнено 5-6 карточек – отметка “5”;
• 4 карточки – отметка “4”.

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №14. Алгебраические системы уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1) определение алгебраической системы уравнений;

2) методы решений алгебраических систем уравнений;

3) симметрические системы уравнений.

Глоссарий по теме

Системами уравнений называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения систем.

Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство, другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы.

Систему уравнений называют однородной, если P(x;y), Q(x;y) — однородные многочлены одной и той же степени, а а и b — действительные числа.

Уравнение P(x;y)= а, где, называют симметрическим, если P(х;y) — симметрический многочлен.

Систему двух уравнений с двумя переменными называют симметрической системой, если оба ее уравнения — симметрические.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

К определению системы уравнений будем подбираться постепенно. Сначала лишь скажем, что его удобно дать, указав два момента: во-первых, вид записи, и, во-вторых, вложенный в эту запись смысл. Остановимся на них по очереди, а затем обобщим рассуждения в определение систем уравнений.

Пусть перед нами несколько каких-нибудь уравнений. Для примера возьмем два уравнения 2·x+y=−3 и x=5. Запишем их одно под другим и объединим слева фигурной скобкой:

Записи подобного вида, представляющие собой несколько расположенных в столбик уравнений и объединенных слева фигурной скобкой, являются записями систем уравнений.

Что же означают такие записи? Они задают множество всех таких решений уравнений системы, которые являются решением каждого уравнения.

Не помешает описать это другими словами. Допустим, какие-то решения первого уравнения являются решениями и всех остальных уравнений системы. Так вот запись системы как раз их и обозначает.

А теперь можно сформулировать определение.

Определение. Системами уравнений называют записи, представляющие собой расположенные друг под другом уравнения, объединенные слева фигурной скобкой, которые обозначают множество всех решений уравнений, одновременно являющихся решениями каждого уравнения систем.

Мы будем решать сегодня, в основном, системы уравнений с двумя переменными.

Определение. Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство, другими словами, являющаяся решением каждого уравнения системы.

Рассмотрим методы решения систем уравнений.

Методы решения систем уравнений.

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными x,y методом подстановки:
1. Выразить одну переменную через другую из одного уравнения системы (более простого).
2. Подставить полученное выражение вместо этой переменной в другое уравнение системы.
3. Решить полученное уравнение и найти одну из переменных.
4. Подставить поочередно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения в уравнение, полученное на первом шаге и найти вторую переменную.
5. Записать ответ в виде пар значений, например, (x;y), которые были найдены соответственно на третьем и четвёртом шаге.

Решить систему уравнений

1. Выразим x через y из второго (более простого) уравнения системы x=5+y.

2. Подставим полученное выражение вместо x в первое уравнение системы (5+y)⋅y=6

3. Решим полученное уравнение:

4. Подставим поочерёдно каждое из найденных значений y в уравнение x=5+y, тогда получим:

5. Пары чисел (−1;−6) и (6;1) — решения системы.

1. Метод алгебраического сложения

Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными x,y методом сложения:
1. Уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных.
2. Сложить или вычесть уравнения.
3. Решить полученное уравнение с одной переменной.
4. Подставить поочерёдно каждый из найденных на третьем шаге корней уравнения в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное.

5. Записать ответ в виде пар значений, например, (x;y), которые были найдены.

1. Метод введения новых переменных

При решении систем двух уравнений с двумя переменными метод введения новых переменных можно применять двумя способами:

1. вводится одна новая переменная и используется только в одном уравнении системы;

2. вводятся две новые переменные и используются одновременно в обоих уравнениях системы.

Решение: введем новые переменные xy= u, x+y=v.

Тогда систему можно переписать в более простом виде:

Решением системы является две пары чисел.

Первая пара чисел:

Вторая пара чисел:

Однако пара (0;0), являющаяся решением первого уравнения системы, не удовлетворяет второму уравнению, т. к. 0²-3·0·0 + 0² = 0 ≠-1. Отсюда х ≠0, и поэтому можем обе части первого уравнения системы разделить на х² ≠ 0 (это не приведет к потере корней). Разделив обе части первого уравнения системы на х², получим

.

получим t² -1 — 2 = 0 t₁ =2, t₂ =-1.

Таким образом, исходная система равносильна совокупности двух систем уравнений:

Первая из этих систем имеет два решения: х₁ =1, у₁ = 2; х₂ = -1; у₂ = -2.

Вторая система несовместна. Отсюда (1;2), (—1;—2) — решения исходной системы.

Решить систему уравнений

Сложим уравнения почленно.

Решим полученное уравнение с одной переменной.

Подставим поочередно каждый из найденных корней уравнения

в одно из уравнений исходной системы, например во второе, и найдём второе неизвестное.

если х=5, то 25+y 2 =29

если х=-5, то 25+y 2 =29

Пары чисел (−5;−2), (−5;2), (5;−2) и (5;2) — решения системы.

Конспект урока по теме: «Система уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Муниципальное общеобразовательное автономное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 4 г. Соль-Илецка»

Конспект урока по алгебре

«Системы линейных уравнений

с двумя переменными»

Урок алгебры в 7-м классе.

Тема: «Системы линейных уравнений»

Цель урока : сформировать представление о математической модели система уравнений , изучить графический метод решения систем уравнений.

Сформировать представление о математической модели система уравнений

Изучить графический метод решения систем линейных уравнений

Развить: ясность и точность мысли, интуицию, элементы алгоритмической культуры, способности к преодолению трудностей

воспитание эстетического восприятия математики посредством решения исторических задач.

Листы контрольных вопросов по теме «Линейные уравнения с двумя переменными».

Тип урока . Урок погружения в тему.

I этап. Мотивационный этап.

Учитель. Сегодняшний урок мне хотелось бы начать словами великого ученого и политика Альберта Эйнштейна: “Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнение, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно”.

А девизом урока будут слова “Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий” .

II этап. Актуализация опорных понятий.

1. Из предложенных уравнений выберите линейное с двумя переменными

а) ах 2 + bx + c = 0; б) ax + by + c = 0; в) ax + b = 0

2. Дайте название математической модели 6(х – 2) + 5 = 19

а) уравнение б) равенство в) система уравнений

3 . Выберите решение уравнения 5х + 3у – 19 = 0

а) (2; 3); б) (5; 6); в) (1; 2)

4. Дайте название математической модели

а) уравнение б) равенство в) система уравнений

5. Выберите график линейного уравнения

6. Каково взаимное расположение на координатной плоскости графиков линейных функций:

III этап. Сообщение темы урока.

Исаак Ньютон сказал:

“ Чтобы решить вопрос, относящийся к числам
или к отвлеченным отношениям величин,
нужно лишь перевести задачу с родного языка
на язык алгебраический”.

Предлагаю вам задачу из “Всеобщей арифметики” Ньютона: Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. “Чего же ты жалуешься? – отвечал ей мул. – Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, то твоя поклажа стала бы одинакова с моей”. Скажите же, мудрые математики, сколько мешков несла лошадь и сколько мул?

Нарисуем таблицу (на доске таблица, правый столбик заполнен, левый заполняется совместно с учащимися).

Составим уравнения, которые должны выполняться одновременно.

Зная, что ноша моя станет тяжелее твоей, составим первое уравнение

твоя поклажа стала бы одинакова с моей, составим второе уравнение

Как вы думаете, какова же тема нашего урока?

(выслушиваются варианты детей, если они совпадают с темой урока то их ответы поощряются )

Чем мы будем сегодня заниматься на уроке?

Итак сегодня на уроке мы продолжим работать с системами уравнений.

Поэтому тема нашего сегодняшнего урока : «Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Графический метод решения линейных уравнений»

Нас интересует такая пара чисел, которая одновременно удовлетворяет и одному и другому уравнению. В таких случаях говорят, что математическая модель представляет собой систему уравнений.

Что значит решить систему?

Решить систему- значит найти все её решения или установить, что их нет.

Какими же методами можно решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: графический метод, метод подстановки, метод сложения

С каким методом решения системы уравнений с двумя переменными мы познакомились? В чем же он заключается? Как вы думаете?

Алгоритм решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными графическим методом:

Построить в декартовой системе координат первое уравнение системы

Построить в той же декартовой системе координат второе уравнение системы

Если прямые пересекаются то координаты точки пересечения двух прямых и будут решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, если прямые параллельны, то система двух линейных уравнений с двумя неизвестными не имеет решений, если прямые совпадают то система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет бесконечно много решений.

Некоторая система уравнений решена графически. Сколько решений имеет эта система уравнений? (слайды 15-19)

Некоторая система уравнений решена графически. Сколько решений имеет эта система уравнений?

Некоторая система уравнений решена графически. Сколько решений имеет эта система уравнений?

I V этап. Закрепление нового материла.

Давайте все таки решим задачу про мула и лошадь с помощью графического способа. Пользуемся алгоритмом.

Один ученик на доске под контролем учителя, применяя алгоритм решает задачу

V этап. Проверка домашнего задания.

Есть вопросы по решению домашнего задания ?

Убедитесь, что пара чисел (12;15) является решением системы уравнений: (слайды)

Является ли решением системы уравнений

пара чисел: а) (1;2); б) (4;3) в) (0;1)?

VI этап. Историческая справка.

Учитель. Мы повторили основные понятия систем линейных уравнений. Где же возникли первые задачи, решаемые системой двух линейных уравнений с двумя переменными?

Ученица 1. ЕГИПЕТ. Первые задачи на составление и решение систем уравнений с несколькими переменными встречаются в египетских и вавилонских текстах второго тысячелетия до нашей эры, а также в трудах древнегреческих и индийских ученых. Решались они различными искусственными способами, единого алгоритма не было.

Ученик 2. КИТАЙ. Алгоритм решения систем линейных уравнений был напечатан в Китае в труде “Математика в девяти книгах” (206 г. до н.э.), где рассматривались системы и давились правила их решения. При этом все изложение словесно. Коэффициенты системы располагались на счетной доске в виде таблицы. При повторных действиях было замечено, что следует поступать по одному и тому же правилу систематически. Первым появился способ сложения, а затем и способ подстановки. В книге “Всеобщая арифметика” (1707 г.) Ньютон излагает уже все способы решения систем, изучаемые ныне в школе.

VII этап. Тренировочные упражнения

Фронтальная работа: составить математическую модель и решить систему.

Я хочу прочитать задачу из «Курса алгебры» известного русского математика А.Н. Страннолюбского (1868 год), который был домашним учителем Софьи Ковалевской: «Некто на вопрос о возрасте двух его сыновей отвечал: «Первый мой сын втрое старше второго, а обоим им вместе столько лет, сколько было мне 29 лет тому назад; мне теперь 45 лет». Найдите лета обоих сыновей».

Для решения задачи мы составили систему уравнений

Масштаб возьмите в координатной плоскости за 2 единичных отрезка одну клетку.

Решая эту систему, мы получили ответ: х = 4, у = 12, т.е. сыновьям 4 года и 12 лет.

VIII этап. Итог урока.

Мы познакомились с системой двух линейных уравнений с 2 неизвестными , графическим методом решения систем уравнений.

В каком случае система имеет единственное решение?

В каком случае система не имеет решений ?

В каком случае говорят, что система имеет бесконечно много решений?

План – карта для решения систем линейных уравнений с двумя переменными графическим способом.

Графиками уравнений являются прямые. В одной и той же координатной плоскости построить графики уравнений

Найти координаты точки пересечения графиков

План – карта для решения систем линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки.

Подставить полученное выражение в другое уравнение

Раскрыть скобки, привести подобные слагаемые.

Перенести слагаемые из одной части уравнения в другую и решить полученное линейное уравнение.

Подставить значение переменной в выражение (3) и вычислить значение другой переменной.

План – карта для решения систем линейных уравнений с двумя переменными способом сложения.

Перенести слагаемые из одной части уравнения в другую

Умножить одно или оба уравнения, на какое – либо число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных были противоположны.

у = 2х – 3, -1 -у = -2х + 3,

у = х + 2; у = х + 2;

Сложить почленно полученные уравнения

Решить линейное уравнение

Подставить значение переменной в одно из уравнений. Например в уравнение (4)