Конспект урока алгебра 8 класс биквадратные уравнения

Конспект открытого урока по алгебре в 8-м классе на тему «Биквадратные уравнения»

Разделы: Математика

Класс: 8

Ключевые слова: карточки

Цели урока:

• образовательная: дать определение биквадратного уравнения, научиться решать биквадратные уравнения, исследовать от чего зависит количество корней биквадратного уравнения;
• воспитательная: формировать умение работать в парах, выслушивать мнение товарища, доказывать свою точку зрения;
• развивающая: развивать навыки самостоятельной и исследовательской работы.

Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний.

Форма урока: урок-исследование.

Оборудование: учебник «Алгебра, 8» авторов Г.В. Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А. Бунимович и др., компьютер.

Приложение: презентация «Биквадратное уравнение и его корни», для создания которой использована программа PowerPoint из пакета программ Microsoft Office.

План урока:

1. Организационный момент. Слайд 1.
2. Актуализация знаний. Слайд 2, 3, 4.
3. Открытие детьми темы урока. Слайд 5, 6.
4. Постановка детьми целей урока. Слайд 7.
5. Пример решения биквадратного уравнения. Слайд 8.
6. Работа в парах – исследование. Слайд 9.
7. Итоги исследования. Слайд 10.
8. Итог урока. Слайд 11.
9. Задание на дом. Слайд 12.

Ход урока

1. Организационный момент.

Начало урока — организационный момент, готовность, приветствие.

— Здравствуйте, ребята! Садитесь. Представится.

-Начинаем урок алгебры. Сегодня вы будете исследователями! Желаю вам удачи, хорошего настроения и взаимопонимания! Девизом урока пусть будут слова Л. Н. Толстого. Слайд 1.

2. Актуализация знаний.

Обратите внимание на уравнение: 10х 2 + 12х + 2019 = 0.

— Назовите вид данного уравнения.

— Назовите коэффициенты данного уравнения (10.12.2019)

— О каком событии говорят коэффициенты уравнения? (Дата занятия) Слайд 2.

— Повторим формулы дискриминанта и корней квадратного уравнения. Для этого продолжите предложения или ответьте на вопросы письменно в тетради. Далее выйдет желающий представитель с каждого ряда оформит на доске, получившиеся ответы. Слайд 3.

Проверка у доски.

— Решите устно квадратные уравнения, они нам пригодятся далее при решении. Как называются эти уравнения? Слайд 4.

+ Неполные квадратные уравнения.

+ 1) нет корней;
2) x=3 и x= -3;
3) x=0 и x= -5;
4) x=2 и x= -2;
5) нет корней;
6) x=√5 и x= -√5.

3. Открытие темы урока.

— Для того чтобы узнать тему урока, давайте разгадаем что же у нас тут зашифровано? Слайд 5.

+ Приставка «Би» обозначает два, т.е. «дважды квадратное».

— Как вы думаете, к какому математическому понятию относится это определение?

+ Оно относится к слову «уравнение».

— Совершенно верно! Теперь вы можете сказать, какова тема нашего сегодняшнего урока.

+ Тема урока «Решение биквадратных уравнений». Слайд 6.

4. Постановка целей урока.

— Каковы для вас цели урока?

+ Мы должны узнать, какое уравнение называется биквадратным.

— Хорошо. Но ведь, как и любое уравнение, оно должно иметь корни. Значит, чему ещё вы должны научиться?

+ Как найти его корни.

Слайд 7.

+ Биквадратным называется уравнение вида ах 4 + вх 2 + с = 0, где а ≠ 0.

— Существенно ли замечание, что а ≠ 0?

+ Да, т.к. если а будет равно 0, то уравнение будет квадратным (неполным).

— Хорошо. Приведите пример биквадратного уравнения.

+ Например, 10х 4 + 5х 2 + 3 = 0 (Дети приводят примеры биквадратных уравнений).

5. Пример решения биквадратного уравнения.

— Давайте разберем способ решения биквадратного уравнения х 4 + 3х 2 – 28= 0.

Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:

Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:

;

;

Возвращаюсь к прежней переменной, для этого подставим вместо переменной t полученные числа:

Ответ: .

— Алгоритм решения биквадратного уравнения следующий:

Слайд 8.

1. Ввести замену переменной: пусть х 2 = t;
2. Составить квадратное уравнение с новой переменной: at 2 + bt + c=0;
3. Решить новое квадратное уравнение;
4. Вернуться к замене переменной;
5. Решить получившиеся квадратные уравнения;
6. Сделать вывод о числе решений биквадратного уравнения;
7. Записать ответ.

6. Работа в парах – исследование (совместное выполнение заданий на решение биквадратных уравнений).

— Сейчас вам необходимо поработать в парах и исследовать: сколько корней может иметь биквадратное уравнение. Возьмите карточку №1, котороя лежит у вас на столе. Алгоритм работы задан на карточках. Внимательно прочитайте и следуйте по алгоритму.

— По окончанию данного этапа работы, вам необходимо образовать новую пару. Для этого ученик, сидящий за II вариантом должен пересесть на одно место назад, так как показано на схеме слайда, а последний ученик пройдет за первую парту. Слайд 9.

— Тем ребятам, кому не хватило пары и тем, кто сидит на последней (нечетной) парте, необходимо выполнить индивидуальное задание.

— После того как произошла смена напарников, организуйте работу в новых парах в соответствии с инструкцией на Карточке №2.

7. Итоги исследования.

— Сейчас мы сделаем выводы о том, от чего зависит количество корней биквадратного уравнения.

+ Фронтальный опрос по заполнению таблицы.

Сопоставления результатов предположениям, выдвинутым в ходе работы над первым биквадратным уравнением (Карточка №1)

-Итоги исследования мы поместим в таблицу.

— Посмотрите и прокомментируйте. Слайд 10. — заполнение таблицы

8. Итог урока.

-Сегодня на уроке вы самостоятельно разобрались с биквадратными уравнениями. И мы должны подвести итог.

— Каждая группа получает набор бумаги, вырезанной в форме ладошки. Задача группы – написать о том:

1. Какие у вас были затруднения на уроке?
2. Нашли ли вы выход из затруднения?
3. Остались ли у вас затруднения после окончания урока?
4. Что понравилось на уроке?
5. Что не понравилось на уроке? Слайд 11.

+После заполнения все ступни вывешиваются на доску и прочитываются.

9. Задание на дом.

-Решить 2 уравнения и заполнить последние 2 строки таблицы. Слайд 12.

Биквадратные уравнения
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

Конспект урока алгебры с дополнительными материалами.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

1) Х 2 +10=0 2) Х 2 -9=0 3) Х 2 -2х-8=0 4) Х 2 +5х=0 5) Х 2 -11х+18=0 6) 4х-5=0 7) Х 2 =5 8) Х 2 =0

1 вариант Записать полное квадратное уравнение в общем виде. Записать формулу для нахождения дискриминанта. Записать условие, при котом квадратное уравнение имеет 2 корня. Решить уравнение подбором Х 2 -7х+12=0 5. Решить устно 4х-7=0 6. Записать формулу разложения квадратного трёхчлена на множители. 7. Разложить на множители: Х 2 -11х+18 2 вариант Записать приведенное квадратное уравнение в общем виде. Записать условие, при котором квадратное уравнение не имеет корней. Записать формулы вычисления корней полного квадратного уравнения. Решить уравнение подбором Х 2 -2х-8=0 5. Решить устно 3-8х=0 6. Записать формулу разложения квадратного трёхчлена на множители. 7. Разложить на множители: х 2 -8х-9

1 вариант ах 2 +вх+с=0 Д=в 2 -4ас Д>0 Х 1 =3, Х 2 =4 х=1 ¾ 6. ах 2 +вх+с=а(х-х 1 )(х-х 2 ) 7. Х 2 -11х+18=(х-2)(х-9) 2 вариант х 2 +рх+ g =0 Д ЛИСТ УЧЁТА ЗНАНИЙ

3. Самостоятельная работа

4. Работа у доски

ЛИСТ УЧЁТА ЗНАНИЙ

3. Самостоятельная работа

4. Работа у доски

ЛИСТ УЧЁТА ЗНАНИЙ

3. Самостоятельная работа

4. Работа у доски

ЛИСТ УЧЁТА ЗНАНИЙ

3. Самостоятельная работа

4. Работа у доски

ЛИСТ УЧЁТА ЗНАНИЙ

3. Самостоятельная работа

4. Работа у доски

ЛИСТ УЧЁТА ЗНАНИЙ

3. Самостоятельная работа

4. Работа у доски

ЛИСТ УЧЁТА ЗНАНИЙ

3. Самостоятельная работа

4. Работа у доски

ЛИСТ УЧЁТА ЗНАНИЙ

3. Самостоятельная работа

4. Работа у доски

ЛИСТ УЧЁТА ЗНАНИЙ

3. Самостоятельная работа

4. Работа у доски

ЛИСТ УЧЁТА ЗНАНИЙ

3. Самостоятельная работа

4. Работа у доски

ЛИСТ УЧЁТА ЗНАНИЙ

3. Самостоятельная работа

4. Работа у доски

ЛИСТ УЧЁТА ЗНАНИЙ

3. Самостоятельная работа

4. Работа у доски

ЛИСТ УЧЁТА ЗНАНИЙ

3. Самостоятельная работа

4. Работа у доски

ЛИСТ УЧЁТА ЗНАНИЙ

3. Самостоятельная работа

4. Работа у доски

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Известно, что 7 и -2 – корни уравнения у 2 -5у-14=0. Назовите корни уравнения: А) 2у 2 -10у-28=0 Б) 0,5у 2 -2,5у-7=0

2 . Для уравнения укажите подстановку, переводящую это уравнение в квадратное относительно новой параменной: А) х 4 +6х 2 -7=0 Б) 3(х+7) 4 -(х+7) 2 -4=0 В) 5(х 2 -7х-4) 2 +4(х 2 -7х-4)-9=0

3 . Найдите корни уравнения: А) х 4 -16=0 Б) у 4 -25у 2 =0 В) у 4 +16у 2 =0.

Предварительный просмотр:

Тема урока: РЕШЕНИЕ БИКВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. систематизировать знания по теме «Решение квадратных уравнений», познакомить с решением биквадратных уравнений;
2. предоставить каждому ученику возможность проверить свои знания и повысить их уровень;
3. активизировать работу класса через разнообразные формы работы;
4. осуществить индивидуальный подход и педагогическую поддержку каждого ребёнка через разноуровневые задания и благоприятную психологическую атмосферу в классе.

Оборудование: 1) на доске записана китайская пословица «Услышал – забыл, увидел – запомнил, сделал – понял»

2) презентация с заданиями и ответами к ним.

I Организационный момент.

Сообщить цели и задачи урока.

II Актуализация знаний.

1. Решение уравнений устно

1. Х 2 +10=0
2. Х 2 -9=0
3. Х 2 -2х-8=0
4. Х 2 +5х=0
5. Х 2 -11х+18=0
6. 4х-5=0
7. Х 2 -8х-9=0
8. Х 2 +25=0
9. Х 2 =4
10. Х 2 =0
11. Х 2 =-9
12. Х 2 =5

1. Диктант (на листочках)

1. Записать полное квадратное уравнение в общем виде.

1. Записать формулу для нахождения дискриминанта.

1. Записать условие, при котом квадратное уравнение имеет 2 корня.

1. Записать приведенное квадратное уравнение в общем виде.

1. Записать условие, при котором квадратное уравнение не имеет корней.

1. Записать формулы вычисления корней полного квадратного уравнения.

1. Решить, используя т.Виета

1. Записать формулу разложения квадратного трёхчлена на множители.

(ах 2 +вх+с=а(х-х 1 )(х-х 2 ))

1. Что является графиком функции у=ах 2 +вх.

5) Решить устно 8-3х=0

6)Что является графиком функции у=ах 2 +в.

7)Записать формулу для вычисления х 0 – координаты вершины параболы.

8)Разложить на множители:

Открыть слайд с ответами. Учащиеся проверяют и оценивают друг друга. Критерии оценок тоже на слайде.

«5» — 8 верных ответов

«4» — 7 верных ответов

«3» — 4,5,6 верных ответов

В остальных случаях «2»

III. Повторение . 7 минут.

1. Самостоятельная работа в группах.

Каждая группа получает задание, шифр и по корням квадратного уравнения составляем слово – имя математика, который занимался изучением квадратных уравнений.

16. 1/3х 2 +8/3х-3=0 17. Х 2 -х-30=0

Получив имя, сообщаются краткие исторические сведения о нём:

Индийский ученный – Брахмагупта (VII) изложил общее правило решения квадратных уравнений. Правило Брахмагупты по существу совпадает с современным.

В древней Индии распространенны публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так учёный человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Формы решения квадратных уравнений по образцу Ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абаха», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошёл к ведению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абаха» переходили почти во все европейские учебники ХVI-ХVII вв. и частично ХVIII. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду х 2 +вх=с.

При всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов в,с было сформировано в Европе в 1544г. М. Штифелем. Вывод формулы решение квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские учёные Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в ХVI в. Благодоря трудам Жиррара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Решение старинной задачи индийского математика ХII века Бхаскары (Задача в стихотворной форме)

Какая группа быстрее составит и решит уравнение? (условие задачи вывешиваются на доске).

Обезьянок резвых стая

Всласть наевшись, развлекаясь

Их в квадрате часть восьмая

На поляне забавлялась

Стали прыгать, повисая

Сколько ж было обезьянок

Ты скажи мне в этой стае?

(х/8) 2 +12=х х 2 /64+12=х х 2 -64х+768=0

Ответ: 16 или 48.

IV. Изучение нового материала

Решить уравнение х 4 -9х 2 +18=0. С каким уравнением оно имеет сходство? Как из него получить квадратное? Х 2 =t, t ≥ 0

А как теперь найти Х ?

Сколько корней получили ? (4)

Это биквадратное уравнение. Кто попробует записать его в общем виде?

А его решение в общем виде?

Способом подстановки решаются и другие уравнения, например квадратное уравнение с модулем.

Х 2= Ιх 2 Ι= ΙхΙ 2

ΙхΙ=t t>0, тогда t 2 +t-6=0 t 1 =2 и t 2 =-3 приходят к выводу, что модуль не может равняться отрицательному числу. Посторонний корень, корень, который не удовлетворяет условию задания.

Конспект урока по алгебре на тему «Биквадратные уравнения» (8 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Конспект урока по теме

Биквадратные уравнения

Алгебра 8 класс

МАОУ «Ангарский лицей №1»

Цель – создать алгоритм решения биквадратного уравнения.

Задачи

Познакомиться с новым видом уравнений и способом его решения.

Развивать умение анализировать, сравнивать, обобщать, применять старые знания, умения и навыки в новой ситуации, развивать внимание и память.

Воспитывать чувство товарищества, уважение мнения товарищей.

Оборудование:

Доска, мел; интерактивная доска (при отсутствии доски – карточки с примерами уравнений разных видов).

Карточки для составления формулы корней квадратного уравнения.

Карточки с заданиями для групп.

Карточки с домашним заданием.

Литература:

А.Г. Мордкович Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений – М.: Мнемозина, 2012;

А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. Алгебра 8 класс. Задачник для общеобразовательных учреждений – М.: Мнемозина, 2012;

Л.А. Александрова Алгебра 8 класс: Самостоятельные работы для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2012;

Распределение времени:

Подготовка к сообщению темы урока

Повторение ранее изученного материала

Знакомство с новым материалом

Составление алгоритма решения нового уравнения

Домашнее задание и подведение итогов урока

Распределение по группам:

Учащиеся со средними математическими способностями

Учащиеся с хорошими математическими способностями

Ход урока.

Организационный этап.

Учитель приветствует учеников, настраивает их на работу, желает творческих успехов в изучении новой темы.

Подготовка к сообщению новой темы.

Чем же мы будем сегодня заниматься на уроке? Чтобы получить ответ на этот вопрос, вам предстоит разгадать кроссворд.

Последняя буква алфавита.

У кого днём один глаз, а ночью много?

Самая плохая оценка (7 букв).

На пяти проводах отдыхает стая птах.

Фамилия знаменитого французского учёного, установившего зависимости между корнями уравнения любой степени и его коэффициентами.

Домашний бассейн для рыб.

Республика, в которой мы живём.

Ответы: 1. Я. 2. Рим. 3. Ночь. 4. Единица. 5. Ноты. 6. Виет. 7. Аквариум. 8. Россия. 9. Ухо.

А теперь буквы выделенного столбика расположите снизу-вверх и получите ключевое слово. Что получилось? Верно, УРАВНЕНИЕ.

Итак, чем же мы будем заниматься сегодня на уроке? – Решать уравнения!

Повторение ранее изученного материала.

Мы с вами уже давно решаем уравнения. Давайте вспомним, с какими видами уравнений мы уже встречались?

А квадратные уравнения имеют один и тот же вид, или их можно разбить на несколько групп?

Да, квадратные уравнения бывают нескольких видов:

Полные квадратные уравнения.

Неполные квадратные уравнения.

Приведённые квадратные уравнения.

А теперь внимательно посмотрите на эти уравнения:

.

2.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Эти 16 уравнений нужно рассортировать по группам, учитывая их виды. На обдумывание даётся 2 минуты. После обсуждения по одному представителю от каждой команды выходят к доске и прикрепляют в ячейки соответствующие уравнения, (вид уравнения выбирают команды сами, начиная с первой).

Какое же из всех эти уравнений является основным? – Полное квадратное!

Давайте вспомним общий вид полного квадратного уравнения.

Один человек (по желанию) выходит к доске и восстанавливает формулу общего вида квадратного уравнения, другой – формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

Знакомство с новым материалом.

Перед вами решение квадратного уравнения:

Ответ:

Посмотрите ещё раз внимательно на само уравнение и запомните его. (Уравнение закрывается). А теперь посмотрите на такое уравнение:

Похоже ли это уравнение на предыдущее? Есть ли отличия и в чём? А сможем ли мы решить это уравнение? Что нам мешает это сделать?

Прежде, чем приступать к решению, давайте, сравним пары:

Что общего у этих пар?

Вернёмся к нашему уравнению. Нельзя ли свести наше уравнение к старому? Как это сделать?

Заменим на , а на

Тогда уравнение примет вид:

Это уравнение мы можем решить, при этом получим корни:

Мы нашли значения , а первоначально ведь дана была переменная . Что же нам делать дальше?

Вернёмся к старой переменной и при этом получим два квадратных уравнения относительно переменной :

Ответ:

Мы решили с вами новое уравнение, которое носит название БИКВАДРАТНОЕ . Приставка « БИ » означает два, т.е. « дважды квадратное ».

Определение. Уравнение вида называется биквадратным.

Составление алгоритма решения уравнения.

Давайте, восстановим наше решение по шагам:

Выделили элементы уравнения.

Установили общие свойства у этих элементов.

Составили уравнение относительно новой переменной.

Решили квадратное уравнение.

Вернулись к старой переменной и получили 2 квадратных уравнения относительно переменной .

Тренировочное упражнение.

А теперь, пользуясь алгоритмом, восстановите решение уравнения.

Первая группа собирает мозаику по решённому уравнению, затем ученики решение записывают в тетрадь.

Вторая группа восстанавливает решение самостоятельно и сверяется с доской.

Третья группа решает аналогичные уравнения.

Домашнее задание.

Учебник: стр.150 — 153, разобрать и записать в тетрадь решения примеров 4 и 5.

Задачник: стр.169, №№ 26.15(аб), 26.16(аб), 26.16 (аб).

№ 26.26(а), 26.27(а) – для учащихся с хорошими математическими способностями.

Итог урока.

Что нового вы сегодня узнали на уроке? Всё ли было понятно? В чём были трудности? Над чем надо продолжить работу?