Конспект урока геометрии уравнения прямой на плоскости

Геометрия. 9 класс

Конспект
Введём уравнение произвольной линии.
В прямоугольной системе координат рассмотрим произвольную линию L.

Уравнение с двумя переменными х и у называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии.
Рассмотрим точки М и N в координатной плоскости.
y = f (x) – уравнение линии L, если выполняются условия:
М (х₁; у₁) ∈ L → y₁ = f (x₁)
N (х₂; у₂) ∉ L → y₂ ≠ f (x₂)
Теперь, зная метод координат и геометрические свойства окружности, выведем её уравнение.
Пусть в прямоугольной системе координат дана окружность, где C – центр окружности с координатами x₀ и y₀, а r – её радиус.
Расстояние от произвольной точки М с координатами х и у до точки С вычисляется по формуле:
Точка М лежит на окружности, то есть координаты точки М удовлетворяют этому уравнению. Значит, МС = r, MC₂ = r₂.
В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r и с центром (x — x₀) 2 + (y — y₀) 2 = r 2 имеет вид:
Если центр окружности находится в начале координат, то уравнение окружности с центром в начале координат будет выглядеть так:
Теперь выведем уравнение прямой. Снова рассмотрим прямоугольную систему координат.
Докажем, что любая прямая в декартовых координатах имеет уравнение ax + by + c = 0, где а, b, с – некоторые числа, а х и у – переменные координаты точки А, принадлежащей прямой.
Как и при составлении уравнения окружности, обратимся к свойству прямой, равноудаленной от двух данных точек. Пусть h – произвольная прямая на плоскости и точка А с координатами х и у – точка этой прямой. Точки В и С равноудалены от прямой h, точка D – это точка пересечения ВС с прямой h. Поэтому h – срединный перпендикуляр к отрезку ВС. Так как АС = АВ, то AС₂ = АB₂, значит координаты точки А удовлетворяют уравнению (х – хв)² + (у – ув)² = (х – хс)² + (у – ус)², где В (хв; ув) и С (хс; ус)
Следовательно, это уравнение и является уравнением прямой h в прямоугольной системе координат.
После алгебраических преобразований получаем уравнение прямой: ах + bу + с = 0, где a, b, c некоторые числа. Так как В и С различные точки, значит разность их координат не равна нулю.
Таким образом, уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.

НАШИ ПАРТНЁРЫ

© Государственная образовательная платформа «Российская электронная школа»

Конспект урока по геометрии 9 класс по теме «Уравнение прямой»

Конспекту урока нацелен на изучение новой темы «Уравнение прямой»

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока по геометрии 9 класс по теме «Уравнение прямой»»

Конспект урока по геометрии 9 класс

Подготовила: учитель математики

МОУ СОШ №1 г.о. Орехово-Зуево

Цель: вывести уравнение прямой и показать его применение на практике

— развить умения и навыки при составлении уравнении прямой

— развитие познавательного интереса к предмету

— развить образное и логическое мышление

— воспитать настойчивость в достижении цели

1. Проверка д/з. Выполнение небольшой проверочной работы, направленной на выявление уровня знаний по изученной теме «Уравнение окружности»

1. Написать координаты центра окружности и радиус по данному уравнению

а) (х + 8) 2 + (у — 5) 2 = 16

б) х 2 + (у — 10) 2 = 25

а) (х — 4) 2 + (у + 2) 2 = 4

б) (х + 7) 2 + у 2 = 9

2. Написать уравнение окружности радиуса r с центром в точке О

3. Написать уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку

2. Китайская пословица гласит: « Я слышу, — я забываю. Я вижу, — я запоминаю. Я делаю, — я усваиваю». Учащимся предлагается выполнить практическое задание.

1) начертить координатную плоскость

2) провести в ней какую-нибудь прямой

4) записать уравнение прямой в виде (х – х₁) 2 + (у – у₁) 2 = (х – х₂) 2 + (у – у₂) 2 , подставив вместо х₁, у₁, х₂, у₂ значения получившихся координат.

5) далее выполняется раскрытие скобок и преобразование выражения.

Например, А(2; -3) и В (- 5; 4). Получим (х — 2) 2 + (у + 3) 2 = (х + 5) 2 + (у — 4) 2

х 2 – 4х + 4 + у 2 + 6у + 9 = х 2 + 10х + 25 + у 2 – 8у + 16

-14х + 14у – 28 = 0, разделим всё уравнение на – 14

х – у + 2 = 0 – получили уравнение прямой изображенной на рисунке.

В общем виде уравнение прямой записывается в виде ах + by + c = 0.

3. Рассмотрим различные случаи

a = 0, b 0, y = m

a 0, b = 0, x = n

a 0, b 0, c = 0

a 0, b 0, c 0

4. Выполнение практических заданий

№1. Определить через какую из точек А(- 10; 7), В(5; 0), С( -5; 3) проходит прямая х + 5у – 25 = 0.

№2. Найти координаты точки пересечения прямых 2х + у – 1 = 0 и 3х – 2у + 2 = 0.

№3. Написать уравнение прямой, проходящей через точки Е (2; 5) и С (- 3; 7)

№4. Найти координаты точек пересечения с осями координат и начертить прямую 3х – 4у + 12 = 0.

5. Подведение итогов урока

— Уравнение прямой в прямоугольной системе координат является уравнением первой степени.

— Уравнение ах+by+c=0 является уравнением прямой в заданной прямоугольной системе координат.

— Уравнение прямой параллельной одной из координатных осей имеет вид у=у₀ или х=х₀.При этом ось Ох имеет уравнение у=0, а ось Оу имеет уравнение х=0.

— Координатами точки пересечения прямых является решение системы уравнений, задающих эти прямые.

Конспект урока по геометрии по теме «Уравнение прямой» (9 класс)

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока по геометрии по теме «Уравнение прямой» (9 класс) »

Тема: «Уравнение прямой». Приложение

вывести уравнение прямой и показать, как можно использовать это уравнение при решении геометрических задач;

закрепить умения и навыки по теме «Уравнение окружности»;

содействовать в ходе урока воспитанию решительности, смелости при выполнении заданий, самостоятельности;

развитие памяти,логического мышления обучающихся при решении задач.

Знать: формулы уравнений окружности и прямой и уметь их применять при решении задач.

Тип урока: комбинированный.

I. Организационный момент — 2-3 мин

II. Актуализация опорных знаний.

Устный счет – 5 мин

Математический диктант — 10 мин

III. Изучение нового материала — 7 мин

IV . Решение задач. — 20 мин

V. Подведение итогов урока. — 4 мин

I. Организационный момент.

II. Актуализация опорных знаний.

1. Лежит ли точка А (2; –1) на окружности, заданной уравнением (x – 2) 2 + (y – 3) 2 = 25?

2. Напишите уравнение окружности, если ее центр – точка (4; 5), а радиус равен 3.

3. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, если она проходит через точку С (–2; 3).

4. Найдите длину вектора <–12; 5>.

5. Найдите координаты середины отрезка PQ, если Р (5; –3); Q (3; –7).

6. Найдите координаты вектора , если А (2; –5), В (–3; 4).

1. Лежит ли точка А (2; –1) на прямой, заданной уравнением 2х – 3y – 7 = 0?

2. Напишите уравнение окружности, если ее центр – точка (4; 5), а радиус равен 2.

3. Напишите уравнение окружности с центром в точке Р (–2; –1), если она проходит через точку Q (1; 3).

4. Найдите расстояние между точками А (–1; 3) и В (2; –1).

5. Найдите координаты вектора , равного сумме векторов и , если <–12; 5>, <7; –3>.

6. Найдите координаты вектора , если С (–1; 6), D (3; –2).

III. Изучение нового материала.

1. Уравнением любой прямой в прямоугольной системе координат является уравнение первой степени с двумя переменными. И обратно, любое уравнение первой степени с двумя переменными задает прямую.

2. Вывести уравнение прямой l в заданной прямоугольной системе координат: ах+ву+с=0

3.Вывести уравнение прямой l проходящей через точку М (х0; у0).

4. Ось ОХ имеет уравнение у=0, ось ОУ – уравнение х=0.

IV . Решение задач.

Проходит ли прямая заданная уравнением 7х-3у-4=0 через точки А (2;3), В(1;1)?

Найдите координаты точек пересечения прямой –х+3у-9=0 с осями координат.

№3 Рабочая тетрадь

№5 Рабочая тетрадь

V. Подведение итогов урока.

С чем мы сегодня познакомились на уроке?

Назовите общий вид уравнения прямой.

Какое уравнение имеет прямая параллельная ОХ, ОУ?

Тему хорошо понял, и могу объяснить однокласснику

Тему понял, но надо еще позаниматься

Ему не понял, надо придти на консультацию

VI. Домашнее задание: вопросы с.249, №972а,б, № 975, №977.