Конспект урока методы решения тригонометрических уравнений 10 класс

Урок-обобщение «Методы решения тригонометрических уравнений» 10 класс
план-конспект урока (алгебра, 10 класс) по теме

Рассмотриваются общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепляются навыки и проверяется умениение решать тригонометрические уравнения разными способами

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема : « Общие методы решения тригонометрических уравнений ».

• образовательные – обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы, создать условия контроля усвоения знаний и умений
• развивающие – содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, сравнивать; формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения; отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.
• воспитательные – вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке; способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.

• развивать умение обобщать, систематизировать, делать вывод;
• активизация самостоятельной деятельности;
• развивать познавательный интерес;
• формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание на доске

• урок обобщения и систематизации знаний

• частично-поисковый, проверка уровня знаний, самопроверка, системные обобщения

• обобщения;
• сравнения;
• создание проблемной ситуации;
• самопроверки;

1.Организационный момент (обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению)

Учитель: Здравствуйте, садитесь! Сегодня мы проводим урок-обобщение по теме «Общие методы решения тригонометрических уравнений».

1.2. Проверка готовности учащихся к уроку.

Учитель: Ребята, кто сегодня отсутствует? Все готовы к уроку? Сконцентрируйтесь, начинаем нашу работу!

1.3. Озвучивание целей урока и плана его проведения.

Учитель: Тема нашего урока – решение тригонометрических уравнений.

Цель урока сегодня — рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения разными способами.

В начале урока мы вспомним основные формулы тригонометрии и их применение для упрощения выражений.

Далее работа будет чередоваться: вспомним формулы решения простейших тригонометрических уравнений, и на их основе посмотрим как происходит выборка корней при решении заданий ЕГЭ в части С1. Вспомним виды тригонометрических уравнений. Решим тригонометрические уравнения по известным алгоритмам, однородные тригонометрические уравнения первого и второго порядка, а также неоднородные уравнения первого порядка. Проведём разноуровневую проверочную работу, задания которой вы будете выбирать самостоятельно, учитывая свои знания, умения и навыки. Проверим решения, и вы выставите себе оценку.

Затем получите домашнее задание и подведем итоги урока. Итак, приступаем.

2. Устная работа .

* На доске заранее подготовлены уравнения. Справа на доске написаны ответы на листках формата А4 на магнитах. Надо правильно расположить их, в соответствии с решением. Ученики выходят по одному и выполняют задание.

Учитель: Задание – используя основные формулы тригонометрии, упростите выражение:

А) (sin a – 1) (sin a + 1) — cos 2 a

Б) sin 2 a – 1 + cos 2 a 0

В) sin 2 a + tg a ctg a + cos 2 a 2

2. Основная часть урока (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

2.1 Учитель : Тригонометрические уравнения вызывают наибольшие затруднения в ЕГЭ, в частности, в задании С1, необходимо не только решить уравнение, но и правильно выбрать корни.

Задание №1: Решить уравнение, указать корни, принадлежащие промежутку (-4;4)

*Один из учеников записывает решение уравнения на закрытой доске, отбор корней идет совместно с объяснениями учителя:

Конспект урока «Методы решения тригонометрических уравнений» 10 класс.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок алгебры и начал анализа, 10-й класс, «Методы решения тригонометрических уравнений»

Цель: учить применять различные приемы для решения тригонометрических уравнений

— классифицировать уравнения по методам решения;

— распознавать метод решения конкретного уравнения;

— решать тригонометрические уравнения, выбирая для каждого соответствующий метод решения;

— активизация самостоятельной деятельности;

— развивать познавательный интерес;

— формирование умения рационально, аккуратно оформлять задание на доске и в тетради.

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковый.

Оборудование: экран, проектор карточки для самостоятельной плакат «Решение простейших тригонометрических уравнений», плакат «Формулы преобразования тригонометрических выражений», плакат «Значения тригонометрических функций», доска, мел.

Учебник Алгебра и начала анализа. 10- 11 классы А.Г. Мордкович, П.В. Семенов Задачник Алгебра и начала анализа. 10-11 классы А.Г. Мордкович. П.В. Семенов.

Систематизация и повторение теоретического материала.

Работа по повторению решения простейших тригонометрических уравнений.

Изучение нового материала.

Из истории тригонометрии

Подведение итогов урока.

1. Организационный момент.

Приветствие. Объявление темы и целей урока.

2. Систематизация и повторение теоретического материала.

Дать определение арккосинуса a, арксинуса a, арктангенса a, арккотангенса a.

Как решить уравнение вида y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx

Указать допустимые значения arccinx, arccosx, arctgx, arcctgx.

Продолжить : arccin (-x), arccos (-x), arctg (-x), arcctg (-x).

Вспомним частные случаи

3. Работа по повторению решения простейших тригонометрических уравнений.

Решить простейшие тригонометрические уравнения. (Устно)

cos x = ½; 2) sin x = ½ ; 3) tg x = 1 ; 4) cos x = — ½ ;

5) cos 3x = 0; 6) sin 2х = -1; 7) cos (х – π/4) = ½;

8) tg = –1; 9) 2cos – = 0

4. Изучение нового материала.

Говорят, алгебра держится на четырех китах: уравнение, число, тождество, функция. Сегодня мы поговорим с вами об одном из фундаментов алгебры – уравнениях. С уравнениями вы встречаетесь с начальной школы. Умеете их решать различными методами. Одно из замечательных качеств математика-исследователя – любознательность.

Мы сегодня на уроке повторили простейшие тригонометрические уравнения, а более сложные тригонометрические уравнения, как правило, сводятся к простейшим уравнениям:

методом введения новой переменной (метод постановки);

методом разложения на множители;

непосредственно, с помощью тригонометрических преобразований.

Сегодня на уроке мы рассмотрим первые два способа.

Методом введения новой переменной — этот метод нам хорошо известен, мы не раз применяли его при решении различных уравнений. Вот как он применяется при решении тригонометрический уравнений.

Слайд 1, комментирует учитель

Решить уравнение 2 sin 2 x – 5sin x + 2 = 0

Вопрос учителя: Объясните, на каком основании уравнение sin x = 2 не имеет решения?

Ученик с места: | sin x| ≤ 1, т. е -1 ≤ sin x ≤ 1

Слайд 2, комментирует ученик.

Решить уравнение: cos 2 x – sin 2 x – cos x = 0.

Слайд 3, комментирует ученик.

Решить уравнение: tg ½ x + 3 ctg ½ x = 4.

Теперь о втором методе решения тригонометрических уравнений – методе разложения на множители. Как и метод введения новой переменной, метод разложения на множители позволяет свести уравнение к простейшим.

2 sinx cos5x — cos5x = 0

2 sinx cosx — cosx = 0

cos 5x (2sinx -1) =0

cos x (2sinx -1) =0

Решить уравнение 4 сos 3x — cos² 3x = 0

сos 3x (4 — сos 3x ) = 0

5. Практическая работа.

№ 18.7(а, б), №18.8(а, б), №18.11 (а, б)

6. Из истории тригонометрии. Доклад ученика .

7. Итог урока, рефлексия.

Назовите два основных метода решения тригонометрических уравнений.

Какой из методов вам показался наиболее простым?

Что необходимо знать для решения тригонометрических уравнений рассматриваемыми способами?

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 580 199 материалов в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 23.11.2016
• 503
• 0

• 23.11.2016
• 969
• 2

• 23.11.2016
• 350
• 0

• 23.11.2016
• 6973
• 83

• 23.11.2016
• 895
• 5

• 23.11.2016
• 685
• 1

• 23.11.2016
• 386
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 23.11.2016 3402
• DOCX 179.7 кбайт
• 75 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Толмачева Лариса Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 1 месяц
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 21690
• Всего материалов: 17

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

РДШ организовало сбор гуманитарной помощи для детей из ДНР

Время чтения: 1 минута

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Урок алгебры и начал анализа, 10-й класс, «Методы решения тригонометрических уравнений»

Разделы: Математика

Класс: 10

Цели урока:

• сформировать у учащихся умения и закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;
• сформировать умения классифицировать по методам решений, применять эти методы в новой ситуации.

• развитие умения самостоятельного решения типовых задач, связанных с применением методов решения тригонометрических уравнений;
• развитие устойчивого интереса к математике, мыслительных и творческих способностей, а также творческой активности;
• содействовать развитию логического, математического мышления учащихся.

• воспитывать чувство ответственности в связи с преодолением трудностей в процессе умственной деятельности, формировать навыки самооценки;
• содействовать повышению грамотности устной и письменной речи учащихся в ходе проговаривания алгоритмов решения тригонометрических уравнений.

Тип урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков решения тригонометрических уравнений.

Методы обучения: репродуктивный, частично-поисковый.

Форма организации учебной деятельности:

1. Фронтальная ;
2. Индивидуальная;
3. Самопроверка, взаимопроверка.

Оборудование: экран, проектор карточки для самостоятельной работы, интерактивная доска, стенд «Решение простейших тригонометрических уравнений», стенд «Формулы преобразования тригонометрических выражений», стенд «Значения тригонометрических функций», доска, мел, оценочные листы.

Учебник Алгебра и начала анализа 10 класс А.Г. Мордкович, П.В. Семенов Задачник Алгебра и начала анализа 10 класс А.Г. Мордкович. П.В. Семенов.

Подготовка к уроку:

I Всем учащимся даются задания:

1. Записать в тетради решения простейших тригонометрических уравнений вида: sin x = a; cos x = a; tg x = a; ctg x = a;

2. Решить уравнения:

1. 2 sin 2 x – 5 sin x + 2 = 0;
2. cos 2 x – sin 2 x – cos x = 0;
3. tg ½ x + 3 ctg ½ x = 4;
4. (sin x – 1/3) (cos x + 2/5) = 0;
5. 2 sin x * cos 5x – cos 5x = 0;
6. 2 sin x – 3 cos x = 0;
7. sin 2 x + cos 2x = 0.

Учащиеся прорабатывают соответствующие разделы учебника, получают консультацию учителя. Учитель внимательно следит за речью учащихся, в случае необходимости поправляет.

План урока:

Организационный момент. Постановка цели, мотивация (1 мин.);

Повторение сформированных умений и навыков, являющихся опорой (9 мин.):

2.1. Метод подстановки;

2.2. Решение тригонометрических уравнений, приводящихся к предыдущему типу, по формулам:
sin 2 x + cos 2 x = 1;
ctg x * tg x = 1;
cos 2x = 1– 2 sin 2 x;
cos 2x = 2cos 2 x -1;

2.3. Метод разложения на множители;

2.4. Решение однородных уравнений первой степени;

Ознакомление с новыми умениями, показ образцов решения тригонометрических уравнений (25 мин):

• на уровне восприятия, осмысления, запоминания;
• на уровне применения знаний по образцу;
• на уровне применения знаний в новой ситуации

3.1. Решение однородных уравнений второй степени;

3.2. Метод использования условия равенства одноименных тригонометрических функций;

3.3. Метод использования свойства ограниченности функции;

3.4. Различные способы решения одного тригонометрического уравнения вида a sin x + b cos x = с, а, b, с – любые действительные числа;

Дифференцированная самостоятельная работа (7 мин.);

Подведение итогов урока. Рефлексия (2 мин.);

Информация о домашнем задании, инструкция о его выполнении (1 мин.).

Ход урока

1. Организационный момент. Постановка цели, мотивация.

Учитель: Сегодня на уроке рассмотрим различные методы решения тригонометрических уравнений. Правильно выбранный метод часто позволяет существенно упростить решение, поэтому все изученные методы стоит держать в зоне своего внимания. Повторим, приведем в систему изученные виды, типы тригонометрических уравнений, рассмотрим методы решения тригонометрических уравнений. Знания, умения, навыки полученные в процессе работы гарантируют успешное выполнение соответствующих заданий ЕГЭ.

2. Повторение сформированных умений и навыков, являющихся опорой; проведение проверочных упражнений.

2.1. Метод подстановки

2.2. Решение тригонометрических уравнений, приводящихся к предыдущему типу, по формулам:

sin 2 x + cos 2 x = 1;
ctg x * tg x = 1;
cos 2x = 1– 2 sin 2 x;
cos 2x = 2cos 2 x — 1;

2.3. Метод разложения на множители

2.4. Решение однородных уравнений первой степени

Учитель обращает внимание учащихся на стенды:

1. Решение простейших тригонометрических уравнений;
2. Формулы преобразования тригонометрических выражений;
3. Значения тригонометрических функций.

Учащиеся представляют свои схемы решения каждого из простейших тригонометрических уравнений.

Ученик: Метод замены переменной

Этот метод нам хорошо известен, мы не раз применяли его при решении различных уравнений. Вот как он применяется при решении тригонометрический уравнений.

Решить уравнение 2 sin 2 x – 5 sin x + 2 = 0

Вопрос учителя: Объясните, на каком основании уравнение sin x = 2 не имеет решения?

Ученик с места: | sin x| ≤ 1, т. е -1 ≤ sin x ≤ 1

Слайд 2, (приложение 1) комментирует ученик.

Решить уравнение: cos 2 x – sin 2 x – cos x = 0.

Слайд 3, (приложение 1) комментирует ученик.

Решить уравнение: tg ½ x + 3 ctg ½ x = 4.

Ученик: Теперь о втором методе решения тригонометрических уравнений – методе разложения на множители. Суть этого метода нам знакома: если уравнение f(x) = 0 удается преобразовать к виду f1(x) * f2(x)= 0, то либо f₁(x)= 0, либо f₂ (x)= 0. Задача сводится к решению совокупности уравнений f₁(x)= 0; f₂ (x)= 0.

Слайд 4, (приложение 1) комментирует ученик.

Решить уравнение: (sin x – 1/3) (cos x + 2/5) = 0.

Слайд 5, (приложение 1) комментирует ученик.

Решить уравнение 2 sin x * cos 5x – cos 5x = 0.

Учитель: Переход к совокупности уравнений f₁(x)= 0; f₂ (x)= 0 – не всегда безопасен. Рассмотрим tg x (sin x – 1) = 0. Из уравнения tg x = 0 находим x = πn, из уравнения sin x = 1, находим x = π/2 + 2 πn. Но включать обе серии решений в ответ нельзя. Дело в том, что при значениях x = π/2 + 2 πn входящий в заданное уравнение множитель tg x не имеет смысла, т.е. значения x = π/2 + 2 πn, не принадлежат области определения уравнения (области допустимых значений – ОДЗ), это посторонние корни.

Записывается уравнение учителем на интерактивной доске, а решение диктуют ученики, так же приводится запись ответа.

Ученик: Уравнение a sin x + b cos x = 0 называют

однородным тригонометрическим уравнением первой степени;

Итак, дано уравнение a sin x + b cos x = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0.

Разделив обе части уравнения почленно на cos x, получим: a tg x + b = 0, в итоге приходим к простейшему тригонометрическому уравнению tg x = — b /a

Учитель: Внимание! Делить обе части уравнения на одно и то же выражение можно в том случае, когда мы уверены, что это выражение нигде не обращается в нуль (на нуль делить нельзя!). Предположим, cos x = 0, тогда уравнение примет вид a sin x = 0, т.е. sin x = 0, вы ведь не забыли, что a ≠ 0). Получается, что и cos x = 0, и sin x = 0, а это невозможно, так как sin x, cos x одновременно равняться нулю не могут, т.к. обращаются в нуль в различных точках.

(sin 2 x + cos 2 x =1) Деление не приведет к потере корней!

Слайд 6, (приложение 1) комментирует ученик.

Решить уравнение: 2 sin x – 3 cos x = 0.

Слайд 7, (приложение 1) комментирует учащийся.

Решить уравнение: sin 2 x + cos 2x = 0.

3. Ознакомление с новыми умениями, показ образцов:

• на уровне восприятия, осмысления, запоминания;
• на уровне применения знаний по образцу;
• на уровне применения знаний в новой ситуации.

3.1. Решение однородных уравнений второй степени

3.2. Метод использования условия равенства одноименных тригонометрических функций;

3.3. Метод использования свойства ограниченности функции;

3.4. Различные способы решения одного тригонометрического уравнения вида a sin x + b cos x = с, а, b, с – любые действительные числа (задание творческого характера).

Рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение второй степени a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0, где a ≠ 0, b ≠0.

Разделив почленно на cos 2 x ≠ 0, x ≠ ½ π + πn, n Є Z, получим a tg 2 x + b tg x + с = 0. Это квадратное уравнение относительно новой переменной z = tg x.

Пусть теперь в однородном тригонометрическом уравнении а = 0, тогда уравнение примет вид b sin x cos x + c cos 2 x = 0, это уравнение можно решить методом разложения на множители

Учащиеся вместе с учителем формулируют алгоритм решения уравнения

a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 (приложение 2)

Слайд 8, (приложение 1) демонстрирует и комментирует учащийся.

Решить уравнение: sin 2 x — 3 sinx cos x + 2 cos 2 x = 0,

У доски ученик решает уравнение: √3 sin x cos x + cos 2 x = 0,

Р е ш е н и е: Здесь отсутствует член вида a sin 2 x, значит делить обе части уравнения на cos 2 x нельзя, это приведет к потере корней. Решим методом разложения на множители:

cos x (√3 sin x + cos x) = 0

cos x = 0, или √3 sin x + cos x = 0

Из первого уравнения находим: x = ½ π + πn, n Є Z.

Второе уравнение – однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Решим его с помощью почленного деления обеих частей уравнения на cos x ≠ 0, √3 sin x cos x + cos 2 x = 0; √3 tg x + 1 = 0;

tg x = — √3/3 x = arctg (- √3/3) + πn, т.е. x = 1/6 π + πn.

Ответ: x = ½ π + πn, x = 1/6 π + πn; n Є Z.

Учитель: Встречаются однородные тригонометрические уравнения более высоких степеней, идеология их решения та же самая

У доски ученик решает уравнение:

sin 2 x + sin 2 x cos x – 3 sin x cos 2 x = 0,

Р е ш е н и е: Разделив обе части уравнения почленно на cos 2 x ≠ 0,

Деление не приведет к потере корней, т.к. при х = ½ π + πn, n Є Z,

получим в левой части либо 1, либо -1, следовательно, эта серия корней не удовлетворяет заданному уравнению. Получим:

tg 2 x + tg 2 x -3 tg x — 3 = 0;

tg 2 x (tg x + 1) – 3(tg x + 1) = 0;

(tg x + 1) (tg 2 x — 3) = 0. Значит либо tg x = -1, либо tg x = ±√3. Из первого уравнения находим: x = arctg (-1) + πn, т.е. x= — ¼ π + πn.

Из второго уравнения находим: x = ± arctg √3 + πn,

Ответ: x= -¼ π + πn; x = ±1/3 π+ πn, n Є Z.

Учитель: Следующий метод — метод использования свойства ограниченности функции

Суть этого метода заключается в следующем: если функции f(x) и g(x) таковы, что для всех выполняется неравенство f(x) ≤ а и g(x)≤ в, и дано уравнение f(x) + g(x) = а + в, то оно равносильно системе

Решить уравнение: sin x/3 — cos 6x = 2

Р е ш е н и е: Поскольку -1 ≤ sin x/3 ≤ 1 и -1 ≤ cos 6x ≤ 1, имеем систему:

Учащиеся оформляют решение в тетрадях.

Учитель: Суть метода использования условия равенства одноименных тригонометрических функций:

sin f(x) = sin g (x) → f(x) = g (x) +2 πk, k Є Z,

sin f(x) = sin g (x) → f(x) = π — g (x) +2 πn, n Є Z

Запишем в тетрадь и запомним!

Решить уравнение: sin 3x — sin 5x = 0

5 x = 3 x + 2 π k, k Є Z, → x = π k, k Є Z

5 x = π – 3 x + 2 π n, n Є Z, → x = (2 n + 1) π/8, n Є Z,

Рассмотрим различные способы решения уравнения

вида a sin x + b cos x = с, а, b, с – любые действительные числа.

Уравнение sin x + cos x = 1 можно решить несколькими способами, рассмотрим четыре способа решения уравнения (упражнение творческого характера).

У доски одновременно работают четыре ученика, показывают различные способы решения этого уравнения:

Способ 1. Введение вспомогательного угла

sin x + cos x = 1 Разделив обе части уравнения почленно на √2, получим 1/√2 sin x + 1/√2 cos x = 1/√2;

cos π/ 4 sin x + sin π/ 4 cos x; sin (x + π/ 4) = √2/2

x + π/ 4 = (-1) n arcsin √2/2 + πn, n Є Z, x = — π/ 4 + (-1) n π/ 4 + πn, n Є Z,

Ответ: x = — π/ 4 + (-1) n π/ 4 + πn, n Є Z,

Способ 2. Сведение к однородному уравнению.

Ученик: Выразим sin x, cos x , 1 через функции половинного аргумента:

2 sin x/2 cos x/2 + cos 2 x/2 — sin 2 x/2 = sin 2 x/2 + cos 2 x/2 ,

2 sin x/2 cos x/2 – 2 sin 2 x/2 = 0. Разделив обе части уравнения почленно на cos 2 x/2 ≠ 0, получим tg ½x – tg 2 ½x = 0,

tg ½x (1 — tg ½x ) = 0, tg ½x = 0 или tg ½x = 1,

Если tg ½x = 0, x = 2 πn, n Є Z , если tg ½x = 1, x = π/2 + 2 πk, k Є Z.

Ответ: x = 2 πn, n Є Z, x = π/2 + 2 πk, k Є Z.

Способ 3. Преобразование суммы в произведение.

Ученик: Выразим cos x через sin ( π/2 — х), получим

2 sin π/4 cos (x — π/4) = 1, √2 cos (x — π/4) = 1,

cos (x — π/4) = √2/2, x — π/4 = ± arcсos √2/2 + 2πn, n Є Z

x = π/4 ± π/4 + 2πn, n Є Z

Ответ: х = 2πn, n Є Z, x = π/2 + 2πk, k Є Z.

Способ 4. Универсальная тригонометрическая подстановка.

Выразим sin x, cos x через tg ½x,

получим 2 tg ½x + 1 – tg 2 ½x = 1 + tg 2 ½x,

2 tg ½x — 2 tg 2 ½x = 0, tg ½x (1 — tg ½x ) = 0, tg ½x = 0 или tg ½x = 1,

Если tg ½x = 0, x = 2 πn, n Є Z , если tg ½x = 1, x = π/2 + 2 πk, k Є Z.

Ответ: x = 2 πn, n Є Z, x = π/2 + 2 πk, k Є Z.

Проводим сравнительный анализ и комментарий решения.

4. Дифференцированная самостоятельная работа:

• тренировочные упражнения по образцу, алгоритму;
• упражнения на перенос в сходную ситуацию.

Проверка выполнения самостоятельной работы и индивидуальная работа с теми, кто допустил ошибки.

Условие самостоятельной работы:

Провести классификацию уравнений по методам решения и решить

Вариант I (I уровень сложности)

Вариант II (II уровень сложности)

1. Решить уравнение: 2 sin 2 x – 3 sin x — 2 = 0
2. Решить уравнение: 2 sin 2 x – 3 cos x = 3
3. Решить уравнение: cos 2x — 2 cos x = 0.
4. Решить уравнение: sin 2 x — 3 sin x cos x — 4 cos 2 x = 0,
5. Решить уравнение: sin 6x + sin 2x = 0,
6. Решить уравнение: 2 sin x cos 2x – 1 + sin x — 2 cos 2x = 0,
7. Решить уравнение: cos 2 x = √2 (cos x — sin x)

Учащиеся осуществляет самопроверку по готовому решению на интерактивной доске, убрав «шторку», получают разъяснения по возникающим при этом вопросам.

Учитель работает с теми, кто допустил ошибки.

5. Подведение итогов. Рефлексия.

Учитель: Итак, подведем итоги урока.

Какими методами можно решать тригонометрические уравнения?

1. Разложение на множители;
2. Метод замены переменной:
   • сведение к квадратному уравнению;
   • введение вспомогательного аргумента (метод Ибн Юниса)
   • универсальная тригонометрическая подстановка.
3. Сведение к однородному уравнению;
4. Использование свойств функций, входящих в уравнение:
   • обращение к условию равенства тригонометрических функций;
   • использование свойства ограниченности функции.

Ребята сдают оценочные листы

Рефлексия. Продолжите фразу:

• Самым сложным на уроке было…
• Самым интересным при работе для меня было…
• Самым неожиданным для меня было…

6. Информация о домашнем задании, инструкция о его выполнении

• 2 sin 2 x + cos 4 x = 0
• sin 4 x + cos 4 x = cos 2 2 x + ¼
• sin 2 x = cos x — sin x
• √3 cos x + sin x = 2

№ 23.14 Задачник Алгебра и начала анализа 10 класс, А.Г. Мордкович.

При решении первого уравнения воспользуйтесь формулой понижения степени.