Конспект урока по системам линейных уравнений

Системы линейных уравнений
план-конспект занятия

Системы линейных уравнений

Скачать:

Предварительный просмотр:

Перед тем, как перейти к написанию лекции . ОБЯЗАТЕЛЬНО посмотрите видеоурок. для того, чтобы понимать способы решения ЛУ.

Системы линейных уравнений

Определение 1. Системой линейных уравнений , содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

где числа a ij – называются коэффициентами системы, числа b ij – свободными членами.

Определение 2. Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если она не имеет ни одного решения.

Определение 3. Совместная система называется определенной , если она имеет единственное решение, и неопределенной , если она имеет более одного решения.

В последенем случае каждое решение системы называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна. Если совместна, найти ее общее решение.

1.2 Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса.

Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными:

Матрица А = , составленная из коэффициентов при неизвестных х i (i = 1,2,…n), называется матрицей системы .

Матрица B = , составленная из коэффициентов при неизвестных и свободных членов, называется расширенной матрицей .

Определение 4. Матрица А называется матрицей треугольного вида , если все ее элементы выше (ниже) главной диагонали равны нулю.

Например, А = или В = — матрицы треугольного вида.

Метод Гаусса удобно использовать при решении систем с большим количеством уравнений. Этот метод заключается в последоваетльном исключении неизвестных. Систему линейных уравнений приводят к системе с треугольной матрицей с помощью эквивалентных преобразований. Затем из полученной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок.

К эквивалентным преобразованиям относят следующие :

• умножение и деление коэффициентов и свободных членов на одно и тоже число, отличное от нуля.
• Сложение и вычитание уравнений.
• Перестановка уравнений.
• Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты равны нулю.

Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Выпишем расширенную матрицу системы:

Для упрощения вычислений поменяем первую и вторую строки местами:

Умножим первую строку на –3 и сложим ее со второй строкой. Первую строку умножим на –4 и сложим с третьей сторокой, получим эквивалентную матрицу:

Умножим вторую строку на –1:

Умножим вторую строку на 5 и сложим с третьей строкой:

Разделим третью строку на –11:

Получили матрицу треугольного вида (все элементы ниже главной диагонали равны нулю). Выпишем систему уравнений треугольного вида:

Ответ: х = -1, у = 3, z = 2

1.3 Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Для решения систем линейных уравнений с большим количеством уравнений применяют метод Гаусса. Если же уравнений в системе не так много, то удобнее использовать метод Крамера. Этот метод основан на вычислении определителей.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

Составим определитель матрицы системы:

Заменим в определителе Δ первый столбик, соответствующий переменной х 1 , на столбец свободных членов b 1 , b 2 , …,b n , получим определитель Δ х1 :

Заменим в определителе Δ второй столбик, соответствующий переменной х 2 , на столбец свободных членов b 1 , b 2 , …,b n , получим определитель Δ х2 :

Аналогично поступаем с третьим, четвертым, …, n –ым столбцами определителя Δ . В итоге получим n+1 определитель. Для того, чтобы найти неизвестные х 1 , х 2 , …, х n используем формулы Крамера:

, , …,

При вычислении определителей могут возникнуть следующие случаи:

• если определитель матрицы системы Δ отличен от 0, то система линейных уравнений имеет единственное решение;
• если определитель матрицы системы Δ равен 0, а среди определителей Δ х1 , Δ х2 , …, Δ хn есть хотя один отличный от 0, то система линейных уравнений не имеет решений;
• если определитель матрицы системы Δ равен 0 и все определители Δ х1 , Δ х2 , …, Δ хn равны 0, то система линейных уравнений имеет бесконечно много решений.

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Выпишем определитель матрицы системы Δ и вычислим его:

Так как Δ 0, то система имеет единственное решение.

Заменим в определителе Δ первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Δ х :

Заменим в определителе Δ второй столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Δ у :

Найдем значения переменных х и у по формулам Крамера:

,

Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Выпишем определитель матрицы системы Δ и вычислим его:

Так как Δ 0, то система имеет единственное решение.

Заменим в определителе Δ первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Δ х :

Заменим в определителе Δ первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Δ у :

Заменим в определителе Δ первый столбик на столбец свободных коэффициентов, получим Δ z :

Найдем значения переменных х , у и z по формулам Крамера:

, ,

Конспект урока по алгебре «Исследование системы линейных уравнений с двумя переменными»

Разделы: Математика

Оборудование: компьютерный класс, мультимедиа проектор, презентации.

Цели:

• Формировать способность учащихся к самостоятельному исследованию системы линейных уравнений с двумя переменными.
• Развивать способности к самостоятельному планированию, организации работы.
• Воспитывать познавательный интерес к математике и информатике.

I. Организационный момент.

— Сегодня мы продолжим решать системы линейных уравнений с двумя переменными.

II. Актуализация ЗУН.

1. Выразите x через y, y через x.

2. Принадлежит ли точка А(- 2;2) графикам уравнений

— Что значит “решить систему линейных уравнений с двумя переменными”? (Найти общее решение двух или более уравнений).

— Что называется решением системы? (Пара чисел, которая является решением каждого из уравнений, входящих в систему).

3. Является ли пара чисел (2;8) решением системы уравнений

— Что является геометрической интерпретацией системы линейных уравнений с двумя переменными? (Пара пересекающихся прямых, параллельных прямых, совпадающих прямых).

— Сколько решений может иметь система линейных уравнений с двумя переменными? (одно, бесконечное множество или не иметь решений).

— Какова же цель нашего урока?

— Выясним, можно ли, не прибегая к геометрическим методам, ответить на вопрос, сколько решений имеет система линейных уравнений с двумя переменными.

— Итак, сформулируйте тему сегодняшнего урока. (Исследование системы линейных уравнений с двумя переменными).

III. Исследовательская работа в группах.

Задания группам. Используя программу PowerPoint:

а) Убедитесь в том, что графическая модель системы – это совпадающие прямые.

б) Сравните отношение коэффициентов при x, при y и свободных членах в системе. Сформулируйте признак, по которому можно определить, что система имеет бесконечно много решений.

а) Убедитесь в том, что графическая модель системы – это параллельные прямые.

б) Сравните отношение коэффициентов при x, при y и свободных членах в системе. Сформулируйте признак, по которому можно определить, что система не имеет решений.

а) Убедитесь в том, что графическая модель системы – это пересекающиеся прямые.

б) Сравните отношение коэффициентов при x, при y и свободных членах в системе. Сформулируйте признак, по которому можно определить, что система имеет единственное решение.

Представители каждой группы обосновывают свои ответы. (Приложение 1)

IV. Первичное закрепление.

1. Не выполняя построения, определите, как расположены графики уравнений и сделайте вывод относительно числа ее решений:

2. Дано уравнение 5x + y = 10. Составьте еще одно уравнение так, чтобы вместе с данным оно образовало систему:

а) имеющую бесконечно много решений;

б) не имеющую решений.

V. Самостоятельная работа с самопроверкой.

Существует ли такое значение a, при котором система уравнений

а) имеет бесконечно много решений;

Ответ: таких значений а не существует. Ответ: при а = 6 система не имеет решений

VI. Включение в систему знаний.

Решить систему уравнений:

Система имеет единственное решение, если a/8 2/a, т. е. a 2 16, а ±4.

Если а = 4, то 4/8 = 2/4 = 4/8 – свободные члены пропорциональны коэффициентам при переменных.

При а = 4 система имеет бесконечное множество решений.

— 4/8 = 2/- 4 — 4/- 8 – свободные члены не пропорциональны коэффициентам при переменных. Система не имеет решений.

Возможность формулировать одни и те же утверждения и на геометрическом, и на алгебраическом языке дает нам система координат, изобретение которой, как вы уже знаете, принадлежит Рене Декарту. Преимуществом геометрического языка является его наглядность, зато алгебраический язык позволяет сводить задачу к вычислениям. В силу этого обстоятельства он более приспособлен для передачи функций человека компьютеру.

— Какая была цель нашего урока?

— Достигнута ли поставленная цель?

— Что помогло нам в работе?

— Где эти знания можно применить?

— Что необходимо для успешной работы на следующих уроках?

VIII. Домашнее задание.

Составить задачи с параметром, которые решаются с помощью составленных признаков, и решить эти задачи аналитически.

Литература.

1. Г. В. Дорофеев “Математика: алгебра. Функция. Анализ данных ”. М.: Просвещение, 2006.
2. М. В. Величко “Математика. 9 – 11 классы: проектная деятельность учащихся”. Волгоград: Учитель, 2007.
3. Н. В. Богомолов “Практические занятия по математике”. М.: Высшая школа, 1990.

Конспект урока по алгебре на тему «Системы линейных уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

ООО Учебный центр «ПРОФЕССИОНАЛ»

План-конспект урока по алгебре

в 7-А классе муниципального общеобразовательного учреждения «Лобановская школа»

на тему «Системы линейных уравнений с двумя переменными»

Разработала: Штоп Светлана Иосифовна

слушатель курсов профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Проверила: Бушманова Анна Николаевна

с. Лобаново, 2017

Тема урока: Системы линейных уравнений с двумя переменными

Дата проведения 22 мая 2017 года

Тип урока урок изучения нового.

Технология урока т ехнология проблемного обучения

Цель урока сформировать понятие системы линейных уравнений с двумя переменными

Обучающие: ввести понятие системы уравнений с двумя переменными; формировать умение решать графически системы линейных уравнений с двумя переменными .

Развивающие: развивать учебно-познавательную компетентность, коммуникативную и ценностно-смысловую компетентности.

Воспитательные: воспитывать аккуратность, культуру общения; создать условия для самооценки учащихся.

Планируемые образовательные результаты.

Знает определение системы линейных уравнений с двумя переменными;

Знает, что значит решить систему линейных уравнений с двумя переменными;

Умеет записывать систему линейных уравнений с двумя переменными;

Понимает, сколько решений может иметь система линейных уравнений с двумя переменными;

Умеет определять, имеет ли система решения, и если имеет, то сколько.

Методы: частично-поисковый, коллективный , групповой, индивидуальный.

Основные термины, понятия: система линейных уравнений с двумя переменными; решение системы уравнений с двумя переменными

Средства обучения: учебник Алгебра 7 Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова, под редакцией С.А.Теляковского М.: Просвещение, 2014 , раздаточный материал, интерактивная доска (ИД).

Организационный момент (1 мин)

Подготовка учащихся к усвоению новых знаний.(6 мин)

Изучение и усвоение новых знаний и способов деятельности (25 мин)

Первичная проверка усвоения знаний (10 мин)

Итог урока (3 мин)

Приветствует обучающихся, проверяет готовность к уроку

2.Подготовка учащихся к усвоению новых знаний.

2.1.Актуализация знаний и умений учащихся.

В качестве заданий для самоконтроля предлагает ученикам самостоятельно решить несколько уравнений, включив в дополнительное задание уравнение «нового» вида.

-Какую тему мы изучаем на последних нескольких уроках алгебры?

Самостоятельно решают уравнения, проверяют ответы, решение по необходимости, обсуждают способы решения, оценивают уровень своего «знания».

-Уравнения с двумя переменными.

— Чему вы научились, за время изучения этой темы покажут задания, которые я предлагаю вам решить.

Выполняют задания устно.

Является ли уравнение с двумя переменными линейным:

б)х 2 -2у=5 г)ху+2х=9.

2.Является ли пара чисел и решением уравнения х+у=6? Укажите еще два решения этого уравнения.

3. Из линейного уравнения 2х+у=4 выразите: а)переменную х; б) переменную у.

4. Что представляет собой график уравнения 2х+у=6?

5.Определите координаты точки пересечения прямых:

2.2.Создание проблемной ситуации, мотивация.

6.Не выполняя построения, найдите координаты точки пересечения графиков функций 5х-4у=16 и х-2у=0 (выполнение этого задания вызывает у учащихся затруднение).

Организует беседу с учениками по поводу затруднений, возникающих в процессе решений уравнений дополнительного задания.

-Почему вы не можете решить это задание?

Высказывают свою точку зрения по поводу возникших затруднений. Делают вывод, что последнее уравнение – это уравнение «нового» вида.

-Мы умеем находить координаты точки пересечения графиков функций с помощью графиков.

-То есть у вас недостаточно знаний для решения этого задания?

-Давайте разберемся, каких знаний «не хватает», т.е. проанализируем каждое уравнение по плану:

1) вид уравнения

2) решение уравнения.

1)линейное уравнение с двумя переменными

2)решение – пара чисел, например (4;1).

1) линейное уравнение с двумя переменными

2) решение – пара чисел, например (2;1).

-Какой из анализа можно сделать вывод?

-Учащиеся пытаются сформулировать вывод.

Учитель подводит итог: нужно найти такую пару чисел, которая обращала бы каждое уравнение в верное равенство.

-В таких случаях говорят, что требуется решить систему линейных уравнений с двумя переменными.

2.3. Постановка учебной задачи (цели) урока.

Называет тему урока «Системы линейных уравнений с двумя переменными» Предлагает ученикам сформулировать цель урока.

-Итак, чему необходимо научиться, чтобы решить проблему?

-Значит, цель нашего урока:

(учитель записывает цель на доске)

Формулируют цель урока, фиксируют ее с помощью ИД (возможна корректировка цели, предложенная учителем на ИД).

-Решать системы линейных уравнений с двумя переменными.

-Научиться решать системы линейных уравнений с двумя переменными.

(ученики цель – в тетради)

-Давайте составим план изучения систем линейных уравнений с двумя переменными.

(план записывается на доске)

1.Как записать систему линейных уравнений.

2. Сформулировать определение решения системы линейных уравнений с двумя переменными.

3.Определить, что значит решить систему линейных уравнений с двумя переменными.

4.Сколько решений может иметь система.

5.Выяснить способы решения систем.

Идет бурное обсуждение вопроса с чего начать. Помогают уроки физики, где учащиеся физические величины изучают по определенному плану. Можно это им напомнить.

3.Изучение и усвоение новых знаний и способов деятельности.

Организует групповую работу на нахождение решений линейных уравнений с двумя переменными. Организует проверку результатов групповой работы

.-Итак, план работы нам известен. Чтобы работать более оперативно и качественно, давайте объединимся в группы.

Работают в группах (парах) по нахождению решений уравнений данного вида, определению алгоритма решения линейных уравнений с двумя переменными.

Объединяются в 3 группы.

-Обратимся к плану.

Один из учеников 1 группы зачитывает 1 вопрос.

-Предлагаю обсудить его в течение 2-3 минут и предложить свою запись.

(Если вдруг произойдет заминка, то можно: а) навести на мысль: если мы хотим что-то рассмотреть вместе, найти объединение, то мы ставим … скобку.

б) попросить открыть учебники на стр.195 и прочитать первый абзац сверху).

-Из предложенных уравнений составьте системы линейных уравнений с двумя переменными:

Работа в группах 3 минуты.

Результат на доске записывает группа, быстрее других составившая системы линейных уравнений с двумя переменными.

-Обратимся вновь к плану.

Один из учеников 2 группы зачитывает 2 вопрос.

-Давайте вспомним определение решения линейного уравнения с двумя переменными.

Один из учеников формулирует определение.

-Подумайте, а если у нас два таких уравнения, что должно добавиться в определении.

Итак, используя метод аналогии, вы сами сформулировали определение решения системы линейных уравнений с двумя переменными.

-Обратимся вновь к плану.

Один из учеников 3 группы зачитывает 3 вопрос.

— А теперь вспомните, что значит решить уравнение?

-Найти его решение или доказать, что решений нет.

-А тогда что значит решить систему уравнений?

— Найти ее решение или доказать, что решений нет.

-Какой метод вы использовали?

-Проверьте, является ли пара чисел х=3,у=1 (х=7, у=5) решением системы

Учащиеся в течение 2 минут обсуждают задание. Отвечает группа, первая поднявшая руку.

-Обратимся вновь к плану.

Один из учеников 1 группы зачитывает 4 вопрос.

-Предлагаю вам поработать с учебником. Откройте учебник. Первая группа работает с примером 1. Вторая – с примером 2. Третья – с примером 3.

Ваша задача: прочитать пример и выяснить, при каком условии система имеет решения и сколько.

Работа с учебником в течение 5 минут.

-Давайте заслушаем ваши ответы.

1 группа: если угловые коэффициенты различны, то система имеет единственное решение.

2 группа: если угловые коэффициенты одинаковы, то система не имеет решений.

3 группа: если и угловые коэффициенты и свободные члены одинаковы, то система имеет бесконечное множество решений.

-Скажите, какие алгебраические преобразования проводились в каждом примере?

-Выражалась переменная у через переменную х.

-Для чего это было нужно?

-Чтобы определить угловой коэффициент каждой прямой, а затем сравнить их.

-Проверим ваши выводы на практике.

Выясните, сколько решений имеет система уравнений:

Каждая группа решает по одной системе.

Работа в группах 3-5 минут.

-Время вышло. Представьте ваши ответы.

Представитель каждой группы рассказывает о получившихся результатах.

4.Первичная проверка усвоения знаний.

— Вы сегодня много рассуждали, много нового открыли для себя. Но для того, чтобы выяснить, все ли вам понятно, предлагаю выполнить проверочный тест. Время выполнения 10 минут.

Проверка тестов по представленным ответам.

Каждый ученик проверяет тест и самостоятельно выставляет себе отметку.

5.1.Подведение итогов урока.

-Урок подходит к концу. Давайте вспомним, какую цель мы пытались достичь на уроке.

-Научиться решать системы линейных уравнений с двумя переменными.

-Откуда возникла потребность в изучении данной темы?

-Не смогли решить задание.

-А теперь вы можете решить это задание?

-Да, мы можем составить систему и определить, имеет ли данная система решение, а также подбором найти это решение.

-Давайте вернемся к плану, который мы составили в начале урока. Все ли вопросы мы смогли разобрать на сегодняшнем уроке?

-Нет. У нас остался последний вопрос: выяснить способы решения систем линейных уравнений.

-Найти ответ на этот вопрос – цель следующего нашего урока.

5.2. Оценка деятельности учащихся на уроке.

Организует рефлексивное повторение с помощью ИД.

Возвращается к теме и цели урока,

Учитель предлагает двум – трем учащимся высказаться по следующим вопросам:

1)Доволен ли я своей работой на уроке?

2)Что мне было не понятно?

3)Какой момент мне больше всего понравился?

4) К обсуждению каких вопросов мне хотелось бы вернуться?

Затем учитель подводит итог урока, касающегося личного участия ребят в открытии нового для них знания; отмечает, кто как себя проявил.

Оценивают уровень своего понимания новой темы по двум параметрам:

Есть вопросы, формулируют их.

Проверяют уровень усвоения темы с помощью ИД, отвечая на вопросы, предложенные учителем.

Предлагает выбрать свой уровень для выполнения домашнего задания, исходя из самооценки уровня освоения темы: п.42 №1056,1057,1058 дополнительно №1166,1167

Выбирают и записывают домашнее задание.

Тест по теме «Системы линейных уравнений с двумя переменными» (алгебра, 7класс).

А1. Выберите линейное уравнение с двумя переменными:

а) 2х+4у 2 = 20 б) ху+6 = 26 в) (х+4)(у-3) = 5 г) 3х-у = 18

А2.Найдите решение уравнения 2х+3у =2:

А3. Выразите переменную х через переменную у из уравнения 5у -2х = -15:

а) х = -15-5у б) х = 2,5у+7,5 в) х = -2,5у+7,5 г) х = 2,5у-7,5

А4. Абсцисса точки, принадлежащей графику уравнения 2х-3у =-7, равна 4. Найдите ординату этой точки.

А5. Пара чисел (-4;-1) является решением уравнения ах+3у-5= 0, если а равно:

а) 2 б) 0,5 в) -2 г) 0

А6. Решением системы служит пара:

В1. Координаты точки пересечения графика уравнения -5х+3у = 9 и оси абсцисс являются решением системы:

В2. Выясните, сколько решений имеет система:

а) единственное б) бесконечно много в) ни одного г) два

В3. Подберите к данному уравнению 2х + 3у = -11 такое уравнение, чтобы решением получившейся системы была пара (2; -5)

а) 3х – у = 14 б) у – 5х = -20 в) 7х+4у = 6 г) –х – 4у = 18

С1. Система имеет бесконечно много решений при а равном:

Тест по теме «Системы линейных уравнений с двумя переменными» (алгебра, 7класс).

А1. Выберите линейное уравнение с двумя переменными:

а) 2х 2 -4у = 20 б) 3ху = 18 в) х-4у = 26 г) (5х-4)(у+8) = 5

А2. Найдите решение уравнения: 4х-3у = 5

а) (1;2) б) (-2;1) в) (-1;2) г) (2;1)

А3. Выразите переменную х через переменную у из уравнения -6у +3х = 24

а) х = 8-3у б) х = 3у+8 в) х = 2у+8 г) х =-4-2у

А4. Ордината точки, принадлежащей графику уравнения 6х+2у = 2, равна 4. Найдите абсциссу этой точки.

а)-11 б) 1 в)-1 г) 11

А5.Пара чисел (-4;-1) является решением уравнения 4х+ау+5 = 0, если а равно:

а) 11 б) 21 в) -21 г) -11

А6. Решением системы служит пара:

В1.Координаты точки пересечения графика уравнения -5х+3у = 9 и оси ординат являются решением системы:

В2. Выясните, сколько решений имеет система:

а) единственное б) бесконечно много в) ни одного г) два

В3. . Подберите к данному уравнению 4х –2у = -18 такое уравнение, чтобы решением получившейся системы была пара (-2; 5)

а) 2х + у = 14 б) 2х – 3у = -19 в) у – 4х = 24 г) –х +3у = 18

С1. Система имеет бесконечно много решений при а равном:

Учебник Алгебра 7 класс Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова, под редакцией С. А. Теляковского М.: Просвещение, 2014

Алгебра, 7 класс: поурочные планы по учебнику Алгебра 7 класс Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова/ ат.-сост. Т.Ю. Дюмина, А.А.Махонина.- Изд.2-е.-Волгоград: Учитель,2016.-431с

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 939 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 313 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 587 741 материал в базе

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

«Психологические методы развития навыков эффективного общения и чтения на английском языке у младших школьников»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Другие материалы

• 25.07.2017
• 527
• 0

• 25.07.2017
• 451
• 0

• 25.07.2017
• 2057
• 8

• 25.07.2017
• 800
• 11

• 25.07.2017
• 428
• 0

• 25.07.2017
• 452
• 0

• 25.07.2017
• 762
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 25.07.2017 1514
• DOCX 144.9 кбайт
• 27 скачиваний
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Штоп Светлана Иосифовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 7 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 12157
• Всего материалов: 15

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Инфоурок стал резидентом Сколково

Время чтения: 2 минуты

Каждый второй ребенок в школе подвергался психической агрессии

Время чтения: 3 минуты

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

В школах Хабаровского края введут уроки спортивной борьбы

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения подключит студотряды к обновлению школьной инфраструктуры

Время чтения: 1 минута

В ростовских школах рассматривают гибридный формат обучения с учетом эвакуированных

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Только 23 февраля!
Получите новую
специальность
по низкой цене

Цена от 1220 740 руб. Промокод на скидку Промокод скопирован в буфер обмена ПП2302 Выбрать курс Все курсы профессиональной переподготовки