Конспект урока по теме решение показательных уравнений

Решение показательных уравнений
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

План-конспект урока по теме «Решение показательных уравнений», 11 класс.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема урока: «Решение показательных уравнений».

«Возьми столько, сколько ты можешь и хочешь,
но не меньше обязательного».

1. Обучающие :

1. повторить основные способы решений показательных уравнений

1. Развивающие :

1. Развивать вычислительные навыки;
2. развивать навыки самостоятельного применения знаний в знакомой и измененной ситуации;
3. учить анализировать, выделять главное, доказывать и опровергать логические выводы.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

1. Организационный момент.
2. Повторение и актуализация опорных знаний.
3. Изучение нового материала.
4. Математический диктант.
5. Тест по проверке умения решать простейшие показательные уравнения Проверка теста.
6. Подведение итогов. Задание на дом.

1. Организационный момент . Показательные уравнения всегда были в экзаменационном материале выпускных и вступительных экзаменов. И в современных контрольно-измерительных материалах ЕГЭ эти задания присутствуют, как в первой, так и во второй частях. Несмотря на кажущуюся простоту, эти задания не решают около 30% учащихся.
2. Устно : Самая большая трудность — это увидеть степень числа.

Степени некоторых чисел надо знать в лицо, да. Потренируемся?

1. Определить, какими степенями и каких чисел являются числа :

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Ответы (в беспорядке, естественно!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Если приглядеться, можно увидеть странный факт. Ответов существенно больше, чем заданий! Что ж, так бывает. Например, 2 6 , 4 3 , 8 2 — это всё 64.

2. Представь в виде степени:

а) 25=5 ⃰ г) 64=2 ⃰ ж) 81=9 ⃰

б) 125=5 ⃰ д) 1000=10 ⃰ з) 81=3 ⃰

в) 32=2 ⃰ е) 27 = 3 ⃰ и) 216=6 ⃰

3. Прежде, чем перейдем к примерам потруднее, вспомним:

Представь в виде степени:

Также нам могут понадобиться следующие формулы:

1. Объяснение учителя. При решении показательных уравнений используют следующие методы.

1. Сведение к виду .

Пример 1 : решить уравнение: .

Решение: . Это уравнение равносильно уравнению 2х-4=6, откуда х=5.

1. Метод введения новой переменной.

Пример 2 : решить уравнение .

Решение: пусть , тогда уравнение примет вид: . Решив это уравнение, получим: а = 4, a= — 6. Вернемся к замене: или . Из первого уравнения находим, что х=2, а второе уравнение решений не имеет. Кстати, объясните почему.

1. Пример 3 : решить уравнение .

Решение: данное уравнение является однородным показательным уравнением . Для решения таких уравнений применяем следующий прием : разделим обе части на . Получим равносильное ему уравнение: . Введем новую переменную , получим квадратное уравнение , решив которое найдем , . Возвращаясь к замене, получим и .

Итак, мы рассмотрели 3 возможных способа решения показательных уравнений. Применим полученные знания на практике.

а)
б) 2 х – 2 = – 2
в)

д) Ну, и сложнейший пример (решается, правда, в уме. ):

7 0.13х + 13 0,7х+1 + 2 0,5х+1 = -3

Учащиеся выполняют самостоятельно, затем ответы сверяем, объясняя ход решения. Ответы: ( а) 0, б) корней нет, в) х- любое число, г) Такого ответа в заданиях «В» на ЕГЭ быть не может. Там конкретное число требуется. А вот в заданиях «С» – запросто, д) корней нет)

5. Тест по проверке умения решать простейшие показательные уравнения

В1. Решите уравнение:

Если в ответе будет дробь, записать ее в десятичном виде.

В2. Решите уравнение:

Если в ответе будет дробь, записать ее в десятичном виде.

В3. Решите уравнение:

Если в ответе будет дробь, записать ее в десятичном виде.

В4. Решите уравнение:

Если в ответе будет дробь, записать ее в десятичном виде.

В5. Решите уравнение:

Если в ответе будет дробь, записать ее в десятичном виде.

В6. Решите уравнение:

3 4 − 3 x = 3 2 x + 9

Если в ответе будет дробь, записать ее в десятичном виде.

В7. Решите уравнение:

Если в ответе будет дробь, записать ее в десятичном виде.

В8. Решите уравнение:

Если в ответе будет дробь, записать ее в десятичном виде.

В9. Решите уравнение:

Если в ответе будет дробь, записать ее в десятичном виде.

В10. Решите уравнение:

Если в ответе будет дробь, записать ее в десятичном виде.

В11. Решите уравнение:

Если в ответе будет дробь, записать ее в десятичном виде.

В12. Решите уравнение:

Если в ответе будет дробь, записать ее в десятичном виде.

С1. Решите уравнение: 2 5х-1 · 3 3х-1 · 5 2х-1 = 720 х

С2. Решите уравнение: 9·2 х — 4·3 х = 0

С3.Найти сумму корней уравнения:

х·3 х — 9х + 7·3 х — 63 = 0

Да-да! Это уравнение смешанного типа! Которые мы в этом уроке не рассматривали. А что их рассматривать, их решать надо!) Этого урока вполне достаточно для решения уравнения. Ну и, смекалка нужна. И да поможет вам седьмой класс (это подсказка!).

1. Фронтальная проверка теста:

ученики по порядку называют задание и дают на него ответ с обоснованием. Во время проверки ученики корректируют свои знания по этой теме. По окончании проверки каждый выставляет себе оценку и сдает бланк учителю.

7. Подведение итогов : В заключении давайте сформулируем несколько советов, которые обязательно пригодятся вам при решении показательных уравнений.

1. Первым делом смотрим на основания степеней. Соображаем, нельзя ли их сделать одинаковыми. Пробуем это сделать, активно используя действия со степенями. Не забываем, что числа без иксов тоже можно превращать в степени!

2. Пробуем привести показательное уравнение к виду, когда слева и справа стоят одинаковые числа в каких угодно степенях. Используем действия со степенями и разложение на множители. То что можно посчитать в числах — считаем.

3. Если второй совет не сработал, пробуем применить замену переменной. В итоге может получиться уравнение, которое легко решается. Чаще всего — квадратное. Или дробное, которое тоже сводится к квадратному.

4. Для успешного решения показательных уравнений надо степени некоторых чисел знать «в лицо».

Домашнее задание : составить тест из 5 заданий по данной теме.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств

Обобщение и закрепление знаний основных свойств показательной функции и применение их при решении задач.

Обобщающий урок по теме «Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств.»

Урок проводится с использованием компьютера и мультимедийного проектора. В ходе урока проводится тест «Показательная функция» с самопроверкой, работа по вариантам, работа по рядам с проверкой консульт.

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ТЕМЫ: «ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ ФУНКЦИЯ. РЕШЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ».

РАЗРАБОТКА ОСВЕЩАЕТ СЛЕДУЮЩИЕ ВОПРОСЫ:1.Вступление.2.Историческая справка.3.Структура и место темы в учебном курсе.4. Теоретические основы преподавания темы.5.Тематическое планирование темы.6.Основные.

Повторительно-обобщающий урок по теме Свойства показательной функции. Решение показательных уравнений

Цели:-повторить свойства показательной функции;-проверить навыки выполнения заданий ЕГЭ базового уровня по данной теме;- повторить и систематизировать способы решения показательных уравнений;-расширит.

Урок-семинар на тему: «Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ»

Конспект открытого урока-семинара, проведенного в 10 классе, на тему: Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ». Предоставленный материал дает возм.

Конспект урока в 11 классе «Показательная функция. Решение показательных уравнений»

Тип урока: урок обобщения, систематизации знаний. Цели урокаОбразовательные: Обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме. Закрепит.

Презентация к уроку алгебры в 10 классе на тему «Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ»

Презентация на тему «Показательная функция. Решение показательных уравнений и неравенств в рамках подготовки к ЕГЭ» является иллюстрацией к одноименному уроку-семинару по алгебре и началам анализа, пр.

План-конспект открытого урока «Решение показательных уравнений»

Разделы: Математика

Образовательные:

• познакомить учащихся с определением показательного уравнения и основными методами и приемами решения показательных уравнений.

Развивающие:

• развивать познавательный интерес к предмету через содержание учебного материала, применять сформированные знания, умения и навыки в конкретных ситуациях, развивать логическое мышление, самостоятельную деятельность обучающихся, правильно формулировать и излагать мысли

Воспитательные:

• воспитывать трудолюбие, аккуратность ведения записей, умение объективно оценивать результаты своей работы, прививать желание иметь глубокие знания, воспитывать умение работать в коллективе, культуры общения, взаимопомощи, воспитывать такие качества характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

Оборудование: таблица, доска, тесты, цветные мелки.

Тип урока: комбинированный.

Герберт Спенсер, английский философ, когда-то сказал: “Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы.

С.Коваль. “Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Приветствие, сообщение учащимся темы и цели урока.

2. Актуализация опорных знаний.

Устно:

1. Какая функция называется показательной?
2. Область значений показательной функции.
3. Что называется корнем уравнения?
4. Пересечет ли прямая у = -3 график функции у = 4 х ?
5. Сравнить числа 2,7 3 и 1.
6. Что является графиком линейной функции?
7. Среди заданных функций указать те, которые являются показательными:

а) 1) у = 4, 2) у = х, 3) у = 5 x , 4) у = x 3 .

3. Математический диктант.

Думать придется много, писать мало. При ответе на любой вопрос будете ставить “да” или “нет”. Два варианта: а) и б).

1.а) является ли убывающей функция y =2 x .
б) является ли возрастающей функция y = (0,3) x .

2.а) является ли показательным уравнение ?
б) является ли показательным уравнение ?

3. а) верно ли, что областью определения показательной функции является R?
б) верно ли, что график показательной функции проходит через точку с координатой(0;1)?

4.а) верно ли, что если b>0, то уравнение a x = b имеет один корень,
б) верно ли, что если b=0, то уравнение a x = b не имеет корней.

5.а) является ли число 3 корнем уравнения 2 x = 8,
б)является ли число 2 корнем уравнения 0,3 x = 0,09.

4. Изложение нового материала.

Урок я хочу начать притчей “Однажды молодой человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять раз я произношу фразу: “Я принимаю радость в мою жизнь” Но радости в моей жизни нет. Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил “Назови, что ты выбираешь из них”. “Ложку”, – ответил юноша. Произнеси это 5 раз.”. “Я выбираю ложку”, послушно произнес юноша 5 раз.. “Вот видишь, – сказал мудрец, повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…”Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку. Вот и вам сегодня надо взять свои знания и применить их на практике.

Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное х входит только в показатели степени при некоторых постоянных основаниях.

Так как показательная функция а х монотонна и ее область значений (0, ?), то простейшее показательное уравнение а х =в имеет корень при в >0. Именно к виду а х =в надо сводить более сложные уравнения.

“Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть и в последствии подтвердить это, что следуя этому методу мы достигнем цели”. Лейбниц.

1.Простейшие уравнения: (устно)

Приведение обеих частей к общему основанию:

Данное уравнение равносильно уравнению:

х-5 = 4,
х = 9.
Ответ: 9.

Так как показательная функция принимает только положительные значения, то данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2. Уравнения, решаемые с помощью вынесения общего множителя за скобки.

7 х + 7 х+2 = 350
7 х + 7 х 7 2 = 350
7 х (1+ 49) = 350
7 х =350:50
7 х = 7
х = 1
Ответ: х=1.

3.Уравнения, решаемые с помощью введения новой переменной.

16 х – 174 х + 16 = 0

Пусть 4 х = t, где t , тогда уравнение примет вид:

t 2 — 17t + 16 = 0

Данное квадратное уравнение является приведенным, по теореме Виета получим:

Если t₁ = 1, то 4 х = 1, 4 х = 4 0 , х₁ = 0.

Если t₁ = 16, то 4 х = 16, 4 х = 4 2 , х₂ = 2

4.Уравнения, решаемые с помощью их специфики – методом подбора.

При решении уравнений этим методом вначале находят путем подбора корень исходного уравнения, а потом доказывают, что этот корень единственный с использованием свойства монотонности показательной функции.

15 х + 20 х = 25 х

Корень данного уравнения равен 2.

Действительно, при подстановке получаем верное равенство:

15 2 + 20 2 = 25 2

Других корней это уравнение не имеет. Разделим все члены этого уравнения на его правую часть, тогда получим:

+= 1

+= 1

Функции , – убывающие, так как их основания меньше 1, а следовательно, сумма этих функций тоже будет убывающей. А по теореме о корне данное уравнение имеет единственное решение.

5. Графический метод.

Решить уравнение: 4 х = 5-х

В одной координатной плоскости строят графики функций у = 4 х и у = 5-х

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения графиков функций

Проверка: х = 1, 4 1 = 5-1, 4 = 4 (верно)

6.Уравнения, решаемые с применением свойств прогрессии.

2 · 2 3 · 2 5 ·… ·2 2х-1 = 512

Рассмотрим арифметическую прогрессию (а_n) из х членов, где а_n = 2 n-1, а₁ = 1:

S_n =х= х·х = х 2

9
х 2 = 9
х₁ = 3
х₂ = -3 ( (не удовлетворяет)

7.Однородные показательные уравнения второй степени.

6 ·4 х – 13 6 х + 6 ·9 х = 0
6 ·2 х – 13 ·2 х 3 х +6· 3 2х = 0

Так как 3 2х 0, то разделим обе части уравнения на 3 2х , тогда получим

–

6· ( 2х – 13· ( х + 6 = 0

Путь( х =t, тогда получим уравнение 6t 2 – 13t + 6 = 0

D = 13 2 -4• 6• 6 = 169 – 144 = 25

t₁ = _, t₂ =_.

Если t₁ = х = _, х = () 1 , х₁ = 1.

Если t₂ = х = _, х = () -1 , х₂ = -1.

Уравнения (кроме № 4, 7, 6) решались совместно с обучающимися.

5. Закрепление изученного материала

М. В. Ломоносов говорил “Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения” (портрет ученого вывешивается на доску).

И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных показательных уравнений.

На доске написаны 5 уравнений:

2.3 х-1 -3 х + 3 х+1 = 63

3.3 -х = —

4.64 х – 8 х –56 = 0

5.3 х +4 х = 5 х ( устно)

К доске выходят решать эти уравнения учащиеся.

Так как 31, то

= 0

По теореме Виета получаем:

2. 3 х-1 — 3 х + 3 х+1 = 63

Применяя соответствующие формулы свойства степеней, получим:

3 х 3 -1 – 3 х + 3 х 3 = 63

Выносим общий множитель за скобки:

3 х (
3 х
3 х =
3 х = 27
3 х = 3 3
х = 3
Ответ: х = 3.

3.3 -х = —

Решением этого уравнения является точка пересечения графиков функций у = 3 -х и у = –

4.64 х – 8 х – 56 = 0
(8 2 ) х – 8 х – 56 = 0 или
(8 х ) 2 – 8 х – 56 = 0

Введем новую переменную t = 8 х , тогда уравнение примет вид:

По теореме Виета:

t₁+ t₂ = 1
t₁ t₂ = – 56
t₁ = 8, t₂ = -7 (не удовлетворяет, так как показательная функция принимает только положительные значения)

Если t₁ = 8, то 8 х = 8, 8 х = 8 1 , х = 1.

5.3 х + 4 х = 5 х (устно)

Итог урока. Выставление оценок.

Итак, сегодня мы повторили тему “Показательная функция и ее свойства и познакомились с методами решения показательных уравнений. Дома необходимо выполнить домашнюю контрольную работу. Учащиеся получают карточки с заданиями вариантов.

Домашняя контрольная работа.

I вариант

II вариант

Решите уравнения.

Решите уравнения.

1. 5 2-3x = 1/25;
2. 6 x+2 – 2•6 x = 34;
3. 4•2 2x – 5•2 x +1 = 0;
4. 5 2x+5 – 2 2x+10 + 3•5 2x+2 – 2 2x+8 = 0;
5. 25 x = 7 2x;
6. 3 x = -x-2/3.

1. 4 1-2x = 1/16;
2. 2 x+3 + 3•2 x+1 = 28;
3. 6•3 2x – 3 x – 5 = 0;
4. 3 2x+5 – 2 2x+7 + 3 2x+4 – 2 2x+4 = 0.
5. 2 2x = 91 x ;
6. 5 x = -x + 6.

Кроссворд “И в шутку и всерьез”.

По горизонтали: 1.Есть у любого слова, у растения и может быть у уравнения.

По вертикали:2.Название функции, любой из графиков, которой обязательно пройдет через точку (0;1). 3.Исчезающая разновидность учеников. 4.Проверка учеников на выживание. 5.Ученый математик, механик и астроном. Его высказывание о показательной функции напечатано в учебнике перед первым параграфом. 6.Другое название независимой переменной в функции.

Ответы: 1.Корень. 2.Показательная. 3.Отличник. 4.Контрольная. 5.Эйлер. 6.Аргумент.

Конспект урока по теме «Решение показательных уравнений» (11 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Конспект 2.doc

Конспект 2-х часового урока

обобщающего повторения в 11 классе

по алгебре и началам анализа по теме:

«Решение показательных уравнений»

Минасян Людмила Григорьевна

Тема урока: Решение показательных уравнений.

Обобщить теоретические знания по темам: «Показательная функция и ее свойства» и «Решение показательных уравнений»;

Рассмотреть решение задач, связанных с темой, базового и повышенного уровня сложности;

Организовать работу учащихся по указанным темам на уровне, соответствующем уровню уже сформированных у них знаний и возбудить интерес к решению показательных уравнений повышенного уровня сложности.

Оборудование: интерактивная доска, раздаточный материал.

I этап урока ─ организационный (2 минуты).

На интерактивной доске написана тема урока (слайд 1).

В начале урока учащихся рассадили в соответствии с тремя уровнями подготовки на определенные ряды.

Учитель сообщает тему урока и цели, а также поясняет, что во время урока постепенно будет использован раздаточный материал, который находится на партах.

II этап урока (18 минут).

Повторение теоретического материала по теме: «Показательная функция и ее свойства».

Учитель: Сегодня на уроке мы вспомним свойства показательной функции, ее графики и рассмотрим методы решения показательных уравнений. И я очень надеюсь, что вы проявите интерес к этой теме. Давайте вспомним, какую функцию называют показательной?

Ученик: Функцию вида , где , называют показательной функцией.

Учитель: Такое название объясняется тем, что ее аргументом является показатель степени.

На доске (слайд 2) записаны различные функции:

а) у = 2 х ; б) у = х 2 ; в) у = (- 3) х ; г) у = () х ; д) у =х; е) у = π х ; ж) у = 3 -х ; з) у = (х — 2) 3 .

Учитель: Какие из функций являются показательными?

Ученики по очереди отвечают:

а) у = 2 х ; г) у = () х ; е) у =( π) х , ж) у = 3 -х .

На доске появляются графики (слайд3).

Учитель просит перечислить основные свойства показательной функции.

Учащиеся по очереди отвечают:

Свойство 1. Областью определения показательной функции является множество R всех действительных чисел.

Свойство 2. Множеством значений показательной функции является множество положительных чисел.

Свойство 3. Показательная функция является возрастающей, если , а если , то функция является убывающей.

Учитель просит показать график возрастающей функции и привести пример.

Ученик: Это первый график и записывает под графиком: , например . А второй график ─ это график убывающей функции, и записывает под графиком

, например .

На доске появляются различные показательные функции (слайд 4).

Учитель: Какие из функций являются возрастающими, а какие убывающими?

1) 2) 3) 4)

5) 6) 7) .

Отвечают учащиеся среднего уровня подготовки:

Один из учеников перечисляет все возрастающие функции: 1), 3), 6), а другой ученик перечисляет убывающие функции: 2), 4), 5), 7).

Учитель предлагает учащимся взять листы под № 1, которые лежат на партах.

I вариант (для учащихся со слабым уровнем подготовки)

1. На рисунке изображен график одной из функций. Укажите номер этой функции.

1) у = logх 2)

3) 4) у = logх

Верный ответ: 3)

2.Укажите множество значений функции .

Верный ответ: 3) (1;+∞).

3.Укажите функцию, возрастающую на всей области определения

1) 2) 3) 4)

Верный ответ: 1)

II вариант (для учащихся со средним уровнем подготовки).

1. На одном из рисунков изображен график функции . Укажите его.

2. Какое из следующих чисел не входит во множество значений функции ?

1) 1,5 2) 2,5 3) 3,5 4) 4,5.

Верный ответ: 4) 4,5

3. Укажите функцию, убывающую на всей области определения

1) 2) 3) 4)

Верный ответ: 3)

III вариант (для хорошо подготовленных учащихся).

1). Для каждой функции, заданной формулой, укажите ее график.

1) у = а+1

2) у = а

3) у = —а

4) у = а.

0 1+х 3) у = 4) у = (0,4) 3+х

Верный ответ: 4) у = (0,4) 3+х .

Через 5 минут слабые учащиеся передают свои листы на проверку средним учащимся.

II вариант и III вариант с верными ответами (слайд 5) высвечивается на интерактивной доске, учащиеся сверяют ответы и отмечают в своих листах количество правильных ответов.

III этап урока (25 минут).

Изложение теоретического материала по теме: «Решение показательных уравнений»

Учитель: При решении показательных уравнений используют два основных метода:

переход от уравнения а ƒ(х) = а g(х) к уравнению ƒ(х) = g(х),

введение новых переменных.

В процессе решения сложного уравнения нам приходится шаг за шагом заменять его более простым уравнением. В конце концов, мы получаем достаточно простое уравнение и находим его корни. В этот момент и возникает главный вопрос: совпадает ли множество корней последнего уравнения с множеством корней исходного уравнения?

Если все преобразования были равносильными, то есть каждое последующее уравнение было равносильно предыдущему, то ответ на поставленный вопрос положителен, если же равносильность хоть в каком-то шаге нарушалась, то возможно и потеряли корни или получили посторонние.

На интерактивной доске появляются следующие определения и примеры ( слайд 6).

Определение 1. Два уравнения с одной переменной ƒ(х) = g(х) и р(х) = q(х) называются равносильными, если множества их корней совпадают.

Учитель: Иными словами, два уравнения называют равносильными, если они имеют одинаковые корни. Например: 4х – 3 = 2х + 3 и 2х = 6

Или если они оба не имеют корней. Например: = 0 и х 2 – 5х + 10 = 0.

Определение 2. Если каждый корень уравнения ƒ(х) = g(х) является в то же время корнем уравнения р(х) = q(х), то второе уравнение называют следствием первого.

Например, уравнение (х – 2)(х + 4) = 0 является следствием уравнения = 0, в то же время уравнение (х – 2) = 0 не является следствием уравнения

Определение 3. Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда каждое из них является следствием другого.

Определение 4. Областью допустимых значений уравнения ƒ(х) = g(х) называют множество тех значений переменной х, при которых одновременно имеют смысл выражения ƒ(х) и g(х).

Далее учитель добивается, чтобы учащиеся сделали выводы, и корректирует их ответы:

если решение некоторого уравнения мы все время переходим к равносильному уравнению или осуществляем преобразования и отбор корней по ходу решения с учетом ОДЗ, то в итоге получим корни исходного уравнения, которые в проверке не нуждаются;

если же при решении уравнения мы на каком-либо шаге получаем уравнение- следствие и/или осуществляем преобразования без учета ОДЗ, то в конце решения необходимо сделать проверку полученных корней.

Учитель: Какое уравнение называется простейшим показательным уравнением?

Ученик: Уравнение вида а , где , называется показательным уравнением.

Учитель просит привести пример такого уравнения.

К доске выходит слабый ученик и записывает: 3 х = 81, 3 х = 3 4 , х = 4.

Учитель напоминает, что в качестве аргумента может выступать функция ƒ(х), тогда уравнение вида а ƒ(х) = а g(х) , где а >0, а1, равносильно уравнению ƒ(х) = g(х).

Учитель приглашает учащегося со средней подготовкой к доске и предлагает решить уравнение № 1:

2 = 2.

Решение: 2 = 2,

Корни последнего уравнения являются корнями исходного уравнения.

Учитель: Нужно ли делать проверку?

Ученик: Нет, так как при решении был совершен равносильный переход.

Учитель вызывает к доске трех учащихся (слабого, среднего и сильного) и предлагает решить уравнения, которые записывает сам:

I

II

III

Учащиеся хорошо справляются с первыми двумя уравнениями.

А третье нестандартное уравнение вызвало некоторое затруднение.

Поэтому учитель помогает его решить.

Решение III уравнения: 3= 5 2х .

Так как 5 = 3 log , то данное уравнение можно преобразовать к виду

3 = (3 log ) 2х .

Это уравнение равносильно следующему: х 2 – 4 = 2хlog.

Корни квадратного уравнения х 2 – 2хlog — 4 = 0 таковы:

Следовательно, корни исходного уравнения эти же.

Ответ:

Следующее уравнение № 2 вида: учитель объясняет для всех учащихся.

Учитель обращает внимание на то, что в этом уравнении основание 3 одинаково в каждом из слагаемых, а показатели степени разные.

Учитель: Назовите степень с меньшим показателем.

Ученик: .

Учитель: Нужно вынести за скобки.

К доске выходит ученик с хорошей математической подготовкой и показывает решение этого уравнения.

Учитель: Существуют и другие виды показательных уравнений, например, показательные уравнения, которые решаются методом введения новых переменных.

К доске выходит ученик (он заранее подготовил решение) и показывает решение уравнения:

4 х + 2 х+1 – 24 = 0.

Так как 4 х =(2 х ) 2 и 2 х+1 = 2∙2 х , то данное уравнение перепишем в виде:

(2 х ) 2 + 2∙2 х – 24 = 0.

Обозначим : 2 х = t, где t >0, получим уравнение t 2 + 2t – 24 = 0, корни которого

Поэтому задача сводится к решению двух уравнений: 2 х = 4 и 2 х = — 6.

Из первого уравнения х = 2, второе уравнение не имеет решения, так как 2 х > 0 при любых х.

Учитель предлагает учащимся двух групп по два уравнения решить самостоятельно (слайд 7).

I Вариант II Вариант

а) 2∙3 х+1 – 3 х = 15 а) 2 х+1 + 2 х-1 + 2 х = 28

б) 9 х – 8∙3 х – 9 = 0 б) 8∙4 х – 6∙2 х + 1 = 0

По одному ученику из этих групп решают эти же уравнения на дополнительной доске, чтобы затем учащиеся смогли проверить свои ответы.

I Вариант а) 2∙3 х+1 – 3 х = 15, II Вариант а) 2 х+1 + 2 х-1 + 2 х = 28,

3 х (2∙3 – 1) = 15, 2 х-1 (2 2 + 1 + 2) = 28,

3 х ∙5 = 15, 2 х-1 ∙7 = 28,

3 х = 3, х = 1. 2 х-1 = 4,

Ответ: 1. 2 х-1 = 2 2 , х – 1 = 2, х = 3.

б) 9 х – 8∙3 х – 9 = 0, б) 8∙4 х – 6∙2 х + 1 = 0,

(3 х ) 2 – 8∙3 х -9 = 0, 8∙(2 х ) 2 — 6∙2 х + 1 = 0,

Обозначим 3 х = t, где t >0, тогда Обозначим 2 х = t, где t >0, тогда

t 2 — 8t – 9 = 0, 8 t 2 — 6t + 1 = 0,

t₁ = 9, t₂ = -1, t₁ =, t_{2 =}

Возвращаемся к замене: Возвращаемся к замене:

3 х = 9, х = 2, 2 х = , х = -1,

3 х = -1, корней нет. 2 х = , х = -2.

Ответ: 2. Ответ: -1, -2.

Пока учащиеся заняты решением уравнений, учитель обращает внимание сильной группы учащихся на то, что существуют уравнение ƒ(х) g(х) = ƒ(х) h(х) , которые называются «показательно-степенные уравнения».

Если ƒ(х) >0 и ƒ(х) , то это уравнение, как и показательное, решается с помощью приравнивания показателей: g(х) = h(х).

Если условием не исключается возможность ƒ(х) ≤ 0 или ƒ(х) = 1, приходится рассматривать несколько случаев.

(х 2 + х – 57) = (х 2 + х – 57)

Решение: При решении данного показательно-степенного уравнения нужно рассмотреть 4 случая:

В этом случае уравнение примет вид: 1 = 1, т.е. 1 = 1.

Значит корни уравнения х 2 + х -58 = 0. являются корнями уравнения исходного.

Находим корни х_1,2 = .

2) х 2 + х – 57 = -1, х 2 + х – 56 = 0.

В этом случае уравнение примет вид: ( — 1) = ( -1) 10х .

Этому уравнению могут удовлетворять только такие значения х, при которых

3х 2 + 3 и 10х целые числа ( поскольку отрицательное число (-1) можно возвести лишь в целую степень) одинаковой четности ( т.е. либо оба четные, либо нечетные).

Значение х₁ = -8 не удовлетворяет уравнению ( — 1) = ( -1) 10х .

Значит х = 7 корень исходного уравнения.

3) Если х 2 + х – 57 = 0, то в этом случае уравнение примет вид: 0 = 0.

Этому уравнению могут удовлетворять только такие значения х, при которых

3х 2 + 3 > 0 и 10х > 0.

Напомним, что выражение 0 r имеет смысл только при r > 0.

Из уравнения х 2 + х – 57 = 0 находим корни .

Значение не удовлетворяет условию 10х > 0.

Следовательно, корень .

4) Если х 2 + х – 57> 0 и х 2 + х – 57, то 3х 2 + 3 = 10х, откуда находим х₁ = 3,

х₂ =.

Оба этих значения нужно проверить подстановкой в данное уравнение.

При х = 3, получим (-45) 30 = (-45) 30 ─ верное равенство.

При х = ,

Эта запись не имеет смысла. Значит, х = 3.

Подводим итоги, приходим к выводу, что данное уравнение имеет 5 корней.

Ответ: х_1,2 = , х₃ = 7, х₄ = , х₅ =3.

I V этап урока (20 минут).

Разноуровневая самостоятельная работа.

Учитель предлагает учащимся со слабой математической подготовкой взять зеленые карточки. Работа для этих учащихся содержит простейшие задания, аналогичные тем, которые разбирались на уроке.

Зеленая карточка № 1.

А 1. Найти значение выражения: 3 -4,5а . 3 2,5а , при а = —.

1) 2) 3 3) 1 4) .

А 2. Найти множество значений функции: у = 2 х + 3.

А3. Решите уравнение: 2 3-х = 16.

1) -1 2) 1 3) 7 4) -7.

А 4. Решите неравенство: ≤ 0.

1) (-∞; -3] 2) [-3; 0) (1; +∞) 3) (-∞; -3) 4) (-1; 0) (3; +∞).

В 1. Найти наибольший корень уравнения:

81 х + 6 . ∙9 х + 9 = 0.

Зеленая карточка № 2.

А 1. Найти значение выражения: 4 2х *4 -5х , при х = —.

1) 0,25 2) 4 3) 2 4) 16.

А 2. Какое из следующих чисел не входит во множество значений функции:

1) 2) 1 3) — 4) 0.

А3. Решите уравнение: 3 4-х = 27.

1) 1 2) 4 3) -1 4) 0 .

А 4. Решите неравенство: ≤ 0.

1) [-2; 0) [3; +∞) 3) (-∞; -2) (0; 3)

2) (-3; 0) (2; +∞) 4) (-∞; -2] (0; 3].

В 1. Решите уравнение: 9 2х+1 – 9 2х = 72.

Зеленая карточка № 3.

А 1. Найти значение выражения: 25 в ∙5 -3в , при в = 0,5.

1). 2) 3) 5 4) .

А 2. Укажите множество значений функции: у = 20 х+5

А3. Решите уравнение: 3 2х-4 = .

1) 1 2) — 1 3) — 2 4) 2.

А 4. Решите неравенство: ≤ 0.

(-1; 0) [5; +∞) 3) (-∞; -1) (0; 5)

2) (-∞; -1) (0; 5] 4) [-5; 0) (1; +∞).

В 1. Решите уравнение: 5 х+2 – 2*5 х = 115.

Учащимся со средней математической подготовкой предлагают голубые карточки.

Голубая карточка № 1.

А 1. Найти значение выражения: 8 3а . 16 -2а при а = — 2.

1) 4 2) 3) — 4) 8.

А 2. Укажите функцию, множеством значений которой является промежуток (0; +∞).

1) log₂х 2) 3) у = sin 4х 4)

А3. Пусть х₀ ─ наибольший корень уравнения 625= 25 12 . Найти 2х₀ – 5.

1) 7 2) — 3 3) — 17 4) — 7.

А 4. Решите неравенство: ≤ 0.

1)(- 0,5; 5] (7; +∞) 3) (-∞;-0,5][5; 7)

2) (-0,5; 5] (7; + ∞) 4) (-∞;-0,5] (5; 7].

В 1. Решите уравнение: 2 3х+2 + 8 х = 0,625.

Голубая карточка № 2.

А 1. Найти значение выражения: 16 3 m ∙ 8 -2 m , при m = .

1) 2 2) 16 3) 8 4) 1.

А 2. Укажите функцию, множеством значений которой является промежуток (0;+∞).

1) у = logх 2) у = 3 х 3) у = sin х 4) у = со s х.

А 3. Пусть х₀ ─ наименьший корень уравнения 81 = 9 2х . Найти 3х₀ + 2.

1) — 2 2) — 4 3) — 1 4) 2.

А 4. Решите неравенство: ≥ 0.

1) (-7; -4] (1; +∞) 3) (-∞; -7) [ — 4; 1)

2) [-7; -4] [1; +∞) 4) (- ∞; — 7) [- 4; 1].

В 1. Найти сумму корней уравнения: 4 х – 40∙2 х + 256 = 0.

Одному из наиболее подготовленных учащихся учитель выдает особую карточку

(с двумя заданиями).

Ученик эти задания выполняет у доски.

Найти сумму всех корней уравнения (х – 1)= (х -1) 4х .

Решите уравнение: 2∙ 4 х — 17∙2 х + 4 = 2— х 2 .

Другим учащимся выдают желтые карточки. В своих работах учащиеся должны представить краткий ответ на первую задачу и развернутое решение второй задачи.

Желтая карточка № 1.

Решите уравнение 4 7х ∙— 4∙ = 0. (Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе запишите произведение всех корней).

Найти корень уравнения , принадлежащий области определения функции .

Желтая карточка № 2.

Решите уравнение 3∙ + 3 25 ∙ = 0. Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе запишите сумму всех корней.

Решите уравнение:

По истечении времени учащиеся сдают работы.

V этап урока (10 минут).

Обсуждение решений задач, представленных на доске.

Ученик, выполнявший задачи у доски, комментирует свое решение.

Решение уравнения (х – 1)= (х -1) 4х .

1) если х – 1 > 0 и х – 1 , приравниваем показатели: х 2 + 3 = 4х;

Проверка: если х = 3, то 2 12 = 2 12 ─ верно;

если х = 1, то 0 4 = 0 4 ─ верно, следовательно х₁ = 1, х₂ = 3.─ корни уравнения.

2) если х – 1 = 1, то х = 2.

Проверка: если х = 2, то 1 7 = 1 7 ─ верно, следовательно, х = 2 ─ корень уравнения.

3) если х – 1 = 0, х = 1 ─ корень уравнения, уже проверено.

4) если х — 1 =-1, х = 0, то (- 1) 3 = (- 1) 0 , -1 = 1 ─ неверно, следовательно, х = 0 не является корнем уравнения.

V I этап урока (5 минут).

Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию.

Для сильных учащихся учитель приготовил домашнее задание на карточках, которые им выдает.

Решите уравнение .

Решите уравнение .

Решите уравнение .

В качестве домашнего задания остальные учащиеся получают по варианту из краевой контрольной работы.

Учитель отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных учащихся и выставляет отметки.

Выбранный для просмотра документ Конспект_2. Слайды.ppt