Конспект урока по теме системы уравнений

Методы решения систем уравнений
план-конспект урока по алгебре

В классе обучаются учащиеся, имеющие разные способности по математике. Содержание учебного материала соответствует цели урока, требованиям учебной программы, стандарту образования.

На уроке имеют место элементы проблемного обучения и самостоятельная поисковая деятельность, которые способствуют усвоению учащимися нового материала. Методы обучения обеспечивают познавательную самостоятельность и интерес учащихся, сотрудничество учителя и учащихся.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Методы решения систем уравнений

Предмет: Алгебра (1 урок § 6 глава 1)

Класс: 9, автор М.А.Мордкович

Тип урока: Урок открытия новых знаний

Форма проведения урока: урок-практикум

— рассмотреть способы решения нелинейных систем уравнений с двумя переменными

— начать формировать прогностические способности по поиску рациональных методов решения систем уравнений; закрепить основные методы решения систем уравнений, подготовка к ОГЭ

— развивать логическое мышление, математическую речь при комментировании решения, познавательную активность, умение применять известные факты в новых измененных ситуациях

-воспитывать взаимопомощь, продолжить воспитание чувств самоконтроля, ответственности за проделанную работу.

Оборудование: компьютер, проектор, раздаточный материал

Основные понятия: методы решения систем уравнений ; алгоритм решения систем уравнений

Самостоятельная деятельность учащихся

Решение задач по теме: «Методы решения систем уравнений»

Приемы и методы

I. Мотивация учебной деятельности

Основное содержание этапа:

1) Организационный момент (приветствие, готовность к уроку)

2) Сообщение темы, постановка целей урока, мотивация учебной проблемы

II. Актуализация знаний учащихся

Основное содержание этапа:

1).Устная работа (задания выводятся на доске с помощью проектора)

III. Изучение нового материала

Основное содержание этапа:

Объяснение учителя у доски

IV. Закрепление с комментированием методов решения систем уравнений

Основное содержание этапа:

Отработка с учащимися методов решения систем уравнений

Беседа учителя с учениками

V. Самостоятельная работа с самопроверкой

Основное содержание этапа:

Первичная проверка усвоения знаний в виде самостоятельной работы взаимопроверкой по эталону

VI. Включение в систему знаний примера из ОГЭ — 2017

Основное содержание этапа:

Подготовка к ОГЭ

Разбор заданий ч2

Запись на доске

VII. Рефлексия учебной деятельности на уроке

Основное содержание этапа:

1) Ответы на вопросы

2) Домашнее задание

3) Выставление оценок за урок

Запись домашнего задания

I. Мотивация учебной деятельности

Основное содержание этапа:

1) Организационный момент (приветствие, готовность к уроку)

2) Сообщение темы, постановка целей урока, мотивация учебной проблемы

Учитель: Здравствуйте, ребята! В 7 классе было рассмотрено решение систем линейных уравнений (т.е уравнений первой степени) с двумя переменными. Теперь необходимо перейти к изучению систем нелинейных уравнений (т.е уравнений степени два и выше). Системы уравнений являются популярными заданиями тестов ОГЭ. Скоро ОГЭ, поэтому наша задача как можно лучше подготовиться к нему. Итак, посмотрите на экран и устно отвечаем на вопросы.

II. Актуализация знаний учащихся

Основное содержание этапа:

1).Устная работа с классом (задания выводятся на доске с помощью проектора)

а) – что называется решением системы уравнений?

— что значит решить систему уравнений?

— как определить является ли пара чисел решением системы уравнений?

Дана система

Среди пар (-1;1), (-1;-1), (1;1) найдите решение данной системы.

Задание: Установите соответствие:

х 2 +у 2 =36 у- х = 4 2х 2 — у = 0 ху = 2 х 2 +у=4

III. Изучение нового материала

— Вам на дом было дано задание: вспомнить все изученные методы решения систем уравнений, какие методы вы вспомнили?

Метод Метод Графический

подстановки сложения метод

1 Метод подстановки

Этот метод уже применялся при решении систем линейных уравнений. Напомним алгоритм использования такого метода: 1) выразить из более простого уравнения одну переменную через другую; 2) подставить это выражение в другое уравнение и получить уравнение с одной неизвестной; 3) решить полученное уравнение с одной переменной; 4) найти соответствующие значения второй неизвестной.

Пример 1: Решить систему уравнений методом подстановки:

Выразим из второго уравнения у через х у=х+4 и подставим в первое уравнение.

х 2 + х 2 + 8х + 16 – 16 =0,

Пример 2: Решить систему уравнений методом сложения:

Сложим почленно уравнения

2х 2 = 72 6 2 + у 2 = 61

х 2 = 72 :2 у 2 = 61 — 36

х 2 = 36 у 2 = 25

х 2 = — 6 у 2 = — 5

IV. Закрепление с комментированием методов решения систем уравнений

Основное содержание этапа:

Отработка с учащимися методов решения систем уравнений

№ 120(а); № 125(б) — двое решают у доски (1 пара)

№ 120(б); 125(г) – решают у доски 2 пара

Физминутка для глаз: представьте себе большой круг, обведите этот круг сначала по часовой стрелке, а потом против часовой стрелки (3-4 раза).

V. Самостоятельная работа с взаимопроверкой

Основное содержание этапа:

Первичная проверка усвоения знаний в виде самостоятельной работы взаимопроверкой по эталону

1. Решить методом подстановки:

Решение: Выразим из первого уравнения у через х:

Полученное выражение подставим во второе уравнение системы:

Разработка урока «Методы решения систем уравнений «

Разработка урока по математике в 9 класск «Методы решения систем уравнений «

Просмотр содержимого документа
«Разработка урока «Методы решения систем уравнений «»

Тема урока «Методы решения систем уравнений «

Место и роль урока в изучаемой теме: урок закрепления и систематизации знаний учащихся.

Образовательные— повторение теоретического материала по методам решения систем уравнений с двумя переменными: графического, метода подстановки, метода алгебраического сложения, метода замены переменной; формирование умений и навыков рационального применения данных методов для решения различных задач; формирование представлений о структуре заданий по теме: «Системы уравнений» в заданиях ГИА, а также их уровне сложности.

Развивающие — развитие творчества и инициативы, умений организовывать индивидуальную и самостоятельную работу, работу в группах; проводить самоконтроль;

Воспитательные— воспитание чувства ответственности, самостоятельности; познавательного интереса к изучаемому предмету.

1. Научить переносить знания от одного предмета к другому.

2. Снять монотонность урока и перегрузку учащихся, повысить интерес к математике, используя для этого различные методы проведения урока на разных его этапах.

3. Систематизировать, расширить и углубить знании и умения учащихся по теме «Решение систем уравнений».

4. Закрепить алгоритмы решения систем различными способами.

Планируемые результаты: быстрое включение учащихся в деловой ритм и организации внимания у всех учащихся; активная деятельность всего класса в ходе проверки знаний учащихся; активная познавательная деятельность; качество знаний учащихся на последних этапах обучения; умение выделять существенные признаки методов решения систем уравнений.

По источникам знаний: словесные, наглядные;

По степени взаимодействия учитель-ученик: эвристическая беседа;

Относительно дидактических задач: подготовка к восприятию;

Относительно характера познавательной деятельности: репродуктивный, частично-поисковый.

Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, фронтальная работа, групповая деятельность.

Педагогические технологии: технология деятельностного метода, технология уровневой дифференциации.

Оборудование: карточки для индивидуальной работы, доска, тесты, наглядный материал, дидактический материал, презентация.

I. Мотивация к учебной деятельности

Здравствуйте, ребята! Прошу занять свои места.

— Настроитесь на работу, будьте доброжелательны друг к другу и у вас все получится!

— Эпиграф: Знание – самое прекрасное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит. (слайд 1)

-Я желаю вам, каждый день и каждый час стремиться к знаниям. А контролировать ваши приобретённые знания на сегодняшнем уроке нам поможет лист самооценки, который лежит у вас на столе

II. Проверка домашнего задания

Трое учащихся у доски выполняют домашние номера. Остальные учащиеся участвуют в фронтальном опросе теоритического материала:

Какие методы решения систем уравнений вызнаете? (Слайд 2)

В чём смысл решения систем уравнений графическим методом. Назовите его недостатки.

Назовите алгоритм решения систем уравнений способом подстановки.

В чём сущность метода алгебраического сложения при решении систем уравнений.

В чём сущность метода введения новой переменной

III. Построение проекта выхода из затруднения (цель, тема)

Для того чтобы мы могли правильно сформулировать тему сегодняшнего урока, я предлагаю вам устно выполнить несколько заданий. Я надеюсь вы догадались какова тема сегодняшнего урока?

Правильно! Тема нашего урока: «Методы решения систем уравнений». Откройте свои тетради, запишите сегодняшнее число, Классная работа и тему урока «Методы решения систем уравнений». Ребята, сегодня мы с вами продолжаем работать по данной теме. Основные понятия мы с вами уже изучили, какова же цель сегодняшнего урока? Я хочу чтобы вы сами попробовали ее сформулировать. Итак, ваши предложения:

-применение теоретических знаний на практике;

-систематизация полученных знаний;

-ну и конечно, развитие культуры математической записи и речи.

IV. Актуализация знаний и умений.

Ребята, я бы хотела поговорить о значении систем алгебраических уравнений.

К решению САУ сводятся многочисленные практические задачи (по некоторым оценкам более 75% всех задач). Можно с полным основанием утверждать, что решение САУ является одной из самых распространенных и важных задач вычислительной математики.

Конечно, существует много методов и современных пакетов прикладных программ для решения САУ, но для того чтобы их успешно использовать, необходимо разбираться в основах построения методов и алгоритмов, иметь представления о недостатках и преимуществах используемых методов.

— А теперь сделаем выводы о преимуществах и недостатках каждого метода, заполнив таблицу (таблица у каждого на парте).

— Посмотрим, что у вас получилось:

В выборе множителя

Ребята, какие выводы можно сделать из этой таблицы.

IV. . Реализация построенного проекта.

1. Какая из перечисленных пар является решением системы уравнений х –у 2 =3,

2. Из каких уравнений можно составить систему уравнений, решением которой будет пара чисел (1;0)?

3. Сколько решений имеет система уравнений х 2 + у 2 = 16,

4. Решение какой системы уравнений изображено на рисунке?

5. Решите систему уравнений ху = 12,

1. Какая из перечисленных пар является решением системы уравнений х –у 2 =-1,

2. Из каких уравнений можно составить систему уравнений, решением которой будет пара чисел (0;1)?

3. Сколько решений имеет система уравнений х 2 + у 2 = 9

4. Решение какой системы уравнений изображено на рисунке?

5. Решите систему уравнений ху = 18,

Ребята, сейчас я предлагаю немного размяться.

-Дифференцированная работа у доски

Ребята на доске задания разного уровня сложности.

1.Самое легкое задание: Соедини стрелками систему с подходящим для нее методом решения.

2. Задание среднего уровня сложности: Найди ошибки в решении системы уравнений.

d2+q2=13 2d2=8 d2=4 d=2 4+q2=13 q2=9 q=3

Сложнй уровень: Реши систему уравнений

Выбери пары чисел, которые являются решением системы уравнений

x=−1,d=3

x=2,d=1

x=−1,d=2

другой ответ

x=2,d=5

V. Подведение итогов урока.

а) Что повторили на уроке? б) Какие методы решения систем уравнений использовали?

ВЫВОД: Повторив способы решения систем уравнений, алгоритмы решения, мы систематизировали знания по теме, отработали умение выбора наиболее рационального способа решения для предложенной системы.

1. Я все знаю, понял и могу объяснить другим!
2. Я все знаю, понял, но не уверен, что смогу объяснить другому.
3. Я сам знаю, понял, но объяснить другому не смогу.
4. У меня остались некоторые вопросы.

Решите задания из тестовой части по подготовке к ОГЭ:

Реши систему уравнений, используя способ сложения.

Реши графически систему уравнений

Теоретический материал на карточках

По желанию: 21 задание из пособия по подготовке к ОГЭ (выбрать задание с системой)

Я желаю вам, ребята, всегда достигать желаемого. И чтобы на уроках математики наши желания совпадали: решённые задачи и хорошие оценки.

способ подстановки.При решении систем уравнений способом подстановки поступают следующим образом:

Выражают из какого-нибудь уравнения одну переменную через другую;

Подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;

Решают получившееся уравнение с одной переменной;

Находят соответствующее значение второй переменной;

Записывают ответ парой чисел (х;у).

Следующий способ решения систем – способ алгебраического сложения.

При решении систем уравнений этим способом поступают следующим образом:

При необходимости умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

Складывают почленно левые и правые части уравнений системы;

Решают получившееся уравнение с одной переменной;

Находят соответствующее значение второй переменной;

Записывают ответ парой чисел (х;у).

Решение системы уравнений с двумя переменными графическим способом сводится к отысканию координат общих точек графиков уравнений. Чтобы решить систему уравнений графически, надо:

Проанализировать каждое уравнение системы, как формулу, которой задана функция;

В одной системе координат построить график каждого уравнения;

Координаты точек пересечения графиков и будут являться решениями системы уравнений.

Надо помнить, что если система содержит два линейных уравнения, графики – прямые, а прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно, система линейных уравнений с двумя переменными может:

Иметь единственное решение, если коэффициенты при х в каждом уравнении различны;

Не иметь решений, если коэффициенты при х одинаковы в каждом уравнении;

Иметь бесконечное множество решений если, выразив в каждом уравнении учерез х, получаются одинаковые уравнения.

У графического способа решения уравнений есть один существенный недостаток – он не даёт точного ответа в большинстве случаев.

Некоторые системы уравненийимеют громоздкий вид, а в обоих уравнениях встречаются одинаковые дроби или скобки с одинаковыми выражениями. Для упрощения решения таких систем уравнений используют введение одной новой переменной или двух. Получается система уравнений, более простая, чем первоначальная, которую далее решают способами или подстановки, или сложения.)

способ подстановки.При решении систем уравнений способом подстановки поступают следующим образом:

Выражают из какого-нибудь уравнения одну переменную через другую;

Подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;

Решают получившееся уравнение с одной переменной;

Находят соответствующее значение второй переменной;

Записывают ответ парой чисел (х;у).

Следующий способ решения систем – способ алгебраического сложения.

При решении систем уравнений этим способом поступают следующим образом:

При необходимости умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

Складывают почленно левые и правые части уравнений системы;

Решают получившееся уравнение с одной переменной;

Находят соответствующее значение второй переменной;

Записывают ответ парой чисел (х;у).

Решение системы уравнений с двумя переменными графическим способом сводится к отысканию координат общих точек графиков уравнений. Чтобы решить систему уравнений графически, надо:

Проанализировать каждое уравнение системы, как формулу, которой задана функция;

В одной системе координат построить график каждого уравнения;

Координаты точек пересечения графиков и будут являться решениями системы уравнений.

Надо помнить, что если система содержит два линейных уравнения, графики – прямые, а прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно, система линейных уравнений с двумя переменными может:

Иметь единственное решение, если коэффициенты при х в каждом уравнении различны;

Не иметь решений, если коэффициенты при х одинаковы в каждом уравнении;

Иметь бесконечное множество решений если, выразив в каждом уравнении учерез х, получаются одинаковые уравнения.

У графического способа решения уравнений есть один существенный недостаток – он не даёт точного ответа в большинстве случаев.

Некоторые системы уравненийимеют громоздкий вид, а в обоих уравнениях встречаются одинаковые дроби или скобки с одинаковыми выражениями. Для упрощения решения таких систем уравнений используют введение одной новой переменной или двух. Получается система уравнений, более простая, чем первоначальная, которую далее решают способами или подстановки, или сложения.)

Жил в избушке на лесной опушке дед по прозвищу Равняло. Любил он с числами подшучивать. Возьмет дед выстроит по обе стороны от себя числа, соединит их знаками, а самые резвые в скобки возьмет, но следит, чтобы одна часть равнялась другой. А потом какое-нибудь число спрячет под маской «икс» и попросит своего внука, маленького Равнялку, найти его. Равнялка хоть и мал, но дело свое знает: быстро перегонит все числа, кроме «икса», в другую сторону и знаки не забудет у них изменить на противоположные. А числа слушаются его, быстро выполняют по его приказу все действия, и «икс» известен. Дед смотрит на то, как ловко у внучка все получается и радуется: хорошая ему смена растет.

-Итак, о чем идет речь в этой сказке?

1. Какая из перечисленных пар является решением системы уравнений х –у 2 =3,

2. Из каких уравнений можно составить систему уравнений, решением которой будет пара чисел (1;0)?

3. Сколько решений имеет система уравнений х 2 + у 2 = 16,

4. Решение какой системы уравнений изображено на рисунке?

5. Решите систему уравнений ху = 12,

1. Какая из перечисленных пар является решением системы уравнений х –у 2 =-1,

2. Из каких уравнений можно составить систему уравнений, решением которой будет пара чисел (0;1)?

3. Сколько решений имеет система уравнений х 2 + у 2 = 9

4. Решение какой системы уравнений изображено на рисунке?

5. Решите систему уравнений ху = 18,

1. Какая из перечисленных пар является решением системы уравнений х –у 2 =3,

2. Из каких уравнений можно составить систему уравнений, решением которой будет пара чисел (1;0)?

3. Сколько решений имеет система уравнений х 2 + у 2 = 16,

4. Решите систему уравнений ху = 12,

1. Какая из перечисленных пар является решением системы уравнений х –у 2 =-1,

2. Из каких уравнений можно составить систему уравнений, решением которой будет пара чисел (0;1)?

3. Сколько решений имеет система уравнений х 2 + у 2 = 9

4. Решите систему уравнений ху = 18,

1. Какой метод применялся при решении? (Записать ответ на доске).

2. Следующее решение выглядит вот так:

Разложение на множители

Какой метод использовали для нахождения решения этой системы? (Записать ответ на доске).

Назовите метод решения. (Записать ответ на доске).

4. Следующая система:

Назовите метод решения этой системы. (Записать ответ на доске).

5. Последнее задание:

Графический метод

Какой это метод? (Записать ответ на доске).

Порядок организации групповой работы:

класс разбивается на группы по 4 человека;

учитель ставит перед учащимися цель групповой работы: решить с помощью различных методов системы уравнений, текст которых дан на карточках; определяется порядок работы: задания решаются одно за другим всеми учащимися с обязательным обсуждением решения в группе;

считается, что группа решила задания только тогда, когда каждый член группы записал решение в тетрадь, в этом случае все члены группы поднимают руки, заявляя, тем самым, о своей готовности;

учитель вызывает любого ученика из этой группы для записи итоговых ответов решений в сводную таблицу (11 слайд в презентации);

после окончания заполнения сводной таблицы выполняется проверка ответов и подводится окончательный итог групповой работы.

1. Решите систему уравнений методом подстановки:

2. Решите систему уравнений методом разложения на множители:

3. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:

4. Решите систему уравнений методом замены переменных:

5. Решите систему уравнений графическим методом:

1. Решите систему уравнений методом подстановки:

2. Решите систему уравнений методом разложения на множители:

3. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:

4. Решите систему уравнений методом замены переменных:

5. Решите систему уравнений графическим методом:

1. Решите систему уравнений методом подстановки:

2. Решите систему уравнений методом разложения на множители:

3. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:

4. Решите систему уравнений методом замены переменных:

5. Решите систему уравнений графическим методом:

1. Решите систему уравнений методом подстановки:

2. Решите систему уравнений методом разложения на множители:

3. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:

4. Решите систему уравнений методом замены переменных:

5. Решите систему уравнений графическим методом:

Тема: «Методы решение систем уравнений с двумя переменными».

обобщить и систематизировать способы решения системы уравнений с двумя переменными и умения применять их в различных ситуациях

продолжить формирование навыков сознательного выбора способов решения системы уравнений с двумя неизвестными

Развить потребность в нахождении рациональных способов решения

Овладение опытом творческой деятельности при решении систем уравнений с двумя неизвестными

Развитие мышления, внимания, памяти, умения выделять главное;

Развитие коммуникативных навыков продолжать формирование математической речи и графической культуры,

, умению выслушивать других и умению общаться, прививать аккуратность и трудолюбие, воспитание интереса к предмету

Оборудование: учебник, плакаты, карточки-задания, проектор.

— Прекрасное осеннее утро. Ещё один чудесный день начинает свой путь , начнем и свой путь и мы.

— Настроитесь на работу, будьте доброжелательны друг к другу и у вас все получится!

— Эпиграф: Знание – самое прекрасное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит. (слайд 1)

-Я желаю вам, каждый день и каждый час стремиться к знаниям. А контролировать ваши приобретённые знания нам поможет лист самооценки, который лежит у вас на столе

2. Постановка цели и сообщение темы урока. решить систему уравнений из банка задач по подготовке е ОГЭ

Проверим д/з решим систему. как можно решить эту систему? кто готов? какими методами вы решили систему?

сформулируем тему урока «Методы решение систем уравнений»

цель: обобщить и систематизировать способы решения системы уравнений с двумя переменными и умения применять их в различных ситуациях

. 2.Актуализация опорных знаний (слайд ).

-Какую математическую модель называют системой уравнений с двумя переменными?( Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких переменных.)

-Что называют решением системы уравнений? (Пару значений переменных, которая одновременно является решением и первого и второго уравнения системы, называю решением системы уравнений)

-Что значит решить систему уравнений? (Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения или установить, что решений нет)

— Какие методы решения систем уравнений вы знаете? ( слайд 2)

-С геометрической точки зрения, что является решением системы уравнений с двумя переменными (точки пересечения графиков)

Какой из учеников применил метод подстановки наиболее рационально? (Слайд №3) метод сложения, в чем состоит? ( Слайд №4) На рисунке изображена парабола и три прямые. Укажите систему уравнений, которая не имеет решений.( Слайд №5)

Операционно- содержательный этап урока Решение систем уравнений различными способами. групповая работа

Класс разделен на три группы:

1 группа решает уравнения функционально- графическим методом,

2 группа методом подстановки

3 группа методом сложения

консультанты помогают остальным решить систему.

1 группа: по уровню сложности 3 системы

1).Решить систему уравнений

2).Решить систему уравнений методом подстановки

3)Решить систему уравнений

Существует универсальный метод решения: вводится подстановка

Самостоятельная работа с взаимопроверкой

Вариант I Вариант 2

4/. Подведение итогов урока. Рефлексия (4 мин)

Что нового вы узнали сегодня на уроке?

Чему вы сегодня научились на уроке?

Что вызвало у Вас затруднение и почему?

Что вам понравилось на уроке? (работать в парах, рассуждать, узнавать новое, решать необычные задания и т.п.)

Достигли ли вы, поставленной в начале урока, цели?

Какую цель вы для себя ставите на следующем уроке?

4.3 Оцените свою деятельность ( в баллах и в словесной форме): Критерии выставления отметок «5»-9-10+, «4»7-8+, «3»-5-6+.

Ребята подсчитывают количество «+» на полях и выставляют себе на полях в тетради отметку.

Конспект урока по теме: «Система уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Муниципальное общеобразовательное автономное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 4 г. Соль-Илецка»

Конспект урока по алгебре

«Системы линейных уравнений

с двумя переменными»

Урок алгебры в 7-м классе.

Тема: «Системы линейных уравнений»

Цель урока : сформировать представление о математической модели система уравнений , изучить графический метод решения систем уравнений.

Сформировать представление о математической модели система уравнений

Изучить графический метод решения систем линейных уравнений

Развить: ясность и точность мысли, интуицию, элементы алгоритмической культуры, способности к преодолению трудностей

воспитание эстетического восприятия математики посредством решения исторических задач.

Листы контрольных вопросов по теме «Линейные уравнения с двумя переменными».

Тип урока . Урок погружения в тему.

I этап. Мотивационный этап.

Учитель. Сегодняшний урок мне хотелось бы начать словами великого ученого и политика Альберта Эйнштейна: “Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако уравнение, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно”.

А девизом урока будут слова “Дорогу осилит идущий, а математику – мыслящий” .

II этап. Актуализация опорных понятий.

1. Из предложенных уравнений выберите линейное с двумя переменными

а) ах 2 + bx + c = 0; б) ax + by + c = 0; в) ax + b = 0

2. Дайте название математической модели 6(х – 2) + 5 = 19

а) уравнение б) равенство в) система уравнений

3 . Выберите решение уравнения 5х + 3у – 19 = 0

а) (2; 3); б) (5; 6); в) (1; 2)

4. Дайте название математической модели

а) уравнение б) равенство в) система уравнений

5. Выберите график линейного уравнения

6. Каково взаимное расположение на координатной плоскости графиков линейных функций:

III этап. Сообщение темы урока.

Исаак Ньютон сказал:

“ Чтобы решить вопрос, относящийся к числам
или к отвлеченным отношениям величин,
нужно лишь перевести задачу с родного языка
на язык алгебраический”.

Предлагаю вам задачу из “Всеобщей арифметики” Ньютона: Лошадь и мул шли бок о бок с тяжелой поклажей на спине. Лошадь жаловалась на свою непомерно тяжелую ношу. “Чего же ты жалуешься? – отвечал ей мул. – Ведь если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если бы ты сняла с моей спины один мешок, то твоя поклажа стала бы одинакова с моей”. Скажите же, мудрые математики, сколько мешков несла лошадь и сколько мул?

Нарисуем таблицу (на доске таблица, правый столбик заполнен, левый заполняется совместно с учащимися).

Составим уравнения, которые должны выполняться одновременно.

Зная, что ноша моя станет тяжелее твоей, составим первое уравнение

твоя поклажа стала бы одинакова с моей, составим второе уравнение

Как вы думаете, какова же тема нашего урока?

(выслушиваются варианты детей, если они совпадают с темой урока то их ответы поощряются )

Чем мы будем сегодня заниматься на уроке?

Итак сегодня на уроке мы продолжим работать с системами уравнений.

Поэтому тема нашего сегодняшнего урока : «Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Графический метод решения линейных уравнений»

Нас интересует такая пара чисел, которая одновременно удовлетворяет и одному и другому уравнению. В таких случаях говорят, что математическая модель представляет собой систему уравнений.

Что значит решить систему?

Решить систему- значит найти все её решения или установить, что их нет.

Какими же методами можно решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: графический метод, метод подстановки, метод сложения

С каким методом решения системы уравнений с двумя переменными мы познакомились? В чем же он заключается? Как вы думаете?

Алгоритм решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными графическим методом:

Построить в декартовой системе координат первое уравнение системы

Построить в той же декартовой системе координат второе уравнение системы

Если прямые пересекаются то координаты точки пересечения двух прямых и будут решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными, если прямые параллельны, то система двух линейных уравнений с двумя неизвестными не имеет решений, если прямые совпадают то система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет бесконечно много решений.

Некоторая система уравнений решена графически. Сколько решений имеет эта система уравнений? (слайды 15-19)

Некоторая система уравнений решена графически. Сколько решений имеет эта система уравнений?

Некоторая система уравнений решена графически. Сколько решений имеет эта система уравнений?

I V этап. Закрепление нового материла.

Давайте все таки решим задачу про мула и лошадь с помощью графического способа. Пользуемся алгоритмом.

Один ученик на доске под контролем учителя, применяя алгоритм решает задачу

V этап. Проверка домашнего задания.

Есть вопросы по решению домашнего задания ?

Убедитесь, что пара чисел (12;15) является решением системы уравнений: (слайды)

Является ли решением системы уравнений

пара чисел: а) (1;2); б) (4;3) в) (0;1)?

VI этап. Историческая справка.

Учитель. Мы повторили основные понятия систем линейных уравнений. Где же возникли первые задачи, решаемые системой двух линейных уравнений с двумя переменными?

Ученица 1. ЕГИПЕТ. Первые задачи на составление и решение систем уравнений с несколькими переменными встречаются в египетских и вавилонских текстах второго тысячелетия до нашей эры, а также в трудах древнегреческих и индийских ученых. Решались они различными искусственными способами, единого алгоритма не было.

Ученик 2. КИТАЙ. Алгоритм решения систем линейных уравнений был напечатан в Китае в труде “Математика в девяти книгах” (206 г. до н.э.), где рассматривались системы и давились правила их решения. При этом все изложение словесно. Коэффициенты системы располагались на счетной доске в виде таблицы. При повторных действиях было замечено, что следует поступать по одному и тому же правилу систематически. Первым появился способ сложения, а затем и способ подстановки. В книге “Всеобщая арифметика” (1707 г.) Ньютон излагает уже все способы решения систем, изучаемые ныне в школе.

VII этап. Тренировочные упражнения

Фронтальная работа: составить математическую модель и решить систему.

Я хочу прочитать задачу из «Курса алгебры» известного русского математика А.Н. Страннолюбского (1868 год), который был домашним учителем Софьи Ковалевской: «Некто на вопрос о возрасте двух его сыновей отвечал: «Первый мой сын втрое старше второго, а обоим им вместе столько лет, сколько было мне 29 лет тому назад; мне теперь 45 лет». Найдите лета обоих сыновей».

Для решения задачи мы составили систему уравнений

Масштаб возьмите в координатной плоскости за 2 единичных отрезка одну клетку.

Решая эту систему, мы получили ответ: х = 4, у = 12, т.е. сыновьям 4 года и 12 лет.

VIII этап. Итог урока.

Мы познакомились с системой двух линейных уравнений с 2 неизвестными , графическим методом решения систем уравнений.

В каком случае система имеет единственное решение?

В каком случае система не имеет решений ?

В каком случае говорят, что система имеет бесконечно много решений?

План – карта для решения систем линейных уравнений с двумя переменными графическим способом.

Графиками уравнений являются прямые. В одной и той же координатной плоскости построить графики уравнений

Найти координаты точки пересечения графиков

План – карта для решения систем линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки.

Подставить полученное выражение в другое уравнение

Раскрыть скобки, привести подобные слагаемые.

Перенести слагаемые из одной части уравнения в другую и решить полученное линейное уравнение.

Подставить значение переменной в выражение (3) и вычислить значение другой переменной.

План – карта для решения систем линейных уравнений с двумя переменными способом сложения.

Перенести слагаемые из одной части уравнения в другую

Умножить одно или оба уравнения, на какое – либо число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных были противоположны.

у = 2х – 3, -1 -у = -2х + 3,

у = х + 2; у = х + 2;

Сложить почленно полученные уравнения

Решить линейное уравнение

Подставить значение переменной в одно из уравнений. Например в уравнение (4)