Конспект урока по теме уравнения с модулем

Уравнения с модулем
план-конспект занятия по алгебре (9 класс) на тему

Методические разработки уроков по теме Уравнения с модулем в 9 классе

Скачать:

Предварительный просмотр:

к урокам по теме:

«Уравнения с модулем»

Тросна – 2013-2014 уч.год

Программный материал математики в средней школе не предусматривает подробного изучения модуля как абсолютной величины действительного числа, нет в программе и отдельно выделенного материала, который бы подробно рассматривал выполнение тех или иных заданий, содержащих модуль.

Следует отметить, что понятие абсолютной величины (модуля) действительного числа является одной из существенных его характеристик. Это понятие имеет широкое распространение в различных разделах физико-математических и технических наук. В практике преподавания курса математики в средней школе в соответствии с Программой МО РФ понятие «абсолютная величина числа» встречается неоднократно: в 6 – м классе вводится определение модуля, его геометрический смысл; в 8 – м классе формируется понятие абсолютной погрешности, рассматривается решение простейших уравнений и неравенств, содержащих модуль, изучаются свойства арифметического квадратного корня; в 11 – м классе понятие встречается в разделе «Корень n-ой степени».

Опыт преподавания показывает, что учащиеся часто сталкиваются с трудностями при решении заданий, требующих знания данного материала, а нередко пропускают, не приступая к выполнению. В текстах экзаменационных заданий за курс 9 – ого и 11 – ого классов также включены подобные задания. Кроме того, требования, которые предъявляют к выпускникам школ Вузы, отличаются, а именно, более высокого уровня, чем требования школьной программы.

Для жизни в современном обществе очень важным является формирование математического стиля мышления, проявляющегося в определённых умственных навыках. В процессе решения задач с модулями требуется умение применять такие приёмы, как обобщение и конкретизация, анализ, классификация и систематизация, аналогия. Решение подобных заданий позволяет проверить знание основных разделов школьного курса, уровень логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности.

Данная работа посвящена одному из разделов – решению уравнений, содержащих модуль. Основное назначение данной работы – это оказание методической помощи преподавателям при подготовке к урокам и при организации факультативных курсов. Материал также может быть использован в качестве учебного пособия для старшеклассников. Задания, предлагаемые в работе, интересны и не всегда просты в решении, что позволяет сделать учебную мотивацию учащихся более осознанной, проверить свои способности, повысить уровень подготовки выпускников школ к поступлению в Вузы. Дифференцированный подбор предлагаемых упражнений предполагает переход от репродуктивного уровня усвоения материала к творческому, а также возможность научить применять свои знания при решении нестандартных задач.

В своей работе я стараюсь использовать данный материал как на уроках, так и на занятиях-практикумах, дополнительных занятиях и т.п.

План-конспект урока по математике на тему «Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля» (8 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема: Решение уравнений с модулем

«Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию»

Автор: Я.А. Каменский

Цель : повторить понятие модуля действительного числа, свойства модуля; повторить понятия: уравнение, корень уравнения, равносильные уравнения, модуль действительного числа, сформировать навыки решения уравнений, содержащих знак модуля, рассмотреть решение некоторых типов уравнений с модулем, научиться решать уравнения с большим числом модулей, способствовать выработке умения обобщать изучаемые факты, развивать самостоятельность.

Задачи : систематизировать знания учащихся по теме, совершенствование знаний и умений, обеспечить условия для формирования навыков решения уравнения с модулем, развивать аналитическое мышление, внимание, развивать коммуникативные качества, воспитывать чувство ответственности, способствовать пониманию необходимости интеллектуальных усилий для успешного обучения, привычки к регулярному труду, потребности к самоконтролю, стимулирование познавательной активности, развитие их речи, памяти, внимания, воли.

Тип урока : комбинированный.

Методы работы : наглядный, практический, проблемно-поисковый, метод самостоятельной работы, метод контроля, словесный.

Формы работы : фронтальная, индивидуальная, групповая, самостоятельная

1.Организационный момент: сообщается тема, цель урока (3 мин)

определение уравнения, линейного уравнения, квадратного уравнения

что значит решить уравнение, что такое корень уравнения

определение модуля числа (алгебраическое и геометрическое) ( Модулем действительного числа а (абсолютной величиной числа а) называют расстояние от точки, изображающей данное число на координатной прямой, до начала отсчета и обозначают │а│)

какие уравнения являются уравнениями с модулями

На магнитной доске прикреплены карточки с уравнениями.

|х+1|=0
— как называются эти уравнения, чем они отличаются друг от друга? ( это уравнения с модулем; в правой части уравнения стоят положительные числа, 0 и отрицательные)

— разделите их на группы и назовите, по какому принципу вы их группировали ( в первой группе в правой части — положительное число (а, во второй — нуль (а=0), в третьей – отрицательное (а)

— сколько корней имеет каждое уравнение

Предлагается решить по одному уравнению из каждой группы (вызывается к доске ученик).

3.Изучение новой темы ( 15 мин)

Существует несколько способов решения уравнений с модулем.

1. Метод последовательного раскрытия модуля.

Решим уравнение ||2х-1|-4|=6.

2. Метод интервалов или по определению модуля числа.

Проверка д/з № 5.132

Ответы: 2) -2; 4) 6; 6) -5; 4; 6; 8)-2; 0; 1.

ЗАДАНИЕ «НАЙДИ ОШИБКУ».

На доске записано решение уравнения. Учащимся предлагается найти ошибку. Уравнение решено правильно, тем самым учащиеся закрепляют метод решения уравнения с модулем.
Решить уравнение: |х 2 -8х+5|=| х 2 -5|.
Решение.
|х 2 -8х+5|=| х 2 -5|
х 2 -8х+5= х 2 -5 или х 2 -8х+5=-х 2 +5,
-8х+10=0, 2х 2 -8х=0,
х=1,25. х(2х-8)=0,
2х-8=0,

4.Проверка понимания учащимися нового материала ( 13 мин)

Выполните тест (рылейная контрольная работа)

1. Какие числа являются решениями уравнения |х+3|= -4?
а) -7; б) -7; 1; в) нет корней ; г) 1.
2. Решите уравнение |х+3|=7:
а) 7; б) -7; в) 4; -11 ; г) 7; -7.
3. Решите уравнение |2х+1|=0:
а) 1; б) 0; в) -0,5 ; г) 0,5.
4. Решите уравнение |3х-7|=1-х:
а) 2; -3; б) -2; 3; в) 2; 3 ; г) -2; -3.

1. Какие числа являются решениями уравнения |х+3|= -1?
а) -3; б) -3; 1; в) нет корней ; г) 1.
2. Решите уравнение |х+3|=5:
а) 5; б) -5; в) 2; -8 ; г) 5; -5.
3. Решите уравнение |5х+1|=0:
а) 1; б) 0; в) -0,2 ; г) 0,2.
4. Решите уравнение |5х-2|=4-х:
а) 0,5;1; б) -0,5;-1; в)-0,5;1 ; г) 0,5; 1.

5.Анализ домашнего задания(4 мин).

6.Итог урока. Выставление отметок (3 мин).

Карточка для «рылейной» контрольной работы.

Удобно для быстрой проверки распечатать самостоятельную работу на цветной бумаге для разных вариантов.

Учащиеся отвечают, выбирая правильный вариант ответа. Для проверки требуется сложить по вариантам и проколоть правильные варианты ответа шилом или иголкой. Совпадения проколов на бланке ответа и ответов учащихся показывают на количество баллов за работу. Раздаются бланки учащимся, и учащиеся проверяют работу самостоятельно.

1. Какие числа являются решениями уравнения |х+3|= -4?
а) -7; б) -7; 1; в) нет корней; г) 1.
2. Решите уравнение |х+3|=7:
а) 7; б) -7; в) 4; -11; г) 7; -7.
3. Решите уравнение |2х+1|=0:
а) 1; б) 0; в) -0,5; г) 0,5.
4. Решите уравнение |3х-7|=1-х:
а) 2; -3; б) -2; 3; в) 2; 3; г) -2; -3.

1. Какие числа являются решениями уравнения |х+3|= -1?
а) -3; б) -3; 1; в) нет корней; г) 1.
2. Решите уравнение |х+3|=5:
а) 5; б) -5; в) 2; -8; г) 5; -5.
3. Решите уравнение |5х+1|=0:
а) 1; б) 0; в) -0,2; г) 0,2.
4. Решите уравнение |5х-2|=4-х:
а) 0,5;1; б) -0,5;-1; в)-0,5;1; г) 0,5; 1.

Конспект занятия по элективному курсу на тему: «Решение уравнений с модулем»

Просмотр содержимого документа
«Конспект занятия по элективному курсу на тему: «Решение уравнений с модулем»»

по элективному курсу

«Решение уравнений с модулем»

Просвирнина Е. М.

углубление знаний учащихся о различных методах решения уравнений с модулями и базовых математических понятиях, используемых при обосновании того или иного метода решения.

развивать познавательный интерес к предмету через содержание учебного материала, применять сформированные знания, умения и навыки в конкретных ситуациях, развивать логическое мышление, самостоятельную деятельность обучающихся, правильно формулировать и излагать мысли

воспитывать трудолюбие, аккуратность ведения записей, умение объективно оценивать результаты своей работы, прививать желание иметь глубокие знания, воспитывать умение работать в коллективе, культуры общения, взаимопомощи, воспитывать такие качества характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

Систематизировать и обобщить знания учащихся о ранее приобретённых программных знаниях по теме «Модуль числа»;

Повысить уровень понимания и практической подготовки учащихся в вопросах решения уравнений с модулем;

Расширить математические представления о приёмах и методах решения уравнений с модулями;

Развивать логическую культуру и математическое мышление учащихся;

Помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования;

Помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Тип урока: урок комплексного применения знаний и способов действий.

Организационный момент (2 мин.)

Актуализация опорных знаний (10 мин.)

Решение задач (15 мин.)

Самостоятельная работа (16 мин.)

Итог урока, рефлексия (1мин.)

Домашняя работа (1 мин.)

ХОД УРОКА 1. Организационный момент

Приветствие, сообщение учащимся темы и цели занятия.

2. Актуализация опорных знаний

Учитель: Что называют модулем числа?

Ученики: Модулем неотрицательного действительного числа х называют само это число: |x| = x, модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: |x|= – x.

Учитель: Как записывают модуль короче?

Ученики: Короче это записывают так:

|x|=

Учитель: Обратимся к таблице. Задание первое: назовите модуль числа.

Учитель: Какие методы решений уравнений с модулем вы знаете?

Ученики: По определению, геометрический, графический методы.

Учитель: Как решаются уравнения вида |f(x)|=const

Если а=0, то уравнение равносильно уравнению f(x)=0

Если а0, то уравнение равносильно совокупности

Учитель: Как решаются уравнения вида |f(x)|=g(x)

Ученики: Методом замены уравнения совокупностью систем и возведением обеих частей уравнения в квадрат.

Учитель: В чем заключается метод замены?

Ученики: Методом замены уравнения совокупностью систем можно решать уравнения вида .

Причём данное уравнение можно заменять совокупностью систем двумя способами.

1 способ:

2 способ:

Если в уравнении функция имеет более простой вид, нежели функция , то имеет смысл исходное уравнение заменять первой совокупностью систем, а если более простой вид имеет функция , тогда исходное уравнение следует заменять второй совокупностью систем.

Учитель: А возведение обеих частей уравнения в квадрат?

Ученики: Для того, чтобы решить уравнение содержащее модуль, необходимо освободиться от знака модуля. Для этого следует: возвести в квадрат обе части уравнения, решить его. Но не забывать, что при возведении в квадрат появляются лишние корни, поэтому, надо найти ОДЗ и выявить принадлежат ли корни данному условию.

Ученики: Уравнения вида ∣f(x)∣=∣g(x)∣ равносильно двум следующей системе уравнений

На слайде представлены уравнений:

Решить уравнение: |x — 3| = 4.

Решите уравнение ∣x+1∣=∣2x−1∣

Решите уравнение ∣2x−9∣=∣3−x∣

Решить уравнение:

Решить уравнение |3 – |x|| = 4.

Решить уравнение |3 + |x + 1|| = 5.

Решить уравнение

Решить уравнение |2-3х|-|5-2х|=0.

К доске выходят решать эти уравнения учащиеся.

Решить уравнение: |x — 3| = 4.

Ученики: Это уравнение можно прочитать так: расстояние от точки х до точки 3 равно 4. С помощью графического метода можно определить, что уравнение имеет два решения: -1 и 7.

Учитель: Давайте решим другое уравнение. |x – 2|=3

Учитель: Каким методом можно решить данное уравнение?

Ученики: По определению.

Решение:
|x – 2|=3   .

Ответ:

Решите уравнение ∣x+1∣=∣2x−1∣

∣x+1∣=∣2x−1∣ ⇔ ⇔

⇔ ​​⇔ .​​

Решить уравнение:

Решение: Для решения этого уравнения раскроем модули, начиная с внутреннего. Рассмотрим два случая: 1) и 2) .

1) В этом случае , и исходное уравнение преобразуется к виду . Решая это уравнение, получаем корни и .

2) При раскрываем внутренний модуль: . Получаем уравнение , которое решений не имеет.

Решить уравнение |3 – |x|| = 4.

Решение: Будем действовать так же, как и в уравнениях второго типа. Т.к. 4 0, то получим два уравнения:

3 – |x| = 4 или 3 – |x| = -4.

Теперь выразим в каждом уравнении модуль х, тогда |x| = -1 или |x| = 7.

Решаем каждое из полученных уравнений. В первом уравнении нет корней, т.к.

Ответ: x = -7, x = 7.

Решить уравнение |3 + |x + 1|| = 5.

Решаем это уравнение аналогичным образом:

3 + |x + 1| = 5 или 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 или x + 1 = -2. Нет корней.

Ответ: x = -3, x = 1.

Решить уравнение

1. Найдем значения переменной, при которых подмодульные выражения обращаются в нуль:

2. Определим знаки подмодульных выражений на трех образовавшихся промежутках:

3. Оба модуля раскрываем со знаком «+»:

Первый модуль раскрываем со знаком «+», а второй – со знаком «-», получаем:

Следовательно, система не имеет решений.

Оба модуля раскрываем со знаком «-», получаем:

Отсюда получаем ответ: и .

Решить уравнение |2-3х|-|5-2х|=0.

Представим исходное уравнение в виде:

Наиболее простым способом решения будет способ возведения обеих частей уравнения в квадрат. Так как обе части этого уравнения неотрицательны, то это уравнение равносильно следующему уравнению:

Путем преобразований сводим полученное уравнение к квадратному уравнению:

Решая его, имеем =4 2 -5(-21)=16+105=121=11 2 .

Найденные корни будут являться решением исходного уравнения.