Конспект урока показательные уравнения 11 класс мордкович

план-конспект урока по алгебре и началам анализа в 11 классе «Показательные уравнения»
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

План-конспект урока по алгебре и началам анализа в 11 классе «Показательные уравнения» , УМК Мордкович А.Г.

Скачать:

Предварительный просмотр:

План — конспект урока

ФИО учителя: Шкляева Елена Владимировна

Класс: 11в, общеобразовательный

Предмет: алгебра и начала анализа, УМК Мордкович А.Г.

Тема урока: Показательные уравнения

Место и роль урока в изучаемой теме: первый урок

Предметные — умение определять показательные уравнения и формирование навыков решения показательных уравнений.

Метапредметные — умение анализировать информацию, выбирать способы решения учебных и познавательных задач, делать выводы

Личностные – формирование готовности и способности вести диалог с другими людьми и достигать в нем взаимопонимания.

Задачи: обучающие – познакомить учащихся с определением показательного уравнения и основными методами решения показательных уравнений, строить логические рассуждения, произвольно и осознанно владеть общими приемами решения уравнений

Развивающие – планировать свои действия в соответствии с поставленной задачей.

Воспитательные – договариваться и приходить к общему решению в совместной деятельности.

Конспект урока в 11 классе «Показательные уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема урока : Показательные уравнения.(по учебнику А.Г.Мордкович базовый уровень)

Познакомить учащихся с определением показательного уравнения.

Сформировать умения и навыки решения различных показательных уравнений.

Активация познавательной деятельности посредством использования компьютерных технологий.

Развивать математическое мышление, творческие способности учащихся.

Формирование умения работать самостоятельно, принимать решения и делать выводы.

Тип урока : сообщения новых знаний.

Оборудование : экран, мультимидийный проектор, дидактические материалы, справочники, учебник автора Мордковича А.Г..

Форма урока : классно- урочная.

Технология : личностно- ориентированная, проблемно- исследовательская.

1.Организационный момент. Приветствие.

Эпиграф сегодняшнего урока:

«Три пути ведут к знанию:

Путь размышления- это путь самый благородный,

Путь подражания- это путь самый легкий

И путь опыта- это путь самый горький».

2.Актуализация знаний. Систематизация знаний, умений и навыков по теме: «Показательная функция»

Подготовка учащихся к открытию новых знаний, к активному и осознанному изучению нового материала.

Одновременно учащиеся, по собственному выбору пишут либо математический диктант, либо самостоятельную работу с последующей самопроверкой и анализом ошибок, допущенных учащимися. Анализ проводится, опираясь на свойства показательной функции, в частности

монотонности показательной функции при а>1 и при 0 a

1 Какие из данных функций являются показательными (указать букву)

а)у=2 х , б) у=х 2 , в)у=(-3) х , г)у=() х , д) у=х, е)у=(х-2) 3 , ж) у= П х , з)у=3 -х .

2. Какие из перечисленных показательных функций, являются возрастающими и какие убывающими, указать букву.

а) y = 5 х , б)у=0,5 х , в) у= ( ) х , г)у=10 х , д) у= П х , е) у= () х , ж) у=49 -х/2 , з) у= (14 cos ) -х .

Ответ:возрастающие функции: а), в), г), д);убывающие функции: б), е), ж), з).

3. Укажите среди всех значений функции у= 2 sin х наибольшее и наименьшее.

Ответ:наибольшее -2, наименьшее -0,5.

4. Какому из промежутков ( -∞;0), (0;1), (1;+∞) принадлежит корень уравнения:а) 3 х =3,5 б) ( ) х =4.

5.Дана функция у=8 х , и значения х равные 2;4;-6; — ; 0,04; — ;7.

Выберите те значения х, прикоторых верно неравенство 8 х >1.

1. Сравнить с единицей заданное число.

1 вариант 2 вариант

1 вариант 2 вариант

а) 4 х ≥32 а) 5 х
б) ≤ б)() х >

3.Постройте графики функций.

1 вариант 2 вариант

а) у= 3 х -2 а)у=() х-2
б) у= () х+1 б)у=5 х +3

1 вариант 2 вариант

Ответы для самопроверки математического диктанта и самостоятельной работы заготовлены на слайдах или на классной доске. Фронтально можно опросить учащихся по математическому диктанту, индивидуально по самостоятельной работе.

Результатов данного этапа урока является выявление уровня подготовки учащихся к «открытию» новых знаний (Показательные уравнения).

3.Этап «открытия» новых знаний (Этап постановки проблемной задачи)

На доске(слайд) записаны показательные уравнения :

5)5 2х+1 -26•5 х +5=0

11)3 3 cos х-1 +3 3 cosx -2 +3 3 cosx -3 =13

12)3•16 х +37•36 х =26•81 х

14)7 2х+1 +7 2х+2 +7 2х+3 =57

15)5 2х+1 -13•15 х +54•9 х-1 =0

Задание всем учащимся:

Среди данных уравнений найдите те, которые по каким либо общим внешним признакам похожи друг на друга. Запишите уравнения по этим общим признакам в отдельные столбики.

Учащиеся записывают уравнения в столбики. (Уравнения под номерами 10, 11,12,13,14,15 на первый взгляд могут быть определены учащимися в отдельный четвертый столбик)

— Объясните, по каким общим внешним признакам проведено разбиение уравнений по столбикам?

Заслушивается мнение каждого учащегося, пожелавшего ответить на вопрос.

Учитель показывает правильную группировку уравнений.

Возникает вопрос « Что это за уравнения и как решить каждое из данных уравнений?».

Вместе с учащимися определяется тема урока «Показательные уравнения», ставятся задачи:

Ознакомиться с определением и методами решений показательных уравнений;

Каждому из записанных на доске уравнений подобрать метод решения;

Сформировать первоначальные умения и навыки решения показательных уравнений рассмотренными методами.

Учитель вводит определение показательного уравнения и методов их решения. На доске приведены примеры решений показательных уравнений разными способами.

Общий вид показательных уравнений: a х =b, где а>0, a≠1

Определение: Уравнение, содержащее переменную в показателе степени называется показательным. .

Составляется схема методов решения показательных уравнений.

Алгоритмы решения показательных уравнений.

Представить обе части показательного уравнения в виде степеней с одинаковыми основаниями;

На основании теоремы, если

a f (x) = a g (x) , где а > 0,
a 1 равносильно уравнению f(x) = g(x), приравниваем показатели степеней.

Решаем полученное уравнение, согласно его вида (линейное, квадратное и т. д.).

Определить возможность переписать данное уравнение в новом виде, позволяющем ввести новую переменную.

Вводим новую переменную.

Решаем уравнение относительно новой переменной.

Левую и правую части уравнения представить в виде функций.

Построить графики обоих функций в одной системе координат.

Найти точки пересечения графиков, если они есть.

Указать абсциссы точек пересечения, это корни уравнения.

4. Этап первичной отработки умений и навыков по решению показательных уравнений разными методами: методом приравнивания показателей , методом введения новой переменной, функционально –графическим методом.

(Блок –схема решения показательных уравнений, алгоритмы трех методов решения показательных уравнений изученных на уроке, представлены на доске.)

Класс разбивается на группы , каждая из которых выбирает один из столбиков с уравнениями. Учащиеся сами определяют каким методом решается группа выбранных уравнений. Для решения уравнений под номерами 10,11,12,13,14,15 создается отдельная группа. Каждый член группы решает одно из уравнений, выбранного типа (одинаковые уравнения, учащимися одной группы , не решаются), вероятность выполнения задания проверяется.

Каждый ученик, используя полученную информацию, о методах решения показательных уравнений, решает уравнение.

Затем первоначальные группы представляют свои решения на доске, идет обмен информацией ,проверка решенных уравнений, анализ допущенных ошибок. Таким образом учащиеся получают первичные умения и навыки по решению показательных уравнений.

— Какие методы решения показательных уравнений были вами рассмотрены?

-Укажите каким методом решается каждое уравнение, записанное на доске?

-Учащимися делается вывод:

— Находят свое место уравнения под номерами 10,11,12,13,14,15 над решением которых работала отдельная группа.

5. Постановка домашнего задания.

Домашнее задание решается по вариантам.

2. 2 7-3x = ( ) x-4

4. 9 x – 6* 3 x – 27 = 0

5. ( ) x = x + 1

2. ( ) 2x+3 = 4,5 x-2

3. 3 x+2 + 3 x = 30

4. 4 x – 14* 2 x -32 =0

2. * = 4 -1,25

3. 5 x+1 – 3* 5 x-2 = 122

2. 10 2x = 0,1*

3. 3 x+1 – 4* 3 x-2 = 69

4. 4 x – 3*2 x = 40

-Сегодня на уроке я научился……….

-Сегодня на уроке мне понравилось…………

-Сегодня на уроке я повторил……………..

-Сегодня на уроке я закрепил………………

-Сегодня на уроке я себе поставил оценку………………

-Какие виды работ вызвали затруднения и требуют повторения……………………

-В каких знаниях я уверен…………………

-Помог ли урок продвинуться в знаниях, умениях, навыках по предмету…………………

-Кому, над, чем следовало бы еще поработать………………….

-Насколько результативным был урок сегодня…………………….

7.Резерв (показательные уравнения повышенной сложности и подборка заданий из ЕГЭ последних выпусков).

1ученик. Многие моря и океаны бороздят исследовательские корабли. В определенных местах они опускают трос, на конце которого находятся приборы. Потом приборы поднимают наверх и записывают показания. Иногда трос, и все приборы оказываются на дне океана или моря. Казалось бы ,этой беды можно избежать, сделав трос толще- но тут возникает новое осложнение — верхние части троса должны удерживать не только спускаемые приборы ,но и нижнюю часть самого троса, а потому при утолщении всего троса на верхнюю часть ля жжет слишком большая нагрузка. Поэтому целесообразно нижнюю часть троса делать тоньше, чем верхнюю.

Как же должна меняться толщина троса, чтобы в любом его сечении приходилась одна и та же нагрузка. Исследования этого вопроса показало ,что площадь сечения троса должна изменяться по показательному закону.

2 ученик . Показательная функция и решения показательного уравнения необходимо и в биологии. Например, при испуге в кровь внезапно выделяется адреналин , который потом разрушается. Скорость разрушения примерно пропорционально количеству этого вещества, еще оставшемуся в крови.

При диагностике почечных болезней часто определяет способность почек выводить из крови радиоактивные изотопы, причем их количество в крови падает по показательному закону.

Примером обратного процесса может служить восстановление концентрации гемоглобина в крови у донора или у раненого, потерявшего много крови. Здесь по показательному закону убывает разность между нормальным содержанием гемоглобина в крови у донора или у раненого, потерявшего много крови. Здесь по показательному закону убывает разность между нормальным содержанием гемоглобина и имеющимся количеством этого вещества. Разумеется, показательный закон изменения выполняется в биологических процессах лишь приближенно, т.к. имеем дело с весьма сложными системами.

Конспект урока алгебры в 11 классе по теме «Показательные уравнения»

Данная работа представляет собой конспект урока алгебры и начал математического анализа в 11 классе. Урок изучения новых знаний предназначен для учителей, работающих по УМК А.Г.Мордковича. В помощь молодым учителям и учителям, начинающим работать по УМК, приведены подробные решения некоторых сложных заданий. В связи с предстоящей итоговой аттестацией за курс средней (полной ) школы в конспект включены задания из открытого банка заданий ЕГЭ (сайт ФИПИ).

Просмотр содержимого документа
«Конспект урока алгебры в 11 классе по теме «Показательные уравнения»»

Урок алгебры 11 класс
Автор УМК А.Г. Мордкович

Тема урока «Решение показательных уравнений»

Цели: формировать умения решать показательные уравнения методами подстановки, разложения на множители, графическим методом и др., а также однородные показательные уравнения и системы показательных уравнений, осуществлять подготовку к итоговой аттестации.

I. Организационный момент.

II. Объяснение нового материала.

Решения показательных уравнений сводится либо к квадратному или дробному уравнению, либо к степенному. Стоит обратить внимание, что t 0 (так как E (f) = (0; +) для функции f (x) = a x ), значит, полученные корни t  0 «отбрасываем» как посторонние.

2. Рассматриваем упражнение № 40.19 (а) 2 х = 3 х . Уравнения вида

a f ( x ) = b f ( x ) решаются методом деления обеих частей уравнения на одно из выражений a f ( x ) или b f ( x ) (они отличные от нуля).

2 x = 3 x / : 3 x ; ; = 1; ; x = 0.

3. На этом приеме основывается метод решения однородных показательных уравнений. Их можно «узнать» по наличию нескольких оснований степени, входящих в уравнение.

3 · 2 2 x + 6 x – 2 · 3 2 x = 0;

3 · 2 2 x + 2 x · 3 x – 2 · 3 2 x = 0 / : 3 2 x

3 · – 2 · = 0;

3 · – 2 = 0.

Как видим, алгоритм решения однородных уравнений достаточно прост:

I шаг. Представляем все степени в виде степеней только с двумя основаниями.

II шаг. Делим обе части уравнения на одну из степеней.

III шаг. Получаем показательное уравнение с одним основанием степени (дробным) и решаем его методом подстановки.

4. Решение систем показательных уравнений.

Основной метод решения систем уравнений – метод подстановки.

IV. Формирование умений и навыков.

Упражнения, выполняемые на этом уроке, можно условно разбить на группы.

I группа. Уравнения, сводящиеся к квадратным либо линейным методом подстановки.

№ 40.14 (а; в), 40.15, 40.17 (а; б), 40.18*.

– 6 = 0.

Пусть = t, t 0, тогда уравнение примет вид t 2 – 5t – 6 = 0;

= 6; x = –1.

3 · 9 х – 10 · 3 х + 3 = 0.

3 · 3 2 х – 10 · 3 х + 3 = 0.

Пусть 3 х = t, t 0, тогда уравнение примет вид 3t 2 – 10t + 3 = 0.

D = (10) 2 – 4 · 3 · 3 = 100 – 36 = 64.

t₁ = = 3; t₂ = ;

3 х = 3; 3 х = ;

– 32 = 0;

– 32 = 0;

– 4 · – 32 = 0;

Пусть = t, t 0, тогда уравнение примет вид t 2 – 4t – 32 = 0.

= 8;

+ 188 = 8 · 2 x – 0,5 3 – x ;

;

2 x + 1 + 188 – 8 · 2 x + 2 x – 3 = 0;

2 · 2 x + 188 – 8 · 2 x + · 2 x = 0;

№ 40.19 (в), 40.20*, 40.21.

49 · 21 x = 49 · 4 x ;

;

= 1;

35 4 x + 2 = 5 3 x + 4 · 7 5 x ;

35 2 · 35 4 x = 5 4 · 35 3 x · 7 2 x / : (5 2 · 35 3 x );

7 2 · 35 x = 5 2 · 7 2 x / : (7 2 · 7 2 x );

;

III группа. Уравнения, решаемые функционально-графическим методом.

При выполнении упражнений необходимо построить графики показательной и линейной функции и, учитывая характер монотонности обеих функций, найти абсциссу точки пересечения. Правильность полученного ответа проверяем подстановкой в исходное уравнение.

IV группа. Однородные уравнения и уравнения повышенной трудности № 40.25, 40.26 (а; б), 40.27 (а; б).

;

12 x + 143 = 12 x + 2 ;

12 x + 143 = 144 · 12 x ;

143 = 144 · 12 x – 12 x ;

143 = 143 · 12 x / : 143

V группа. Системы показательных уравнений.

№ 40.28 (а; б), 40.29 (а; б).

V. Решение заданий из открытого банка ЕГЭ (сайт ФИПИ)

Найдите корень уравнения 36 x − 5 ​=16.

Найдите корень уравнения 49 x − 2 ​=17

На рисунке изображён график функции y=f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) отрицательна?

VII. Домашнее здание: № 40.14 (б; г), 40.16, 40.17 (в; г), 40.19 (б; г), 40.22, 40.24, 40.27 (в; г).