Конспект урока решение тригонометрических уравнений различными способами

Конспект урока математики в 10 классе «Различные способы решения тригонометрических уравнений»
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

Систематизация знаний учащихся по теме «Методы решений тригонометрических уравнений», формирование умений классифицировать тригонометрические уравнения по методам решения и применять эти методы в новой ситуации.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Бутурлиновская средняя общеобразовательная школа

Бутурлиновского муниципального района Воронежской области

Конспект урока по математике

«Различные способы решения тригонометрических уравнений».

Коротких Эмма Александровна

— систематизация знаний учащихся по теме «Методы решения тригонометрических уравнений»;

-углубление знаний по теме;

— формирование умения классифицировать тригонометрические уравнения по методам решений, применять эти методы в новой ситуации.

– способствовать развитию аналитико-синтетического мышления, внимания;

— содействовать развитию логического, математического мышления учащихся.

— развивать у учащихся коммуникативные способности, элементы ораторского искусства;

— способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию.

Оборудование: экран, проектор, карточки для самостоятельной работы, карточки с проверочной работой «Карусель», интерактивная доска, система опроса и тестирования PrometheanActivExpression, таблицы: «Тригонометрический круг», «Тригонометрия», «Тригонометрические уравнения», индивидуальный справочный материал,индивидуальные оценочные листы; Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч. Ч. 1.Учебник (задачник) для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень), — М.: Мнемозина, 2012.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Методы обучения: метод постановки проблемы и метод поиска решений.

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, групповая.

Педагогические приемы урока: эпиграф, наблюдение, обобщение, общественный смотр знаний, самостоятельная и проверочная работы.

1. Организационный момент (1 мин).
2. Систематизация теоретического материала.

1.Самостоятельная работа: блиц-опрос — контроль знаний по простейшим тригонометрическим уравнениям (система опроса и тестирования Promethean ActivExpression,системное голосование) (8 мин).

2.Повторение: методы решения тригонометрических уравнений (13 мин).

1. Проверочная работа (20 мин).
2. Итог урока. Рефлексия (2 мин).
3. Домашнее задание (1 мин).

1. Организационный момент урока.

— Сегодня на уроке мы будем учитьсяприменять различные методыв решении тригонометрических уравнений, которые занимают важное место в математическом анализе. Математика способствует развитию умений анализировать, сопоставлять, творчески мыслить. Правильное решение по-своему красиво, а поиск решения всегда интересен. Эпиграфом нашего урока будут словаМ. И. Калинина:

«Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе».

II. Систематизация теоретического материала

— Посмотрите на уравнения (слайд). Каким способом их можно решить? (постановка проблемы).

Пример 2 cos(x/5)=1

Пример 5. Решите уравнение

Пример7. 2sin 2 (x)+3cos(x)=0

Учащиеся дают разные ответы.

— Сравните и сопоставьте эти уравнения. Разбейте их на группы. Какими способами можно решить каждую получившуюся группу уравнений?

— Решение простейших уравнений: примеры 1,2

— Метод разложения на множители:примеры 3, 4.

— Метод замены переменных: примеры 5 ,6.

— Решение уравнений с помощью применения тригонометрических формул:примеры 7, 8

Верно. Все тригонометрические уравнения, как правило, сводятся к простейшим уравнениям, которые мы научились решать с помощью общих формул простейших тригонометрических уравнений, их частных случаев, а также с помощью тригонометрических формул. Обратите внимание на таблицы и справочный материал:

Справочный материал (на рабочем столе учащихся).

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №47. Методы решения тригонометрических уравнений.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Формирование системы знаний и умений решать тригонометрические уравнения различными методами;
• Применение метода разложения на множители при решении тригонометрических уравнений;
• Применение метода оценки при решении тригонометрических уравнений;
• Прием домножения левой и правой частей уравнения на тригонометрическую функцию при решении тригонометрических уравнений.

Глоссарий по теме

Теорема — основа метода разложения на множители

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Теорема — основа метода замены переменной

Уравнение равносильно на ОДЗ совокупности уравнений

.

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 368 с.: ил. – ISBN 978-5-09-025401-4, сс.327-332

Шахмейстер А.Х. Тригонометрия. М.: Издательство МЦНМО : СПб.: «Петроглиф» : «Виктория плюс», 2013. – 752 с.: илл. ISBN 978-5-4439-0050-6, сс.219-221, 245-262

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На этом уроке мы продолжаем заниматься решением тригонометрических уравнений. И здесь мы рассмотрим такие методы как разложение на множители, метод оценки, а также продолжим решать тригонометрические уравнения методом замены переменной. Кроме того, мы узнаем, как использовать домножение правой и левой частей уравнений для получения более простого уравнения, как использовать тригонометрические формулы для решения уравнений.

Сейчас выполните несколько заданий.

Представьте в виде произведения:

Используем формулы приведения, затем формулу преобразования суммы косинусов в произведение:

.

(На последнем шаге мы фактически использовали формулу двойного аргумента:

.

Ответ: .

Воспользуемся формулой понижения степени и формулой преобразования произведения косинусов в сумму косинусов. Появившийся при этом общий множитель вынесем за скобки:

Воспользуемся тем, что косинус – функция четная и известным значением косинуса. В результате получим:

При выполнении этого задания будем использовать прием домножения о деления левой части на одно и то же тригонометрическое выражение.

Но сначала заметим, что .

Теперь запишем левую часть: .

теперь домножим и разделим это выражение на : .

Теперь воспользуемся формулой синуса двойного аргумента и получим:

. Теперь еще раз воспользуемся формулой двойного аргумента, предварительно домножив числитель и знаменатель на 2:

Учитывая, что , получаем: .

То есть исходное равенство верно.

Объяснение новой темы

1. Рассмотрим метод разложения на множители

Теоретической основой метода разложения на множители является теорема:

Уравнение равносильно на своей области определения совокупности .

Для того чтобы применить эту теоремы, нужно исходное уравнение привести к виду , используя разные приемы.

Решить уравнение:

Перенесем правую часть уравнения в левую и преобразуем:

, .

Ответ: .

В этом случае мы использовали метод группировки для разложения на множители тригонометрического выражения.

Часто для преобразования выражения в произведение нужно использовать тригонометрические формулы. Рассмотрим такой пример:

Решить уравнение:

Преобразуем разность синусов в произведение:

Теперь вынесем за скобку общий множитель:

И решим каждое из двух уравнений: .

. Заметим, что вторая серия решений включается в первую. Поэтому мы можем оставить в ответе только первую серию.

Ответ: .

2. Замена переменной

Еще один метод решения тригонометрических уравнений — это метод разложения на множители. Мы уже знакомились с ним, когда решали уравнения, сводимые к квадратному или другому алгебраическому уравнению, когда решали однородные уравнения, а также знакомились с универсальной тригонометрической подстановкой. На этом уроке мы познакомимся еще с одной заменой, которая позволяет решать тригонометрические уравнения.

Рассмотрим уравнение вида:

или .

Для его решения введем новую переменную .

Тогда .

Выразим отсюда (или ).

Решите уравнение

Сделаем замену . Тогда .

Вспомогательное уравнение имеет вид:

.

.

Вернемся к исходной переменной:

.

Решим каждое из этих уравнений с помощью формулы введения вспомогательного угла:

, .

Так как , то оба уравнения имеют решения:

, .

Ответ: .

3. Теперь рассмотрим метод оценки

Часто этот метод применяют в том случае, когда уравнение включает в себя функции разного типа, например, тригонометрические и показательные, и обычные преобразования на приводят к результату. Но мы рассмотрим метод оценки при решении тригонометрических уравнений. Он основан на свойстве ограниченности тригонометрических выражений.

Решить уравнение: .

Мы знаем, что . С другой стороны, для того чтобы произведение двух различных чисел было равно 1, то они должны быть взаимно обратными, то есть если одно из них меньше 1,то другое больше 1. Но так как косинус больше 1 быть не может, то равенство может выполняться только в двух случаях:

или .

или .

или .

Вторая система ни при каких значениях k и n не имеет решений.

Первая система имеет решения при n=3m, k=2m, поэтому ее решения, а значит, и решение уравнения:

Ответ:

Рассмотрим еще один пример, в котором метод оценки применяется для решения уравнения, правая и левая части которого являются функциями разного типа.

Рассмотрим левую часть уравнения и преобразуем его:

.

Поэтому

Теперь рассмотрим правую часть: .

Поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет

Рассмотрим несколько задач.

Домножим уравнение на 2 и воспользуемся формулой понижения степени:

Теперь воспользуемся формулой преобразования суммы косинусов с произведение:

.

Теперь перенесем правую часть в левую и вынесем за скобку общий множитель:

Теперь используем формулу преобразования разности косинусов в произведение:

Теперь решим три простейших тригонометрических уравнения:

, .

В этом случае достаточно оставить первые две серии решений, так как числа вида при нечетных значениях m попадают в первую серию решений, а при четных — во вторую.

Таким образом, получаем ответ:

Ответ:

Используя метод вспомогательного угла, оценим выражение, стоящее в левой части уравнения.

То есть будем рассматривать левую часть уравнения как выражение вида:

, где .

Мы знаем, что , поэтому

Поэтому уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим решение более сложного уравнения методом оценки.

Запишем уравнение в виде

Преобразуем левую часть:

Так как , то

и .

Так как и , то

Равенство возможно только при одновременном выполнении условий:

.

,

.

.

, .

Решая эту систему, получим, что, .

Ответ: , .

Рассмотрим еще один прием, который применяется при решении тригонометрических уравнений.

Домножение левой и правой части на тригонометрическую функцию

Рассмотрим решение уравнения:

Домножим обе части уравнения на :

.

Заметим, что домножая обе части уравнения на выражение с переменной, мы можем получить новые корни. Проверим те значения переменной, при которой :

не являются решением исходного уравнения, поэтому мы должны будем удалить эти числа из полученного решения.

Теперь с помощью формулы синуса двойного аргумента преобразуем полученное уравнение:

Теперь перенесем правую часть в левую и преобразуем по формуле преобразования разности синусов в произведение:

, .

Учитывая, что , получим: .

Ответ: .

Примеры и разборы решений заданий тренировочного модуля

Ответ:

Решите уравнение. Найдите коэффициенты a, b, c

Ответ:

Представим левую и правую части уравнения в виде произведения. Затем перенесём всё в левую часть и разложим на множители

Ответ:

Конспект урока по математике на тему: «РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

ТЕМА УРОКА: «РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИ»

ТИП УРОКА: урок обобщения и систематизации.

образовательные — систематизировать знания по теме, обобщить и проверить уровень усвоение учебного материала.

развивающие — способствовать формированию умений применять полученные знания в новой ситуации, развивать логическое мышление, математическую речь.

воспитательные — развивать интерес к математике, познавательную активность, мобильность, коммуникативные навыки.

повторить основные тригонометрические формулы;

проверить и закрепить умение решать тригонометрические уравнения различными приемами ;

развития умений работать с полученными результатами в ходе решения уравнений сериями корней.

ФОРМЫ ОРГАНИЗАЦИИ УРОКА:

индивидуальная, индивидуально-дифференцированная, фронтальная, групповая.

МЕТОДЫ И ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ ОБУЧЕНИЯ:

частично-поисковый (эвристический), поисковый, проверка уровня знаний, работа по обобщающей схеме, проблемный, решение познавательных обоб­щающих задач, системные обобщения, самопроверка, взаимо­проверка, исследовательский, самопроверка, самооценка.

Оборудование: компьютер, таблицы с формулами, карточки с заданиями, мультимедиапроектор, лист с заданием по группам.

Уравнения есть равенство, которое еще не является

истинным, но которое стремятся сделать истинным,

не будучи уверенным, что этого можно достичь.

Сообщение темы и постановка целей урока.

Решение упражнений на закрепление.

Работа в группах.

Подведение итогов урока.

Сообщение темы и постановка целей урока.

Сегодня на уроке мы обобщаем и систематизируем полученные знания по теме «Решение тригонометрических уравнений различными методами», напоминая основные и специальные методы их решения, повторяя формулы и приёмы и тем самым проверяем свою готовность к зачёту.

На уроке мы будем работать и вместе, и индивидуально, и в группах, а в конце урока – самостоятельная работа. Будьте внимательны!

– Давайте вспомним, с какими уравнениями мы познакомились на прошедших уроках? Ответ: тригонометрическими

— Какие уравнения называются тригонометрическими?

Ответ: Тригонометрическими уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрической функции.

– Более сложные тригонометрические уравнения решаются путем их сведения к простейшим. Способы сведения уравнений к простейшим и являются методами их решения. Какие методы решения тригонометрических уравнений Вы знаете?

1. Решение с помощью основных тригонометрических формул;

а) применение основного тригонометрического тождества;

б) применение формул сложения;

2. Разложение на множители;

3. Введение новой переменной:

а) сведение к квадратному;

б) универсальная подстановка;

в) введение вспомогательного аргумента.

4. Сведение к однородному уравнению.

5. Использование свойств функций, входящих в уравнение:

а) обращение к условию равенства тригонометрических функций;

б) использование свойства ограниченности функции.

Девизом урока предлагаю слова Сухомлинского, зашифрованные в ребусе. Для этого надо решать устные упражнения и по ответам находить слова этого крылатого выражения.

“ Сегодня – мы учимся вместе: я, ваш учитель и вы мои ученики. Но в будущем ученик должен превзойти учителя, иначе в науке не будет прогресса ”.
Сухомлинский

Найти ошибки в формулах

Решение упражнений на закрепление.

Перечислите простейшие тригонометрические уравнения и формулы их корней.

Для каждого варианта — задания на слайде, продолжите каждую запись. Время выполнения 5-10 минут.

ОоО

Решение простейших уравнений

Задание для снятия утомляемости глаз: нельзя водить руками, а лишь только глазами .

В таблице расположены числа от 1 до 20, но четыре числа пропущены. Ваша задача: назвать эти числа.

Задание на закономерности

Проанализируйте ряд чисел, узнайте по какому признаку он составлен и продолжите его: 2,9,20… (по первой букве)

121,22,40,… (по сумме цифр числа 1+2+1 = 4,2+2=4, 4+0=4.)

3,4,7,11,… (сумма предыдущего и последующего)

Работа в группах.

Необходимо, если возможно, определить вид уравнений и метод, который будет использоваться в решении этих уравнений. Решить уравнения и одно — два из них (по выбору группы) записать на доске и прокомментировать решение.

Каждой группе предложено несколько уравнений. Необходимо, если возможно, определить вид уравнений и метод, который будет использоваться в решении этих уравнений. Решить уравнения и одно — два из них (по выбору группы) записать на доске и прокомментировать решение.

1 группа Уравнения, решаемые алгебраическими методами (методом разложения на множители, методом введения новой переменной).

2 группа Однородные уравнения и сводимые к ним.

3 группа Неоднородные уравнения.

Цель: система упражнений предназначена для закрепления навыков решения несложных тригонометрических уравнений, а также для развития умений работать с полученными результатами в ходе решения уравнений сериями корней.
В каждом варианте:
— уравнения 1-3 необходимы для закрепления навыков работы с усложнённым (линейным) аргументом;
— уравнения 4-6 позволяют научиться исключать из одной серии корней другую — постороннюю;
— уравнение 7 позволяет отработать навыки объединения двух серий корней и записывать их в виде одной серии;
— уравнение 8 позволяет научиться видеть, что одна серия содержится в другой, и выбирать в этом случае для записи правильного ответа нужную серию.

Вариант 1 Вариант 2

Проверка самостоятельной работы

В тетрадях с помощью компьютера в парах обучающиеся осуществляют взаимоконтроль.

Подведение итогов урока. Рефлексия

Преподаватель отвечает на вопросы, возникшие в ходе самостоятельной работы (можно заранее приготовить решение наиболее трудны заданий, и продемонстрировать их на экране), еще раз обращает внимание, на те теоретические факты, которые вспоминали на занятии, говорит о необходимости выучить их. Отмечает наиболее успешную работу на уроке отдельных обучающихся, выставляет отметки.

По окончании занятия каждый обучающийся сам себя оценивает, отмечает это в листе учета. Подволятся итоги урока, анализируется работа каждого обучающегося.

Домашняя работа индивидуально-дифференцированная.

На “3”. Решите уравнения: 1) sinx =

2) cos 2 x – 9 cos x + 8 = 0

3) sin (

На “4”. Решите уравнение: 1) cos 2 x – 9cos x +8=0

2) sin 2x sin 3x=0

3) cos x + sin x = 0

4) ( cos x – 1)

На “ 5”. Решите уравнение: 1) 2cos 2 x + 3sin x = 0

2) 3 sin x cos x – cos 2 x = 0

3) Найдите среднее арифметическое корней уравнения

cos 2 x + sin x cos x = 1 на промежутке [-; ]

4)

5) 3 – 4 sin 2 (3x+

6) | cos | = 2cos x – sin x.

Предлагаю закончить урок словами Я.А.Коменского: “ Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию ”.

Рекомендации по решению тригонометрических уравнений.

Если аргументы функций одинаковые, попробовать получить одинаковые функции, использовав формулы без изменения аргументов.

Если аргументы функций отличаются в два раза, попробовать получить одинаковые аргументы, использовав формулы двойного аргумента.

Если аргументы функций отличаются в четыре раза, попробовать их привести к промежуточному двойному аргументу.

Если есть функции одного аргумента, степени свыше первой, попробовать понизить степень, используя формулы понижения степени или формулы сокращенного умножения. Например,

Если есть сумма одноименных функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2,3), попробовать преобразовать сумму в произведение для появления общего множителя.

Если есть сумма разноимённых функций первой степени с разными аргументами (вне случаев 2, 3), попробовать использовать формулы приведения, получить затем случай 5.

Если в уравнении есть произведение косинусов (синусов) различных аргументов, попробовать свести его к формуле синус двойного аргумента, умножив и разделив это выражение на синус (косинус) подходящего аргумента:

Если в уравнении есть числовое слагаемое (множитель), то его можно представить в виде значений функции угла. Например: