Конспект урока сфера и шар уравнение сферы

Урок по геометрии в 11 классе «Сфера и шар. Уравнение сферы»
план-конспект урока по геометрии (11 класс) по теме

Хорошая мотивационная часть, настраивающая обучающихся только на успех; связь с астрономией

Скачать:

Предварительный просмотр:

Урок геометрии в 11-м классе по теме «Сфера и шар. Уравнение сферы»

Цель: ввести понятие сферы, шара и их элементов, вывести уравнение сферы в заданной прямоугольной системе координат, научить решать задачи по данной теме.

Кратчайший путь — путь по прямой?

1. Мотивация изучения темы

Учитель: Наметив мелом две точки на классной доске, учительница предлагает юному школьнику задачу:начертить кратчайший путь между этими точками.

Ученик, подумав, старательно выводит между ними извилистую линию.

— Вот так кратчайший путь! -удивляется учительница. — Кто тебя так научил?

— Мой папа. Он шофер такси.

Чертеж наивного ученика,конечно, анекдотичен, но разве кратчайшим расстоянием от мыса Доброй Надежды до южной оконечности Австралии является отрезок? Нет, это дуга, которая называется ортодромия, и изучается все это в сферической геометрии, которая очень важна для мореплавания и астрономии.

Сегодня мы затронем маленький кусочек этой геометрии и займемся изучением сферы и шара. (слайд № 1)

2. Объяснение новой темы

— Вспомните определение окружности (Окружность геометрическая фигура, состоящая из всех точек,расположенных на заданном расстоянии от данной точки). (слайд № 2)

— Дайте определение сферы (Сфера- поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки). (слайд № 3)

— А что же по этому поводу говорит словарь? (Сообщение ученика)

Сферой называют поверхность шара. У нее есть замечательное свойство: все ее точки находятся на одном и том же расстоянии от некоторой точки, находящейся внутри — центра сферы. Если разрезать сферу плоскостью, то получим окружность. Сфера единственная поверхность, при пересечении которой плоскостью всегда получается окружность. Если пересекающая плоскость проходит через центр сферы, то полученная окружность будет самой большой. Еще одно важное свойство: из всех сосудов одинаковой вместимости у сферического наименьшая поверхность.

— По аналогии с окружностью,дайте определение радиуса сферы, центра и диаметра сферы. (Диаметр сферы -отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр. (= 2R)) (слайд № 4)

— Вспомните определение круга(Круг — часть плоскости, ограниченная окружностью).

— Дайте определение шара (Шар -тело, ограниченное сферой).

— Есть и другое определение шара(Шар радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек). (слайд № 5)

— Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг ее диаметра, а шар — вращением полукруга вокруг его диаметра.

— Введем прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F . Уравнение с тремя переменными х, у,z называется уравнением поверхности Р, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой поверхности.

Поэтому уравнение сферы радиусаR с центром О (Х о , У о , Z o ) будет выглядеть таким образом: расстояние от произвольной точки М (х, у, z) до О (Х о ,У о , Z o ) вычисляется по формуле

R = , т .к. М — любая точка сферы,то уравнение сферы

(х — х о ) 2 + (у — у о ) 2 + (z — z o ) 2 == R 2

Тогда уравнение шара (х — х о ) 2 + (у — у о ) 2 + (z — z o ) 2 R (слайд № 6)

3. Формирование умений и навыков учащихся

№ 573 (проверка решения) (слайд№ 7)

№ 576(а), № 578(а), № 577(а) самостоятельно,ответ проверяется (слайд № 8), № 579(а)

— Дайте определение сферы; чем шар отличается от круга?

5. Домашнее задание

П. 58,59, № 573(б), 576(в), 579(б) (слайд № 9).

Урок геометрии на тему «Сфера и шар. Уравнение сферы». 11-й класс

Разделы: Математика

Класс: 11

Цель: Определение шара и сферы (шаровой поверхности) и связанных с ним понятий (центр, радиусы, диаметры, диаметрально противоположные точки). Рассмотреть уравнение сферы.

Оборудование: плакаты, модели шара, сферы.

2) Проверка домашнего задания.

3) Повторить определение окружности, уравнение окружности. Решить устно две задачи.

2. Изучение нового материала.

1) Определение сферы и шара (на моделях и рисунках) №574 (а).

2) Уравнение сферы.

3) Решение устных примеров.

3. Закрепление материала. № 576 (а), 576 (б)-С, 578 (г), 577 (а), 579 (а, б)

4. Домашнее задание: параграф 3. П 58,59. №576 (б), 577 (б), 579(в, г), 574(б).

6. Решение задач повышенной сложности.

1) Организационный момент

2) Проверка домашнего задания.

3) Учитель: Ребята, вам на дом было повторить определение окружности, круга, расстояние между двумя точками в пространстве. Уравнение окружности.

Показываю плакат окружности, круга и повторяем определение.

Ученики:

Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.

Учитель: Напишите, пожалуйста, на доске уравнение окружности (x-x₀) 2 + (y-y₀) 2 = R 2 , где (x₀; y₀)- центр окружности, R- радиус, (x; y)- координата центра окружности.

Устно. Найти уравнение окружности?

1) (x-4) 2 +(y-3) 2 =9. 2) x 2 + y 2 =4. 3) (0-4) 2 +(0-3) 2 =R 2 . 4) 16+9=R 2 .

5)25=R 2 . 6) R=5. 7)(x+4) 2 +(y-3) 2 =25.

Учитель: Найдите расстояние М₁ М₂, если М₁ (-3; 0; 4), М₂ (0; 6; 5). М₁ М₂ = (0-3) 2 + (6-0) 2 +(5-4) 2 = 46.

Следовательно, d= (x-x) 2 +(y-y) 2 + (z-z) 2 .

2. Объяснение нового материала. Сфера.

1) Учитель: Геометрия изучает форму и взаимное расположение фигур в пространстве. Мы живем в мире трех измерений.

Окружность и круг это пространственные тела или плоские?

В какое геометрическое тело превратится окружность (круг), если попадет в пространство?

Ученики: В сферу и шар.

Учитель: (показывает плакаты) Остановимся на сфере.

1). Сферу можно получить вращением полуокружности вокруг ее диаметра как оси.

2). Границы шара называется шаровой поверхностью или сферой.

3). Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Обозначение. (Рассказываю с помощью плаката) : Радиус, диаметр, центр сферы D=2R, обозначение сферы .

1. Шар — может быть получен вращением полукруга вокруг диаметра как оси.

2. Шаром называется тело, ограниченное сферой.

3. Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки.

Эта точка называется Центром шара. А данное расстояние – радиусом шара. Отрезок соединяющий две точки шаровой поверхности проходящей через ее центр – называется диаметром.

А теперь запишем число, тему: п. 48. Шар. Сфера.

В тетрадях рисуем один чертеж, пишем определения и обозначения. Пишем три определения шара и сферы. (под диктовку)

3. Закрепление. №574 (а, б)

Дано: сфера, т О — центр, R — радиус т.А и В € . а) R= 50 см, АВ= 40 см б) R=15 мм, АВ=18 мм.

Найти: ОМ.

Решение. а) ОА=ОВ= R=50 см. Следовательно треугольник АОВ — равнобедренный —> ОМ — высота (по свойству медианы в равнобедренном треугольнике). Рассмотрим треугольник АОМ (LО=90 0 ). По теореме Пифагора

ОМ= v АО 2 – АМ 2 = v 2500-400 = v 2100 =10 v21 (см).

Самостоятельно б) ОМ= v 225-81 = v 144= 12 (мм) Ответ: 10 v21 см; 12 мм.

Уравнение сферы. П 59.

Пусть задана прямоугольная система координат Охуz и дана некоторая поверхность. Уравнение с тремя переменными х, у, z, называется уравнением поверхности, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки F и не удовлетворяют координаты никакой точки не лежащей на этой поверхности.

Дано: прямоугольная система координат Охуz сфера , h – радиус точка С (х₀, у₀, z₀) — центр сферы.

Написать уравнение сферы.

Решение: Возьмем произвольную т М (x;y;z). Расстояние от М до С, МС= v (x-x₀) 2 +(y-y₀) 2 + (z-z₀) 2 если точка М € , то МС= R или МС 2 = R 2 , т.е. координаты т. М удовлетворяют уравнению

Если М € , то МС 2 = R 2 и координаты (т. М) не удовлетворяют уравнению. Следовательно, в прямолинейной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром С(х₀, у₀, z₀) имеет вид

5. Закрепление по теме: уравнение сферы №576(а, б), 578, 577 (а).

№576. Напишите уравнение сферы радиуса R с центром в центре А, если а) А(2;-4; 7), R=3.

Ответ (x-2) 2 +(y+4) 2 + (z-7) 2 =9 2 .

Б) А(0;0;0) R= v 2. Ответ: x 2 +y 2 + z 2 =2.

№578 а) А(0;0;0) , R=7. Б) А(3; -2; 0), R= v 2.

№577 а) Дано: сфера , т. А — центр, N= ?, А(-2; 2; 0), N(5; 0; -1)

Найти: уравнение сферы.

(5-2) 2 +(0-2) 2 + (-1-0) 2 = R 2 .

(x+2) 2 +(y-2) 2 + z 2 =54.

Учитель: Ребята, как записывается уравнение сферы, если ее центр лежит в т (х₀, 0, 0), а радиус равен R.

(x-x₀) 2 +y 2 + z 2 =R 2 .

x 2 — 2xx₀+x₀ 2 +y 2 +z 2 = R 2 .

x 2 — 2xx₀ +y 2 +z 2 = R 2 -x₀ 2 — уравнение сферы.

Геометрия. 11 класс

Конспект урока

Геометрия, 11 класс

Урок №8. Сфера и шар

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• что такое сфера, какие у неё есть элементы (центр, радиус, диаметр сферы);
• что такое шар и его элементы;
• уравнение сферы;
• формула для нахождения площади поверхности сферы;
• взаимное расположение сферы и плоскости;
• теорема о радиусе сферы, который проведён в точку касания и теорему обратную данной.

Глоссарий по теме:

Окружность – множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки. Данная точка называется центром окружности, расстояние от центра до любой точки окружности называется радиусом окружности.

Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Сфера – это поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

– уравнение сферы радиуса R и центром С(x₀; y₀; z₀).

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Сегмент шара — это часть шара, которая отсекается от шара секущей плоскостью. Основой сегмента называют круг, который образовался в месте сечения. Высотой сегмента h называют длину перпендикуляра проведенного с середины основы сегмента к поверхности сегмента.

Сектором называется часть шара, ограниченная совокупностью всех лучей, исходящих из центра шара О и образующих круг на его поверхности с радиусом r.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10–11 классы : учеб. для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255, сс. 136-142.

Шарыгин И.Ф., Геометрия. 10–11 кл. : учеб. для общеобразоват. учреждений– М.: Дрофа, 2009. – 235, : ил., ISBN 978–5–358–05346–5, сс. 77-84.

Открытые электронные ресурсы:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

1. Основные теоретические факты

По аналогии с окружностью сферу рассматривают как множество всех точек равноудалённых от заданной точки, но только всех точек не плоскости, а пространства.

Рисунок 1 – Сфера с центром в точке О и радиусом R

Данная точка О называется центром сферы, а заданное расстояние – радиусом сферы (обозначается R). Любой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется радиусом сферы. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром (обозначается D). D=2R.

Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, которую называют центром.

Тело, ограниченное сферой, называется шаром.

Шар можно описать и иначе. Шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

Сферу можно получить ещё одним способом — вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар – вращением полукруга вокруг его диаметра.

2. Уравнение сферы

Прежде чем вывести уравнение сферы введем понятие уравнения поверхности в пространстве. Для этого рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz и некоторую поверхность F. Уравнение с тремя переменными x, y, z называется уравнением поверхности F, если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки поверхности F и не удовлетворяют координаты никакой другой точки.

Пусть сфера имеет центром точку С (x₀; y₀; z₀) и радиус R. Расстояние от любой точки М (x; y; z) до точки С вычисляется по формуле:

МС=

Исходя из понятия уравнения поверхности, следует, что если точка М лежит на данной сфере, то МС=R, или МС 2 =R 2 , то есть координаты точки М удовлетворяют уравнению:

.

Это выражение называют уравнением сферы радиуса R и центром С(x₀; y₀; z₀).

3. Взаимное расположение сферы и плоскости

Взаимное расположение сферы и плоскости зависит от соотношения между радиусом сферы R и расстояния от центра сферы до плоскости d.

1. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, тогда сфера и плоскость пересекаются, и сечение сферы плоскостью есть окружность.

2. Пусть d=R. Если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы тогда сфера и плоскость имеют только одну общую точку, и в этом случае говорят, что плоскость касается сферы.

3. Пусть dR. Если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

Рассмотрим случай касания более подробно.

Плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной плоскостью к сфере, а их общая точка – точкой касания.

Теорема (свойство касательной плоскости).

Радиус сферы, проведённый в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.

Теорема (признак касательной плоскости):

Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащей на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.

4. Основные формулы

Соотношение между радиусом сферы, радиусом сечения и расстоянием от центра сферы до плоскости сечения:

Формула для вычисления площади поверхности сферы и ее элементов:

S=4πR 2 – площадь сферы.

S = 2πRh – площадь поверхности сегмента сферы радиуса R с высотой h.

– площадь поверхности сектора с высотой h.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Площадь сечения шара, проходящего через его центр, равна 9 кв. м. Найдите площадь поверхности шара.

Площадь круга вычисляется по формуле: S_кр=πR 2 .

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: S_сф=4πR 2 . Радиус шара и радиуса сечения, проходящего через центр шара, одинаковые. Поэтому площадь поверхности шара в 4 раза больше площади его диаметрального сечения. То есть площадь поверхности шара равна 36.

2. Вычислите радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5.

Площадь сферы равна S_сф=4πR 2 . То есть S_сф=100π.

По условию площадь круга некоторого радиуса r также равна 100π. Значит, r 2 =100, то есть r=10.

3. Все стороны треугольника АВС касаются сферы радиуса 5. Найти расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если АВ=13, ВС=14, СА=15

Окружность, вписанная в треугольник, является сечением сферы.

Найдем ее радиус.

Площадь треугольника с известными сторонами можно вычислить по формуле Герона:

С другой стороны, S=p·r.

Теперь найдем расстояние от центра шара до секущей плоскости.

4. Вершины прямоугольника лежат на сфере радиуса 10. Найти расстояние от центра сферы до плоскости прямоугольника, если его диагональ равна 16.

Так как вершины прямоугольника лежат на сфере, то окружность, описанная около прямоугольника, является сечением сферы.

Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали, то есть r=8.