Конспект урока уравнение плоскости в пространстве

Конспект по теме «Уравнение плоскости»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Метод координат. Уравнение плоскости.

Нормальный вектор плоскости – любой ненулевой вектор, который лежит на прямой, перпендикулярной к данной плоскости.

Существует бесконечное количество нормальных векторов данной плоскости. Если – нормальный вектор плоскости, то вектор (t≠0) – также нормальный вектор этой плоскости.

Каждый из векторов считается нормальным вектором соответственно плоскости Oyz, Oxy, Oxz.

Для определения координат нормального вектора достаточно знать уравнение плоскости вида Ax + By + Cz + D =0

Пример : Составить уравнение плоскости, проходящей через точку M(–1;2;–3) и два неколлинеарных вектора .

3(x+1) + 28(z+3) – 10(y-2) – (-15(z+3) + 4(y-2) + 14(x+1)) = 0 3x + 3 + 28z + 84 – 10y + 20 + 15z + 45 – 4y + 8 – 14x – 14 = 0

–11x – 14y + 43z + 146 = 0 => 11x + 14y – 43z – 146 = 0.

II. Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки M₀(x₀, y₀, z₀), M₁( x ₁ , y ₁ , z ₁ ), M ₂ ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ), не лежащие на одной прямой.

1 способ: Если точка, лежит на плоскости, то её координаты удовлетворяют уравнению этой плоскости, т.е. подставляем координаты каждой точки в уравнение плоскости Ax + By + Cz + D =0 и решаем систему из трёх уравнений.

Пример : Написать уравнение плоскости, проходящей через точки M(0; 1; 0), N(1; 0; 0),

,

Таким образом, уравнение искомой плоскости примет вид: –Dx – Dy + Dz + D = 0 │: (–D) => x + y – z – 1 = 0.

IV. Уравнение плоскости, проходящей через точку M(x₀, y₀, z₀), параллельно плоскости A₁x + B₁y + C₁z + D₁ =0.

У параллельных плоскостей один и тот же вектор нормали, поэтому искомое уравнение плоскости будет отличаться от данного только свободным коэффициентом, который можно найти, подставляя координаты точки M в уравнение A₁x + B₁y + C₁z + D = 0.

Методическая разработка урока по теме: «Уравнение прямой и плоскости в пространстве»

Методическая разработка урока используется в Разделе 4 : «Векторы. Уравнения прямой и плоскости в пространстве»
для группы 1 курса специальности 09.02.02 «Компьютерные сети».

Просмотр содержимого документа
«Методическая разработка урока по теме: «Уравнение прямой и плоскости в пространстве»»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

«ДЗЕРЖИНСКИЙ ХИМИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ ИМЕНИ КРАСНОЙ АРМИИ»

Преподаватель по математике
Метелёва В.Е.

Уравнение прямой и плоскости в пространстве.

Конспект, частично в виде таблицы

(цветом выделено то, что необходимо заполнить)

уравнение прямой в пространстве

уравнение плоскости в пространстве

проходящей через заданную точку(точки)

Выписать и обвести в рамку отдельно формулы: углы между плоскостями, углы между прямыми, угол между плоскостью и прямой, расстояние между двумя точками пространства, расстояние от точки до плоскости.

Примеры с решениями оформить как задачи: дано, найти, решение.

Оценка будет зависеть от количества разобранных (записанных решений) примеров и качества заполнения таблицы.

Список использованной литературы:

В.П.Григорьев.Элементы высшей математики.-М.:Издательский центр «Академия», 2015.

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.I.,М.:Высшее образование,2008 (не переиздавался)

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.II.,М.:Высшее образование,2008 (не переиздавался)

Конспект урока Уравнение прямой и плоскости

КГУ «Индустриально-технологический колледж»

Поурочный план № 147-148

Уравнение плоскости и прямой в пространстве. Контрольная работа 12.

Наименование дисциплины: Математика
Подготовил педагог: Тихоненко С.А.
Дата урока: 22.04.2021 года

1. Общие сведения

1.1 Курс, группы: первый, 9СЛ20, 9МК20, 9ОП20

1.2 Тип занятия: комбинированный/ дистанционный

1.3 Межпредметные связи: физика, черчение.

Познакомить учащихся с понятием уравнения плоскости и её особыми случаями задания; Выработать практические навыки по изучаемой теме при решении задач.

познакомить учащихся с понятием уравнение плоскости и алгоритмами составления уравнения плоскости;

дать представление об особых случаях уравнения;

сформировать знания по изучаемой теме

выработать умение применять полученные знания при решении конкретных практических задач.

продолжить формирование навыков самостоятельной работы с информацией;

учить анализировать информацию, обобщать, делать выводы;

развивать умение работать в группах.

воспитывать уважительное отношение к мнению других, умение слушать и слышать окружающих;

способствовать формированию и развитию культуры учащихся, повышению уровня познавательного интереса к предмету;

продолжить работу по формированию положительной мотивации к учебной деятельности;

формировать позитивную психологическую атмосферу в группе.

2.2 Результаты обучения:

1) Усвоить определение вектора и действий с векторами в пространстве.

2.3 Критерии оценки:

1) Выполняет сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число;

2)Находит скалярное произведение векторов.

3. Оснащение занятия

3.1 Учебно-методическое оснащение: дидактические материалы, справочно-инструктивные таблицы, карточки с заданиями, оценочные листы .

Справочная литература : А.Е.Әбылқасымова, В.Е. Корчевский, З.Ә. Жумагулова, Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 классов естественно- математического направления обшеобразовательных школ.1-2 часть. Алматы: Мектеп, 2019г.

3.2 Техническое оснащение, материалы, ИКТ: мультимедийный проектор, ноутбук, экран.

рованные этапы урока, время

Деятельность, запланированная на уроке

Проверка домашнего задания.

Устный опрос по теме «Координаты вектора в пространстве».

Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (3.1), которое называется уравнением плоскости.

Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (3.1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.

Особые случаи уравнения (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 — плоскость проходит через начало координат.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 — плоскость параллельна оси Oz.

3. C = D = 0, Ax +By = 0 — плоскость проходит через ось Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 — плоскость параллельна плоскости Oyz.

Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.

Прямая в пространстве может быть задана:

1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:

2) двумя своими точками M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:

_{= ; (3.3)}

3) точкой M₁(x₁, y₁, z₁), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:

_{. (3.4)}

Уравнения (3.4) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.

Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (3.4) параметру t:

Решая систему (3.2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

От уравнений (3.6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

_.

От общих уравнений (3.2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [n₁, n₂], где n₁(A₁, B₁, C₁) и n₂(A₂, B₂, C₂) — нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (3.4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

равносильна системе ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.

Система равносильна системе x = x1, y = y1; прямая параллельна оси Oz.

Презентация к уроку.

Пример 1. . Cоставьте уравнение плоскости, зная, что точка А(1,-1,3) служит основанием перпендикуляра, проведенного из начала координат к этой плоскости.

Решение. По условию задачи вектор ОА(1,-1,3) является нормальным вектором плоскости, тогда ее уравнение можно записать в виде
x-y+3z+D=0. Подставив координаты точки А(1,-1,3), принадлежащей плоскости, найдем D: 1-(-1)+3×3+D = 0 , D = -11. Итак, x-y+3z-11=0.

1. Написать конспект.

2. Ответить на вопросы теста.

5.Рефлексия по занятию

— Понравился ли вам урок?

— Что было трудным для вас?

— Что вам больше понравилось?

6. Домашнее задание

Ответить на вопросы теста.

Тест по теме «Векторы и координаты в пространстве»

1. Даны точки А(4; 5; 1) и В(0; 9; -8). Чему равна длина отрезка АВ?

a ) b) c) d) e)

2. Укажите пару коллинеарных векторов:

a ) и b ) и c ) и

d ) и e ) и

3. Могут ли векторы быть коллинеарными, но не равными?

a ) да b ) нет c ) не достаточно данных

4. Вектор ортогонален вектору . Укажите координаты вектора :

a ) b ) c )

d ) e )

5. Вычислить координаты середины отрезка АВ, если А(-10; 2; 3) и В(0; 16; -7).

a ) b ) c ) d ) e )

6. Чему равен модуль вектора , если M N

a) b) c) d) e)

7. При каком положительном n векторы и ортогональны?

a ) -2; 1 b ) 1 c ) 1; 2 d ) 2 e ) -2

8. Вычислить скалярное произведение векторов и :

a ) -14 b ) 4 c ) -4 d ) 10 e ) -10

9. Вычислить угол между векторами и :

a ) 45˚ b ) 60˚ c ) 30˚ d ) 90˚ e ) 120˚

10. Даны векторы и . Вычислить координаты вектора .

a ) b ) c ) d ) e )