Конспект урока уравнение прямой на плоскости

План занятия «Уравнение прямой на плоскости»

Просмотр содержимого документа
«План занятия «Уравнение прямой на плоскости»»

Министерство образования Ставропольского края

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Ставропольский региональный многопрофильный колледж»

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА ЗАНЯТИЯ ПО ТЕМЕ

«УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ НА ПЛОСКОСТИ»

ЕН.01 ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ

09.02.03 Программирование в компьютерных сетях

Иванова Владлена Сергеевна

Методическая разработка занятия

Специальность: 09.02.03 Программирование в компьютерных сетях

Преподаватель: Иванова Владлена Сергеевна

Дисциплина: ЕН.01 Элементы высшей математики

Наименование раздела: Элементы аналитической геометрии

Тема занятия: Уравнения прямой на плоскости

Вид: Практическое занятие

Тип занятия: Повторение и закрепление

Цель занятие: составить различные виды уравнений прямой на плоскости.

ПК 1.1. Выполнять разработку спецификаций отдельных компонент

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, определять методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности

ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.

ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.

Требования к умениям (практическому опыту): студент должен уметь составлять уравнения прямой на плоскости следующих видов: общее уравнение прямой; уравнение прямой в отрезках; уравнение с угловым коэффициентом; уравнение в канонической форме; уравнение прямой, проходящей через две данные точки; параметрические уравнения; нормальное уравнение. Разработать алгоритм составления уравнения прямой на плоскости.

Цели самостоятельной работы: формирование умения продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности.

Фронтальная работа (работа в группах и индивидуально)

Обсуждение деталей схематического изображения

Методы и приемы обучения: словесные, наглядные, информационные, компьютерные, объяснительно-иллюстративные, метод алгоритмических предписаний, мозговой штурм, прием «Ромашка Блума», рефлексия, прием из кинезиологического комплекса «Зеркальное рисование».

карточки для самостоятельной работы;

задания для выполнения на уроке;

задания для самопроверки;

Организационный момент (5 мин.)

Взаимные приветствия преподавателя и студентов; фиксация отсутствующих в учебном журнале; проверка внешнего состояния кабинета.

Проверка подготовленности студентов к занятию, их настроя на работу. Инструктирование по работе с оценочным листом (в котором в ходе работы оценивается работа каждой пары (за каждый правильный ответ студент получает наклейку «лайк». Оценка ставится паре, набравшей необходимое количество «лайков». 3 наклейки – удовлетворительно, 4 наклейки – хорошо, 6 наклеек – отлично)

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ

1.Актуализация опорных знаний (35 мин.)

ЗАДАНИЕ №1. (Время выполнения – 5 мин.)

Закрепление знаний предыдущей темы «Основы алгебры векторов» с использованием приема – поиск соответствий.

Правильно соотнести определение и формулу: орт; модуль (длина) вектора; скалярное произведение векторов.

ЗАДАНИЕ №2. (Время выполнения – 15 мин.)

Повторение основных понятий лекции «Уравнения прямой на плоскости» с использованием приема «Ромашка Блума» (Студенты работают в парах. За каждый правильный ответ пара получает по «лайку»)

1 лепесток: Что мы изучили на прошлой лекции? Что называют уравнением прямой на плоскости?

2 лепесток: Какие именно виды уравнений прямой на плоскости мы изучили?

3 лепесток: Почему нормальное уравнение прямой так называется?

4 лепесток: Всегда ли общее уравнение прямой на плоскости проходит через начало координат?

5 лепесток: Что будет, если общее уравнение прямой на плоскости разделить на –С?

6лепесток: Как вы найдете расстояние от точки до прямой?

ЗАДАНИЕ №3. (Время выполнения – 3 мин.)

Проведение упражнения из кинезиологического комплекса «Зеркальное рисование».

Необходимо положить на стол чистый лист бумаги. Студенты рисуют одновременно обеими руками зеркально-симметричные рисунки (квадраты, треугольники, горизонтальные линии), буквы. При выполнении этого упражнения они почувствуют, как расслабляются глаза и руки. Когда деятельность обоих полушарий синхронизируется, заметно увеличится эффективность работы всего мозга.

Прослушать подготовленное студентами мини-сообщение на тему:

взаимное расположение прямых в пространстве: пересекающиеся прямые, параллельные прямые, скрещивающиеся прямые.

Решить задачу: сторона АС треугольника АВС параллельно плоскости а, а его стороны пересекают плоскость в точках M и N. Доказать, что треугольник АВС и MBN подобны.

2.Решение практических задач (Время выполнения – 42 мин.)

Игра «Моя геометрия». Алгоритм игры:

На экране появляется таблица (9 ячеек) с разной «стоимостью» задания (1 «лайк», 2 «лайка», 3 «лайка»)

Студенты выбирают «стоимость» и получают задание, которое нужно решить.

Если задание было решение у доски в полной мере, студент получает определенное количество лайков.

1 лайк (Составить общее уравнение прямой на плоскости)

3 лайка (Составить уравнение прямой, проходящей через две данные точки

3 лайка (Составить уравнение в параметрической форме)

2 лайка (Составить уравнение прямой в отрезках)

1 лайк (Составить неполное уравнение общей прямой)

2 лайка (Составить уравнение с угловым коэффициентом)

3 лайка (Составить уравнение прямой в каноничной форме)

3 лайка (Составить нормальное уравнение в прямой)

1 лайк (Найти расстояние между прямой и точкой)

Разработка урока по теме «Уравнение прямой на плоскости»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Здравствуйте ребята. Тема нашего урока «Уравнение прямой». (слайд 1)

На прошлом уроке мы с вами доказали, что уравнение прямой в аналитической геометрии имеет следующий вид: ах + b у + с = 0 , где а, b , с – некоторые числа, причем хотя бы одно из чисел а или b не равно нулю.

И сегодня мы с вами рассмотрим различные способы, с помощью которых можно составить уравнение прямой на плоскости.

Начнем мы наш урок с устной работы на повторение.

Задание 1: (слайд 2)

На координатной плоскости изображены графики следующих функций. Установите соответствие между графиками функций и формулами.

Задание 2: «Определите знаки коэффициентов k и b в уравнении прямой у = кх + b ». (слайд 3)

Рис. 1: k > 0, прямая возрастает; b b – ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

А как связаны между собой знак коэффициента k и угол наклона между прямой и положительным направлением оси абсцисс?

В зависимости от значений а, b , с возможны следующие случаи:

Определите положение прямой на координатной плоскости, если:

а ≠ 0, b ≠ 0, с = 0. (проходит через начало координат)

а = 0, b ≠ 0, с ≠ 0. (прямая параллельна оси абсцисс)

а ≠ 0, b = 0, с ≠ 0. (прямая параллельна оси ординат)

а ≠ 0, b = с = 0. (прямая совпадает с осью ординат)

а = с = 0, b ≠ 0. (прямая совпадает с осью абсцисс)

Задание 4: (слайд 5) На координатной плоскости изображена прямая, заданная уравнением 2х + у – 3 = 0, и векторы.

Выберите среди векторов направляющие векторы и нормальные векторы.:

По данному уравнению прямой определите координаты нормального вектора этой прямой: .

Мы посмотрели с вами, как они выглядят. Сколько можно провести нормальных векторов к этой прямой?

Хорошо, мы продолжаем наш урок.

3. Изучение нового материала.

На последнем уроке вам было дано задание найти все возможные формулы, задающие прямую на плоскости. И мне очень интересно узнать, к чему привели ваши поиски.

Итак, я предлагаю пополнить наш список уравнений, задающих прямую на плоскости: (первые два уравнения учитель записывает на доске, далее продолжают ученики)

ах + b у + с = 0 , где а, b , с – некоторые числа, причем а ≠ 0 или b ≠ 0.

А теперь вам предоставляю возможность продолжить список.

Если прямая проходит через точки А (х ₁ ; у ₁ ) и В (х ₂ ; у ₂ ) , то уравнение выглядит так: .

Я предлагаю такой способ задания прямой: «Если прямая проходит через точку А (х ₀ ; у ₀ ) и — направляющий вектор, то уравнение прямой имеет вид: ».

А я могу составить уравнение прямой можно составить через вектор нормали: «Если прямая проходит через точку А (х ₀ ; у ₀ ) и — нормальный вектор, то уравнение имеет вид: n ₁ (х – х ₀ ) + n ₂ (у – у ₀ ) = 0».

У кого-нибудь есть другие варианты?

Спасибо, вы нашли много уравнений, которые задают прямую на плоскости. Это, конечно же, не все уравнения. С остальными вы сможете познакомиться в ВУЗах.

А теперь я предлагаю вам решить следующие задачи, выбрав наиболее рациональную формулу:

Задача 1: Даны вершины треугольника A (- 3; 1), B (1; 5), C (3; 1).

а) Составить уравнение прямой, содержащей медиану АМ.

б) Составить уравнение прямой, содержащей среднюю линию, параллельно АС.

в) Составить уравнение прямой, проходящей через точку В перпендикулярно к медиане АМ.

а) Точка М – середина стороны ВС. Найдем ее координаты:

; М (2; 3).

Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и М. Воспользуемся формулой (3): .

;

;

;

;

Ответ: 2х – 5у + 11 = 0.

б) Искомая прямая, параллельная прямой АС, будет проходить через точку М, так как т. М – середина ВС. Для составления уравнения этой прямой, содержащей среднюю линию, воспользуемся формулой (4): , где — направляющий вектор.

Составим уравнение прямой АС: у = 1 – прямая, параллельная оси Ох.

Определим координаты направляющего вектора: .

р ₂ = 0. Что же делать? Ведь на ноль делить нельзя.

В этом случае формулу (4) можно записать в ином виде: р ₂ (х – х ₀ ) = р ₁ (у – у ₀ ).

Подставим координаты вектора и точки М в это уравнение и получим:

0 ∙ (х – 2) = — 1∙ (у — 3);

у = 3 – уравнение прямой, содержащей среднюю линию треугольника.

в) А теперь составим уравнение прямой, проходящей через точку В (1; 5) перпендикулярно медиане АМ.

2х – 5у + 11 = 0 – уравнение прямой, содержащей медиану АМ.

Определим координаты направляющего вектора прямой АМ: .

Направляющий вектор прямой АМ является нормальным вектором для искомой прямой, т. е. .

Воспользуемся формулой (5): n ₁ (х – х ₀ ) + n ₂ (у – у ₀ ) = 0.

5(х — 1) + 2(у — 2) = 0;

5х – 5 + 2у – 4 = 0;

5х + 2у – 9 = 0 – уравнение искомой прямой.

Ответ: 5х + 2у – 9 = 0.

Задача 2: Точки А и В симметричны относительно некоторой прямой. Запишите уравнение этой прямой, если А (-2; 3 ), В (2; 1).

а – ось симметрии, так как точки А и В симметричны относительно прямой а .

Найдем координаты точки С:

; С (0; 2).

Вектор – нормальный вектор прямой а .

Найдем его координаты: .

Воспользуемся формулой (5): n ₁ (х – х ₀ ) + n ₂ (у – у ₀ ) = 0.

4 (х — 0) — 2(у — 2) = 0;

2х – у + 2 = 0 – уравнение прямой а .

Ответ: 2х – у + 2 = 0.

Хорошо, с задачами вы справились.

Сегодня на уроке мы с вами познакомились с новыми формулами, которые вы можете в дальнейшем использовать при решении задач.

Дома я предлагаю решить задачи, чтобы потренироваться в применении этих формул.

Вершина треугольника АВС имеют координаты: А (- 7; 5), В (3; — 1), С (5; 3).

а) Составьте уравнения прямых АВ, ВС и АС.

б) Составьте уравнения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

в) Составьте уравнения прямых, содержащих средние линии треугольника.

Геометрия

План урока:

Уравнение линии в координатах

Если какое-то уравнение содержит две переменные – х и у, то какие-то пары значений этих чисел будут являться его решением, а какие-то нет. Однако каждой такой паре чисел можно сопоставить точку на координатной плоскости. Все вместе такие точки могут образовать линию, которую можно обозначить буквой L. В таком случае исходное уравнение называют уравнением линии L.

Мы уже рассматривали некоторые уравнения линий на плоскости, когда изучали графики функций. Если некоторую функцию у = у(х) рассматривать как уравнение, то тогда график функции у(х) будет той самой линией, которая задается уравнением. Например, парабола может быть задана уравнением у = х 2 .

Однако уравнение линии не обязательно выглядит как функция. Наиболее простой задачей является определение факта, принадлежит ли та или иная точка той линии, которая задана уравнением.

Задание. Какие из точек А (2;1), В (3; 2), С (– 2; 5) и D(0; 0) принадлежат линии, заданной уравнением:

Решение. Надо просто подставить координаты точек в уравнение и посмотреть, превратится ли оно при этом в верное равенство. Сначала подставляем точку А (2; 1):

Получилось верное равенство, значит, А принадлежит заданной линии. Теперь подставляем координаты В (3; 2):

Равенство неверное, следовательно, В на заданной линии не лежит. Проверяем третью точку С (– 2; 5):

Получили, что и С не является частью линии. Проверяем последнюю точку D (0; 0):

Справедливость равенства означает, что D принадлежит линии.

Использование координат и уравнений линии порождает две обратные друг другу задачи:

1) по заранее заданному уравнению определить геометрический вид линии;

2) для заданной геометрической фигуры, построенной на координатной плоскости, найти уравнение линии.

Геометрия занимается в первую очередь решением второй задачи. Первая же задача рассматривается по большей части в курсе алгебры при изучении графиков функций.

Уравнение окружности

Попытаемся составить уравнение окружности, про которую нам известен ее радиус (обозначим его буквой r) и координаты центра окруж-ти(х₀; у₀). Пусть некоторая точка М с координатами (х; у) лежит на окруж-ти. Тогда, по определению окруж-ти, расстояние между С и М равно радиусу r:

Но расстояние между точками М и С может быть вычислено по формуле

Если же точка М НЕ лежит на окруж-ти, то длина отрезка МС не будет равна r, и потому координаты М не будут удовлетворять уравнению (1). Получается, что (1) как раз и является уравнением окруж-ти.

Задание. Составьте уравнение окружности, имеющей радиус 5, если ее центр находится в точке (6; 7), и проверьте, лежат на ней точки H(2; 10)и Р(3; 8).

Решение. Сначала запишем уравнение окруж-ти в общем виде

Это и есть уравнение окруж-ти. При желании можно раскрыть скобки в правой части, но делать это необязательно. Теперь будем подставлять в полученное уравнение координаты точек Н и Р:

Проверка показала, что Н находится на окруж-ти, а Р – нет.

Задание. Начертите окружность, заданную уравнением

Именно эти значения и являются параметрами окруж-ти, которые нужны нам для ее построения. Ее центр находится в точке (х₀; у₀), то есть в (1; – 2), радиус равен r, то есть 2. В итоге выглядеть она будет так:

Особый случай представляет окруж-ть, центр которой находится в начале координат, то есть в точке (0; 0). В этом случае параметры x₀ и y₀ окруж-ти равны нулю, и уравнение

Например, окруж-ть с радиусом 4, если ее центр совпадает с началом координат, описывается уравнением:

Если при подстановке координат точки в уравнение получилось неверное равенство, то возможны два случая: либо точка находится внутри окруж-ти, либо она находится вне нее. Заметим, что в уравнении окруж-ти

левая часть представляет собой квадрат расстояния между точкой (х; у) и центром окруж-ти (х₀; у₀). Если оно больше квадрата радиуса, то точка находится вне окруж-ти, а если меньше – то внутри нее.

Задание. Определите для точек M(3; 4), N(2; 3), F(4; 4), лежат ли они на окруж-ти

внутри нее или за пределами окруж-ти.

Решение.Снова подставляем координаты точек в уравнение окруж-ти:

Это ошибочное равенство, ведь в реальности левая часть больше:

Это значит, что F(4; 4) лежит вне окруж-ти. Убедиться в правильности сделанных выводов можно, построив заданную окруж-ть и отметив точки M, N и F:

Рассмотрим несколько более сложных задач по данной теме.

Задание.Запишите уравнение окружности с центром С(– 4; 2), и окруж-ть проходит через точку А(0; 5).

Решение. В данном случае радиус окруж-ти явно не указан, и его надо найти. Подставим в уравнение окруж-ти известные нам данные:

Задание. Даны точки К (– 2; 6) и М (2; 0). Запишите уравнение окруж-ти, в которой КМ будет являться диаметром.

Решение. Для составления уравнения нужно знать радиус окруж-ти и координаты ее центра. Обозначим центр буквой С. Ясно, что центр окруж-ти делит любой ее диаметр пополам, на два одинаковых радиуса, то есть является серединой диаметра. То есть С – середина КМ, а потому для поиска координат С используем формулы:

Итак, координаты центра теперь известны, это (0; 3). Чтобы найти радиус, поступим также, как и в предыдущей задаче – подставим координаты точек С и, например, К, в уравнение окруж-ти

Обратите внимание, что нам необязательно вычислять радиус, ведь для уравнении окруж-ти нужна его величина, возведенная в квадрат, и мы ее нашли. Теперь можем записать уравнение окончательно

Задание. Дано уравнение окружности

(x — 2) 2 + (y — 4) 2 = 9

Найдите точки этой окруж-ти, абсцисса которых равна 2.

Решение. Напомним, что абсцисса – это координат х точки. Она нам уже известна, х = 2. Остается только найти ординату, то есть координату у. Для этого подставим известное нам значение абсциссы в уравнение и решим его:

Обратите внимание, что у квадратного уравнения нашлось сразу 2 корня, они соответствуют двум точкам, (2; 1) и (2; 7).

Ответ: (2; 1) и (2; 7).

Задание. Составьте уравнение окружности, проходящей через точки D(3; 8), L(6; 7) и K(7; 0).

Решение. Эта задача сложнее предыдущих и потребует громоздких вычислений. Нам надо найти радиус окруж-ти r и ее центр (х₀; у₀). Запишем для точки D(3; 8) уравнение окруж-ти:

Далее раскроем скобки в левой части, используя формулу квадрата разности (это необходимо для упрощения дальнейших расчетов):

В итоге нам удалось составить три уравнения, которые содержат три переменные: r, х₀ и у₀.Вместе они образуют систему уравнений, которую можно попробовать решить:

Далее можно, например, вычесть из (2) уравнение (3):

Нам удалось найти одно из интересующих нас чисел, у₀. С помощью (5) легко найдем и х₀:

x₀ = 7y₀ — 18 = 7*3 — 18 = 21 — 18 = 3

Итак, центр окруж-ти находится в точке (3; 3). Осталось найти радиус окруж-ти. Для этого подставим в уравнение окруж-ти вычисленные нами координаты центра, а также координаты одной из точек из условия, например, K(7; 0):

Радиус окруж-ти равен 5. Теперь мы можем окончательно записать уравнение окруж-ти

Чтобы убедиться в правильности найденного решения, можно подставить в полученное уравнение координаты трех точек из условия и посмотреть, обращают ли они его в верное равенство. Вместо этого мы для наглядности просто построим в координатной плоскости получившуюся окруж-ть и отметим на ней точки из условия:

Ответ: (х – 3) 2 + (у – 3) 2 = 25

Уравнение прямой

Пусть на координатной плоскости построена произвольная прямая m. Для составления его уравнения отметим две точки А(х₁; у₁) и В(х₂; у₂) так, чтобы прямая m оказалась серединным перпендикуляром для отрезка АВ:

Тогда, согласно свойству серединного перпендикуляра,про любую точку М(х; у), лежащую на m, можно сказать, что она равноудалена от А и В, и наоборот, любая точка, НЕ лежащая на m, НЕ равноудалена от А и В. Это означает, что для точки M, если она лежит на m, должно выполняться равенство:

Квадратные корни равны, если одинаковы их подкоренные выражения, поэтому

Заметим, что так как точки А и В – различные, то хотя бы одна из разностей (2х₂ – 2х₁) и (2у₂ – 2у₁) будет не равна нулю, поэтому в (2) хотя бы один их коэффициентов а и b точно ненулевой. Это означает, что уравнение (2) является уравнением первой степени. Заметим, что (2) называют общим уравнением прямой, так как оно описывает любую прямую на плоскости. При более глубоком изучении геометрии вы познакомитесь с множеством других видов уравнений прямой (нормальным, каноническим, тангенциальным, параметрическим и т. п.).

В последнем примере коэффициент с равен нулю, поэтому его просто не записали.

Заметим важный аспект – одна и та же прямая может описываться различными уравнениями вида (2). Например, пусть уравнение прямой выглядит так:

Это уравнение равносильно предыдущему, хотя у них и различны коэффициенты а, b и c. Это значит, что однозначно определить эти коэффициенты при решении задач в большинстве случаев невозможно. Поэтому удобней рассмотреть два отдельных случая.

1) Если коэффициент b в уравнении прямой (2) не равен нулю, то его можно привести к виду:

Из курса алгебры мы помним, что ее графиком как раз является прямая. В большинстве случаев уравнение прямой удобно записывать именно в таком виде. Напомним, что число k называется угловым коэффициентом прямой.Поэтому (3) так и называют – уравнением прямой с угловым коэффициентом. В качестве примера подобных уравнений можно привести:

Каждое из них описывает вертикальную прямую, параллельную оси Оу.

Задание. Прямая задана уравнением

Постройте ее на координатной плоскости

Решение. Для построения прямой надо всего лишь найти две различные точки, лежащие на ней, и соединить их. Мы будем брать произвольные значения координаты х, подставлять их в уравнение и находить соответствующее им значение координаты у. Подставим х = 1:

Получили другую точку (– 1; – 1). Осталось отметить эти две точки на и соединить их:

Задание. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки D(1; 10) и Е(– 1; – 4).

Решение. Задачу можно решить разными способами.

Способ 1 – универсальный и более сложный.

В общем виде уравнение прямой выглядит так:

Нам надо найти коэффициенты а, b и c. Для этого просто подставляем координаты известных точек в уравнение. Начнем с координат D:

Нам удалось выразить коэффициента двумя различными выражениями (1) и (2). Так как в них одинаковы левые части, то можно приравнять и правые части:

Мы можем взять любое значение коэффициента с (кроме нуля), и при этом получатся различные, но равносильные друг другу уравнения. Удобно взять с = 3, тогда в уравнении исчезнут дроби:

Это и есть ответ задания.

Далее рассмотрим более простой способ, который, однако, может потребовать анализа различных вариантов.

Уравнение прямой может иметь либо вид

если прямая является графиком линейной функции, либо вид

если прямая параллельна оси Оу. Во втором случае у всех точек прямой абсцисса должна быть одинакова, однако у точек D(1; 10) и Е(– 1; – 4) она различна, поэтому ее точно можно описать уравнением

Надо найти коэффициенты k и d. Подставим в уравнение координаты D(1; 10):

Итак, уравнение можно записать так:

Задание. Запишите уравнение прямой, если ей принадлежат точки:

Подставим сюда уже известное нам значение d:

В (1) и (2) мы выразили d с помощью разных выражений, которые теперь можно приравнять:

То, что коэффициент k оказался нулевым, означает, что прямая параллельна оси Ох.

в) Попытаемся сделать те же действия, что и в двух предыдущих примерах, подставляя точки в уравнение у = kx + d:

На этот раз мы не смогли найти коэффициент k, а вместо этого получили ошибочное равенство. То есть уравнение просто не имеет решений. Что же это значит? Из этого факта следует, что в этом примере уравнение прямой НЕ может иметь вид

Значит, оно имеет другой вид:

Действительно, у обеих точек (2; 7) и (2; 8) одинаковы абсциссы. Это значит, что прямая, проходящая через них, вертикальная. Коэффициент С как раз равен значению этой абсциссы, так что уравнение выглядит так:

Ответ а) у = 1,5х + 3; б) у = 8; в) х = 2.

Задание. Найдите площадь треугольника MON, изображенного на рисунке, если известно, что M и N лежат на прямой, задаваемой уравнением:

Решение. ∆MON – прямоугольный, и для вычисления его площади нужно найти длины OM и ON. По рисунку видно, что М лежит на оси Ох, то есть у неё ордината нулевая:

Зная это, легко найдем и абсциссу М, ведь координаты М при их подстановке в уравнение прямой должны давать верное равенство:

Далее рассмотрим точку N. Она уже лежит на Оу, а потому у нее нулевой оказывается абсцисса:

Напомним, что площадь прямоугольного треугольника может быть вычислена по формуле:

Задачи на пересечение двух фигур

Метод координат помогает находить точки, в которых пересекаются те или иные геометрические фигуры. В большинстве случаев надо просто составить систему из уравнений, задающих эти фигуры, и найти их общее решение. В курсе алгебры мы уже рассматривали как решение простых, в основном линейных систем, так и решение более сложных, нелинейных систем. Рассмотрим несколько задач на эту тему.

Задание. Две прямые заданы уравнениями:

Определите, в какой точке они пересекаются.

Решение. Если точка пересечения прямых существует, то ее координаты являются решением каждого из двух уравнений. Таким, образом, нам надо просто решить систему:

Мы нашли единственное решение системы – это пара чисел (3; – 2). Эта же пара определяет координаты искомой нами точки.

Задание. Найдите точки пересечения окруж-ти и прямой, если они задаются уравнениями

Решаем квадратное уравнение, используя дискриминант:

Мы нашли два различных значения у. Это значит, что прямая пересекается с окруж-тью в двух различных точках, а найденные нами числа – их ординаты. Отметим, что возможны случаи, когда корень только один (и тогда у окруж-ти с прямой одна общая точка, то есть они касаются), и когда корней вовсе нет (тогда окруж-ть и прямая не пересекаются). В нашем же примере осталось найти абсциссы точек. Для этого используем уравнение (3):

Получили в итоге пары точек (3; 8) и (6; 7), в которых заданная окруж-ть и прямая пересекаются.

Ответ: (3; 8) и (6; 7).

Задание. Две окруж-ти заданы уравнениями:

Для ее решения сначала раскроем скобки в обоих уравнениях и приведем подобные слагаемые:

Нам удалось выразить у через х. Теперь снова запишем одно из исходных уравнений окруж-ти, но заменим в нем у с помощью только что найденного выражения:

Мы нашли абсциссы точек пересечения окруж-тей, теперь можно вернуться к (1), чтобы найти и ординаты:

Получили точки (5; 2) и (4; 3).

В конце решим одну задачу чуть более высокого уровня сложности.

Задание. К окруж-ти радиусом 5, чей центр совпадает с началом координат, построена касательная в точке (3; 4). Составьте уравнение этой касательной.

Решение. Сначала составим уравнение окруж-ти. Так как ее центр находится в начале координат, а радиус имеет длину 5, то оно примет вид:

Нам надо найти коэффициенты k и d, а для этого надо составить какие-нибудь уравнения с этими переменными. Нам известно, что касательная проходит через точку (3; 4), а потому эти координаты можно подставить в (2):

Обратите внимание, что мы получили квадратное уравнение относительно переменной х. Если бы нам были известны k и d, то мы смогли бы его решить, и тогда мы определили бы точки пересечения прямой и окруж-ти. В этой задаче k и d нам неизвестны, но мы знаем, что окруж-ть и прямая касаются, то есть имеют ровно одну общую точку. Но тогда и квадратное уравнение (4) должно иметь только одно решение! Это означает, что его дискриминант равен нулю. Сначала выпишем коэффициенты квадратного уравнения, используемые при вычислении дискриминанта:

Теперь у нас есть два уравнения, (3) и (5), которые содержат только переменные k и d. Осталось лишь совместно решить их. Для этого подставим (3) в (5):

В рамках урока мы выяснили, как выглядят уравнения окруж-ти и прямой, а также научились решать несколько типовых заданий, в которых эти уравнения необходимо использовать. Хотя формулы, используемые при этом, могут показаться слишком сложными, главное – просто набить руку в их применении, решая как можно больше задач.