Конспекты по теме показательные уравнения

План-конспект урока на тему «Показательные уравнения»
методическая разработка на тему

Тема урока предназначена для изучения в рамках учебной дисциплины «Математика» студентами 1 курса специальности Программирование в компьютерных системах.

Скачать:

Предварительный просмотр:

ГБОУ РМ СПО (ССУЗ) «Зубово-Полянский педагогический колледж»

План-конспект урока по математике

Подготовила и провела: Оркина М.А., преподаватель математики

Зубова Поляна 2014

Тема урока: Показательные уравнения

Продолжительность: 45 минут

• развивать познавательный интерес к математике через содержание учебного материала; развивать логическое мышление, самостоятельную деятельность, умение правильно формулировать и излагать мысли.

• познакомить студентов с определением показательного уравнения и основными методами решения показательных уравнений.

• воспитывать трудолюбие, аккуратность ведения записей, умение объективно оценивать результаты своей работы и работы товарища; воспитывать навыки самоконтроля и взаимоконтроля; прививать желание иметь глубокие знания по учебному предмету; воспитывать такие качества характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование: мультимедийный комплекс, презентация, оценочные листы, листы для самостоятельной работы, карточки с домашним заданием.

1. Организационный момент.

Урок я хочу начать притчей: «Однажды молодой человек пришел к мудрецу: «Каждый день по пять раз я произношу фразу «Я принимаю радость в мою жизнь», но радости в моей жизни нет». Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил: «Назови, что ты выбираешь из них». «Ложку» — ответил юноша. «Произнеси это 5 раз» «Я выбираю ложку» — послушно произнес юноша 5 раз. «Вот видишь» — сказал мудрец, «повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…» Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку.

Вот и вам сегодня надо пополнить свои знания, чтобы потом уметь применять их на практике.

2. Постановка цели и задач. Слайд 2

Тема урока «Показательные уравнения ». А эпиграфом к нашему уроку станут слова Станислава Коваля: «Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы». То есть, другими словами, можно сказать, что если вы будете уметь решать уравнения, то летнего экзамена по математике вам не стоит бояться.

А какие вообще виды уравнений вы знаете? (Рациональные, тригонометрические, иррациональные, логарифмические).

И так как тема нашего урока «Показательные уравнения», то как вы думаете, чем мы сегодня будем заниматься на уроке и какие поставим цели? (Познакомиться с показательными уравнениями и способами их решения, частично отработать навыки решения показательных уравнений).

У вас на столах лежат оценочные листы. По мере необходимости вы будет заносить в них баллы за верно выполненные задания, а в конце урока поставите себе оценку, исходя из набранного количества баллов.

3. Актуализация опорных знаний. Слайд 3

1. Какая функция называется показательной? (Показательной функцией называется функция y=a x , где а – заданное число, a>0, a≠1)

2. Среди заданных функций указать те, которые являются показательными:

3. Какова область определения функции y= 2 x ? ( Множество всех действительных чисел)

4. Какова область значения функции y= 0,2 x ? (Множество всех положительных чисел)

5. При каком условии показательная функция является возрастающей? (Показательная функция является возрастающей при a>1)

6. При каком условии показательная функция является убывающей? (Показательная функция является убывающей при 0

4. Изложение нового материала. Слайд 4

Показательное уравнение – это уравнение, в котором неизвестное содержится в показателе степени.

Начнём со следующего простого вопроса. Уравнение 3 x =9 имеет очевидный корень x = 2. Имеются ли у этого уравнения другие корни?

Легко понять, что других корней нет, поскольку функция y = 3 x является монотонно возрастающей. Каждое своё значение эта функция принимает ровно один раз. Следовательно, если отметить на оси ординат точку y = 9, то ей будет соответствовать единственная точка x = 2 на оси абсцисс:

На рисунке показан также единственный корень уравнения 3 x = 4. Он уже не выражается целым числом и равен log 3 4.

Вообще, рассмотрим простейшее показательное уравнение Слайд 5

при a > 0 и a ≠ 1. Показательная функция y = a x монотонна и принимает только положительные значения. Поэтому:

• при любом b > 0 уравнение (1) имеет единственный корень x = log a b;

• при b ≤ 0 уравнение (1) не имеет корней.

Слайд 6 Хочется процитировать слова великого математика Готфрида Лейбница: «Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть — и в последствии подтвердить это, – что, следуя этому методу мы достигнем цели».

Рассмотрим следующие основные методы решения показательных уравнений: приведение степеней к одинаковому основанию, вынесение общего множителя за скобки, введение новой переменной, почленное деление.

При решении показательных уравнений мы постоянно пользуемся упомянутыми выше свойствами показательной функции: она монотонна и принимает только положительные значения.

Слайд 7 Задача 1. Решить уравнение: 8 x+2 = 32 1−x .

Решение. Заметим, что 8 = 2 3 и 32 = 2 5 :

(2 3 ) x+2 =(2 5 ) 1-x ,

Поскольку функция y=2 x монотонно возрастает, равенство 2 a =2 b эквивалентно равенству a=b. Следовательно,

Слайд 8 Задача 2. Решить уравнение: 3 x+1 +3 x — 3 x-2 = 35.

Решение. Выносим за скобки степень с наименьшим показателем 3 x-2 :

3 x-2 (3 3 +3 2 -1)=35 ↔ 3 x-2 ·35=35 ↔ 3 x-2 =1.

Последнее равенство запишем как 3 x-2 =3 0 и ввиду монотонности показательной функции заключаем, что x-2=0, то есть x=2.

Слайд 9 Задача 3. Решить уравнение: 4 x -2 x+1 -8= 0.

Решение. Перепишем уравнение следующим образом:

Вводя замену t=2 x , получим квадратное уравнение относительно t:

Находим его корни: t 1 =4, t 2 =-2. Остается сделать обратную замену. Уравнение 2 x =4 имеет единственный корень x=2. Уравнение 2 x =-2 корней не имеет, так как показательная функция y=2 x не может принимать отрицательных значений.

Слайд 10 Задача 4. Решить уравнение: 2·4 x +6·9 x = 7·6 x .

Решение. Подставим в уравнение 4=2 2 , 9=3 2 и 6=2·3:

2·2 2x -7·2 x ·3 x +6·3 2x =0.

Поделим обе части уравнения на величину 3 2x , которая ни при каких x не обращается в нуль. В результате получим равносильное уравнение:

2·(2/3) 2x -7·(2/3) x +6=0.

Дальше действуем так же, как в предыдущей задаче. Замена t=(2/3) x приводит к квадратному уравнению:

Его корни: t 1 =2 и t 2 =3/2. Обратная замена:

5. Закрепление знаний. Слайд 11

М.В.Ломоносов говорил: «Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики, сверх того, и умения».

И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных показательных уравнений. Посмотрите, пожалуйста, на доску, и решите простейшие показательные уравнения.

1) Устная работа. Слайд 12

6 x-1 =-6 Корней нет

Все правильно ответившие студенты заносят по 1 баллу в оценочный лист.

Распределите данные уравнения по методам их решения: Слайд 13

Приведение к одному основанию

Вынесение общего множителя за скобки

Введение новой переменной

Все правильно ответившие студенты заносят по 1 баллу в оценочный лист.

Древнегреческий поэт Нивей утверждал, что «математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед». Поэтому будем сейчас работать самостоятельно, а оценивать работу будет сосед по парте.

2) Самостоятельная работа (дифференцируемая). Слайд 14

Конспект урока по теме»Показательные уравнения»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Тема: Показательные уравнения

Учитель: Смирнова А.А.

Класс: 11

Тип урока: ознакомление с новым материалом

познакомить учащихся с определением показательного уравнения и основными методами и приемами решения показательных уравнений.

развивать познавательный интерес к предмету через содержание учебного материала, применять сформированные знания, умения и навыки в конкретных ситуациях, развивать логическое мышление, самостоятельную деятельность обучающихся, правильно формулировать и излагать мысли

воспитывать трудолюбие, аккуратность ведения записей, умение объективно оценивать результаты своей работы, прививать желание иметь глубокие знания, воспитывать умение работать в коллективе, культуры общения, взаимопомощи, воспитывать такие качества характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

1. Организационный момент.

Приветствие, сообщение учащимся темы и цели урока.

2. Актуализация опорных знаний.

Какая функция называется показательной?

Область значений показательной функции.

Что называется корнем уравнения?

Пересечет ли прямая у = -3 график функции у = 4 х ?

Сравнить числа 2,7 3 и 1.

Что является графиком линейной функции?

Среди заданных функций указать те, которые являются показательными:

а) 1) у = 4, 2) у = х, 3) у = 5 x , 4) у = x 3

3. Изучение нового материала.

Показательными уравнениями называют уравнения вида(1), где а — положительное число, отличное от 1, и уравнения, сводящиеся к этому виду.

Опираясь на полученные в предыдущем параграфе теоремы 1 и 3, согласно которым равенство , где , справедливо тогда и только тогда, когда t = s, мы можем сформулировать следующее утверждение.

Теорема. Показательное уравнение равносильно уравнению f(x) = g(x).

Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное х входит только в показатели степени при некоторых постоянных основаниях.

Так как показательная функция а х монотонна и ее область значений (0, ?), то простейшее показательное уравнение а х =в имеет корень при в>0. Именно к виду а х =в надо сводить более сложные уравнения.

“ Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть и в последствии подтвердить это, что следуя этому методу мы достигнем цели”. Лейбниц.

1.Простейшие уравнения: (устно)

а)2 х-5 = 16 Приведение обеих частей к общему основанию: 2 х-5 = 2 4

Данное уравнение равносильно уравнению: х-5 = 4, х = 9.Ответ: 9.

Так как показательная функция принимает только положительные значения, то данное уравнение не имеет решений. Ответ: нет решений.

2. Уравнения, решаемые с помощью вынесения общего множителя за скобки.

7 х + 7 х+2 = 350 7 х + 7 х 7 2 = 350 7 х (1+ 49) = 350 7 х =350:50 7 х = 7 х = 1 Ответ: х=1.

3.Уравнения, решаемые с помощью введения новой переменной. 16 х – 17 4 х + 16 = 0

Пусть 4 х = t, где t , тогда уравнение примет вид: t 2 — 17t + 16 = 0

Данное квадратное уравнение является приведенным, по теореме Виета получим:

Если t ₁ = 1, то 4 х = 1, 4 х = 4 0 , х ₁ = 0. Если t ₁ = 16, то 4 х = 16, 4 х = 4 2 , х ₂ = 2 Ответ: х ₁ = 0, х ₂ = 2.

4.Уравнения, решаемые с помощью их специфики – методом подбора.

При решении уравнений этим методом вначале находят путем подбора корень исходного уравнения, а потом доказывают, что этот корень единственный с использованием свойства монотонности показательной функции.

15 х + 20 х = 25 х Корень данного уравнения равен 2.

Действительно, при подстановке получаем верное равенство:

15 2 + 20 2 = 25 2 625 = 625 Других корней это уравнение не имеет. Разделим все члены этого уравнения на его правую часть, тогда получим:

+ = 1 + = 1

Функции , – убывающие, так как их основания меньше 1, а следовательно, сумма этих функций тоже будет убывающей. А по теореме о корне данное уравнение имеет единственное решение.

5. Графический метод.

Решить уравнение: 4 х = 5-х

В одной координатной плоскости строят графики функций у = 4 х и у = 5-х

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения графиков функций у = 4 х и у = 5-х

Проверка: х = 1, 4 1 = 5-1, 4 = 4 (верно) Ответ: х = 1.

6.Уравнения, решаемые с применением свойств прогрессии.

2 · 2 3 · 2 5 · … · 2 2х-1 = 512 2 1+3+5+…+2х-1 = 512

Рассмотрим арифметическую прогрессию (а _n ) из х членов, где а _n = 2 n-1, а ₁ = 1:

S _n = х= х·х = х 2 9 х 2 = 9 х ₁ = 3 х ₂ = -3 ( (не удовлетворяет) Ответ: х = 3.

7.Однородные показательные уравнения второй степени.

6 ·4 х – 13 6 х + 6 ·9 х = 0 6 ·2 х – 13 ·2 х 3 х +6· 3 2х = 0

Так как 3 2х 0, то разделим обе части уравнения на 3 2х , тогда получим

– 6· ( 2х – 13· ( х + 6 = 0

Путь( х =t, тогда получим уравнение 6t 2 – 13t + 6 = 0 D = 13 2 -4• 6• 6 = 169 – 144 = 25

t ₁ = _, t ₂ = _. Если t ₁ = х = _, х = ( ) 1 , х ₁ = 1.

Если t ₂ = х = _, х = ( ) -1 , х ₂ = -1. Ответ: х ₁ = 1, х ₂ = -1.

Уравнения (кроме № 4, 7, 6) решались совместно с обучающимися.

Подведем некоторые итоги.

Можно выделить три основных метода решения показательных уравнений.

1) Функционально-графический метод. Он основан на использовании графических иллюстраций или каких-либо свойств функций. Мы применяли этот метод в § 11.

2) Метод уравнивания показателей. Он основан на теореме о том, что уравнение равносильно уравнению f(x) = g(x), где а — положительное число, отличное от 1. Мы применили этот метод в примерах 1 и 2.

3) Метод введения новой переменной. Мы применили этот метод в примере 3.

Рассмотрим несколько более сложных примеров.

План-конспект открытого урока «Решение показательных уравнений»

Разделы: Математика

Образовательные:

• познакомить учащихся с определением показательного уравнения и основными методами и приемами решения показательных уравнений.

Развивающие:

• развивать познавательный интерес к предмету через содержание учебного материала, применять сформированные знания, умения и навыки в конкретных ситуациях, развивать логическое мышление, самостоятельную деятельность обучающихся, правильно формулировать и излагать мысли

Воспитательные:

• воспитывать трудолюбие, аккуратность ведения записей, умение объективно оценивать результаты своей работы, прививать желание иметь глубокие знания, воспитывать умение работать в коллективе, культуры общения, взаимопомощи, воспитывать такие качества характера как настойчивость в достижении цели, умение не растеряться в проблемных ситуациях.

Оборудование: таблица, доска, тесты, цветные мелки.

Тип урока: комбинированный.

Герберт Спенсер, английский философ, когда-то сказал: “Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы.

С.Коваль. “Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Приветствие, сообщение учащимся темы и цели урока.

2. Актуализация опорных знаний.

Устно:

1. Какая функция называется показательной?
2. Область значений показательной функции.
3. Что называется корнем уравнения?
4. Пересечет ли прямая у = -3 график функции у = 4 х ?
5. Сравнить числа 2,7 3 и 1.
6. Что является графиком линейной функции?
7. Среди заданных функций указать те, которые являются показательными:

а) 1) у = 4, 2) у = х, 3) у = 5 x , 4) у = x 3 .

3. Математический диктант.

Думать придется много, писать мало. При ответе на любой вопрос будете ставить “да” или “нет”. Два варианта: а) и б).

1.а) является ли убывающей функция y =2 x .
б) является ли возрастающей функция y = (0,3) x .

2.а) является ли показательным уравнение ?
б) является ли показательным уравнение ?

3. а) верно ли, что областью определения показательной функции является R?
б) верно ли, что график показательной функции проходит через точку с координатой(0;1)?

4.а) верно ли, что если b>0, то уравнение a x = b имеет один корень,
б) верно ли, что если b=0, то уравнение a x = b не имеет корней.

5.а) является ли число 3 корнем уравнения 2 x = 8,
б)является ли число 2 корнем уравнения 0,3 x = 0,09.

4. Изложение нового материала.

Урок я хочу начать притчей “Однажды молодой человек пришел к мудрецу. Каждый день по пять раз я произношу фразу: “Я принимаю радость в мою жизнь” Но радости в моей жизни нет. Мудрец положил перед собой ложку, свечу и кружку и попросил “Назови, что ты выбираешь из них”. “Ложку”, – ответил юноша. Произнеси это 5 раз.”. “Я выбираю ложку”, послушно произнес юноша 5 раз.. “Вот видишь, – сказал мудрец, повторяй хоть миллион раз в день, она не станет твоей. Надо…”Что же надо? Надо протянуть руку и взять ложку. Вот и вам сегодня надо взять свои знания и применить их на практике.

Показательным уравнением называется уравнение, в котором неизвестное х входит только в показатели степени при некоторых постоянных основаниях.

Так как показательная функция а х монотонна и ее область значений (0, ?), то простейшее показательное уравнение а х =в имеет корень при в >0. Именно к виду а х =в надо сводить более сложные уравнения.

“Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть и в последствии подтвердить это, что следуя этому методу мы достигнем цели”. Лейбниц.

1.Простейшие уравнения: (устно)

Приведение обеих частей к общему основанию:

Данное уравнение равносильно уравнению:

х-5 = 4,
х = 9.
Ответ: 9.

Так как показательная функция принимает только положительные значения, то данное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2. Уравнения, решаемые с помощью вынесения общего множителя за скобки.

7 х + 7 х+2 = 350
7 х + 7 х 7 2 = 350
7 х (1+ 49) = 350
7 х =350:50
7 х = 7
х = 1
Ответ: х=1.

3.Уравнения, решаемые с помощью введения новой переменной.

16 х – 174 х + 16 = 0

Пусть 4 х = t, где t , тогда уравнение примет вид:

t 2 — 17t + 16 = 0

Данное квадратное уравнение является приведенным, по теореме Виета получим:

Если t₁ = 1, то 4 х = 1, 4 х = 4 0 , х₁ = 0.

Если t₁ = 16, то 4 х = 16, 4 х = 4 2 , х₂ = 2

4.Уравнения, решаемые с помощью их специфики – методом подбора.

При решении уравнений этим методом вначале находят путем подбора корень исходного уравнения, а потом доказывают, что этот корень единственный с использованием свойства монотонности показательной функции.

15 х + 20 х = 25 х

Корень данного уравнения равен 2.

Действительно, при подстановке получаем верное равенство:

15 2 + 20 2 = 25 2

Других корней это уравнение не имеет. Разделим все члены этого уравнения на его правую часть, тогда получим:

+= 1

+= 1

Функции , – убывающие, так как их основания меньше 1, а следовательно, сумма этих функций тоже будет убывающей. А по теореме о корне данное уравнение имеет единственное решение.

5. Графический метод.

Решить уравнение: 4 х = 5-х

В одной координатной плоскости строят графики функций у = 4 х и у = 5-х

Решением уравнения является абсцисса точки пересечения графиков функций

Проверка: х = 1, 4 1 = 5-1, 4 = 4 (верно)

6.Уравнения, решаемые с применением свойств прогрессии.

2 · 2 3 · 2 5 ·… ·2 2х-1 = 512

Рассмотрим арифметическую прогрессию (а_n) из х членов, где а_n = 2 n-1, а₁ = 1:

S_n =х= х·х = х 2

9
х 2 = 9
х₁ = 3
х₂ = -3 ( (не удовлетворяет)

7.Однородные показательные уравнения второй степени.

6 ·4 х – 13 6 х + 6 ·9 х = 0
6 ·2 х – 13 ·2 х 3 х +6· 3 2х = 0

Так как 3 2х 0, то разделим обе части уравнения на 3 2х , тогда получим

–

6· ( 2х – 13· ( х + 6 = 0

Путь( х =t, тогда получим уравнение 6t 2 – 13t + 6 = 0

D = 13 2 -4• 6• 6 = 169 – 144 = 25

t₁ = _, t₂ =_.

Если t₁ = х = _, х = () 1 , х₁ = 1.

Если t₂ = х = _, х = () -1 , х₂ = -1.

Уравнения (кроме № 4, 7, 6) решались совместно с обучающимися.

5. Закрепление изученного материала

М. В. Ломоносов говорил “Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения” (портрет ученого вывешивается на доску).

И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных показательных уравнений.

На доске написаны 5 уравнений:

2.3 х-1 -3 х + 3 х+1 = 63

3.3 -х = —

4.64 х – 8 х –56 = 0

5.3 х +4 х = 5 х ( устно)

К доске выходят решать эти уравнения учащиеся.

Так как 31, то

= 0

По теореме Виета получаем:

2. 3 х-1 — 3 х + 3 х+1 = 63

Применяя соответствующие формулы свойства степеней, получим:

3 х 3 -1 – 3 х + 3 х 3 = 63

Выносим общий множитель за скобки:

3 х (
3 х
3 х =
3 х = 27
3 х = 3 3
х = 3
Ответ: х = 3.

3.3 -х = —

Решением этого уравнения является точка пересечения графиков функций у = 3 -х и у = –

4.64 х – 8 х – 56 = 0
(8 2 ) х – 8 х – 56 = 0 или
(8 х ) 2 – 8 х – 56 = 0

Введем новую переменную t = 8 х , тогда уравнение примет вид:

По теореме Виета:

t₁+ t₂ = 1
t₁ t₂ = – 56
t₁ = 8, t₂ = -7 (не удовлетворяет, так как показательная функция принимает только положительные значения)

Если t₁ = 8, то 8 х = 8, 8 х = 8 1 , х = 1.

5.3 х + 4 х = 5 х (устно)

Итог урока. Выставление оценок.

Итак, сегодня мы повторили тему “Показательная функция и ее свойства и познакомились с методами решения показательных уравнений. Дома необходимо выполнить домашнюю контрольную работу. Учащиеся получают карточки с заданиями вариантов.

Домашняя контрольная работа.

I вариант

II вариант

Решите уравнения.

Решите уравнения.

1. 5 2-3x = 1/25;
2. 6 x+2 – 2•6 x = 34;
3. 4•2 2x – 5•2 x +1 = 0;
4. 5 2x+5 – 2 2x+10 + 3•5 2x+2 – 2 2x+8 = 0;
5. 25 x = 7 2x;
6. 3 x = -x-2/3.

1. 4 1-2x = 1/16;
2. 2 x+3 + 3•2 x+1 = 28;
3. 6•3 2x – 3 x – 5 = 0;
4. 3 2x+5 – 2 2x+7 + 3 2x+4 – 2 2x+4 = 0.
5. 2 2x = 91 x ;
6. 5 x = -x + 6.

Кроссворд “И в шутку и всерьез”.

По горизонтали: 1.Есть у любого слова, у растения и может быть у уравнения.

По вертикали:2.Название функции, любой из графиков, которой обязательно пройдет через точку (0;1). 3.Исчезающая разновидность учеников. 4.Проверка учеников на выживание. 5.Ученый математик, механик и астроном. Его высказывание о показательной функции напечатано в учебнике перед первым параграфом. 6.Другое название независимой переменной в функции.

Ответы: 1.Корень. 2.Показательная. 3.Отличник. 4.Контрольная. 5.Эйлер. 6.Аргумент.