Конспекты уроков по теме тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения (3 урока)
план-конспект урока (алгебра, 10 класс) по теме

В разработке представлены три урока по теме «Решение тригонометрических уравнений»

Скачать:

Предварительный просмотр:

№1 Простейшие тригонометрические уравнения

Цель: 1. Вывести формулы решений простейших тригонометрических уравнений вида sinx =a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a;

2. Научиться решать простейшие тригонометрические уравнения с помощью формул.

Оборудование: 1) Таблицы с графиками тригонометрических функций у=sinx, у=cosx, у=tgx, у=ctgx; 2) Таблица значений обратных тригонометрических функций; 3) Сводная таблица формул для решения простейших тригонометрических уравнений.

1 .Вывод формул корней уравнения

2 . Устная фронтальная работа по закреплению полученных формул.

3 . Письменная работа по закреплению изученного материала

В алгебре, геометрии, физике и других предметах мы сталкиваемся с разнообразными задачами, решение которых связано с решением уравнений. Мы изучили свойства тригонометрических функций, поэтому естественно обратиться к уравнениям, в которых неизвестное содержится под знаком функций

Определение: Уравнения вида sinx = a , cosx= a , tgx= a , ctgx= а называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Очень важно научиться решать простейшие тригонометрические уравнения, так как все способы и приемы решения любых тригонометрических уравнений заключается в сведении их к простейшим.

Начнем с того, что выведем формулы, которые «активно» работают при решении тригонометрических уравнений.

1.Уравнения вида sinx = a.

Решим уравнение sinx = a графически. Для этого в одной системе координат построим графики функций у=sinx и у= а.

1) Если а > 1 и а а не имеет решений, так как прямая и синусоида не имеют общих точек.

2) Если -1 а а пересечет синусоиду бесконечно много раз. Это означает, что уравнение sinx= a имеет бесконечно много решений.

Так как период синуса равен 2 , то для решения уравнения sinx= a достаточно найти все решения на любом отрезке длины 2 .

Решением уравнения на [- /2; /2] по определению арксинуса х=arcsin a , а на [ /2; 3 /2] х= -arcsin a . Учитывая периодичность функции у=sinx получим следующие выражения

х= -arcsin a +2 n, n Z.

Обе серии решений можно объединить

х= ( -1) n arcsin a + n, n Z.

В следующих трех случаях предпочитают пользоваться не общей формулой, а более простыми соотношениями:

Если а =-1, то sin x =-1, х=- /2+2 n

Если а =1, то sin x =1, x = /2+2 n

Если а= 0, то sin x =0. x = n,

Пример: Решить уравнение sinx =1/2.

Составим формулы решений x=arcsin 1/2+ 2 n

Вычислим значение arcsin1/2. Подставим найденное значение в формулы решений

или по общей формуле

х= ( -1) n arcsin 1/2+ n,

2. Уравнения вида cosx= a .

Решим уравнение cosx= a также графически, построив графики функций у= cosx и у= а .

1) Если а 1, то уравнение cosx= a не имеет решений, так как графики не имеют общих точек.

2) Если -1 a a имеет бесконечное множество решений.

Найдем все решения cosx= a на промежутке длины 2 так как период косинуса равен 2 .

На [0; ] решением уравнения по определению арккосинуса будет х=arcos a. Учитывая четность функции косинус решением уравнения на [- ;0] будет х=-arcos a .

Таким образом решения уравнения cosx= a х= + arcos a+ 2 n,

В трех случаях будем пользоваться не общей формулой, а более простыми сотношениями:

Если а =-1, то cosx =-1, x =- /2+2 n

Если а =1, то cosx =1, x = 2 n,

Если а=0, то cosx =0. x = /2+ n

Пример: Решить уравнение cos x =1/2,

Составим формулы решений x=arccos 1/2+ 2 n

Вычислим значение arccos1/2.

Подставим найденное значение в формулы решений

Так как период тангенса равен , то для того чтобы найти все решения уравнения tgx= a , достаточно найти все решения на любом промежутке длины . По определению арктангенса решение уравнения на (- /2; /2) есть arctg a. Учитывая период функции все решения уравнения можно записать в виде

х= arctg a + n, n Z.

Пример: Решите уравнение tg x = 3/3

Составим формулу для решения х= arctg 3/3 + n, n Z.

Вычислим значение арктангенса arctg 3/3= /6, тогда

х= /6+ n, n Z.

Вывод формулы для решения уравнения сtgx=a можно предоставить учащимся.

Решить уравнение ctg х = 1.

х = arcсtg 1 + n, n Z,

В результате изученного материала учащиеся могут заполнить таблицу:

«Решение тригонометрических уравнений».

х= ( -1) n arcsin a + n, n Z.

х= + arcos a+ 2 n, n Z.

х= arctg a + n, n Z.

х= arcсtg a + n, n Z.

Упражнения для закрепления изученного материала.

1. (Устно ) Какие из записанных уравнений можно решить по формулам:

а) х= ( -1) n arcsin a + n, n Z;

б) х= + arcos a+ 2 n?

cos x = 2/2, tg x= 1 , sin x = 1/3, ctg x = 3/3, sin x = -1/2, cos x= 2/3, sin x = 3 , cos x = 2 .

Какие из перечисленных уравнений не имеют решений?

а) sin x = 0; д) sin x = 2/2; з) sin x = 2;

б) cos x = 2/2; е) cos x = -1/2; и) cos x = 1;

г) tg x = 3; ж) ctg x = -1; к) tg x = 1/ 3.

3. Решите уравнения:

а) sin 3x = 0; д) 2cos x = 1;

б) cos x/2 =1/2; е) 3 tg 3x =1;

г) sin x/4 = 1; ж) 2cos(2x+ /5) = 3.

При решении данных уравнений полезно записать правила для решения уравнений вида sin в x = a , и с sin в x = a, |a| 1.

в х= ( -1) n arcsin a + n, n Z,

х= ( -1) n 1/ в arcsin a + n/ в , n Z.

в x= + arcos a+ 2 n, n Z,

х= + 1/ в arcos a+ 2 n/ в , n Z,

с sin в x = a, |a| 1.

в х= ( -1) n arcsin a/ с + n, n Z,

х= ( -1) n 1/ в arcsin a/ с + n/ в , n Z.

с cos в x = a, |a| 1.

X= + 1/ в arcos a/с+ 2 n/ в.

Подведение итогов занятия:

1. Сегодня на занятии мы вывели формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.
2. Разобрали примеры решения простейших тригонометрических уравнений.
3. Заполнили таблицу, которую будем использовать для решения уравнений.

№2 Решение тригонометрических уравнений

Цель: Изучить методы решения тригонометрических уравнений:1) приводимых к квадратным;2) приводимых к однородным тригонометрическим уравнениям.

Развивать у учащихся наблюдательность при применении различных способов решения тригонометрических уравнений.

1. Фронтальная работа с учащимися .

1. Назовите формулы корней тригонометрических уравнений cos x= a , sin x= a, tgx = a , ctg x = a.
2. Решите уравнения (устно):

cos x=-1, sin x=0, tgx =0, ctg x=1, cos x=1,5, sin x=0.

1. Найдите ошибки и подумайте о причинах ошибок.

cos x=1/2, х= + /6+2 k, k Z.

sin x= 3/2, х= /3+ k, k Z.

tgx = /4, x=1+ k, k Z.

2. Изучение нового материала.

На данном занятии будут рассмотрены некоторые наиболее часто встречающиеся методы решения тригонометрических уравнений.

Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратным.

К этому классу могут быть отнесены уравнения, в которые входят одна функция (синус или косинус) или две функции одного аргумента, но одна их них с помощью основных тригонометрических тождеств сводится ко второй.

Например, если cоsх входит в уравнение в четных степенях, то заменяем его на 1- sin 2 x, если sin 2 x, то его заменяем на 1-cos 2 x.

Решить уравнение: 8sin 2 x — 6sin x -5 =0.

Решение: Обозначим sin x=t, тогда 8t 2 — 6t – 5=0,

t 1 = -1/2, t 2 = -5/4.

Выполним обратную замену и решим следующие уравнения.

Так как -5/4>1, то уравнение не имеет корней.

Ответ: х=(-1) к+1 /6+ k, k Z.

Решение упражнений на закрепление.

1) 2sin 2 x+ 3cos x = 0;

2) 5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0;

3) 2sin 2 x+ 3cos 2 x = -2sin x;

4) 3tg 2 x +2 tgx-1=0.

Однородные тригонометрические уравнения.

Определение: 1) Уравнение вида a sinx +b cosx=0, (а=0, в=0) называется однородным уравнением первой степени относительно sin x и cos x.

Решается данное уравнение с помощью деления обеих его частей на cos x 0. В результате получается уравнение a tgx+b=0.

2) Уравнение вида a sin 2 x +b sinx cosx +c cos 2 x =0 называется однородным уравнением второй степени, где a, b, c какие-либо числа.

Если а=0, то уравнение решаем делением обеих частей на cos 2 x 0. В результате получаем уравнение a tg 2 x+ b tgx+с =0.

Замечание: Уравнение вида a sin mx +b cos mx=0 или

a sin 2 mx +b sin mx cos mx +c cos 2 mx =0 также являются однородными. Для их решения обе части уравнения делят на cos mx=0 или cos 2 mx =0

3) К однородным уравнениям могут быть сведены различные уравнения, которые первоначально не являются такими. Например, sin 2 mx +b sin mx cos mx +c cos 2 mx =d, и a sinx +b cosx=d. Для решения этих уравнений необходимо умножить правую часть на « тригонометрическую единицу» т.е. на sin 2 x + cos 2 x и выполнить математические преобразования.

Упражнения на закрепление изученного материала:

1) 2sin x- 3cos x = 0; 5) 4 sin 2 x – sin2x =3;

2) sin 2x+ cos2x = 0; 6) 3 sin 2 x + sinx cosx =2 cos 2 x ;

3) sin x+ 3cos x = 0; 7) 3 sin 2 x- sinx cosx =2;

4) sin 2 x -3 sinx cosx +2 cos 2 x =0

3.Подведение итогов урока . Домашнее задание.

На данном занятии в зависимости от подготовленности группы можно рассмотреть решение уравнений вида a sin mx +b cos mx=с, где а, b,с не равны нулю одновременно.

Упражнения на закрепление:

1. 3sin x + cos x=2;

2. 3sin 2x + cos 2x= 2;

3. sin x/3 + cos x/3=1;

4. 12sin x +5 cos x+13=0.

№ 3 Решение тригонометрических уравнений

Цель: 1) Изучить метод решения тригонометрических уравнений разложением на множители; научиться решать тригонометрические уравнения с использованием различных тригонометрических формул;

2) Проконтролировать: знание учащимися формул для решения простейших тригонометрических уравнений; умение решать простейшие тригонометрические уравнения.

1. Проверка домашнего задания.
2. Математический диктант.
3. Изучение нового материала.
4. Закрепление изученного материала через решение уравнений различной сложности.
5. Самостоятельная работа.
6. Подведение итогов занятия. Домашнее задание.

1. Проверка домашнего задания (решение тригонометрических уравнений кратко записаны на доске).

1. Какие уравнения называются простейшими тригонометрическими уравнениями?

2. Как называется уравнение вида a sinx + b cosx=0? Укажите способ его решения.

3.Запишите формулу корней уравнения tgx = a (ctg x= a ).

4. Запишите формулы корней уравнений вида cosx= a, где а =1, а =0, а =-1.

5. Запишите общую формулу корней уравнения sin x= a, |a|

6. Как решаются уравнения вида a cosx= b, |b |

1. Запишите формулы корней уравнений cosx= a,|a|

2. Запишите общую формулу корней уравнения

3. Как называются уравнения вида sin x= a, tgx = a, sin x= a?

4.Запишите формулы корней уравнения sin x= a, если а =1, а =0, а =-1.

5.Как решаются уравнения вида sin a x= b, |b |

6. Какие уравнения называются однородными уравнениями второй степени? Как они решаются?

1. Изучение нового материала.

Метод разложения на множители.

Одним из наиболее употребительных методов решения тригонометрических уравнений является метод разложения на множители.

Если уравнение f(x) =0 можно представить в виде f 1 (x) f 2 (x) =0 , то задача сводится к решению двух уравнений f 1 (x)=0, f 2 (x) =0.

( С учащимися полезно вспомнить правило « Произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом имеют смысл »)

1. Закрепление изученного материала через решение уравнений различной сложности.

1. (sin x-1/2)( sin x+1)=0; 2) (cosx- 2/2)( sin x+ 2/2)=0;(самост.)

3) sin 2 x+ sin x cosx=0; 4) sin 2 x- sin x =0;

5 ) sin 2x – cosx=0; 6) 4 cos 2 x -1 =0; (2-мя способами)

7) cosx+ cos3x=0; 8) sin 3x= sin 17x;

9) sin x+ sin 2x+ sin 3x=0; 10) cos3x cos5x

11) sin x cos5x =sin 9x cos3x sin 2x sin 2x

12) 3 cosx sin x+ cos 2 x=0(самост.)

13) 2 cos 2 x — sin (x- /2)+ tgx tg (x+ /2)=0.

1) 6 sin 2 x+ 5sin x -1=0; 1) 3 cos 2 x+2 cosx -5=0;

2) sin 2x – cos2x=0; 2) 3 cos x/2 — sin x/2=0;

3) 5 sin 2 x+ sin x cosx -2 cos 2 х=2; 3) 4sin 2 x- sin x cosx +7cos 2 х=5;

4) sin x+sin5x=sin3x+sin7x; 4) sin x-sin 2x +sin 3x-sin 4x=0;

5) sin x+cosx=1. 5) sin x+cosx=2.

8. Подведение итогов урока. Домашнее задание.

Тема урока: «Решение тригонометрических уравнений»

Разделы: Математика

Образовательные:
– актуализировать знания учащихся по теме “Решение тригонометрических уравнений” и обеспечить их применение при решении задач вариантов ЕГЭ;
– рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;
– закрепить навыки решения тригонометрических уравнений.

Развивающие:
– содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;
– формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;
– отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.

Воспитательные:
– вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;
– способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний

Оборудование: компьютер и мультимедийный проектор.

1. Вводно-мотивационная часть.

1.1. Организационный момент.

Задачи этапа: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению.

Учитель: Здравствуйте, садитесь! Сегодня мы проводим урок обобщения по теме “Общие методы решения тригонометрических уравнений”. Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ.

Эпиграфом нашего урока будут такие слова:

Результат учения равен
произведению способности
на старательность.
Если старательность равна нулю,
То и все произведение равно нулю.
А способности есть у каждого.

2. Проверка готовности учащихся к уроку.

Учитель: Все готовы к уроку? Итак, внимание. Начинаем!

3. Озвучивание целей урока и плана его проведения.

Учитель: Сегодня на уроке мы с вами должны решить тригонометрические уравнения (задание на столах. Приложение 1). Как вы думаете, что мы должны знать, чтобы приступить к их решению?

– Табличные значения тригонометрических функций.
– Формулы тригонометрии.
– Способы решения тригонометрических уравнений.
– Формулы корней простейших тригонометрических уравнений.

1.2. Устная работа.

Задачи этапа: актуализировать знания и умения учащихся, которые будут использованы на уроке.

Учитель: давайте вспомним формулы тригонометрии (на экране появляется начало формулы, учащиеся говорят продолжение формулы, затем правильный ответ появляется на экране).

2. Основная часть урока.

2.1. Повторение (чередование фронтальной и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

Задачи этапа: обеспечивать развитие у учащихся общеучебных умений и навыков: умение анализировать, синтезировать, сравнивать, обобщать, поиск способов решения, отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений.

Учитель: А теперь выполним самостоятельную работу.

1 ) Найдите значения тригонометрических выражений:

На экране проецируется задание.

2.2. Рефлексивно-оценочная часть урока. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

Задачи этапа: дать качественную оценку работы каждого ученика по выполнению самостоятельной работы.

После выполнения задания на экране появляются ответы, учащиеся сами себя проверяют.

Учитель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:

План конспект урока на тему: «Решение тригонометрических уравнений»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Урок с использованием современных информационных технологий

в 10 классе по алгебре и началам анализа по теме:

«Решение тригонометрических уравнений».

Образовательные: закрепить навыки решения тригонометрических уравнений; повторить методы решения тригонометрических уравнений; познакомить учащихся с историей развития тригонометрии.

Развивающая: развитие внимания, математического мышления, речи.

Воспитательные: воспитание интереса к математике, самостоятельности, активности; формирование навыков групповой, индивидуальной деятельности в сочетании с самостоятельностью учащихся.

Требования к знаниям, умениям и способам деятельности: овладеть понятиями и умениями, связанными с решением тригонометрических уравнений; овладеть приемами оценки решений уравнений; правильно употреблять термины; уметь решать простые тригонометрические уравнения; уметь применять методы для решения тригонометрических уравнений;

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Формы работы: индивидуальная, групповая, фронтальная.

Оборудование и дидактический материал: компьютер, проектор, презентация к уроку, карточки для индивидуальной и парной работы учащихся, тестовые задания.

1. Организационный момент(2мин).

2. Актуализация знаний(5мин)

— устная работа «Домино» (3мин);

— повторение методов решения тригонометрических уравнений (3 мин).

3. Выполнение теста. (15мин)

4. Самостоятельная работа учащихся (выполнение заданий разной уровни сложности). (15мин)

5. Домашнее задание. (3мин)

6. Итоги урока. (4мин)

Организационный момент (2 мин).

Учитель: Здравствуйте ребята! Мы начинаем очередной урок алгебры. Сегодня на уроке мы повторим методы решения тригонометрических уравнений; будем выполнять тест, задания разной уровни сложности. Также посмотрим презентацию «Развитие тригонометрии». Но сначала давайте отметим отсутствующих и проверим домашнее задание. (Учитель фиксирует отсутствующих, дежурный докладывает о выполнении домашнего задания.)

Актуализация знаний (6 мин).

А) Проверка домашней работы(устно).

Б) Устная работа «Домино»

В) (Устно) Среди уравнений, данных на доске, выбрать те которые решаются

А) приведением к квадратному (№1,6,8)

Б) как однородные (№4,9)

В) с помощью введения вспомогательного аргумента (№3,10)

Г) разложением на множители (№2,7)

Д) с помощью формул суммы и разности (№5)

4. 2 sin 2 x + cos 2 x =5 sinxcosx

5. sinx + sin 3 x = sin 5 x — sinx

6. 2cos 2 x+3sin 2 x+2cosx=0

8. 8sin 2 2x+cos2x+1=0

9. sin2x+4cos 2 x=1

Выполнение теста (15 мин).

Учитель: С ейчас, для поверки знаний, вам будут предложены разноуровневые тестовые задания.

1. Какие из данных уравнений не имеют корней?

2.Решите уравнение и выберите правильный ответ: cos(/2-x)= — 1

3.Решите уравнение и выберите правильный ответ: cos(+x)=sin/2

1. Какие из данных уравнений не имеют корней?

2. Решите уравнение и выберите правильный ответ: sin (/2+x)=1

После выполнения теста ученики, сидящие за одной партой, обмениваются работами и проверяют выполненные задания соседа, выставляют оценки по данным критериям. Ответы теста написаны на доске.

За правильное выполнение 2 заданий – «3», 3 – «4», 4 — «5».

Самостоятельная индивидуальная работа учащихся (задания разной уровни сложности) (15 мин).

Учитель: Перед вами карточки с заданиями на оценку «3 «, «4» и «5». Здесь даны тригонометрические уравнения. Их нужно решить. В зависимости от того какую оценку вы хотите получить, каждый из вас выберет карточку с заданиями.

Задания первого уровня

Карточки с заданиями на оценку «3».

Вариант 1 Вариант 2

Решите уравнени e методом сведения к квадратному.

2 со s²x+5sinx-4=0 4-5cosx-2sin²x=0

Решите уравнени e методом разложения на множители

3 cosx +2 sin 2 x =0 5 sin 2 x -2 sinx =0

Решить однородное тригонометрическое уравнение

Задания второго уровня.
Карточки с заданиями на оценку «4» и «5».

Решить уравнения, самостоятельно выбрав метод решения.

1 вариант 2 вариант

1) cos2 x – 5sin x – 3 = 0 1) cos2 x + 3sin x = 2

2) sin x – cos3 x = 0 2) cos x – sin3 x = 0

3) 2sin²x-5sinxcosx+3cos²x=0 3) 4sin²x+sinxcosx-3cos²x=0

Домашнее задание: подготовка к контрольной работе (§3 п.8-11) (3мин)

Домашняя контрольная работа:

1.Решите уравнения: 1.Решите уравнения:

а) sin 2 x +1=0 а) cos 2 x -1/2=0

б ) sin2x+2cos²x=0 б )2sinxcosx=cosx

2. Решите неравенства: 2. Решите неравенства:

a ) cosx ≤-1/2 a ) sinx ≤√3/2

б) sinx ≥-√3/2 б) Cosx ≥-1/2

3.Решите уравнения: 3.Решите уравнения:

a ) 7 sin ² x =8 sinxcosx — cos ² xa ) 2 cos ²2 x -1= sin 4 x

б )sin4x-sin7x=0 б ) 2sinx+cosx=0

Подведение итогов урока (4 мин).

Учитель: Итак, ребята, сегодня на уроке мы с вами закрепили навыки решения тригонометрических уравнений, повторили методы их решения. А также узнали историю развития тригонометрии. Все вы молодцы, очень хорошо справились с заданиями.

Учитель аргументировано выставляет каждому ученику оценку.

Учитель: На этом урок закончен. До свидания!