Контрольная работа дифференциальные уравнения 2 го порядка

Контрольная работа № 5 Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Контрольная работа № 5

Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

1.1. Однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

2. Найти частное решение

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

Найдем

С учетом начальных условий получим систему:

Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

Найдем

С учетом начальных условий получим систему:

Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:

5. Найти частное решение

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

Найдем

С учетом начальных условий получим систему:

Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

Найдем

С учетом начальных условий получим систему:

Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:

7. Найти частное решение

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

Найдем

С учетом начальных условий получим систему:

Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

Найдем

С учетом начальных условий получим систему:

Тогда частное решение исходного уравнения примет вид:

1.2. Неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами.

2. Найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям.

Искомое решение имеет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

выберем в виде:

И подставляем в левую часть уравнения:

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:

Найдем :

И подставим в начальные условия:

Тогда частное решение окончательно примет вид:

Искомое решение имеет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

выберем в виде:

И подставляем в левую часть уравнения:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:

Найдем :

И подставим в начальные условия:

Тогда частное решение окончательно примет вид:

5. Найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям.

Искомое решение имеет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

выберем в виде:

И подставляем в левую часть уравнения:

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:

Найдем :

И подставим в начальные условия:

Тогда частное решение окончательно примет вид:

Искомое решение имеет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

выберем в виде:

И подставляем в левую часть уравнения:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:

Найдем :

И подставим в начальные условия:

Тогда частное решение окончательно примет вид:

7. Найти частные решения, удовлетворяющие начальным условиям.

Искомое решение имеет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

выберем в виде:

И подставляем в левую часть уравнения:

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:

Найдем :

И подставим в начальные условия:

Тогда частное решение окончательно примет вид:

Искомое решение имеет вид:

Составим характеристическое уравнение:

Его корни равны:

Следовательно, общее решение имеет вид:

выберем в виде:

И подставляем в левую часть уравнения:

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях:

Следовательно, общее решение неоднородного уравнения:

Найдем :

И подставим в начальные условия:

Тогда частное решение окончательно примет вид:

Контрольная работа № 6

Ряды, их применение.

Раздел 1. Числовые ряды.

2. Выписать три первых члена и исследовать сходимость числовых рядов:

Используем признак Даламбера:

Т. к. предел меньше единицы, то ряд сходится.

Применим интегральный признак Коши:

Т. к. интеграл существует, то ряд сходится.

5. Выписать три первых члена и исследовать сходимость числовых рядов:

Используем признак Даламбера:

Т. к. предел меньше единицы, то ряд сходится.

Применим интегральный признак Коши:

Т. к. интеграл не существует, то ряд расходится.

7. Выписать три первых члена и исследовать сходимость числовых рядов:

Используем признак Даламбера:

Т. к. предел меньше единицы, то ряд сходится.

Применим интегральный признак Коши:

Т. к. интеграл существует, то ряд сходится.

Раздел 2. Степенные ряды.

2. Найти область сходимости и проверить сходимость на границах интервала:

Значит область сходимости

Проверим сходимость на правой границе интервала:

Значит, границы включаются в область сходимости

Значит область сходимости

Проверим сходимость на правой границе интервала:

Значит, границы включаются в область сходимости

5. Найти область сходимости и проверить сходимость на границах интервала:

Значит область сходимости

Проверим сходимость на правой границе интервала:

Значит, границы включаются в область сходимости

Значит область сходимости

Проверим сходимость на правой границе интервала:

Значит, границы включаются в область сходимости

7. Найти область сходимости и проверить сходимость на границах интервала:

Значит область сходимости

Проверим сходимость на правой границе интервала:

Значит, границы включаются в область сходимости

Значит область сходимости

Проверим сходимость на правой границе интервала:

Значит, границы включаются в область сходимости

Раздел 3. Приложение степенных рядов.

3.1. Приближенное вычисление определенных интегралов.

2. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001

5. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001

7. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001

3.2. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.

2. Найти три первых значащих члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием:

Решение ищем в виде:

Необходимо найти 3 члена ряда отличных от нуля.

Из начального условия следует

Подставляем начальное условие в правую часть исходного уравнения:

Продифференцируем решение в виде ряда:

И так как

Продифференцируем левую и правую часть исходного уравнения:

С другой стороны,

Сравнивая значения

Таким образом, искомое решение в виде ряда имеет вид:

5. Найти три первых значащих члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием:

Решение ищем в виде:

Необходимо найти 3 члена ряда отличных от нуля.

Из начального условия следует

Подставляем начальное условие в правую часть исходного уравнения:

Продифференцируем решение в виде ряда:

И так как

Продифференцируем левую и правую часть исходного уравнения:

С другой стороны,

Сравнивая значения

7. Найти три первых значащих члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданным начальным условием:

Решение ищем в виде:

Необходимо найти 3 члена ряда отличных от нуля.

Из начального условия следует

Подставляем начальное условие в правую часть исходного уравнения:

Продифференцируем решение в виде ряда:

И так как

Продифференцируем левую и правую часть исходного уравнения:

С другой стороны,

Сравнивая значения

Таким образом, искомое решение в виде ряда имеет вид:

Контрольная работа по теме «Дифференциальные уравнения второго порядка»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Задача 10. Найти общее решение уравнения .

Уравнение не содержащее явно искомой функции.

Обозначим , где – новая неизвестная функция.

Разделяем переменные и интегрируем:

– общее решение дифференциального уравнения.

Ответ. – общее решение дифференциального уравнения

Задача 11. Найти решение задачи Коши , .

Уравнение не содержащее явно независимую переменную х .

Обозначим , где – новая неизвестная функция.

Подставим в полученное решение условия задачи Коши.

Подставим в полученное решение условия задачи Коши.

— частное решение дифференциального уравнения.

Ответ. — частное решение дифференциального уравнения

Задача 12. Найти частное решение линейного неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов, используя замену .

Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения:

Правая часть исходного уравнения имеет вид: , где и многочлен третьей степени ( m =3 ).

Проверим, является ли корнем характеристического уравнения:

Следовательно, частное решение линейного неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов будет иметь вид:

Подставим полученные данные в уравнение:

Частное решение имеет вид:

Ответ. — частное решение дифференциального уравнения

Задача 13. Найти частное решение линейного неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов, используя замену .

Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения:

Правая часть исходного уравнения имеет вид: , где и _, многочлен первой степени ( m =1 ).

Проверим, является ли корнем характеристического уравнения:

Проверим, является ли корнем характеристического уравнения:

Таким образом, является корнем характеристического уравнения первой степени.

Следовательно, частное решение линейного неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов будет иметь вид:

Подставим полученные данные в уравнение:

Частное решение имеет вид:

Ответ. — частное решение дифференциального уравнения

Задача 14. Найти общее решение линейного неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов, используя принцип суперпозиции.

Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения:

_{Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид:}

Правая часть исходного уравнения имеет вид: , где ,

В первой функции является корнем характеристического уравнения кратности 1, поэтому соответствующее частное решение имеет вид:

Во второй функции . Число не является корнем характеристического уравнения 1, поэтому соответствующее частное решение имеет вид:

Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид:

Подставим полученные данные в уравнение:

Частное решение имеет вид: .

Общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид:

Ответ. — общее решение линейного неоднородного уравнения

Задача 15. Найти общее решение линейного уравнения методом вариации произвольных постоянных.

Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения:

Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид:

Варьируем константы , заменяя их неизвестными функциями . То есть, общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

Далее необходимо решить систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид:

Ответ. — общее решение линейного неоднородного уравнения

Задача 16. Найти общее решение линейного уравнения c переменными коэффициентами, если известно одно частное решение линейного однородного уравнения.

Соответствующее однородное уравнение имеет вид:

Подстановка в уравнение дает

Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид:

Варьируем константы , заменяя их неизвестными функциями . То есть, общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

Далее необходимо решить систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид:

Ответ. — общее решение линейного неоднородного уравнения

Задача 17. Найти общее решение уравнения Эйлера.

Сначала находим общее решение однородного уравнения Эйлера

Ищем решение уравнения в форме степенной функции , , .

Подстановка в уравнение дает

Как видно, корни характеристического уравнения мнимые. Поэтому общее решение однородного уравнения записывается в виде

Теперь определим частное решение неоднородного уравнения

Принимая во внимание структуру правой части, будем искать частное решение в виде

Подставим в уравнение :

Итак, частное решение неоднородного уравнения определяется выражением

Теперь можно записать общее решение исходного неоднородного уравнения:

Возвращаясь обратно к переменной x, получаем

Общее решение уравнения Эйлера имеет вид:

Ответ. — общее решение уравнения Эйлера

Задача 18. Найти решение краевой задачи.

Сначала находим общее решение однородного уравнения

Как видно, корни характеристического уравнения мнимые. Поэтому общее решение однородного уравнения записывается в виде

Варьируем константы , заменяя их неизвестными функциями . То есть, общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

Далее необходимо решить систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Решим систему методом Крамера

Общее решение уравнения имеет вид:

Найдем решение, удовлетворяющее начальным условиям

Частное решение уравнения имеет вид:

Ответ. — решение краевой задачи

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 949 человек из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 681 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 314 человек из 70 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 566 603 материала в базе

Другие материалы

• 29.05.2017
• 354
• 3

• 29.05.2017
• 1434
• 3

• 29.05.2017
• 2209
• 36

• 29.05.2017
• 1798
• 8

• 29.05.2017
• 821
• 3

• 29.05.2017
• 1835
• 0

• 29.05.2017
• 1766
• 7

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 29.05.2017 1545
• DOCX 307.2 кбайт
• 24 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Габидинова Гульчачак Магсумовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 6 лет и 5 месяцев
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 15757
• Всего материалов: 15

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Объявлен конкурс дизайн-проектов для школьных пространств

Время чтения: 2 минуты

Количество бюджетных мест в вузах по IT-программам вырастет до 160 тыс.

Время чтения: 2 минуты

В Воронеже продлили удаленное обучение для учеников 5-11-х классов

Время чтения: 1 минута

В России могут объявить Десятилетие науки и технологий

Время чтения: 1 минута

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Контрольная работа: Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа

по высшей математике

Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа

Студентка II курса

I. у″ — 4y′ + 4y = соs4х

у = U + у(_) — общ. реш. н. д. у.

U = C₁ e 2 x + С₂ е 2х ∙ х

2) у(_) =? у(_)= Acos4x + Bsin4xy(_)′ = — 4Asin4x + 4Bcos4x

y″ = — 16Acos4x — 16Bsin4x

16Acos4x — 16Bsin4x + 16Asin4x + 16Bcos4x + 4Acos4x +4Bsin4x =

= cos4x + 0 ∙ sin4x

12Acos4x — 12Bsin4x + 16Asin4x + 16Bcos4x = cos4x + 0 ∙ sin4x

12A + 16A = 016B — 12B = 0

y(_) = 4cos4x + 4sin4x

y = C₁ e 2x + C₂ e 2x · x + 4cos4x + 4sin4x — общее решение н. д. у.

Найдем частное решение при условии:

у′ = 2С₁ e 2 x + 2C₂ e 2 x · x- 16sin4x + 16cos4x

у = — 10е 2х + 13е 2х · x + 4cos4x + 4sin4x- частное решение при заданных условиях

II. у″ — 4y′ + 4y = 5х 2 + 3х + 1

у = U + у(_) — общее решение н. д. у.

U = C₁ e 2 x + С₂ е 2х ∙ х

2) у(_) =? у(_) = Ах 2 + Вх + Сy(_)′ = 2Ах + В

2А — 8В + 4В + 4Ах + 4Вх + 4С = 5х 2 + 3х + 1

4А = 5А = 5/4 В = 3 С = 1/4

у(_) = 5/4х 2 + 3 + 1/4

у = C₁ e 2 x + С₂ е 2х ∙ х + 5/4х 2 + 3 + 1/4 — общее решение н. д. у.

Найдем частное решение при условии:

у′ = 2С₁ e 2 x + 2C₂ e 2 x + 5/2х — 1/8

у = — 2e 2 x + 9/4е 2х ∙ х + 5/4х 2 + 3 + 1/4 — частное решение при заданных условиях.

III. у″ — 4у′ + 4у = 2е 5х

у = U + у(_) — общее решение н. д. у.

U = C₁ e 2 x + С₂ е 2х ∙ х

2) у(_) =? у(_) = Ае 5х y(_)′ = 5А 5х

25Ае 5х — 20Ае 5х + 4А 5х = 2е 5х

А = 2/9 у(_) = 2/9е 5х

у = C₁ e 2 x + С₂ е 2х ∙ х + 2/9е 5х — общее решение н. д. у.

Найдем частное решение при условии:

у′ = 2C₁ e 2 x + 2С₂ е 2х ∙ х + 10/9е 5х

у = 4/9e 2 x + 1/3е 2х ∙ х + 2/9е 5х — частное решение при заданных условиях.

Комплексные числа

Ö — 1 = i- мнимое число

(Ö — 1) 2 = i 2 i 2 = — 1

i 3 = i 2 ∙ i = — 1 ∙ i= — i

i 4 = i 2 ∙ i 2 = ( — 1) ∙ ( — 1) = 1

а + вi — комплексные числа, где: а, в — действительные числа или а, в є R

Геометрический смысл комплексного числа:

в

. (а; в)

ρ в ρ = Ö а 2 + в 2 = çа + вiú

) d а

аргумент комплексного числа

(находится с учетом четверти)

tg

нет

0 0

cosd = a / ρ a = ρcosd

sind = в / ρ в = ρsind

а + вi = ρcosd + i ρsind

а + вi = ρ (cosd + i sind) –

комплексное число в тригонометрической форме

Действия с комплексными числами:

Формула Эйлера: Комплексное число в показательной форме:

е i у = cosу + isinу z = ρе i φ

Примеры по возведению комплексного числа в степень в тригонометрической и показательной формах:

1) ( 7 + 3i) (3 + 7i) = 21 + 21i 2 + 9i + 49i = 58i

(7 + 3i) = Ö 58 (cosarctg 3/ 7 + isinarctg 3/ 7) = е ln Ö 58 × е arctg 3/7 = е ln Ö 58 + i arctg 3/7

(3 + 7i) = Ö 58 (cosarctg 7/ 3 + isinarctg 7/ 3) = е ln Ö 58 × е arctg 7/ 3 = е ln Ö 58 + i arctg 7/ 3

Ö 58 (cosarctg 3/ 7 + isinarctg 3/ 7) Ö 58 (cosarctg 7/ 3 + isinarctg 7/ 3) =

= 58 (cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) + i (sin (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3))) =

= е ln 58 × е i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = е ln 58 + i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)

При решении примера использовали формулу:

е ln 58 + i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = е ln 58 × е i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) =58 (cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) + i (sin (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)

cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = cos (arctg 3/ 7) cos (arctg 7/ 3) —

sin (arctg 3/ 7) sin (arctg 7/ 3)

cos (arctg 3/ 7) = 1/ (Ö 1 + tg 2 (arctg 3/ 7)) = 1/ Ö 1 + (9/49) = 7/Ö 58

cos (arctg 7/ 3) = 3/Ö 58

sin (arctg 3/ 7) = Ö 1 — cos 2 arctg 3/ 7 = Ö 1 — (7/Ö 58) 2 = Ö 9/ 58 = 3/Ö 58 sin (arctg 7/3) = Ö 1 — cos 2 arctg 7/ 3 = 7/Ö 58

cos (arctg 3/ 7 — arctg 7/ 3) = 7/Ö 58 × 3/Ö 58 — 3/Ö 58 × 7/Ö 58 = 0

sin (arctg 3/ 7 — arctg 7/ 3) = 3/Ö 58× 3/Ö 58 × 3/Ö 58× 3/Ö 58 = 0

Возведение в степень:

(7 + 3i) (3 + 7i) = Ö 58 (cosarctg 3/7 + isinarctg 3/7) = е ln Ö 58 + i arctg 3/7

(7 + 3i) 2 = 49 + 42i + 9i 2 = 40 + 42i

(Ö 58 (cosarctg 3/7 + isinarctg 3/7)) 2 = 58 (cos2arctg 3/7 + isin2arctg 3/7) =

= е ln Ö 58 + i arctg 3/7

е ln Ö 58 + i arctg 3/7 = 58 (cos2arctg 3/7 + isin2arctg 3/7)

cos2arctg 3/ 7 = 2cos 2 arctg 3/7 — 1 = 2 × (7/Ö 58) 2 — 1 = 40/58

sin2arctg 3/ 7 = 2sin 2 arctg 3/ 7 cosarctg 3/ 7 = 2 ∙ (3/Ö 58) ∙ (7/Ö 58) = 42/58

58 (40/58 + 42/58 ×i) = 40 + 42i

При решении примера применяли следующие формулы:

(ρ (cosd + i sind)) п = ρ п (cosпd + i sinпd) п є N

е х + iу = е х (cosу + isinу)

2) ( 3 + 4i) (4 + 3i) = 12 + 12i 2 + 16i + 9i = 25i

(3 + 4i) = 5 (cosarctg 4/ 3 + isinarctg 4/ 3) = е ln 5 × е arctg 4/ 3 = е ln 5 + i arctg 4/ 3

(4 + 3i) = 5 (cosarctg 3/ 4 + isinarctg 3/ 4) = е ln 5 × е arctg 3/ 4 = е ln 5 + i arctg 3/ 4

5 (cosarctg 4/ 3 + isinarctg 4/ 3) 5 (cosarctg 3/ 4 + isinarctg 3/ 4) =

= 25 (cos (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) + i (sin (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4))) =

= е ln 25 × е i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) = е ln 25 + i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)

При решении примера использовали формулу:

е ln 25 + i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) = е ln 25 × е i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) =25 (cos (arctg 4/ 3 +

+ arctg 3/ 4) + i (sin (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)))

cos (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) = cos (arctg 4/ 3) cos (arctg 3/ 4) —

sin (arctg 4/ 3) sin (arctg 3/ 4)

cos (arctg 4/ 3) = 1/ (Ö 1 + tg 2 (arctg 4/ 3)) = 1/ Ö 1 + (16/ 9) = 3/ 5

cos (arctg 3/ 4) = 4/ 5

sin (arctg 4/ 3) = Ö 1 — cos 2 arctg 4/ 3 = Ö 1 — 9/ 5 = 4/5

sin (arctg 3/ 4) = Ö 1 — cos 2 arctg 3/ 4 = 3/ 5

cos (arctg 4/ 3 — arctg 3/ 4) = 3/ 5 ×4/5 — 3/ 5 ×4/5 = 0

sin (arctg 4/ 3 — arctg 3/ 4) = 4/ 5 × 3/5 — 4/ 5 × 3/5 = 0

Извлечение корня третий степени из комплексного числа:

п Öρ (cosd + isind) = п Öρ (cosd + 2Пк / п + isind + 2Пк / п) к є (0; 1;. ; п — 1)

3 Ö 3 +4i = 3 Ö 25 (cosarctg 4/3 + 2Пк/3 +isinarctg 4/3 + 2Пк/3)

z₁ = 6 Ö 25 (cosarctg (4/3) / 3 + isinarctg (4/3) / 3) к = 0

z₂ = 6 Ö 25 (cosarctg (4/3 + 2П) / 3 + isinarctg (4/3 + 2П) / 3) к = 1

z₃ = 6 Ö 25 (cosarctg (4/3 + 4П) / 3 + isinarctg (4/3 + 4П) / 3) к = 2