Контрольная работа «Методы решения систем линейных уравнений»
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.
Контрольная работа №1
Системы линейных уравнений ТЕМА 1. Системы линейных уравнений.
Матрицы и действия с ними.
Определители и их основные свойства.
Методы решения систем линейных уравнений.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учеб. для вузов.-5-е изд., стер. — М.: Физматлит, 2002. – 317 с.
Беклемишев Д. В. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии: — М.: Физматлит, 2003. – 303 с.
Клетеник Д. В. Сборник задач по аналитической геометрии: Учеб. пособие для втузов / ред. Ефимов Н. В. – 17-е изд., стер. – СПб: Профессия, 2001. – 199 с.
Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учеб.для вузов: в 3т.-5-е изд., стер.-М.:Дрофа.- (Высшее образование. Современный учебник). т.1. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.-2003.-284 с.
Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (с решениями): в 2 ч./ Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я -6-е изд..-М.: ОНИКС 21 век, ч.1. -2002.-304 с.
Решение типового варианта контрольной работы.
Задача 1. Вычислить определитель .
Решение. Для вычисления определителя третьего порядка будем использовать известную формулу Саррюса (правило треугольников), которое может быть записано следующей формулой:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Решим систему матричным способом, для этого вычислим обратную матрицу , где — алгебраические дополнения к элементам матрицы.
— матрица невырожденная.
Решим систему методом Крамера. Главный определитель системы:
. Разложим определитель по элементам первой строки, пользуясь формулой .
Запишем и вычислим вспомогательные определители
Тогда
Ответ:
Решим систему методом Гаусса, для этого составим расширенную матрицу системы и упростим ее приведением к треугольному виду.
Таким образом, система равносильна системе
Находим
Ответ: , ,
При решении всеми методами одной и той же системы, мы получим один ответ.
Задача 3. Выполнить действия:
Решение. Выполним решение по действиям.
=
.
.
Ответ: .
Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.
Если , , то произведением матрицы называется матрица , такая, что , где .
Пример:
Произведение не определено, так как число столбцов матрицы А (3) не совпадает с числом строк матрицы В (2).
Произведение определено.
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера.
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера
Задача 3. Выполнить действия:
Контрольная работа №1.
Задача 1. Вычислить определитель:
Задача 2. Решить систему методом Гаусса, матричным способом и используя правило Крамера
Контрольная работа на тему: системы линейных уравнений
Системы линейных уравнений
Задание: Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.
Цель: формирование умения решать системы линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
5.1. Изучите теоретические основы решения системы линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.
5.2. Решите систему уравнений, используя правило Крамера:
5.3. Решите систему линейных уравнений по методу Гаусса:
5.4. Фирма для перевозки грузов может заказывать машины трех видов. Если она закажет по одной машине каждого вида, то перевезёт 12 тонн груза. Если закажет по две машины первого и второго вида и одну машину третьего вида, то перевезёт 19 тонн груза. Если же фирма закажет по две машины первого и третьего вида и одну машину второго вида, то перевезёт 20 тонн груза. Какова грузоподъемность каждого вида машин?
Методические указания по выполнению работы:
Для решения систем линейных уравнений применяют правило Крамера и метод Гаусса.
1. Правило Крамера решения системы линейных уравнений с неизвестными.
Система линейных уравнений с неизвестными имеет единственное решение, если определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля:
где — определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов при столбцом свободных членов;
— определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов при столбцом свободных членов;
— определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов при столбцом свободных членов.
Пример 1.
Решите систему уравнений по правилу Крамера:
Решение:
Составим определитель из коэффициентов при неизвестных и вычислим его:
Определитель отличен от 0, следовательно, система имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим , и :
По правилу Крамера найдем неизвестные:
Замечание. Для проверки правильности решения системы уравнений необходимо подставить найденные значения неизвестных в каждое из уравнений данной системы. При этом, если все уравнения обратятся в тождества, то система решена верно.
Истинно.
Итак, решение системы найдено правильно.
Ответ:
2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений
- Составьте расширенную матрицу системы — матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов.
- С помощью элементарных преобразований приведите полученную матрицу к ступенчатому виду.
- Восстановите систему линейных уравнений, равносильную исходной, начиная с последнего уравнения, и найдите значения неизвестных.
Метод Гаусса является более универсальным, чем правило Крамера, так как позволяет находить решения в следующих случаях:
- число уравнений не равно числу неизвестных.
- если в правиле Крамера .
Ответ на вопрос о существовании и количестве решений системы линейных уравнений дает теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных уравнений): система линейных уравнений с неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы (матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных) равен рангу расширенной матрицы , причем:
- если (ранг матрицы равен числу неизвестных), то система имеет единственное решение;
- если (ранг матрицы меньше числа неизвестных), то система имеет бесконечное множество решений.
Все возможные случаи решения системы линейных уравнений (одно решение, нет решений, множество решений) разобраны в примерах 2-4.
Пример 2.
Решите систему уравнений методом Гаусса:
Решение:
Выпишем расширенную матрицу системы и приведем её к ступенчатому виду:
Поменяем местами первую и третью строки матрицы, что равносильно перестановке первого и третьего уравнений системы. Это позволит нам избежать появления дробных коэффициентов
при последующих вычислениях.
Первую строку полученной матрицы умножаем последовательно на (-2) и (-3) и сложим соответственно со второй и третьей строками, при этом будет иметь вид:
Для упрощения вычислений умножим третью строку на (-0,1) и поменяем ее местами со второй строкой. Тогда получим:
Далее, умножая вторую строку матрицы на 9 и складывая с третьей, окончательно получим:
Восстановим из полученной матрицы систему уравнений, равносильную данной, начиная с последнего уравнения:
Из последнего уравнения находим: .
Подставим во второе уравнение системы: .
После подстановки и в первое уравнение получим: ; . Итак, .
Следовательно, решение системы найдено верно.
Ответ: .
Пример 3.
Найдите все решения системы линейных уравнений:
Решение:
Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.
Домножим первую строку на (-2) и сложим ее со второй строкой:
Сложим первую и третью строки:
Домножим вторую строку на 2 и сложим ее с третьей строкой:
Вычеркнем нулевую строку:
Видим, что ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен двум. Следовательно, в силу критерия Кронеккера-Капелли, система имеет решения. Так как ранг матрицы (два) меньше числа неизвестных (три), то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем эти решения.
Восстановим систему уравнений, равносильную исходной:
Пусть — свободная переменная, которая может принимать любые числовые значения. Выразим из первого уравнения : .
Подставим данное выражение во второе уравнение:
Такое решение будем называть общим решением системы. Запишем общее решение системы в виде тройки чисел: .
Ответ: .
Пример 4.
Докажите, что система линейных уравнений не имеет решений:
Решение:
Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.
Домножим первую строку на (-3) и сложим ее со второй строкой:
Домножим первую строку на 2 и сложим ее с третьей строкой:
Сложим вторую и третью строки:
Видим, что ранг основной матрицы (2) не равен рангу расширенной матрицы (3). Следовательно, в силу критерия Кронеккера-Капелли, система не имеет решений.
На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:
Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
контрольная работа№3″Системы линейных уравнений» .
учебно-методический материал по алгебре (7, 9 класс) на тему
Данная работа соответствует УМК под редакцией А.Г.Мордковича.Предназначена для обучающихся 7 класса,но может быть использована в качестве материала для уроков итогового повторения, как в 7 классе, так и в 9.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
kontrolnaya_rabota_no3.docx | 13.04 КБ |
Предварительный просмотр:
Контрольная работа по теме: «Системы линейных уравнений».
Вариант I
1. Решите систему уравнений графическим методом.
< 3 x + y =7,4 x −2 y =6.
2. Решите данную систему уравнений методом подстановки.
< x − y =−3,3 x −3 y =9.
3. Решите эти системы уравнений методом алгебраического сложения.
а) < 2 x − y =7, x =3+ y .
б) < x =2 y +1,2 x +4 y =18.
4. Решите задачу, используя три этапа математического моделирования.
Петя собирает пятирублёвые и рублёвые монеты. Всего у него 200 монет. Сколько у него пятирублёвых и рублёвых монет, если сумма всех монет составляет 800 рублей?
1. Решите систему уравнений графическим методом.
< 3 x + y =18,4 x −2 y =4.
2. Решите данную систему уравнений методом подстановки.
< x − y =−2, x + y =6.
3. Решите эти системы уравнений методом алгебраического сложения.
а) < x =3− y ,2 x − y =0.
б) < y + x =3, y −0,5 x =−3.
4. Решите задачу, используя три этапа математического моделирования.
Задан прямоугольник. Одна сторона, которого больше другой на 2 см. Если меньшую сторону прямоугольника увеличить в 2 раза, а большую сторону увеличить на 3 см, то периметр нового прямоугольника будет равен 28 см. Чему равны стороны нового прямоугольника?
1. Решите систему уравнений графическим методом.
< 2 x + y =10,3 x −2 y =15.
2. Решите данную систему уравнений методом подстановки.
< x − y =0, x −2 y =−3.
3. Решите эти системы уравнений методом алгебраического сложения.
а) < x =5− y ,4 x − y =5.
б) < x −2 y =−10,4 x − y =2.
4. Решите задачу, используя три этапа математического моделирования.
Задан прямоугольник. Одна сторона, которого больше другой на 2 см. Если большую сторону прямоугольника увеличить на 4 см, то периметр нового прямоугольника будет равен 48 см. Чему равны стороны нового прямоугольника?
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Двумерные массивы (прямоугольные таблицы). Информационная модель решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными методом Крамера.
На уроке мы изучаем метод Крамера для решения системы линейных уравнений, основанный на вычислении определителя прямоугольной матрицы, и составляем информационную модель вычисления корней с испо.
Линейные уравнения и системы линейных уравнений с параметрами
Методическая разработка на тему: «Линейные уравнения и системы линейных уравнений с параметрами».
Линейные уравнения, неравенства и системы линейных уравнений с параметром.
Методическая работа «Решение системы линейных уравнений методом Гаусса»
Контрольная работа №9 по алгебре для 7 класса по теме «Системы линейных уравнений»
Контрольная работа представлена в 6-ти вариантах в готовом виде для печати (раздаточный материал).
Контрольная работа №7 «Системы линейных уравнений»
Контрольная работа №7«Системы линейных уравнений».
7 класс. Контрольная работа № 7 по алгебре по теме «Системы линейных уравнений»
Данная контрольная работа по алгебре на тему «Системы уравнений» для учащихся 7 класса общеобразовательной школы, составлена по дидактическим материалам «Алгебра 7» авторов Ю.М.Кол.
http://lfirmal.com/kontrolnaya-rabota-na-temu-sistemyi-linejnyih-uravnenij/
http://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2017/01/22/kontrolnaya-rabotano3sistemy-lineynyh-uravneniy