Контрольные работы по системам уравнений алгебраических

Контрольная работа на тему: системы линейных уравнений

Системы линейных уравнений

Задание: Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.

Цель: формирование умения решать системы линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

5.1. Изучите теоретические основы решения системы линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.

5.2. Решите систему уравнений, используя правило Крамера:

5.3. Решите систему линейных уравнений по методу Гаусса:

5.4. Фирма для перевозки грузов может заказывать машины трех видов. Если она закажет по одной машине каждого вида, то перевезёт 12 тонн груза. Если закажет по две машины первого и второго вида и одну машину третьего вида, то перевезёт 19 тонн груза. Если же фирма закажет по две машины первого и третьего вида и одну машину второго вида, то перевезёт 20 тонн груза. Какова грузоподъемность каждого вида машин?

Методические указания по выполнению работы:

Для решения систем линейных уравнений применяют правило Крамера и метод Гаусса.

1. Правило Крамера решения системы линейных уравнений с неизвестными.

Система линейных уравнений с неизвестными имеет единственное решение, если определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных, отличен от нуля:

где — определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов при столбцом свободных членов;

— определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов при столбцом свободных членов;

— определитель, полученный из определителя заменой столбца коэффициентов при столбцом свободных членов.

Пример 1.

Решите систему уравнений по правилу Крамера:

Решение:

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных и вычислим его:

Определитель отличен от 0, следовательно, система имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим , и :

По правилу Крамера найдем неизвестные:

Замечание. Для проверки правильности решения системы уравнений необходимо подставить найденные значения неизвестных в каждое из уравнений данной системы. При этом, если все уравнения обратятся в тождества, то система решена верно.

Истинно.

Итак, решение системы найдено правильно.

Ответ:

2. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

1. Составьте расширенную матрицу системы — матрицу, состоящую из коэффициентов при неизвестных и столбца свободных членов.
2. С помощью элементарных преобразований приведите полученную матрицу к ступенчатому виду.
3. Восстановите систему линейных уравнений, равносильную исходной, начиная с последнего уравнения, и найдите значения неизвестных.

Метод Гаусса является более универсальным, чем правило Крамера, так как позволяет находить решения в следующих случаях:

1. число уравнений не равно числу неизвестных.
2. если в правиле Крамера .

Ответ на вопрос о существовании и количестве решений системы линейных уравнений дает теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных уравнений): система линейных уравнений с неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы (матрицы, составленной из коэффициентов при неизвестных) равен рангу расширенной матрицы , причем:

1. если (ранг матрицы равен числу неизвестных), то система имеет единственное решение;
2. если (ранг матрицы меньше числа неизвестных), то система имеет бесконечное множество решений.

Все возможные случаи решения системы линейных уравнений (одно решение, нет решений, множество решений) разобраны в примерах 2-4.

Пример 2.

Решите систему уравнений методом Гаусса:

Решение:

Выпишем расширенную матрицу системы и приведем её к ступенчатому виду:

Поменяем местами первую и третью строки матрицы, что равносильно перестановке первого и третьего уравнений системы. Это позволит нам избежать появления дробных коэффициентов
при последующих вычислениях.

Первую строку полученной матрицы умножаем последовательно на (-2) и (-3) и сложим соответственно со второй и третьей строками, при этом будет иметь вид:

Для упрощения вычислений умножим третью строку на (-0,1) и поменяем ее местами со второй строкой. Тогда получим:

Далее, умножая вторую строку матрицы на 9 и складывая с третьей, окончательно получим:

Восстановим из полученной матрицы систему уравнений, равносильную данной, начиная с последнего уравнения:

Из последнего уравнения находим: .

Подставим во второе уравнение системы: .

После подстановки и в первое уравнение получим: ; . Итак, .

Следовательно, решение системы найдено верно.

Ответ: .

Пример 3.

Найдите все решения системы линейных уравнений:

Решение:

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.

Домножим первую строку на (-2) и сложим ее со второй строкой:

Сложим первую и третью строки:

Домножим вторую строку на 2 и сложим ее с третьей строкой:

Вычеркнем нулевую строку:

Видим, что ранг основной матрицы равен рангу расширенной матрицы и равен двум. Следовательно, в силу критерия Кронеккера-Капелли, система имеет решения. Так как ранг матрицы (два) меньше числа неизвестных (три), то система имеет бесчисленное множество решений. Найдем эти решения.

Восстановим систему уравнений, равносильную исходной:

Пусть — свободная переменная, которая может принимать любые числовые значения. Выразим из первого уравнения : .

Подставим данное выражение во второе уравнение:

Такое решение будем называть общим решением системы. Запишем общее решение системы в виде тройки чисел: .

Ответ: .

Пример 4.

Докажите, что система линейных уравнений не имеет решений:

Решение:

Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду.

Домножим первую строку на (-3) и сложим ее со второй строкой:

Домножим первую строку на 2 и сложим ее с третьей строкой:

Сложим вторую и третью строки:

Видим, что ранг основной матрицы (2) не равен рангу расширенной матрицы (3). Следовательно, в силу критерия Кронеккера-Капелли, система не имеет решений.

На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:

Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Контрольная работа «Алгебраические уравнения. Системы Алгебраических уравнений» для учащихся 9 класса

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Контрольная работа 9 класс

«Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений»

1. Решить уравнение:

2. Решить уравнение:

3. Решить систему: .

4. Площадь прямоугольного треугольника равна 15 см², а сумма его катетов равна 11 см. Чему равны катеты?

Контрольная работа 9 класс

«Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений»

1. Решить уравнение:

2. Решить уравнение:

3. Решить систему: .

4. Периметр прямоугольника равен 24 см, а его площадь равна 35 см². Найдите стороны прямоугольника.

Контрольная работа 9 класс

«Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений»

1. Решить уравнение:

2. Решить уравнение:

3. Решить систему: .

4. Площадь прямоугольного треугольника равна 15 см², а сумма его катетов равна 11 см. Чему равны катеты?

Контрольная работа 9 класс

«Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений»

1. Решить уравнение:

2. Решить уравнение:

3. Решить систему: .

4. Периметр прямоугольника равен 24 см, а его площадь равна 35 см². Найдите стороны прямоугольника.

Контрольная работа 9 класс

«Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений»

1. Решить уравнение:

2. Решить уравнение:

3. Решить систему: .

4. Площадь прямоугольного треугольника равна 15 см², а сумма его катетов равна 11 см. Чему равны катеты?

Контрольная работа 9 класс

«Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений»

1. Решить уравнение:

2. Решить уравнение:

3. Решить систему: .

4. Периметр прямоугольника равен 24 см, а его площадь равна 35 см². Найдите стороны прямоугольника.

Контрольная работа 9 класс

«Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений»

1. Решить уравнение:

2. Решить уравнение:

3. Решить систему: .

4. Площадь прямоугольного треугольника равна 15 см², а сумма его катетов равна 11 см. Чему равны катеты?

Контрольная работа 9 класс

«Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений»

1. Решить уравнение:

2. Решить уравнение:

3. Решить систему: .

4. Периметр прямоугольника равен 24 см, а его площадь равна 35 см². Найдите стороны прямоугольника.

Входная контрольная работа 9 класс

1. Упростить выражение .

2. Решите уравнение

3. Решить неравенство .

4. Решить систему неравенств

5. Постройте параболу, заданную формулой и определите координаты точек пересечения этой параболы с осями координат.

Входная контрольная работа 9 класс

1. Упростить выражение

2. Решите уравнение

3. Решить неравенство .

4. Решить систему неравенств

5. Постройте параболу, заданную формулой и определите координаты точек пересечения этой параболы с осями координат.

Входная контрольная работа 9 класс

3 вариант

1. Упростить выражение .

2. Решите уравнение

3. Решить неравенство .

4. Решить систему неравенств

5. Постройте параболу и определите координаты точек пересечения этой параболы с осями координат.

Входная контрольная работа 9 класс

4 вариант

1. Упростить выражение

2. Решите уравнение

3. Решить неравенство .

4. Решить систему неравенств

5. Постройте параболу и определите координаты точек пересечения этой параболы с осями координат.

Входная контрольная работа 9 класс

3 вариант

1. Упростить выражение .

2. Решите уравнение

3. Решить неравенство .

4. Решить систему неравенств

5. Постройте параболу и определите координаты точек пересечения этой параболы с осями координат.

Входная контрольная работа 9 класс

4 вариант

1. Упростить выражение

2. Решите уравнение

3. Решить неравенство .

4. Решить систему неравенств

5. Постройте параболу и определите координаты точек пересечения этой параболы с осями координат.

Входная контрольная работа 9 класс

3 вариант

1. Упростить выражение .

2. Решите уравнение

3. Решить неравенство .

4. Решить систему неравенств

5. Постройте параболу и определите координаты точек пересечения этой параболы с осями координат.

Входная контрольная работа 9 класс

4 вариант

1. Упростить выражение

2. Решите уравнение

3. Решить неравенство .

4. Решить систему неравенств

5. Постройте параболу и определите координаты точек пересечения этой параболы с осями координат.

1. Упростить выражение .

2. Решите уравнение

3. Решить неравенство .

4. Решить систему неравенств

1. Упростить выражение .

2. Решите уравнение

3. Решить неравенство .

4. Решить систему неравенств

1. Упростить выражение .

2. Решите уравнение

3. Решить неравенство .

4. Решить систему неравенств

1. Упростить выражение .

2. Решите уравнение

3. Решить неравенство .

4. Решить систему неравенств

1. Упростить выражение .

2. Решите уравнение

3. Решить неравенство .

4. Решить систему неравенств

1. Упростить выражение .

2. Решите уравнение

3. Решить неравенство .

4. Решить систему неравенств

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 924 человека из 80 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 686 человек из 75 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 309 человек из 69 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Дистанционные курсы для педагогов

«Взбодрись! Нейрогимнастика для успешной учёбы и комфортной жизни»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 579 548 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Алимов Ш.А.

Глава 1. Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Другие материалы

• 02.12.2015
• 852
• 0

• 02.12.2015
• 2476
• 11

• 02.12.2015
• 1119
• 0

• 02.12.2015
• 645
• 0

• 02.12.2015
• 802
• 1

• 02.12.2015
• 812
• 0

• 02.12.2015
• 724
• 0

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

• 02.12.2015 7583
• DOCX 618 кбайт
• 34 скачивания
• Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Коновалова Татьяна Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

• На сайте: 7 лет и 3 месяца
• Подписчики: 0
• Всего просмотров: 480676
• Всего материалов: 63

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Тринадцатилетняя школьница из Индии разработала приложение против буллинга

Время чтения: 1 минута

В Ростовской и Воронежской областях организуют обучение эвакуированных из Донбасса детей

Время чтения: 1 минута

Университет им. Герцена и РАО создадут портрет современного школьника

Время чтения: 2 минуты

ЕГЭ в 2022 году будут сдавать почти 737 тыс. человек

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор не планирует переносить досрочный период ЕГЭ

Время чтения: 0 минут

Минпросвещения упростит процедуру подачи документов в детский сад

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Контрольная работа №1 по теме «Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений»

Контрольная работа №1 по теме «Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений»

1.Выполнить деление многочленов (6х3+19х2+19х+6):(3х+2).

2.Решить уравнение 2х3+3х2-8х+3=0.

3.Решить систему уравнений

1)

2) .

4.Две автомашины, выехавшие одновременно из городов А и В навстречу друг другу каждая со своей скоростью, встретились через 6 ч. Первой машине, чтобы пройти пути от А до В, требуется на 2 ч больше, чем второй для того. Чтобы пройти пути от В до А. За сколько часов проходит расстояние между А и В каждая машина?

1.Выполнить деление многочленов (6х3-х2-20х+12):(2х-3).

2.Решить уравнение 3х3-4х2-5х+2=0.

3.Решить систему уравнений

1)

2) .

4.Двое рабочих, работая одновременно, выполнили работу за 5 дней. Если бы первый рабочий работал в 2 раза быстрее, а второй — в 2 раза медленнее, то всю работу они выполнили бы за 4 дня. За сколько дней выполнил бы всю работу каждый рабочий, работая отдельно?

Контрольная работа №2 по теме «Степень с рациональным показателем»

.

1); 2).

1) и ; 2) и .

.

5.Решить уравнение .

.

1); 2).

1) и ; 2) и .

.

5.Решить уравнение .

Контрольная работа №3 по теме «Степенная функция»

1.Найти область определения функции:

1); 2).

2.Построить график функции и найти:

2) значение х, при котором значение функции равно 8;

3) промежутки, на которых у(х)>0;

4) промежутки возрастания, убывания.

3.Выяснить, проходит ли график функции у=х4-1 через точку М(-2;-17)?

4.С помощью графиков выяснить, сколько корней имеет уравнение ?

5.Решить уравнение

1.Найти область определения функции:

1); 2).

2.Построить график функции и найти:

2) значение х, при котором значение функции равно -12;

3) промежутки. На которых у(х) 0 Найти расстояние между точками А и В, если А(9;-2), В(-3;4). Записать уравнение окружности с центром в точке М, радиусом r, если

Найти координаты точки С – середины отрезка АВ, если А(4;-6), В (8;-4). Записать уравнение прямой, проходящей через точки А и В, если А(-8;-10), В (7;-2). На координатной плоскости изобразить фигуру, заданную системой уравнений

На координатной плоскости изобразить множество точек, удовлетворяющих данной системе неравенств

1) Упростите выражение:

2) Решите систему уравнений:

3) Найдите область допустимых значений функции:

4) Постройте график функции . Укажите, при каких значениях х функция принимает положительные значения и при каких – отрицательные.

5) Найдите сумму пятидесяти первых четных натуральных чисел.

6) Найдите сумму одиннадцати первых членов арифметической прогрессии, если а1 = – 3 , а2 = 8.

7) Бригада должна была изготовить 40 деталей к определенному сроку. Изготовляя в час на 8 деталей больше запланированного, бригада уже за 2 часа до срока перевыполнила план на 8 деталей. Сколько деталей в час должна была изготовлять бригада по плану?.

1) Упростите выражение:

2) Решите систему уравнений:

3) Найдите область допустимых значений функции:

4) Постройте график функции . Укажите, при каких значениях х функция принимает положительные значения и при каких – отрицательные.

5) Найдите сумму всех нечетных чисел от 1 до 100.

6) Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии, если в6 = 200 , q = 10.

7) Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 45 км, выехал велосипедист. Через 30 минут вслед за ним выехал второй велосипедист, который прибыл в пункт В на 15 минут раньше первого. Какова скорость первого велосипедиста, если она на 3 км/ч меньше скорости второго?

Контрольная работа по алгебре в 9 классе за 1 полугодие

1. Вычислите: а) (0, 175)0 + (0,36)-2 —;б) .

2. Решите алгебраическое уравнение: 2х3 + 3х2 – 8х +3 = 0

3. Сравните числа: а) (0,78) и (0,67) б) (3,09)и (3,08)

4. Решите уравнение: (0,2)1-х = 0,04

5. Найти область определения функции:

1. Вычислите: а) ; б) .

2. Решите алгебраическое уравнение: 3х3 — 4х2 – 5х +2 = 0

3. Сравните числа: а) (0,88) и (0,87) б) (2,9)и (5,8)

4. Решите уравнение:

5. Найти область определения функции: