Корень из обеих частей уравнения

Корень из обеих частей уравнения

Решите уравнение методом возведения обеих частей в одну и ту же степень.

Нам нужно решить иррациональное уравнение (см. что такое иррациональное уравнение). Метод решения нам указан. Общая схема действий по указанному методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень выглядит так:

• Осуществляется переход к уравнению, которое проще исходного в том смысле, что его проще решить. Для этого столько раз, сколько необходимо, последовательно выполняются следующие действия:
  • Уединяется радикал.
  • Выполняется возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
  • Упрощается полученное уравнение.
• Дальше решается полученное уравнение.
• Если на первом этапе проводилось возведение обеих частей в четную степень, то выполняется проверка для отсеивания посторонних корней.

Пройдем первый этап. Для этого выполним тройку действий — уединение радикала, возведение в степень, упрощение – первый раз.

Уединять радикал нам не нужно, так как в заданном уравнении радикал уже уединен (в левой части уравнения стоит только корень). Переходим к возведению в степень обеих частей уравнения.

Возводим обе части уравнения в квадрат (степени корней равны двум, поэтому для дальнейшего освобождения от корней возводим именно в квадрат), имеем .

Теперь упрощаем вид полученного уравнения, осуществляя преобразования уравнений. Первым преобразованием будет замена выражений в левой и правой части тождественно равными им выражениями. Из определения корня следует, что выражение в левой части тождественно равно 9−x 2 , а выражение в правой части тождественно равно x+9 . Учитывая это, переходим к уравнению 9−x 2 =x+9 . И еще упростим его вид:
9−x 2 −(x+9)=0 ,
9−x 2 −x−9=0 ,
−x 2 −x=0 ,
x 2 +x=0 .

В последующих прохождениях тройки действий – уединение радикала, возведение в степень, упрощение – нет необходимости, так как мы уже получили довольно простое для решения уравнение, и на этом первый этап можно считать завершенным.

Переходим ко второму этапу метода возведения обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень – к решению полученного уравнения. Для нахождения корней уравнения x 2 +x=0 , а это неполное квадратное уравнение, представляем его левую часть в виде произведения, то есть, переходим к уравнению x·(x+1)=0 , откуда видим, что x=0 или x+1=0 , откуда x₁=0 , x₂=−1 . Итак, уравнение, полученное на первом этапе, решено, оно имеет два корня x₁=0 , x₂=−1 . На этом второй этап завершен, переходим к последнему – третьему этапу.

Третий этап – это отсеивание посторонних корней. В нашем случае – это обязательное мероприятие. Действительно, мы прибегали к возведению обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень, а, как известно, это преобразование приводит к уравнению-следствию. Более того, при переходе от уравнения к уравнению 9−x 2 −(x+9)=0 расширилась ОДЗ, что также могло привести к появлению посторонних корней. Итак, нам нужно отсеять посторонние корни. Сделаем это через проверку подстановкой, то есть, подставим найденные корни x₁=0 , x₂=−1 в исходное уравнение и посмотрим, дает ли это верные числовые равенства:

Таким образом, иррациональное уравнение имеет два корня 0 и −1 .

Приведем компактную запись решения:

Основные методы решения уравнений

Что такое решение уравнения?

Тождественное преобразование. Основные

виды тождественных преобразований.

Посторонний корень. Потеря корня.

Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным . Такая замена называется тождественным преобразованием . Основные тождественные преобразования следующие:

Замена одного выражения другим, тождественно равным ему. Например, уравнение ( 3x+ 2 ) 2 = 15x+10 можно заменить следующим равносильным: 9 x 2 + 12x + 4 = 15x + 10 .

Перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками. Так, в предыдущем уравнении мы можем перенести все его члены из правой части в левую со знаком « – »: 9 x 2 + 12x + 4 – 15x – 10 = 0, после чего полу чим: 9 x 2 – 3x – 6 = 0 .

Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля. Это очень важно, так как новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, если выражение, на которое мы умножаем или делим, может быть равно нулю.

П р и м е р . Уравнение x – 1 = 0 имеет единственный корень x = 1.

Умножив обе его части на x – 3 , мы получим уравнение

( x – 1 )( x – 3 ) = 0, у которого два корня: x = 1 и x = 3.

Последнее значение не является корнем заданного уравнения

x – 1 = 0. Это так называемый посторонний корень.

И наоборот, деление может привести к потере корня. Так

в нашем случае, если ( x – 1 )( x – 3 ) = 0 является исходным

уравнением, то корень x = 3 будет потерян при делении

обеих частей уравнения на x – 3 .

В последнем уравнении (п.2) мы можем разделить все его члены на 3 (не ноль!) и окончательно получим:

Это уравнение равносильно исходному:

( 3x+ 2 ) 2 = 15x + 10 . 4.

Можно возвести обе части уравнения в нечётную степень или извлечь и з обеих частей уравнения корень нечётной степени . Необходимо помнить, что:

а) возведение в чётную степень может привести к приобретению посторонних корней ;

б) неправильное извлечение корня чётной степени может привести к потере корней.

П р и м е р ы . Уравнение 7 x = 35 имеет единственный корень x = 5 .

Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим

имеющее два корня: x = 5 и x = – 5. Последнее значение

является посторонним корнем.

Неправильное извлечение квадратного корня из обеих

частей уравнения 49 x 2 = 1225 даёт в результате 7 x = 35,

и мы теряем корень x = – 5.

Правильное извлечение квадратного корня приводит к

уравнению: | 7 x | = 35, а следовательно, к двум случаям:

1) 7 x = 35, тогда x = 5 ; 2) – 7 x = 35, тогда x = – 5 .

Следовательно, при правильном извлечении квадратного

корня мы не теряем корней уравнения.

Что значит правильно извлечь корень? Здесь мы встречаемся

с очень важным понятием арифметического корня

Copyright © 2004 — 2012 Др. Юрий Беренгард. All rights reserved.

Корень из обеих частей уравнения

Ключевые слова: решение уравнения, тождественное преобразование, тождественные преобразования, посторонний корень, потеря корня.

Решение уравнения – это процесс, состоящий в основном в замене заданного уравнения другим уравнением, ему равносильным . Такая замена называется тождественным преобразованием .

Основные тождественные преобразования:

Замена одного выражения другим, тождественно равным ему. Например, уравнение ( 3x+ 2 ) 2 = 15x+10 можно заменить следующим равносильным: 9x 2 + 12x + 4 = 15x + 10

Перенос членов уравнения из одной стороны в другую с обратными знаками. Так, в предыдущем уравнении мы можем перенести все его члены из правой части в левую со знаком « – »: 9x 2 + 12x + 4 – 15x – 10 = 0, после чего полу чим: 9x 2 – 3x – 6 = 0 .

Умножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение (число), отличное от нуля. Это очень важно, так как новое уравнение может не быть равносильным предыдущему, если выражение, на которое мы умножаем или делим, может быть равно нулю. Уравнение x – 1 = 0 имеет единственный корень x = 1. Умножив обе его части на x – 3 , мы получим уравнение ( x – 1 )( x – 3 ) = 0, у которого два корня: x = 1 и x = 3. Последнее значение не является корнем заданного уравнения x – 1 = 0. Это так называемый посторонний корень. И наоборот, деление может привести к потере корня. Так, если ( x – 1 )( x – 3 ) = 0 является исходным уравнением, то корень x = 3 будет потерян при делении обеих частей уравнения на x – 3 .

Можно возвести обе части уравнения в нечетную степень или извлечь и з обеих частей уравнения корень нечетной степени . Необходимо помнить, что: а) возведение в четную степень может привести к приобретению посторонних корней ; б) неправильное извлечение корня четной степени может привести к потере корней.

Уравнение 7 x = 35 имеет единственный корень x = 5 . Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим уравнение: 49 x 2 = 1225 ,
имеющее два корня: x = 5 и x = – 5. Последнее значение является посторонним корнем. Неправильное извлечение квадратного корня из обеих
частей уравнения 49 x 2 = 1225 даёт в результате 7 x = 35,и мы теряем корень x = – 5. Правильное извлечение квадратного корня приводит к
уравнению: | 7 x | = 35, а следовательно, к двум случаям: 1) 7 x = 35, тогда x = 5 ; 2) – 7 x = 35, тогда x = – 5 .Следовательно, при правильном извлечении квадратного корня мы не теряем корней уравнения.

Пример. Решите уравнение $$\sqrt-x> + \sqrt<2 - x - x^<2>> = \sqrt — 1$$

Решение. В этом примере наоборот сложно его решение. Однако поиск ОДЗ приносит несомненную пользу.
В самом деле, ОДЗ: $$\left\< \begin
x^2 — x \ge 0 \\
2 — x — x^2 \ge 0 \\
x \ge 0
\end \right.\, \Leftrightarrow \left\< \begin
x \in \left( < - \infty ;0>\right] \cup \left[ <1; + \infty >\right) \\
x \in \left[ < - 2;1>\right] \\
x \in \left[ <0; + \infty >\right)
\end \right.\, \Leftrightarrow \left[ \begin
x = 0 \\
x = 1
\end \right.$$

Значит, ОДЗ нашего уравнения содержит только два числа. А поскольку вне ОДЗ решений быть не может, то корнями нашего уравнения могут быть только эти два числа. Для того чтобы понять, какое из них действительно является решением, нужно полученные числа подставить в уравнение. Подстановка даёт, что x = 0 не является решением уравнения, а x = 1 − является.

Ответ. 1.

Таким образом, к понятию ОДЗ нужно относиться творчески и искать его, только если в этом возникает существенная необходимость. Так, например, в равносильном переходе $$\sqrt = g(x)\, \Leftrightarrow \left\< \begin
g(x) \ge 0, \\
f(x) = g^2 (x)
\end \right.$$

требование g ( x ) ? 0 задает ОДЗ. Однако, если искать g ( x ) очень сложно, то проще подставить найденные корни в исходное уравнение, чем выяснять, при каких x выполнено неравенство g ( x ) ? 0.