§10. Уравнение — Ответы (ГДЗ) рабочая тетрадь (Мерзляк Полонский Якир) 5 класс часть 1
ПОВТОРЯЕМ ТЕОРИЮ
111. Заполните пропуски.
1) Корнем (решением) уравнения называют числовое значение переменной, которое превращает уравнение в верное числовое равенство .
2) Решить уравнение — значит найти все его корни или показать, что их нет .
3) Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное сложеное .
4) Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое .
5) Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность .
РЕШАЕМ ЗАДАЧИ
112. Какое из чисел 6, 13, 18 является корнем уравнения: 1) 2х-12=24; 2) 18-3х=0?
1. 1) 2*6-12 = 12-12 = 0
Следовательно, число 6 не является корнем уравнения.
2) 2*13-12 = 14.
Следовательно, число 13 не является корнем уравнения.
3) 2*18-12 = 24.
Следовательно, число 18 является корнем уравнения.
2. 1) 18-3*6 = 0
Следовательно, число 6 является корнем уравнения.
113. Проверьте, верно ли решено уравнение. Если оно решено неверно, что приведите верное решение.
114. Решите уравнение.
115. Решите с помощью уравнения задачу.
На участке росло 68 кустов смородины. Потом с этого участка часть кустов пересадили на другой, а на этому участке высадили 14 новых кустов. После этого на первом участке стало 52 куста смородины. Сколько кустов смородины пересадили на другой участок.
Решение:
Пусть на второй участок пересадили х кустоа смородны.
Тогда получится уравнение:
(68-х)+14=52
68-х=52-14
68-х=38
68-38=х
х=30 (кустов)
Ответ: 30 кустов смородины пересадили на другой участок.
116. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнем уравнения (х-а)-14=8 являлось число 32?
Решение:
Чтобы число 32 было корнем уравнения, должно выполняться равенство
(32-а)-14=8
32-а=8+14
32-а=22
32-22=а
а=10
Мерзляк 5 класс — § 10. Уравнение
Вопросы к параграфу
1. Какое число называют корнем (решением) уравнения? — Корнем (решением) уравнения называют число, которое при подстановке вместо буквы обращает уравнение в верное числовое равенство.
2. Что значит решить уравнение? — Это значит найти все его корни или убедиться, что их вообще нет.
3. Как найти неизвестное слагаемое? — Надо из суммы вычесть известное слагаемое.
4. Как найти неизвестное уменьшаемое? — Надо к разности прибавить вычитаемое.
5. Как найти неизвестное вычитаемое? — Надо из вычитаемого вычесть разность.
Решаем устно
1. Найдите значение выражения 53 + х:
1. если х = 29, то 53 + х = 53 + 29 = 82
2. если х = 61, то 53 + х = 53 + 61 = 114
2. Найдите значение выражения 12y:
1. если: у = 7, то 12y = 12 • 7 = 84
2. если: у = 20, то 12y = 12 • 20 = 240
3. Найдите по формуле пути s = 50t расстояние (в метрах), которое проходит Петя:
1) за 4 мин: s = 50t = 50 • 4 = 200 метров
2) за 10 мин: s = 50t = 50 • 10 = 500 метров
Что означает числовой множитель в этой формуле? Числовой множитель 50 обозначает скорость движения Пети (м/мин).
4. Число а на 10 больше, чем число b. В виде каких из следующих равенств это можно записать:
- а + b = 10 — нельзя записать
- а — b = 10 — можно записать
- b — а = 10 — нельзя записать
- а — 10 = b — можно записать
- b + 10 = а — можно записать
Ответ: можно записать в виде равенств: а — b = 10; а — 10 = b; b + 10 = а.
5. Найдите все натуральные значения а, при которых выражение 20 : а принимает натуральные значения.
- если а = 1, то 20 : 1 = 20 — натуральное число
- если а = 2, то 20 : 2 = 10 — натуральное число
- если а = 4, то 20 : 4 = 5 — натуральное число
- если а = 5, то 20 : 5 = 4 — натуральное число
- если а = 10, то 20 : 10 = 2 — натуральное число
- если а = 20, то 20 : 20 = 1 — натуральное число
Ответ: при а = 1, 2, 4, 5 , 10 или 20.
6. На одну чашу весов поставили несколько гирь по 2 кг, а на другую — по 3 кг, после чего весы пришли в равновесие. Сколько поставили гирь каждого вида, если всего их поставили 10?
На одну чашу весов надо поставить 6 гирь по 2 кг, а на другую — 4 гири по 3 кг.
Для решения использовано 10 гирь.
Упражнения
267. Какое из чисел 3, 12, 14 является корнем уравнения:
1) х + 16 = 28
- если х = 3, то 3 + 16 = 19. Так как 19 ≠ 28, то число 3 не является корнем уравнения;
- если х = 12, то 12 + 16 = 28. Так как 28 = 28, то число 12 является корнем уравнения;
- если х = 14, то 14 + 16 = 30. Так как 30 ≠ 28, то число 14 не является корнем уравнения.
Ответ: корнем уравнения является число 12.
2) 4х — 5 = 7
- если х = 3, то 4 • 3 — 5 = 12 — 5 = 7. Так как 7 = 7, то число 3 является корнем уравнения;
- если х = 12, то 4 • 12 — 5 = 48 — 5 = 43. Так как 43 ≠ 7, то число 12 не является корнем уравнения;
- если х = 14, то 4 • 14 — 5 = 56 — 5 = 51. Так как 51 ≠ 7, то число 14 не является корнем уравнения.
Ответ: корнем уравнения является число 3.
268. Какое из чисел 3, 12, 14 является корнем уравнения:
1) 234 — y = 220
- если y = 3, то 234 — 3 = 231. Так как 231 ≠ 220, то число 3 не является корнем уравнения;
- если y = 12, то 234 — 12 = 222. Так как 222 ≠ 220, то число 12 не является корнем уравнения;
- если y = 14, то 234 — 14 = 220. Так как 220 = 220, то число 14 является корнем уравнения.
Ответ: корнем уравнения является число 14.
2) 72 : b + 13 = 19
- если b = 3, то 72: 3 + 13 = 24 + 13 = 37. Так как 37 ≠ 19, то число 3 не является корнем уравнения;
- если b = 12, то 72 : 12 + 13 = 6 + 13 = 19. Так как 19 = 19, то число 12 является корнем уравнения;
- если b = 12, то 72 : 12 + 13 = 5 + 13 = 18 . Так как 18 ≠ 19, то число 14 не является корнем уравнения.
Ответ: корнем уравнения является число 12.
269. Решите уравнение:
270. Решите уравнение:
271. Решите уравнение:
272. Решите уравнение:
273. Решите с помощью уравнения задачу.
1) Оксана задумала число. Если к этому числу прибавить 43 и полученную сумму вычесть из числа 96, то получим число 25. Какое число задумала Оксана?
Пусть задуманное Оксаной число равно x. Тогда можно составить уравнение:
96 — (х + 43) = 25
х + 43 = 96 — 25
х + 43 = 71
х = 71 — 43
х = 28
Ответ: Оксана задумала число 28.
2) У Буратино было 74 сольдо. После того как он купил себе учебники для школы, папа Карло дал ему 25 сольдо. Тогда у Буратино стало 68 сольдо. Сколько сольдо потратил Буратино на учебники?
Пусть Буратино потратил на учебники х сольдо. Тогда можно составить уравнение:
(74 — х) + 25 = 68
74 — х = 68 — 25
74 — х = 43
х = 74 — 43
х = 31
Ответ: Буратино потратил на учебники х сольдо.
274. Решите с помощью уравнения задачу.
Ваня задумал число. Если к этому числу прибавить 27 и из полученной суммы вычесть 14, то получим число 36. Какое число задумал Ваня?
Пусть задуманное Ваней число равно х. Тогда можно составить уравнение:
(х + 27) — 14 = 36
х + 27 = 36 + 14
х + 27 = 50
х = 50 — 27
х = 23
Ответ: Ваня задумал число 23.
275. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнем уравнения:
1) (x + а) — 7 = 42 было число 22
Подставим вместо х число 22 — корень уравнения, затем найдём неизвестное а:
(22 + а) — 7 = 42
22 + а = 42 + 7
22 + а = 49
а = 49 — 22
а = 27
Ответ: вместо а надо подставить число 27.
2) (а — x) + 4 = 15 было число 3
Подставим вместо х число 3 — корень уравнения, затем найдём неизвестное а:
(а — 3) + 4 = 15
а — 3 = 15 — 4
а — 3 = 11
а = 11 + 3
а = 14
Ответ: вместо а надо подставить число 14.
276. Какое число надо подставить вместо а, чтобы корнем уравнения:
1) (х — 7) + а = 23 было число 9
Подставим вместо х число 9 — корень уравнения, затем найдём неизвестное а:
(9 — 7) + а = 23
2 + а = 23
а = 23 — 2
а = 21
Ответ: вместо а надо подставить число 21.
2) (11 + х) + 101 = а было число 5
Подставим вместо х число 5 — корень уравнения, затем найдём неизвестное а:
(11 + 5) + 101 = а
16 + 101 = а
117 = а
а = 117
Ответ: вместо а надо подставить число 117.
Упражнения для повторения
277. Лиза была в школе с 8 ч 15 мин до 15 ч 20 мин. Вечером она пошла на тренировку. Там она провела на 5 ч 40 мин меньше времени, чем в школе. Сколько времени Лиза была на тренировке?
1) 15 ч 20 мин — 8 ч 15 мин = 7 ч 5 мин — Лиза провела в школе.
2) 7 ч 5 мин — 5 ч 40 мин = 6 ч 65 мин — 5 ч 40 мин = 1ч 25 мин — Лиа провела на тренировке.
Ответ: 1 ч 25 мин.
278. Начертите отрезок длиной 12 см. Над одним концом отрезка напишите число 0, а над другим — 480. Поделите отрезок на шесть равных частей. Отметьте на полученной шкале числа 40, 100, 280, 360, 420.
279. Можно ли, имея 900 р., купить 3 кг бананов по 65 р. за 1 кг, 2 кг мандаринов по 130 р. за 1 кг и 4 кг апельсинов по 95 р. за 1 кг?
Посчитаем общую стоимость предполагаемой покупки:
1) 65 • 3 = 195 (рублей) — потребуется на покупку бананов.
2) 130 • 2 = 260 (рублей) — потребуется на покупку мандаринов.
3) 95 • 4 = 380 (рублей) — потребуется на покупку апельсинов.
4) 195 + 260 + 380 = 835 (рублей) — будет стоить весь набор продуктов.
Сравним предполагаемую стоимость покупки с имеющейся суммой денег:
Значит купить все эти продукты на 900 рублей можно.
Задача от мудрой совы
280. В трёх ящичках лежат шары: в первом ящичке — два белых, во втором — два чёрных, в третьем — белый и чёрный. На ящички наклеены этикетки ББ, ЧЧ и БЧ так, что содержимое каждого из них не соответствует этикетке. Как, вынув один шар, узнать, что в каком ящичке лежит?
Этикетки на ящиках не соответствуют их содержимому. Значит в ящике БЧ не может лежать два разноцветных шарика. Там будет либо 2 белых шарика, либо два чёрных шарика. Вытащим один шар из ящика с этикеткой БЧ:
- если вытащен белый шар, то значит в ящике:
- БЧ — 2 белых шара;
- ББ — 2 чёрных шара;
- ЧЧ — 1 белый и 1 чёрный шар.
- если вытащен чёрный шар, то значит в ящике:
- БЧ — 2 чёрных шара;
- ББ — 1 белый и 1 чёрный шар;
- ЧЧ — 2 белых шара.
Ответ: надо вытащить шар из ящика с надписью БЧ.
Уравнение и его корни: определения, примеры
После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.
Понятие уравнения
Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:
Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.
Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t , r , m др., но чаще всего используются x , y , z . Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.
Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x = 5 , y = 6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x + 7 = 38 , z − 4 = 2 , 8 · t = 4 , 6 : x = 3 .
После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7 · ( x − 1 ) = 19 , x + 6 · ( x + 6 · ( x − 8 ) ) = 3 и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x · ( 8 + 1 ) − 7 = 8 , 3 − 3 = z + 3 или 8 · x − 9 = 2 · ( x + 17 ) .
Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.
В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:
Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.
То есть, к примеру, выражение x + 3 = 6 · x + 7 – это уравнение с переменной x , а 3 · y − 1 + y = 0 – уравнение с переменной y .
В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:
Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.
К примеру, равенство вида 3 , 7 · x + 0 , 6 = 1 является уравнением с одной переменной x , а x − z = 5 – уравнением с двумя переменными x и z . Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x 2 + ( y − 6 ) 2 + ( z + 0 , 6 ) 2 = 26 .
Корень уравнения
Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.
Нам дано некое уравнение, включающее в себя одну переменную. Если мы подставим вместо неизвестной буквы число, то уравнение станет числовым равенством – верным или неверным. Так, если в уравнении a + 1 = 5 мы заменим букву числом 2 , то равенство станет неверным, а если 4 , то получится верное равенство 4 + 1 = 5 .
Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.
Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.
Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.
Возьмем пример для пояснения этого определения. Выше мы приводили уравнение a + 1 = 5 . Согласно определению, корнем в данном случае будет 4 , потому что при подстановке вместо буквы оно дает верное числовое равенство, а двойка не будет решением, поскольку ей отвечает неверное равенство 2 + 1 = 5 .
Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.
Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть 0 · x = 5 . Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на 0 всегда дает 0 .
Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.
Так, в уравнении x − 2 = 4 есть только один корень – шесть, в x 2 = 9 два корня – три и минус три, в x · ( x − 1 ) · ( x − 2 ) = 0 три корня – нуль, один и два, в уравнении x=x корней бесконечно много.
Теперь поясним, как правильно записывать корни уравнения. Если их нет, то мы так и пишем: «уравнение корней не имеет». Можно также в этом случае указать знак пустого множества ∅ . Если корни есть, то пишем их через запятую или указываем как элементы множества, заключив в фигурные скобки. Так, если у какого-либо уравнения есть три корня — 2 , 1 и 5 , то пишем — 2 , 1 , 5 или < - 2 , 1 , 5 >.
Допускается запись корней в виде простейших равенств. Так, если неизвестная в уравнении обозначена буквой y , а корнями являются 2 и 7 , то мы пишем y = 2 и y = 7 . Иногда к буквам добавляются нижние индексы, например, x 1 = 3 , x 2 = 5 . Таким образом мы указываем на номера корней. Если решений у уравнения бесконечно много, то мы записываем ответ как числовой промежуток или используем общепринятые обозначения: множество натуральных чисел обозначается N , целых – Z , действительных – R . Скажем, если нам надо записать, что решением уравнения будет любое целое число, то мы пишем, что x ∈ Z , а если любое действительное от единицы до девяти, то y ∈ 1 , 9 .
Когда у уравнения два, три корня или больше, то, как правило, говорят не о корнях, а о решениях уравнения. Сформулируем определение решения уравнения с несколькими переменными.
Решение уравнения с двумя, тремя и более переменными – это два, три и более значения переменных, которые обращают данное уравнение в верное числовое равенство.
Поясним определение на примерах.
Допустим, у нас есть выражение x + y = 7 , которое представляет из себя уравнение с двумя переменными. Подставим вместо первой единицу, а вместо второй двойку. У нас получится неверное равенство, значит, эта пара значений не будет решением данного уравнения. Если же мы возьмем пару 3 и 4 , то равенство станет верным, значит, мы нашли решение.
Такие уравнения тоже могут не иметь корней или иметь бесконечное их количество. Если нам надо записать два, три, четыре и более значений, то мы пишем их через запятую в круглых скобках. То есть в примере выше ответ будет выглядеть как ( 3 , 4 ) .
На практике чаще всего приходится иметь дело с уравнениями, содержащими одну переменную. Алгоритм их решения мы подробно рассмотрим в статье, посвященной решению уравнений.
http://matem1234.ru/uc-merzlak-5-10/
http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/uravnenie-i-ego-korni/