Корнем уравнения f x 0 называется

1. Понятие уравнения и его корней

Равенство с переменной называ­ется уравнением. В общем виде урав­нение с одной переменной x записы­вают так: f (я) = g (я).

Под этой краткой записью пони­мают математическую запись задачи о нахождении значений аргумента, при которых значения двух данных функций равны.

2х = —1 — линейное уравнение; х 2 — 3х + 2 = 0 — квадратное уравнение; чJ_x + 2 = _x — иррациональное уравнение (содер­жит переменную под знаком корня).

Корнем (или решением) уравне­ния с одной переменной называется значение переменной, при подста­новке которого в уравнение получа­ется верное равенство.

Решить уравнение — значит най­ти все его корни (и обосновать, что других корней нет) или доказать, что корней нет.

x = 2 — корень уравнения \/x + 2 = x, так как при x = 2 получаем верное равенство: -\Д = 2, то есть 2 = 2.

2. Область допустимых значений (ОДЗ)

Областью допустимых зна­чений (или областью опреде­ления) уравнения называется общая область определения для функций f (x) и g (x), стоя­щих в левой и правой частях уравнения.

Для уравнения л/x + 2 = x ОДЗ: x + 2 1 0, то есть x 1 —2, так как область определения функции f (x) = yj x + 2 опре­деляется условием: x + 2 1 0, а область определения функции g (x) = x — множе­ство всех действительных чисел.

Если каждый корень первого уравне­ния является корнем второго, то второе уравнение называется следствием пер­вого уравнения.

Если из правильности первого равенства следует правильность каждого последую­щего, то получаем уравнения-следствия.

При использовании уравнений-след­ствий не происходит потери корней ис­ходного уравнения, но возможно появление посторонних корней. Поэтому при исполь­зовании уравнений-следствий проверка полученных корней подстановкой их в ис­ходное уравнение является составной час­тью решения (см. пункт 5 этой таблицы).

► Возведем обе части уравне­ния в квадрат:

(x + 2) = x 2 , x + 2 = x 2 , x 2 — x — 2 = 0, x₁ = 2, x₂ = —1. Проверка. x = 2 — корень (см. выше); x = —1 — посторонний ко­рень (при х = —1 получаем не­верное равенство 1 = —1). Ответ: 2. 2 = х обла­стью допустимых значений являются все действительные числа. Это можно записать, например, так. ОДЗ: R, поскольку функции f (x) = x 2 и g (x) = x имеют области определения R.

Понятно, что каждый корень данного уравнения принадлежит как об­ласти определения функции f (x), так и области определения функции g (x) (иначе мы не сможем получить верное числовое равенство). Поэтому каж­дый корень уравнения обязательно принадлежит ОДЗ этого уравнения. Это позволяет в некоторых случаях применить анализ ОДЗ уравнения при его решении.

Например, в уравнении л/x — 2 + \/1 — x = x функция g (x) = x определена при всех действительных значениях x, а функция f (x) = л/x — 2 + VT — x ко при условии, что под знаком квадратного корня будут стоять неотрица­тельные выражения. Следовательно, ОДЗ этого уравнения задается систе-

мой -! из которой получаем систему -! не имеющую решений.

[1 — x 10, [x 2 — 1 = 0. Но тогда верно, что (х — 1)(х + 1) = 0. Последнее урав­нение имеет два корня: х = 1 и х = —1. Подставляя их в заданное уравнение, видим, что только корень х = 1 удовлетворяет исходному уравнению. По­чему это случилось?

Это происходит поэтому, что, используя уравнения-следствия, мы гаран­тируем только то, что корни заданного уравнения не теряются (каждый корень первого уравнения является корнем второго). Но второе уравнение, кроме корней первого уравнения, имеет еще и другой корень, который не яв­ляется корнем первого уравнения. Для первого уравнения этот корень явля­ется посторонним, и, чтобы его отсеять, выполняется проверка подстановкой корней в исходное уравнение. (Более полно причины появления посторон­них корней рассмотрены в таблице 7 на с. 54.) Таким образом, чтобы пра­вильно применять уравнения-следствия для решения уравнений, необходи­мо помнить еще один о р и е н т и р: при использовании уравнений-следствий возможно появление посторонних корней, и поэтому проверка подстанов­кой корней в исходное уравнение является составной частью решения.

Схема применения этих ориентиров дана в таблице 6. В пункте 3 этой таблицы приведено решение уравнения

Замечание. Переход от данного уравнения к уравнению-следствию мож­но обозначить специальным значком ^, но его использование для записи решения не является обязательным. Вместе с тем, если этот значок запи­сан, то это свидетельствует о том, что мы воспользовались уравнениями- следствиями, и поэтому обязательно в запись решения необходимо вклю­чить проверку полученных корней.

С понятием равносильности вы знакомы еще из курса алгебры 7 класса, где равносильными назывались те уравнения, которые имели одни и те же корни. Заметим, что равносильными считались и такие два уравнения, ко­торые не имели корней. Формально будем считать, что и в этом случае урав­нения имеют одни и те же корни, поскольку ответы к таким уравнениям одинаковы: «уравнения не имеют корней» (точнее: одинаковыми являются множества корней таких уравнений — они оба пустые, что обозначается символом 0).

В курсе алгебры и начал математического анализа мы будем рассматри­вать более общее понятие равносильности, а именно: равносильность на определенном множестве.

Два уравнения называются равносильными на некотором множе-
стве, если на этом множестве они имеют одни и те же корни, то
есть каждый корень первого уравнения является корнем второго

и, наоборот, каждый корень второго уравнения является корнем
первого.

Для уравнений, заданных на множестве всех действительных чисел (например, для линейных), мы можем однозначно дать ответ на вопрос: «Равносильны ли данные уравнения?» Например, уравнения х + 3 = 0 и 2х + 6 = 0 — равносильные, поскольку оба имеют одинаковый корень х = —3 и других корней не имеют, таким образом, каждое из них имеет те же решения, что и второе.

При рассмотрении равносильности уравнений на множестве, которое от­личается от множества всех действительных чисел, ответ на вопрос «Равно­сильны ли данные уравнения?» может существенно зависеть от того, на каком множестве мы рассматриваем эти уравнения. Например, если рас­смотреть уравнения:

то, как было показано выше, уравнение (3) имеет единственный корень х = 1, а уравнение (4) — два корня: х = 1 и х = —1. Таким образом, на множестве всех действительных чисел эти уравнения не являются равносильными, по­скольку у уравнения (4) есть корень х = —1, которого нет у уравнения (3). Но на множестве положительных действительных чисел эти уравнения равно­

сильны, поскольку на этом множестве уравнение (3) имеет единственный положительный корень х = 1 и уравнение (4) также имеет единственный положительный корень х = 1. Следовательно, на множестве положительных чисел каждое из этих уравнений имеет те же решения, что и второе.

Укажем, что множество, на котором рассматривается равносильность уравнений, как правило, не задается искусственно (как в последнем слу­чае), а чаще всего таким множеством является ОДЗ исходного уравнения. Договоримся, что далее

все равносильные преобразования уравнений (а также неравенств и си­стем уравнений и неравенств) мы будем выполнять на ОДЗ исходного урав­нения (неравенства или системы). Отметим, что в том случае, когда ОДЗ за­данного уравнения является множество всех действительных чисел, мы не всегда будем ее записывать (как не записывали ОДЗ при решении линейных или квадратных уравнений). И в других случаях главное — не записать ОДЗ в решение уравнения, а реально учесть ее при выполнении равносильных преобразований данного уравнения.

Например, для уравнения \Ix + 2 = x ОДЗ задается неравенством х + 2 1 0. Когда мы переходим к уравнению х + 2 = х 2 , то для всех его корней это уравнение является верным равенством. Тогда выражение х 2 , стоящее в пра­вой части этого равенства, всегда неотрицательно (х 2 1 0), таким образом, и равное ему выражение х + 2 также будет неотрицательным: х + 2 1 0. Но это и означает, что ОДЗ данного уравнения (х + 2 1 0) учтено автоматически для всех корней второго уравнения и поэтому при переходе от уравнения yjx + 2 = x к уравнению х + 2 = х 2 ОДЗ заданного уравнения можно не запи­сывать в решение.

Для выполнения равносильных преобразований попробуем выделить общие ориентиры, аналогичные соответствующим ориентирам получения уравнений-следствий.

Как указывалось выше, выполняя равносильные преобразования уравне­ний, необходимо учесть ОДЗ данного уравнения — это и есть первый о р и — ентир для выполнения равносильных преобразований уравнений.

По определению равносильности уравнений необходимо гарантировать, чтобы каждый корень первого уравнения был корнем второго и наоборот — каждый корень второго уравнения был корнем первого. Для первой части этого требования мы уже выделили общий ориентир: достаточно гарантиро­вать сохранение правильности равенства при переходе от первого уравнения ко второму (с. 49).

Но тогда, чтобы выполнить вторую часть этого требования, достаточно второе уравнение рассмотреть как верное равенство (то есть взять такое значение переменной, которое является корнем второго уравнения) и га­рантировать, что при переходе к первому верное равенство сохраняется (этот корень остается и корнем первого уравнения). Фактически из опреде­ления равносильности уравнений получаем, что каждое из равносильных уравнений является следствием другого уравнения). Таким образом, при

выполнении равносильных преобразований мы должны гарантировать со­хранение правильности равенства на каждом шаге решения не только при прямых, но и при обратных преобразованиях — это и является вторым о р и — ен т и р ом для решения уравнений с помощью равносильных преобразова­ний. (Соответствующие ориентиры схематически представлены в пункте 5 табл. 6.)

Например, чтобы решить с помощью равносильных преобразований урав-

_{——- = 0, достаточно учесть его ОДЗ: х + 1 Ф 0 и условие равенства}

дроби нулю (дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю). Также следует обратить внима­ние на то, что на ОДЗ все необходимые преобразования можно выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением правильности равенства.

Запись решения в этом случае может быть такой:

= 0. ► ОДЗ: х + 1 Ф 0. Тогда х 2 —1 = 0. Отсюда х = 1 (удовлетворяет

условию ОДЗ) или х = —1 (не удовлетворяет условию ОДЗ). Ответ: 1. 2 + л/ x — 2 = 6x + >/ x — 2. Перенесем из правой части уравнения в левую слагаемое \tx — 2 с противоположным знаком и приведем подобные члены.

Получим х 2 — 6х = 0, х₁ = 0, х₂ = 6

к уравнению, ОДЗ которого шире, чем ОДЗ заданного уравнения;

Приведение обе­их частей урав­нения к обще­му знаменателю (при сокращении знаменателя)

4 + 7 = 4 x + 2 x + 3 x 2 + 5x + 6 Умножим обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей (х + 2)(х + 3).

4 (х + 3) + 7 (х + 2) = 4,

Возведение обеих частей иррацио­нального уравне­ния в квадрат

yj2x +1 =Vx. 2х + 1 = х,

б) выполне­ние преоб­разований, при которых происходит неявное умно­жение на нуль;

Умножение обеих частей уравнения на выражение с пере­менной

х 2 + х + 1 = 0. Умножим обе части уравнения на х —1.

(х — 1)(х 2 + х + 1) = 0. Получим х 3 — 1 = 0, х = 1

Как получить правильное (или полное) решение

Пример правильного (или полного) решения

при решении уравнения

х₁ = 0 не является корнем заданного уравнения

Выполнить про­верку подстановкой корней в заданное уравнение

x 2 + V x — 2 = 6x + >/ x — 2.

► х 2 — 6х = 0, х₁ = 0, х₂ = 6. Проверка показывает, что х₁ = 0 — посторонний корень, х₂ = 6 — корень.

Ответ: 6. x + 2 x + 3 x 2 + 5x + 6

► 4 (x + 3) + 7 (x + 2) = 4;

11x = —22, x = —2. Проверка показывает, что х = -2 — посторонний корень. Ответ: корней нет. 2 + х + 1 = 0.

► D = —3 2 = (2х + 1) 2 . Получим 3х 2 + 6х = 0, х₁ = 0, х₂ = —2

2. Потеря корней

Явное или неяв­ное сужение ОДЗ заданного урав­нения, в частно­сти выполнение преобразований, в ходе которых происходит не­явное деление на нуль

1. Деление обеих ча­стей уравнения на выражение с пе­ременной

Поделив обе части уравнения на х, получим

2. Сложение, вычи­тание, умноже­ние или деление обеих частей уравнения на выражение, ОДЗ которого уже, чем ОДЗ задан­ного уравнения

Если к обеим частям уравнения прибавить \[x, то получим уравнение

x 2 + yfx = 1 + yfx, у которого только один корень х = 1

Методические указания по основам курса «Численные методы»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Курс «Численные методы»

Методические указания для студентов

по основам численных методов

Разработал д-р техн. наук, профессор

Манасян Сергей Керопович

Сокращения и обозначения

М.м. – математическая модель

Ч.м. – численные методы

СЛАУ – система линейных алгебраических уравнений

СНЛАУ – система нелинейных алгебраических уравнений

т.м.з. – типовые математические задачи

В.м. – вычислительная математика

Численные методы (вычислительные методы, методы вычислений) это раздел вычислительной математики, изучающий приближенные способы решения типовых математических задач (т.м.з.), которые либо не решаются, либо трудно решаются точными аналитическими методами (вычислительная математика в узком смысле). Другими словами, Ч.м. – это методы решения т.м.з. задач в численном виде. При этом производится представление в виде набора чисел как исходных данных в задаче, так и её решения.

Примерами т.м.з. являются:

— численное решение нелинейных уравнений,

— численное решение системы линейных алгебраических уравнений,

— численное интегрирование и др.

Кроме Ч.м., к вычислительной математике относят круг вопросов, связанных с использованием компьютеров и с программированием.

Деление методов вычислений на аналитические и численные несколько условно.

Многие численные методы являются частью библиотек математических программ. Ч.м. являются важной составляющей в системе подготовки программистов, инженеров технических специальностей, экономистов, физиков и др. специалистов.

Основами для вычислительных методов являются решения вышеуказанных т.м.з., а также:

— интерполирование и приближённое вычисление функций (аппроксимация, экстраполяция);

— вычисление собственных значений и собственных векторов матриц;

— численное решение системы нелинейных уравнений;

— численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений;

— численное решение уравнений в частных производных (уравнений математической физики);

— численное решение интегральных уравнений;

— численное решение интегро-дифференциальных уравнений;

— решение задач оптимизации.

Эти задачи часто называют задачами вычислительной математики (В.м.). Все они задачи решаются в определённой последовательности, которую можно представить в следующем виде:

1. Исходная математическая задача заменяется другой задачей , а именно, – вычислительным алгоритмом. Основными требованиями к вычислительному алгоритму являются:

При переходе к дискретной модели появляется погрешность аппроксимации, а при реализации вычислений – погрешность округления, поэтому для реальных вычислительных алгоритмов проводится анализ погрешностей и устойчивости вычислительного алгоритма.

В современной науке для решения задач прикладной математики формулируется М.м. в терминах уравнений и функций. Переход от непрерывной М.м. к дискретной осуществляется заменой функций непрерывного аргумента функциями от дискретного аргумента. В получившихся в результате конечно-разностной аппроксимации дискретных системах уравнений интеграл и производная представлены конечной суммой и разностным отношением, соответственно. Получившаяся аппроксимационная М.м. представляет собой СЛАУ , для решения которой с определённой точностью составляется алгоритм, который численно реализуется на вычислительных машинах.

При решении больших систем необходимо вычислять собственных значений и собственных векторов матриц , сводить СНЛАУ к линейным уравнениям. Для некоторых экономических и физических задач модель строится непосредственно на статистической выборке или на крупных объектах. Кроме того, строятся нерегулярные системы, для которых численные методы сочетаются с моделями в виде сетей, цепей, графов и тензоров. Отдельный класс представляют некорректно поставленные задачи.

2. Вычислительный алгоритм содержит новый параметр <\displaystyle N>, связывающий исходную задачу с дискретной задачей, решаемой Ч.м.

3. Выбором этого параметра <\displaystyle N>можно добиться любой близости решения новой задачи (численной) к решению исходной. Для многих важных классов задач разработаны разнообразные численные методы решения. По способу дискретизации численные методы делятся на проекционные и конечно-разностные, по способу решения – на прямые и итерационные. В методах конечных разностей ставится задача определить значения функции на дискретном множестве точек, в то время как в проекционных методах функция представлена в виде линейной комбинации элементов. При этом дискретная функция также может рассматриваться как линейная комбинация полиномов. Прямые методы решения обладают слабой устойчивостью, в то время как итерационные методы более устойчивы и обеспечивают быструю сходимость.

4. Неточная реализация алгоритма, вызванная округлениями при вычислениях, не меняет существенно его свойств. Необходимо помнить, что вычислительная машина выполняет только четыре основных арифметических операции. Точность решения при этом должна быть несколько выше ожидаемой точности физического эксперимента. При определении критериев и условий роста погрешности долгое время не принималась во внимание погрешность округления. Необходимость гарантированных оценок точности реальных вычислений привела к возникновению теории погрешностей и интервального анализа. Оптимальным алгоритмом считается алгоритм с минимальной погрешностью или с минимальным числом операций при заданной погрешности. При этом разрабатывается теория параллельных вычислительных алгоритмов.

1. Решение уравнений

1.1 Необходимость численного решения

Далеко не каждое нелинейное алгебраическое уравнение от одной неизвестной допускает аналитическое решение:

1) трансцендентные уравнения, как правило, не решаются аналитически, за исключением специальных случаев («школьного» типа), когда уравнение можно удачной подстановкой свести к алгебраическому, например, e 2x — 6e x + 9 = 0 ;

2) даже для алгебраического уравнения

степени выше четвертой не существует формулы, выражающей корни через коэффициенты уравнения при помощи конечного числа арифметических операций и извлечения корней (в частных случаях, например для уравнения x 42 -5x 21 + 4 = 0 , такие формулы могут существовать, но в общем случае нет). Невозможность аналитического решения уравнений степени пятой и высших доказана трудами Абеля (1802–1829) и Галуа (1811–1832).

И даже тогда, когда решение уравнения в аналитическом виде существует и даже оно общеизвестно, часто возникает необходимость в Ч.м.

Например, при аналитическом решении квадратного уравнения ax 2 +bx + c = 0 по известной формуле через дискриминант, в ответ входит корень квадратный. Если он не извлекается точно (подкоренное выражение не является точным квадратом некоторого числа), то для получения численного значения корней потребуется численная процедура приближенного вычисления корня.

1.2. Методология численного решения

Корнем уравнения f (x) = 0 называется значение x = x* , подстановка которого в уравнение превращает его в верное числовое равенство.

Например, если в уравнение x 2 + 5x + 4 = 0 подставить x = -1 , то получим 0 = 0 (верно).

Решить уравнение – значит найти его корни.

Таким образом, большое значение имеет задача приближенного (численного) отыскания корней уравнений. Для этого:

а) определяют количество корней уравнения и изолируют (отделяют) каждый из них. Отрезком изоляции называется отрезок, на котором лежит только один корень уравнения;

б) вычисляют каждый корень с требуемой точностью.

Для отделения корней уравнения f (x) = 0 применяют графический и аналитический методы.

В первом из них строят график функции y = f (x) и приближенно находят точки его пересечения с осью Ox.

Для отделения корней уравнения x 3 — 4x + 5 = 0 строим график функции (см. рис. 1). График пересекает ось абсцисс в единственной точке на отрезке [-3, — 2] , который и будет отрезком изоляции корня.

Рисунок 1. – Графическое отделение корней

Единственный корень уравнения х 3 – 4х + 5 = 0 лежит на отрезке [-3, -2]).

Аналитический способ отделения корней уравнения f (x ) = 0 основан на том, что для функции f (x) , непрерывной на отрезке [a, b] и принимающей на его концах значения разных знаков, существует по меньшей мере одна точка x из [a, b] , такая, что f (x) = 0. Если на этом отрезке функция f (x) монотонна, то корень x единственный, в противном случае корней может быть несколько (рис. 2).

Рисунок 2. – Отделение корней в случае немонотонности функции

На концах отрезка [a, b] функция f(x) принимает значения разных знаков; т.к. она немонотонна на этом отрезке, то уравнение f(x) = 0 имеет несколько корней (точки x0, x1, x2).

1.4 Методы вычисления корней с заданной точностью

1.4.1 Метод половинного деления (метод дихотомии )

Метод непосредственно следует из аналитического способа отделения корней. Пусть для уравнения f (x ) = 0 найден первичный отрезок [x0, x1] изоляции корня. Вычислим середину отрезка

Если случайно окажется, что f (x₂) = 0 , то x₂ является корнем уравнения f (x) = 0 . Если же f (x₂) не равно 0 , то из двух половин [x₀, x₂ ] , [x₂, x₁ ] первичного отрезка выберем для дальнейшего деления пополам ту, на концах которой функция f (x) принимает значения противоположных знаков. Выбранный отрезок снова разделим пополам и найдем половину с противоположными знаками f (x) на концах, и т. д.

Критерий достижения требуемой точности е (критерий обрыва счета): если корень надо вычислить с точностью e, то деление пополам следует продолжать до тех пор, пока длина очередного отрезка не станет меньше 2e ; тогда середина этого отрезка даст значение корня с точностью e .

Свойства дихотомии следующие:

а) идейная простота метода;

б) непритязательность к свойствам функции f (x) (она должна быть лишь непрерывной, а дифференцируемость не предполагается).

К сожалению, отрицательные свойства перевешивают:

в) очень медленная сходимость. Пусть, например, первичный отрезок изоляции имеет единичную длину. После первого шага дихотомии длина уменьшится до 1/2 , после второго — до (1/2) 2 , и т. д. Поскольку (1/2) 10 =1024

г) неприменимость к вычислению корней четной кратности (рис. 3);

д) неприменимость к решению систем уравнений.

Рисунок 3. – Отделение корней: случай кратного корня

1.4.2 Метод итераций (последовательных приближений)

Пусть имеется уравнение f (x) = 0 . Приведем его к равносильному виду x = φ(x ).

Выберем некоторое начальное приближение x₀ и найдем следующие приближения, выполняя однообразные вычисления (итерации),

Отсюда понятно удобство для итераций перехода от записи уравнения в виде f (x ) = 0 к виду x = φ (x ) : значение аргумента в левой части равенства является следующим приближением по отношению к тому, которое подставлялось в функцию φ (x) . При подстановке значения аргумента в f (x ) справа от знака равенства появляется число 0 без возможности итераций.

Если последовательность <x_n> имеет предел, то итерационный процесс x_n = φ (x_n-1) , n =1, 2, …, называется сходящимся. Пусть функция φ (x) непрерывна. Тогда, переходя к пределу в рекуррентном соотношении x_n = φ (x_n-1) , можно перенести знак предельного перехода через знак функции, что и доказывает возможность нахождения корня данным методом.

Методом итераций найти корни уравнения 5x — 6 ln x — 7 = 0 с точностью e =10 -3 .

При помощи графического метода найдем количество корней и отрезки их изоляции. Если график строится вручную , то его построение для функции f (x ) = 5x — 6 ln x — 7 затруднительно. Проще привести уравнение к виду ln x = 5x — 7 и найти абсциссы точек пересечения графиков функций (рис. 4).

f₁ (x ) = ln x и f (x ) = 5x — 72

Рисунок 4. – Графическое отделение корней

При работе, например, в пакете MathCad разбиение функции на f1 (x) и f2 (x) излишне.

Приведем уравнение к виду, удобному для итераций. Можно, например, выразить х из первого слагаемого x = (6 ln x + 7)/5, тогда в итерационном процессе будет использоваться функция φ(х) = (6 ln x + 7x)/5 и нужно проверить, будет ли такой процесс сходящимся.

Для этого вычислим производную функции φ (x) ( φ(x)= 6/(5x)) и найдем коэффициент сжатия q =max | φ(x)| на каждом отрезке изоляции корня.

На правом отрезке изоляции [2;3] max = = 0.6

На левом отрезке [0.1;1] изоляции корня max =12 >1, и функция φ( x ) = (6 ln x + 7x)/5 непригодна для вычисления корня x, т. к. итерационный процесс будет расходящимся . Поэтому для отрезка [0.1;1] по-другому выразим х из искомого уравнения, а именно: выразим х, который был аргументом логарифма x = eхр ((5x-7)/6), и введем функцию y(x) = Ψ(х) =exp ((5x – 7)/6), и которую надо проверить на пригодность к использованию в итерационном процессе.

Уравнение 5x – 6 ln x – 7 = 0 имеет два корня: один z в[0,1; 1] и второй z в [2; 3]. Первый из отрезков изоляции не должен начинаться в нуле, т. к. в этой точке функция ln x терпит разрыв.

1.4.5 Результаты реализации метода

В первой строке поставлен прочерк, т.к. на нулевой итерации оценить погрешность невозможно поскольку никакого значения, предшествующего нулевому приближению, не существует.

Ответ . z 1= x₄ = 0.455 ; z2 = y ₁ = 2.499.

1.4.6 Свойства метода итераций

а) дифференцируемость функций, участвующих в расчетах;

б) самоисправляемость вычислительного процесса;

в) скорость сходимости зависит от величины коэффициента сжатия q . При этом, благоприятных (близких к нулю) значений q всегда можно достичь введением параметра λ для ускорения сходимости;

г) когда уравнение имеет несколько корней, как правило, для нахождения каждого из них приходится индивидуально строить итерационный процесс, поскольку сходимость одного процесса на разных отрезках изоляции обычно не достигается.

2. Метод Ньютона

Пусть в уравнении f (x ) = 0 функция f (x) имеет непрерывную производную, не равную 0; x_n есть некоторое приближение к корню x рассматриваемого уравнения. В окрестности точки x_n разложим функцию f (x) в ряд Тейлора и ограничимся линейным по х слагаемым включительно

0 = f (x ) = f (x_n ) + f (x_n)(x — x_n).

x = x_n — f (x_n)/ (f(x_n)

и согласно идее Ньютона левую часть этого выражения будем рассматривать как следующее, (n +1) -ое , приближение некоторого итерационного процесса

x_n+1 = x_n — f (x_n) / (f(x_n), n = 0,1, 2, …

Данная формула представляет метод Ньютона численного решения уравнений. Другое название – метод касательных, иногда используют термин «метод линеаризации, т.к. функция f (x) приближенно заменена линейной функцией – графиком касательной к данной функции в искомой точке (путем движения точек и касательных к графику в этих точках). Этот геометрический смысл итерационного процесса проиллюстрируем на примере (рис. 5) .

Рисунок. 5. – Геометрическая иллюстрация метода Ньютона

В точке с абсциссой x₀ проведем касательную к графику функции y = f (x); уравнение касательной: y — f (x₀ ) = f (1) (x₀)(x — x₀) .

Найдем точку пересечения данной прямой с осью абсцисс (в этой точке y = 0):

Согласно алгоритму метода Ньютона полученное значение это следующее приближение x₁ . В точке с абсциссой x₁ проведем еще одну касательную к графику f (x) ; уравнение новой касательной:

Точка пересечения данной прямой с осью абсцисс и будет второе приближение x₂ , и т. д. (см. рис. 5).

Итак, на каждой итерации график функции f (x) заменяется его касательной. Поэтому, как было указано выше, метод Ньютона называют еще методом касательных.

Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай рассмотренного выше метода итераций.

В самом деле, от уравнения f (x) = 0 можно перейти к равносильному уравнению:

— f (x)/ f (1) (x)= 0, или x — f (x)/f (1) (x) = 0 + x .

Вводя функцию φ(х) = x — f (x)/ f (1) (x), приходим к виду x = φ(x) , удобному для итераций. Скорость сходимости итерационного процесса, как известно, определяется значением |φ (1) (x)| на отрезке изоляции корня. В нашем случае

Если подставить сюда корень x = x* , то, с учетом равенства f (x*) = 0 (в уравнение подставлен его собственный корень), получаем

Таким образом, в точках, очень близких к корню x* уравнения f (x) = 0 , скорость сходимости итерационного процесса бесконечно велика. В результате можно сделать вывод о том, что при выборе начального приближения x₀ достаточно близко к x метод Ньютона должен обеспечивать быструю сходимость последовательности приближений x₀, x₁, …, x_k , … к искомому корню x* . Но только при сохранении знака производных f ( 1) (x), f ( 2) (x) на отрезке [a, b] изоляции корня уравнения f (x ) = 0 метод Ньютона сходится, если в качестве начального приближения x₀ взять любую точку отрезка [a,b] .

Если же f ( 2) (x) меняет знак на отрезке изоляции корня, то сходимость итерационного процесса не гарантируется.

Что такое корень уравнения

Корнем уравнения называют число, подстановка которого в уравнение вместо переменной (обычно \(x\)), дает одинаковые значения выражений справа и слева от знака равно.

Решая, например, уравнение \(2x+1=x+4\) находим ответ: \(x=3\). Если подставить тройку вместо икса, получатся одинаковые значения слева и справа:

И никакое другое число, кроме тройки такого равенства нам не даст. Значит, число \(3\) – единственный корень уравнения.

Еще раз: корень – это НЕ ИКС! Икс – это переменная , а корень – это число , которое превращает уравнение в верное равенство (в примере выше – тройка). И при решении уравнений мы это неизвестное число (или числа) ищем.

Пример : Является ли \(5\) корнем уравнения \(x^<2>-2x-15=0\)?
Решение : Подставим \(5\) вместо икса:

По обе стороны от равно — одинаковые значения (ноль), значит 5 действительно корень.

Матхак : на контрольных таким способом можно проверить верно ли вы нашли корни.

Пример : Какое из чисел \(0, \pm1, \pm2\), является корнем для \(2x^<2>+15x+22=0\)?
Решение : Проверим подстановкой каждое из чисел:

Очевидно, что решать уравнения перебором всех возможных значений – безумие, ведь чисел бесконечно много. Потому были разработаны специальные методы нахождения корней. Так, например, для линейных уравнений достаточно одних только равносильных преобразований , для квадратных – уже используются формулы дискриминанта и т.д. Каждому типу уравнений – свой метод.

Ответы на часто задаваемые вопросы

Вопрос: Может ли корень уравнения быть равен нулю?
Ответ: Да, конечно. Например, уравнение \(3x=0\) имеет единственный корень — ноль. Можете проверить подстановкой.

Вопрос: Когда в уравнении нет корней?
Ответ: В уравнении может не быть корней, если нет таких значений для икса, которые сделают уравнение верным равенством. Яркий примером тут может быть уравнение \(0\cdot x=5\). Это уравнение не имеет корней, так как значение икса здесь не играет роли (из-за умножения на ноль) — все равно левая часть будет всегда равна нулю. А ноль не равен пятерке. Значит, корней нет.

Вопрос: Что значит «найдите меньший корень уравнения»?
Ответ: Это значит, что нужно решить уравнение, и в ответ указать его меньший корень. Например, уравнение \(x^2-5x-6=0\) имеет два корня: \(x_1=-1\) и \(x_2=6\). Меньший из корней: \(-1\). Вот его и надо будет записать в ответ. Если бы спрашивали про больший корень, то надо было бы записать \(6\).