Корни характеристического уравнения действительно равные

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Содержание:

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Частный случай: уравнение второго порядка Пусть имеем линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка где р\, Р2 — действительные числа. Чтобы найти общее решение этого уравнения, надо найти два его линейно независимых частных решения. Следуя Эйлеру, будем искать их в виде где тогда Подставляя эти выражения для у и ее производных в уравнение (1), получаем .

Так как , то должно выполняться равенство Следовательно, функция у = eAz будет решением уравнения (1), т. е. будет обращать его в тождество по х, если А будет удовлетворять алгебраическому уравнению Уравнение (3) называется характеристическим уравнением по отношению к уравнению (1), а его левая часть называется характеристическим много-членом.

Уравнение (3) есть квадратное уравнение. Обозначим его корни через А] и 1 они могут быть 1) действительными и разными; 2) комплексными; 3) действительными и равными. Рассмотрим каждый случай в отдельности. 1. Если корни Л|, Аг характеристического уравнения действительные и разные, то частными решениями уравнения (1) будут функции Эти решения линейно независимы (Aj Ф А2) и, следовательно, образуют фундаментальную систему решений уравнения.

Общее решение уравнения

Общее решение уравнения имеет вид — произвольные постоянные). Пример 1. Найти общее решение уравнения М Составляем характеристическое уравнение: Оно имеет корни Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Общий случай: уравнение произвольного порядка Физические приложения: уравнение колебаний Уравнения, приводящие к уравнениям с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Отсюда получаем искомое общее решение 2.

Пусть корни характеристического уравнения комплексные. Так как коэффициенты р], р2 характеристического уравнения действительные, комплексные корни входят попарно сопряженными. Положим, что Частные решения дифференциального уравнения (1) можно записать в виде Это комплекснозначные функции действительного аргумента х, а мы будем заниматься лишь действительными решениями.

С помощью формул Эйлера частные решения ij\ и у2 уравнения (1) можно представить в виде Воспользовавшисьтеоремой 4, получим, что частными решениями уравнения (1) будут также функции _ Эти решения линейно независимы, так как Решения образуют фундаментальную систему решений уравне-ния (1), общее решение которого в этом случае имеет вид или Пример 3.

Найти общее решение уравнения 4 Характеристическое уравнение имеет кратные корни Поэтому общее решение исходного дифференциального уравнения: Замечание. Пусть имеем линейное однородное дифференциальное уравнение (вообще, с переменными коэффициентами) Пусть — частное решение уравнения. Введем новую искомую функцию ti(x) соотношением (разрешимым относительно н(х) в тех интервалах, где yi(x) не обращается в нуль).

Из этого соотношения найдем производные от у : и подставим их в уравнение (5): Для функции и(х) получаем опять уравнение порядка п, но коэффициент при м(х) есть £(yil-Он тождественно равен нулю, так как yi (х) есть решение уравнения (5). Следовательно, в полученном уравнении порядок понизится, если ввести новую искомую функцию z(x) = и'(х).

Разделив, кроме того, все члены последнего уравнения на yi(x) Ф 0, приведем его к виду Итак, если известно частное решение уравнения (5), то задача интегрирования этого уравнения приводится к интегрированию линейного однородного уравнения порядка п — \. Можно показать, что если известны два частных линейно независимых решения, то порядок уравнения может быть понижен на две единицы. Вообше, если известно г частных линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения, то порядок этого уравнения может быть понижен на г единиц. 6.2.

Физические приложения: уравнение колебаний Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами возникают в задачах о механических и электрических колебаниях. Рассмотрим уравнение свободных механических колебаний, причем независимой переменной будем считать время t: где у — отклонение колеблющейся точки от положения равновесия, rh — масса точки, h — коэффициент трения (считаем, что сила трения пропорциональна скорости), к > 0 — коэффициент упругости восстанавливающей силы (считаем, что эта сила пропорциональна отклонению).

Характеристическое уравнение

Характеристическое уравнение для (6) имеет корни Если трение достаточно велико, h2 > Атк, то эти корни действительные и отрицательные. Общее решение уравнения (6) в этом случае имеет вид Так как то из (7) заключаем, что при большом трен и и отклонение точки от положения равновесия с возрастанием t стремится к нулю, не совершая колебаний. Если трение мало, Атк, то характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные корни Общее решение уравнения (6) в этом случае определяется формулой или Отсюда видно, что в случае малого трения происходят затухающие колебания. Пусть теперь трение отсутствует, .

В этом случае характеристическое уравнение имеет чисто мнимые корни Решение уравне- ния (6) имеет вид . в этом случае происходят незатухающие гармонические колебания с частотой ш = и произвольными амплитудой А и начальной фазой 6. Задача. При каких 1) все решения уравнения стремятся к нулю при 2) каждое решение уравнения обращается в нуль на бесконечном множестве точек х? 6.3. Общий случай: уравнение произвольного порядка Рассмотрим теперь линейное однородное дифференциальное уравнение произвольного порядка п (п ^ 1) с постоянными коэффициентами ) гдерьрг,,Рп — действительные числа.

Общее решение дифференциального уравнения (8) находим так же, как и в случае уравнения второго порядка. Ищем решение в виде Подставляя вместо у величину еХх в уравнение (8), получаем , что приводит к характеристическому уравнению 2. Находим корни характеристического уравнения. 3. По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения уравнения (8), руководствуясь тем, что: а) Каждому действительному однократному корню А характеристическою уравнения соответствует частное решение уравнения (8).

б) Каждой паре однократных комплексно сопряженных корней соответствуют два линейно независимых частных решения уравнения (8). в) Каждому действительному корню А кратности г соответствует г линейно независимых частных решений уравнения (8). Рассмотрим случай в) подробнее. Пусть число А есть корень кратности г характеристического уравнения . Функцию будем рассматривать как функцию двух аргументов: ж и А.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Она имеет непрерывные производные по а: и по А всех порядков, причем Поэтому частные производные функции по х и по А не зависят от порядка дифференцирования (операции дифференцирования функции у по х и по А перестановочны), так что Воспользовавшись этой перестановочностью, а также тем, что Если А есть г-кратный корень характеристического уравнения то стало быть, правые части (10) и (11) тождественно по х равны нулю: Это означает, что функции являются в этом случае решениями уравнения (8).

Легко проверить, что функции линейно независимы на любом интервале (a, b) изменения х. г) Приведенные в пункте в) рассуждения сохраняют силу и для комплексных корней.

Поэтому каждой паре комплексно сопряженных корней p кратности \l отвечает 2/х частных решений уравнения 4. Число построенных таким образом частных решений уравнения (8) равно порядку п этого уравнения. Можно показать, что все эти решения линейно независимы в совокупности. Имея п линейно независимых частных решений 3/i(x), skfc). уп(я) уравнения (8), получаем общее решение этого уравнения, где произвольные постоянные. Прммер 4. Найти общее решение уравнения Составляем характеристическое уравнение: 2. Находим корни характеристического уравнения: 3.

По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения дифференциального уравнения: 4. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид Схема решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами Дифференциальное уравнение действительные числа). Характеристическое уравнение Корни характеристического уравнения Частные линейно независимые решения дифференциального уравнения Общее решение уравнения — произвольные постоянные). §7.

Уравнения, приводящие к уравнениям с постоянными коэффициентами Существуют линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, которые с помощью замены переменных преобразуются в уравнения с постоянными коэффициентами. К их числу принадлежит уравнение Эйлера где pi.tp2, —tPn — постоянные числа.

Ограничимся рассмотрением уравнения Эйлера 2-го порядка (оно встречается в задачах математической физики): Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Общий случай: уравнение произвольного порядка Физические приложения: уравнение колебаний Уравнения, приводящие к уравнениям с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Положим Подставляя выражения для , получим дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.

Последнее интегрируется обычным приемом: составляем характеристическое уравнение находим его корни и по характеру корней выписываем общее решение уравнения (2), после чего возвращаемся к старой переменной х. Пример. Найти общее решение уравнения Замена переменной х = приводит к уравнению характеристическое уравнение которого имеет корни Общее решение преобразованного уравнения равно Учитывая, что , для общего решения исходного уравнения получаем выражение Замечание 1.

Для преобразованного уравнения (2) в случае действительных и различных корней характеристического уравнения (3) частные решения имеют вид Поэтому можно сразу задаться этим видом частного решения. Подставляя в уравнение (1), получим для к уравнение ) совпадающее с (3). Каждому простому действительному корню уравнения (4) отвечает частное решение уравнения (1); двукратному корню отвечают два решения уравнения (1).

Паре комплексных сопряженных корней уравнения (4) будут соответствовать два решения уравнения (I). Замечание 2. Уравнение постоянные числа) подстановкой также приводится к уравнению с постоянными коэффициентами. §8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Линейное неоднородное дифференциальное уравнение п-го порядка имеет вид Здесь заданные на некотором интервале (а, р) функции. Если ао(ж) Ф 0 на (а, то после деления на ац(х) получим уравнение.

Из теоремы 1 существования и единственности решения задачи Коши получаем: если на отрезке [а, 6] коэффициенты Рк(х) и правая часть /(х) уравнения (2) непрерывны, то это уравнение имеет единственное решение, удовлетворяющее условиям Уравнение (2) можно записать в виде где, как и выше, Теорема 12. Если у(х) есть решение неоднородного уравнения есть решение соответствующего однородного уравнения мПо условию, В силу линейности оператора £ имеем Это означает, что функция есть решение уравнения Теорема 13.

Если у\(х) есть решение уравнения есть решение уравнения та функция есть решение уравнения По условию, используя линейность оператора £, получаем Последнее означает, что функция есть решение уравнения Теорема выражает так называемый принцип суперпозиции (наложения). Теорема 14. Если уравнение где все коэффициенты и функции действительные, имеет решение то действительная часть решения и(х) и его мнимая часть v(x) являются соответственно решениями уравнений.

По условию имеем Отсюда получаем: Теорема 15 (о структуре общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения). Общее решение в области — уравнения с непрерывными на отрезке коэффициентами , и правой частью f(x) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-нибудь частного решения у(х) неоднородного уравнения, т. е. Надо доказать, что где произвольные постоянные, линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения £[у] = 0, является общим решением неоднородного уравнения.

Будем исходить из определения общего решения и просто проверим, что семейство функций у(ж), определяемое формулой (4), удовлетворяет условиям 1) и 2), содержащимся в этом определении. В самом деле, функция у(х), определяемая формулой (4), является решением уравнения (2) при любых значениях постоянных, поскольку сумма какого-либо решения неоднородного уравнения и любого решения соответствующего однородного уравнения есть решение неоднородного уравнения.

Так как для уравнения (2) при х 6 [а, Ь] выполнены условия теоремы 1 существования и единственности решения задачи Коши, то остается показать, что подбором постоянных С\, в (4) можно удовлетворить произвольно заданным начальным условиям где хо € (а,6), т.е. можно решить любую задачу Коши. Ограничимся случаем, когда п = 3.

Потребовав, чтобы решение (4) удовлетворяло начальным условиям (5), приходим к системе уравнений для отыскания Эта линейная по отношению к система трех уравнений с тремя неизвестными допускает единственное решение относительно з при произвольных правых частях, так как определитель этой системы есть определитель Вронского W(x$) для линейно независимой системы решений соответствующего однородного уравнения и, следовательно, отличен от нуля в любой точке ж € (а, Ь), в частности в точке ж = жо.

уо, Уо> Уо» найдется решение С?, С?, Cj системы (6) такое, что функция будет решением дифференциального уравнения (2), удовлетворяющим начальным условиям Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами Общий случай: уравнение произвольного порядка Физические приложения: уравнение колебаний.

Уравнения, приводящие к уравнениям с постоянными коэффициентами Линейные неоднородные дифференциальные уравнения Из этой теоремы следует, что задача нахождения общего решения линейного неоднородного уравнения сводится к отысканию какого-либо частного решения этого неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения. Интегрирование линейного неоднородного дифференциального уравнения методом вариации постоянных 155 Пример 1.

Найти общее решение уравнения М Нетрудно заметить, что функция является частным решением данного неоднородного уравнения. Чтобы найти общее решение этого уравнения, остается отыскать общее решение соответствующего однородного уравнения Это уравнение есть линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение, соответствующее уравнению , есть корни его Поэтому общее решение уравнения (*) имеет вид . Общее решение исходного неоднородного уравнения:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид

где p и q — действительные числа. Рассмотрим на примерах, как решаются однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решение линейного однородного однородного дифференциального уравнения второго порядка зависит от корней характеристического уравнения. Характеристическое уравнение — это уравнение k²+pk+q=0.

1) Если корни характеристического уравнения — различные действительные числа:

то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

2) Если корни характеристического уравнения — равные действительные числа

(например, при дискриминанте, равном нулю), то общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка есть

3) Если корни характеристического уравнения — комплексные числа

(например, при дискриминанте, равном отрицательному числу), то общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка записывается в виде

Примеры решения линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Найти общие решения однородных дифференциальных уравнений второго порядка:

Составляем характеристическое уравнение: k²-7k+12=0. Его дискриминант D=b²-4ac=1>0, поэтому корни — различные действительные числа.

Отсюда, общее решение этого однородного ДУ 2-го порядка есть

Составим и решим характеристическое уравнение:

Корни действительные и различные. Отсюда имеем общее решение данного однородного дифференциального уравнения:

В этом случае характеристическое уравнение

Корни различны и действительны. Поэтому общее решение однородного дифференциального уравнения 2-го порядка здесь

Поскольку корни действительны и равны, для этого дифференциального уравнения общее решение записываем как

Характеристическое уравнение здесь

Так как дискриминант — отрицательное число, корни характеристического уравнения — комплексные числа.

Общее решение этого однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид

Отсюда находим общее решение данного диф. уравнения:

Примеры для самопроверки.

Найти общее решение однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами:

Случай равных корней характеристического многочлена

Если характеристическое уравнение имеет два равных корня, то общее решение имеет вид:

f(n)= a∙r₁ n + β∙n∙r₁ n .

Доказательство. В случае равных корней характеристического уравнения выражение f(n)= a∙r₁ n + β∙r₁ n нельзя считать общим решением, так как в формуле f(n)= a∙r₁ n + β∙r₁ n = r₁ n ∙ (a+β)= δ∙r₁ n останется только одна постоянная, и выбрать её так, чтобы удовлетворить двум начальным f(0)=a, f(1)=b условиям, невозможно. Найдем второе решение, отличное от r₁ n .

Если квадратное уравнение r 2 =С₁ r+С₂ имеет два совпадающих корня r₁= r₂ , то по теореме Виета С₁=2 r₁, а С₂= – r₁ 2 . Поэтому уравнение записывается так:

Тогда рекуррентное соотношение имеет вид:

Докажем, что nr₁ n является решением данного рекуррентного соотношения.

Подставим nr₁ n в полученное рекуррентное соотношение, получим верное равенство: (n+2)r₁ n +2 =2r₁(n+1)r₁ n +1 –r₁ 2 nr₁ n =2nr₁ n +2 + 2r₁ n +2 –nr₁ n +2 =(n+2)r₁ n +2 , значит, nr₁ n является решением данного рекуррентного соотношения.

Таким образом, имеем два решения рекуррентного соотношения: r₁ n и nr₁ n . Общее решение будет иметь вид: f(n)= ar₁ n + βnr₁ n .

Задача. Для последовательности с f(1)=0 и f(2)=8, удовлетворяющей рекуррентному соотношению f(к+2)=4f(к+1)–4f(к), выписать формулу общего члена.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: r 2 –4r+4=0, его корни r₁=r₂=2. Общее решение рекуррентного соотношения: f(к)= a∙2 к + β∙к∙2 к . Найдем коэффициенты a и β, пользуясь тем, что f(1)=0 и f(2)=8. Решим систему уравнений:

Получим a=–2 и β=2. Формула общего члена: f(n)=
–2 ( n +1) +n∙2 ( n +1) .

Линейные рекуррентные соотношения, порядок которых больше 2, решаются аналогично.

Задача. Найдем общее решение рекуррентного соотношения:

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид: r 4 -5r 3 +6r 2 +4r-8=0.

Значит, общее решение имеет вид:

f(n)=2 n -1 (a+β∙n+γ∙n 2 )+δ(–1) n -1 .

Асимптотики – это искусство оценивания и сравнения скоростей роста функций.

Нередко в задачах на нахождение общего решения рекуррентного соотношения не требуется точное значение n-го члена, чаще бывает достаточной оценка порядка, а иногда требуется только оценка скорости роста функции f(n). Для описания роста функции используется О-символика (ввел Поль Бахман в 1894 г.).

Запись f(n)=O(g(n)) означает, что существуют положительные константы M и n₀, такие, что для всех целых n≥n₀.

Пример 1.

Для рекуррентного соотношения f(n)=5f(n–1)–6f(n–2) с начальными членами f(1)=0 и f(2)=13 общее решение имеет вид f(n)=2 n +3 n . Можно сказать, что f(n)=O(3 n ).

Докажем это. Здесь M=2, а n₀ =1.

Неравенство 2 n +3 n ≤3 n +3 n верно для всех n≥1

3 n +3 n =2∙3 n , значит, 2 n +3 n ≤2∙3 n , следовательно, f(n)=O(3 n )

Пример 2.

Для последовательности Фибоначчи, как было доказано выше, формула общего члена имеет вид: . Легко доказать, что f_n=O(2 n ).

Соотношение f(n)=O(g(n)) называют асимптотическим соотношением, оно означает, что функция f(n) растет не быстрее, чем функция g(n). Определены еще два асимптотических отношения.

Определение 1. Функция f(x) асимптотически равна (эквивалентна) g(x) (обозначается f(x)

g(x)) при x®x0, если lim (f(x)/g(x))=1.

Если функция f(x) эквивалентна g(x), то это означает, что f(x) растет с такой же скоростью, как и g(x).

Определение 2. f(x)=o(g(x)) при x®x0, если lim (f(x)/g(x))=0.

Если f(x)=o(g(x)), то это означает, что функция f(x) растет медленнее, чем g(x).

Замечание. В соотношениях, использующих О-символику, левые и правые части не симметричны: правая часть всегда содержит меньше информации, чем левая, и поэтому нельзя в любом контексте заменять левую часть выражения правой. Например, из двух корректных асимптотических равенств х=О(х 2 ) и х 2 =О(х 2 ) не следует, что х=х 2 .

Примеры.

1. Полином асимптотически равен своему старшему члену:

при х®¥.

2. Полином f(n)=2n 5 +6n 4 +6n 2 +18 есть О(n 5 ).

3. Функция f(n)=2 n есть O(2 n +1 ) и o(5 n +1 ).

4. Для линейного рекуррентного соотношения общее решение имеет вид:

f(n)=С₁r ₁ n +C₂r₂ n +…+C_kr_k n . Если нас интересует только асимптотическое поведение последовательности, то достаточно рассмотреть лишь члены Ci(r_i ) n , у которых r_i имеет максимальное абсолютное значение среди тех членов, у которых Ci≠0.

Существуют оценки и асимптотики для комбинаторных чисел. Наиболее известна асимптотика для чисел n!, называемая формулой Стирлинга: n!

.

О-символику используют также для оценки сложности алгоритма. Одной из важнейших характеристик алгоритма является его временная сложность в худшем случае.

Пусть некоторая задача имеет размерность n (например, длина массива при сортировке). Обозначим через t(n) максимальное число действий, необходимое для решения задачи. Под действием понимают выполнение «простой» операции – любой арифметической операции, операции сравнения, присваивания и т. п. При этом сложность алгоритма зависит от конкретного вида команд. Поэтому при оценке интересует лишь асимптотическая сложность алгоритма, то есть порядок роста сложности при условии, что размер задачи неограниченно возрастает.

Алгоритм считается достаточно хорошим, если сложность этого алгоритма есть О(n k ) при некотором k>0. В таком случае говорят, что задача может быть решена за полиномиальное время, а сам алгоритм называется полиномиальным.