Корни характеристического уравнения системы на комплексной плоскости

Корневые критерии устойчивости

1) отрицательная вещественная часть

Устойчивая система.

2) положительные вещественные корни

Неустойчивая система

3) корни комплексно-сопряженные с

отрицательной вещественной частью

затухающие гармонические колебания

Система устойчива.

4) комплексно-сопряженные с положительной

Неустойчивая система

5) комплексные корни (чисто мнимые)

монотонный колебательный процесс

с постоянной частотой и амплитудой.

Система на границе устойчивости.

Вывод:Чтобы САУ была устойчивой необходимо, чтобы вещественные части корней были отрицательными. Если хотя бы один корень имеет положительную вещественную часть, то процесс будет расходящийся а система – неустойчива.

Если корень равен 0, то малейшее появление отрицательной составляющей сделает процесс устойчиво колебательным, а положительной – неустойчиво колебательным.

Часто корни характеристического уравнения при анализе устойчивости систем изображают на комплексной плоскости – плоскости корней характеристического уравнения

Комплексная плоскость мнимой осью разбивается на 2 части. Левую сторону называют областью устойчивости,а правую – областью неустойчивого движения.

Если корни лежат на мнимой оси или в 0, то система находится на границе устойчивости.

Вывод:Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Если хоть один корень справа, то система неустойчива. Таким образом, мнимая ось есть граница, за которую корни не должны переходить.

Если система имеет хотя бы один нулевой корень или хотя бы одну пару чисто мнимых корней, а все остальные корни имеют отрицательную вещественную часть, то система находится на границе устойчивости. При этом выделяют 3 типа границ устойчивости линейных систем:

1. Апериодическая граница устойчивости, которая соответствует р=0. Когда корень – нуль, то в характеристическом уравнении и система будет устойчива относительно скорости изменения управляемой величины, а сама управляющая величина может принимать произвольное значение. Система является нейтрально устойчивой.

2. Колебательная граница устойчивости, которой соответствуют чисто мнимые корни

В связи с тем, что корни характеристического уравнения определять трудно для систем высокого порядка, были разработан целый ряд критериев, с помощью которых судят об устойчивости систем.

Алгебраические критерии.

Критерий устойчивости Гурвица.

При рассмотрении алгебраических критериев используются лишь коэффициенты характеристического уравнения и необходимые и достаточные условия устойчивости систем.

Необходимое условие является справедливым для всех систем:

Все коэффициенты характеристического уравнения должны быть положительными

Необходимое условие является и достаточным для систем 1-го и 2-го порядка.

Для устойчивости линейной САУ по критерию Гурвица необходимо и достаточно, чтобы были положительными n главных определителей матрицы коэффициентов характеристического уравнения заданной системы (знаменатель передаточной функции):

Матрица коэффициентов

По диагонали от левого верхнего угла до правого нижнего выписывают все коэффициенты по порядку от а₁ до аn. Каждая строка дополняется коэффициентами с возрастающими индексами слева направо так, чтобы чередовались строки с чётными и нечётными индексами. В случае отсутствия даннного коэффициента или если его индекс n, то на его место пишется 0.

а1 а3 а5 ………0 1=а1>0

а0 а2 а4 ………0 а1 а3

0 а1 а3 а5…. 0 2= а0 а2

………………. а1 а3 а5

…………………

Если аn=0 , то имеет место апериодическая граница устойчивости.

Если n₁=0, то это колебательная граница устойчивости.

Критерий Раусса.

Так же базируется на коэффициентах характеристического уравнения, из которого строится таблица.

Для устойчивости систем по критерию Раусса необходимо и достаточно чтобы при а0>0 все коэффициенты первого столбца таблицы Раусса были положительными.

Для устойчивости системы все коэффициенты 1-го столбца должны быть больше 0

Частотные критерии

Критерий Михайлова.

Критерий базируется на поведении кривой, которую описывает конец вектора (X(ω),Y(ω)) замкнутой системы при изменении частоты от 0 до + .

Возьмём характеристический полином следующего вида:

(1)

Подставим в него и выделим вещественную и мнимую части.

— вещественная часть,

— мнимая часть.

Изобразим годограф Михайловавыражения на комплексной плоскости.

Берём значения и строим годограф. Для различных годограф имеет формы, представленные на рисунке. Эти годографы называются кривыми Михайлова.Кривая Михайлова строится по точкам, рассчитывается и для данной частоты, на кривой указываются значения частоты.

Формулировка критерия Михайлова.

Чтобы САР была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы вектор D(jω) при изменении частоты от 0 до +∞ начал движение с точки, лежащей на положительной вещественной оси, и, вращаясь только против часовой стрелки и нигде не обращаясь в нуль, прошел последовательно n квадрантов комплексной плоскости, повернувшись на угол n∙π/2, где n – степень характеристического уравнения D(jω)=0

Другими словами, требуется, чтобы кривая Михайлова проходила последовательно квадрантов против часовой стрелки, всё время огибая начало координат и уходила в в том квадранте, номер которого соответствует показателю степени полинома. Если это условие не выполняется, то система является неустойчивой.

Устойчивая Неустойчивая Апериодическая Колебательная

граница устойчивости граница устойчивости

Другая формулировка критерия Михайлова:

Она состоит в использовании свойства перемежаемости корней многочленов и .

Идя по кривой Михайлова от т. в направлении возрастания частоты, мы выходим из оси , затем пересекаем ось , потом снова и т. д.

Это значит, что корни уравнений и должны следовать поочерёдно друг за другом.

Кривые и имеют приблизительно такой вид:

Перемежаться должны корни , , ,… Между ними должно быть следующее соотношение:

Условием устойчивости системы является перемежаемость корней полиномов вещественной и мнимой частей комплексной передаточной функции. Нарушение этого условия говорит о неустойчивости системы.

Корни характеристического уравнения системы на комплексной плоскости

8.1. Понятие устойчивости системы

Под устойчивостью системы понимается способность ее возвращаться к состоянию установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система непрерывно удаляется от равновесного состояния или совершает вокруг него колебания с возрастающей амплитудой.

Устойчивость линейной системы определяется не характером возмущения, а структурой самой системы (рис.61). Говорят, что система устойчива «в малом» , если определен факт наличия устойчивости, но не определены ее границы. Система устойчива «в большом» , когда определены границы устойчивости и то, что реальные отклонения не выходят за эти границы.

В соответствии с классическим методом решение дифференциального уравнения ищется в виде:

y(t) = y вын (t) + y св (t).

Здесь yсв(t) — общее решение однородного дифференциального уравнения , то есть уравнения с нулевой правой частью:

a o y (n) + a 1 y (n-1) + . + a _(n-1) y’ + a _(n) y = 0.

Физически это означает, что все внешние воздействия сняты и система абсолютно свободна, ее движения определяются лишь собственной структурой. Поэтому решение данного уравнения называется свободной составляющей общего решения. y вын (t) — частное решение неоднородного дифференциального уравнения , под которым понимается уравнение с ненулевой правой частью. Физически это означает, что к системе приложено внешнее воздействие u(t) . Поэтому вторая составляющая общего решения называется вынужденный . Она определяет вынужденный установившийся режим работы системы после окончания переходного процесса.

Можно провести аналогию между САУ и пружиной, колебания которой описываются аналогичным дифференциальным уравнением (рис.62). Оттянем пружину, а затем отпустим, предоставив ее самой себе. Пружина будет колебаться в соответствии со свободной составляющей решения уравнения, то есть характер колебаний будет определяться только структурой самой пружины. Если в момент времени t = 0 подвесить к пружине груз, то на свободные колебания наложится внешняя сила Р . После затухания колебаний, описываемых только свободной составляющей общего решения, система перейдет в новый установившийся режим, характеризуемый вынужденной составляющей y вын = y(t ) . Если внешнее воздействие само будет изменяться по синусоидальному закону P = P _o sin(t + ) , то после затухания переходного процесса система будет совершать вынужденные колебания с той же частотой, что и вынуждающая сила, то есть y вын = y _max sin(t + y).

Каждая составляющая общего решения уравнения динамики ищется отдельно. Вынужденная составляющая ищется на основе решения уравнения статики для данной системы для времени t . Свободная составляющая представляет собой сумму из n отдельных составляющих: , где p _i корни характеристического уравнения D(p) = a ₀ p _n + a 1 p _n -1 + a 2 p _n -2 + . + a n = 0 . Корни могут быть либо вещественными p _i = a _i , либо попарно комплексно сопряженными p _i = a _i ± ji . Постоянные интегрирования А _i определяются исходя из начальных и конечных условий, подставляя в общее решение значения u, y и их производные в моменты времени t = 0 и t .

Каждому отрицательному вещественному корню соответствует экспоненциально затухающая во времени составляющая y св (t) _i , каждому положительному — экспоненциально расходящаяся, каждому нулевому корню соответствует y св (t) i = const (рис.63). Пара комплексно сопряженных корней с отрицательной вещественной частью определяет затухающие колебания с частотой i , при положительной вещественной части — расходящиеся колебания, при нулевой — незатухающие (рис.64).

Так как после снятия возмущения y вын (t) = 0 , то устойчивость системы определяется только характером свободной составляющей y св (t) . zПоэтому условие устойчивости систем по Ляпунову формулируется так: в устойчивой системе свободная составляющая решения уравнения динамики, записанному в отклонениях, должна стремиться к нулю, то есть затухать.

Исходя из расположения на комплексной плоскости корни с отрицательными вещественными частями называются левыми , с положительными — правыми (рис.65).

Поэтому условие устойчивости линейной САУ можно сформулировать следующим образом: для того, чтобы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все корни ее характеристического уравнения были левыми. Если хотя бы один корень правый, то система неустойчива. Если один из корней равен нулю (в системах, где a n = 0 ), а остальные левые, то система находится на границе апериодической устойчивости . Если равны нулю вещественные части одной или нескольких пар комплексно сопряженных корней, то система находится на границе колебательной устойчивости .

Правила, позволяющие судить о знаках корней характеристического уравнения без его решения, называются критериями устойчивости . Их можно разделить на алгебраические (основаны на составлении по данному характеристическому уравнению по определенным правилам алгебраических выражений, по которым можно судить об устойчивости САУ) и частотные (основаны на исследовании частотных характеристик).

8.2. Алгебраические критерии устойчивости

8.2.1. Необходимое условие устойчивости

Характеристическое уравнение системы с помощью теоремы Виета может быть записано в виде

D(p) = a o p n + a 1 p n-1 + a 2 p n-2 + . + a _n = a o (p-p ₁ )(p-p ₂ ). (p-p _n ) = 0,

где p ₁ , p ₂ , . p _n — корни этого уравнения. Если система устойчива, значит все корни левые, то есть вещественные части всех корней

отрицательны, что можно записать как a _i = -|a _i | . Подставим их в уравнение:

a ₀ (p + |a 1 |)(p + |a 2 | — j2)(p + |a 2 | + j2). = 0.

Перемножая комплексно сопряженные выражения, получим:

a ₀ (p + |a 1 |)((p + |a 2 |)2 + (2)2). = 0.

После раскрытия скобок должно получиться выражение

a ₀ p n + a 1 p n-1 + a 2 p n-2 + . + a n = 0.

Так как в скобках нет ни одного отрицательного числа, то ни один из коэффициентов a ₀ ,a 1 . a n не будет отрицательным. Поэтому необходимым условием устойчивости САУ является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения: a ₀ > 0, a 1 > 0, . , a n > 0 . В дальнейшем будем рассматривать только уравнения, где a ₀ > 0 . В противном случае уравнение домножается на -1.

Рассмотренное условие является необходиным, но не достаточным условием. Необходимые и достаточные условия дают алгебраические критерии Рауса и Гурвица.

8.2.1. Критерий Рауса

Раус предложил критерий устойчивости САУ в виде алгоритма, по которому заполняется специальная таблица с использованием коэффициентов характеристического уравнения:

1) в первой строке записываются коэффициенты уравнения с четными индексами в порядке их возрастания;

2) во второй строке — с нечетными;

3) остальные элементы таблицы определяется по формуле: c _k,i = c _{k+ 1,i — 2} — ric _{k + 1,i — 1} , где ri = c _{1,i — 2} /c _{1,i — 1} , i 3 — номер строки, k — номер столбца.

4) Число строк таблицы Рауса на единицу больше порядка характеристического уравнения.

Алгебраические критерии устойчивости САР

Алгебраические критерии устойчивости САР

Вопросом определения устойчивости систем автоматического регулирования, не решая исходных дифференциальных или характеристических уравнений, занимались многие ученые. В результате были сформулированы условия устойчивости в виде так называемых критериев устойчивости, каждый из которых применяют в зависимости от того, какими исходными характеристиками и данными располагаем. Существуют различные формы критериев устойчивости, но математически эти формы критериев устойчивости эквивалентны, так как все они определяют условия, при которых корни характеристического уравнения лежат в левой части комплексной плоскости.

Расположение корней для устойчивой и неустойчивой автоматических систем

Если известны исходные дифференциальные уравнения автоматической системы, то чаще всего применяюталгебраические критерии устойчивости.

Было установлено, что необходимым, но недостаточным условием устойчивости автоматической системы является положительность всех коэффициентов характеристического уравнения

Это значит, что при положительности всех коэффициентов характеристического уравнения автоматическая система может быть устойчивой, но не исключена возможность того, что данная автоматическая система будет неустойчивой. Если же не все коэффициенты характеристического уравнения положительны, то автоматическая система является неустойчивой и никаких дополнительных исследований устойчивости не требуется.

Заметим, что возможны случаи, когда вместо того, чтобы быть положительными, все коэффициенты характеристического уравнения могут быть отрицательными. Тогда умножая все члены характеристического уравнения на минус единицу, формально можно сделать их положительными и, казалось бы указанное выше условие выполняется, хотя на самом деле автоматическая система неустойчива.

Критерий Вышнеградского. Расположение корней характеристического уравнения системы третьего порядка на комплексной плоскости положено в основу метода . Исследуя систему третьего порядка

ввел новую переменную

и получил новое уравнение

Постоянные А и В выражены через коэффициенты характеристического уравнения следующим образом:

Исходя из этого определил условия устойчивости для систем третьего порядка:

1. Автоматическая система будет устойчивой еслиА·В > 1;
2. Автоматическая система будет неустойчивой еслиА·В а0 а3;
2. Автоматическая система будет неустойчивой если а1а2 а3 2а0;
2. Автоматическая система будет неустойчивой если а1( а3 а2 —а4 а1)