Корни характеристического уравнения типа седло

ЛЕКЦИЯ 4

Модели, описываемые системами двух автономных дифференциальных уравнений.

Фазовая плоскость. Фазовый портрет. Метод изоклин. Главные изоклины. Устойчивость стационарного состояния. Линейные системы. Типы особых точек: узел, седло, фокус, центр. Пример: химические реакции первого порядка.

Наиболее интересные результаты по качественному моделированию свойств биологических систем получены на моделях из двух дифференциальных уравнений, которые допускают качественное исследование с помощью метода фазовой плоскости. Рассмотрим систему двух автономных обыкновенных дифференциальных уравнений общего вида

(4.1)

P(x,y), Q(x,y) — непрерывные функции, определенные в некоторой области G евклидовой плоскости ( x,y ‑ декартовы координаты) и имеющие в этой области непрерывные производные порядка не ниже первого.

Область G может быть как неограниченной, так и ограниченной. Если переменные x, y имеют конкретный биологический смысл (концентрации веществ, численности видов) чаще всего область G представляет собой положительный квадрант правой полуплоскости:

Концентрации веществ или численности видов также могут быть ограничены сверху объемом сосуда или площадью ареала обитания. Тогда область значений переменных имеет вид:

Переменные x, y во времени изменяются в соответствии с системой уравнений (4.1), так что каждому состоянию системы соответствует пара значений переменных ( x, y) .

Изображающая точка на фазовой плоскости

Обратно, каждой паре переменных ( x, y) соответствует определенное состояние системы.

Рассмотрим плоскость с осями координат, на которых отложены значения переменных x,y. Каждая точка М этой плоскости соответствует определенному состоянию системы. Такая плоскость носит название фазовой плоскости и изображает совокупность всех состояний системы. Точка М(x,y) называется изображающей или представляющей точкой.

Пусть в начальный момент времени t=t₀ координаты изображающей точки М₀( x( t₀) , y( t₀)) . В каждый следующий момент времени t изображающая точка будет смещаться в соответствии с изменениями значений переменных x( t) , y( t) . Совокупность точек М( x( t) , y(t)) на фазовой плоскости, положение которых соответствует состояниям системы в процессе изменения во времени переменных x(t), y(t) согласно уравнениям (4.1), называется фазовой траекторией.

Совокупность фазовых траекторий при различных начальных значениях переменных дает легко обозримый «портрет» системы. Построение фазового портрета позволяет сделать выводы о характере изменений переменных x, y без знания аналитических решений исходной системы уравнений (4.1).

Для изображения фазового портрета необходимо построить векторное поле направлений траекторий системы в каждой точке фазовой плоскости. Задавая приращение D t>0, получим соответствующие приращения D x и D y из выражений:

Направление вектора dy/dx в точке ( x, y) зависит от знака функций P(x, y), Q(x, y) и может быть задано таблицей:

Задача построения векторного поля упрощается, если получить выражение для фазовых траекторий в аналитическом виде. Для этого разделим второе из уравнений системы (4.1) на первое:

. (4.2)

Решение этого уравнения y = y( x, c) , или в неявном виде F( x,y) =c, где с – постоянная интегрирования, дает семейство интегральных кривых уравнения (4.2) ‑ фазовых траекторий системы (4.1) на плоскости x, y.

Для построения фазового портрета пользуются методом изоклин – на фазовой плоскости наносят линии, которые пересекают интегральные кривые под одним определенным углом. Уравнение изоклин легко получить из (4.2). Положим

где А – определенная постоянная величина. Значение А представляет собой тангенс угла наклона касательной к фазовой траектории и может принимать значения от – ¥ до + ¥ . Подставляя вместо dy/dx в (4.2) величину А получим уравнение изоклин:

. (4.3)

Уравнение (4.3) определяет в каждой точке плоскости единственную касательную к соответствующей интегральной кривой за исключением точки, где P (x,y) = 0, Q ( x,y) = 0, в которой направление касательной становится неопределенным, так как при этом становится неопределенным значение производной:

Эта точка является точкой пересечения всех изоклин – особой точкой. В ней одновременно обращаются в нуль производные по времени переменных x и y.

Таким образом, в особой точке скорости изменения переменных равны нулю. Следовательно, особая точка дифференциальных уравнений фазовых траекторий (4.2) соответствует стационарному состоянию системы (4.1), а ее координаты – суть стационарные значения переменных x, y.

Особый интерес представляют главные изоклины:

dy/dx=0, P ( x,y) =0 – изоклина горизонтальных касательных и

dy/dx= ¥ , Q ( x,y) =0 – изоклина вертикальных касательных.

Построив главные изоклины и найдя точку их пересечения (x,y), координаты которой удовлетворяют условиям:

мы найдем тем самым точку пересечения всех изоклин фазовой плоскости, в которой направление касательных к фазовым траекториям неопределенно. Это – особая точка, которая соответствует стационарному состоянию системы (рис. 4.2).

Система (4.1) обладает столькими стационарными состояниями, сколько точек пересечения главных изоклин имеется на фазовой плоскости.

Каждая фазовая траектория соответствует совокупности движений динамической системы, проходящих через одни и те же состояния и отличающихся друг от друга только началом отсчета времени.

Рис. 4.2. Пересечение главных изоклин на фазовой плоскости.

Таким образом, фазовые траектории системы – это проекции интегральных кривых в пространстве всех трех измерений x, y, t на плоскость x, y (рис.4.3).

Рис. 4.3. Траектории системы в пространстве ( x, y, t).

Если условия теоремы Коши выполнены, то через каждую точку пространства x, y, t проходит единственная интегральная кривая. То же справедливо, благодаря автономности, для фазовых траекторий: через каждую точку фазовой плоскости проходит единственная фазовая траектория.

Устойчивость стационарного состояния

Пусть система находится в состоянии равновесия.

Тогда изображающая точка находится в одной из особых точек системы, в которых по определению:

Устойчива или нет особая точка, определяется тем, уйдет или нет изображающая точка при малом отклонении от стационарного состояния. Применительно к системе из двух уравнений определение устойчивости на языке e , d выглядит следующим образом.

Состояние равновесия устойчиво, если для любой заданной области отклонений от состояния равновесия ( e ) можно указать область d ( e ) , окружающую состояние равновесия и обладающую тем свойством, что ни одна траектория, которая начинается внутри области d , никогда не достигнет границы e . (рис. 4.4)

Иллюстрация к определению устойчивости области e и d на плоскости ( x,y)

Для большого класса систем – грубых систем – характер поведения которых не меняется при малом изменении вида уравнений, информацию о типе поведения в окрестности стационарного состояния можно получить, исследуя не исходную, а упрощенную линеаризованную систему.

Рассмотрим систему двух линейных уравнений:

. (4.4)

Здесь a, b, c, d — константы, x, y ‑ декартовы координаты на фазовой плоскости.

Общее решение будем искать в виде:

. (4.5)

Подставим эти выражения в (4.4) и сократим на e l t :

(4.6)

Алгебраическая система уравнений (4.6) с неизвестными A, B имеет ненулевое решение лишь в том случае, если ее определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, равен нулю:

Раскрывая этот определитель, получим характеристическое уравнение системы:

. (4.7)

Решение этого уравнения дает значения показателя l _1,2 , при которых возможны ненулевые для A и B решения уравнения (4.6). Эти значения суть

. (4.8)

Если подкоренное выражение отрицательно, то l _1,2 комплексно сопряженные числа. Предположим, что оба корня уравнения (4.7) имеют отличные от нуля действительные части и что нет кратных корней. Тогда общее решение системы (4.4) можно представить в виде линейной комбинации экспонент с показателями l ₁ , l ₂ :

_(4.9)

Для анализа характера возможных траекторий системы на фазовой плоскости используем линейное однородное преобразование координат, которое позволит привести систему к каноническому виду:

, (4.10)

допускающее более удобное представление на фазовой плоскости по сравнению с исходной системой (4.4). Введем новые координаты ξ , η по формулам:

(4.1)

Из курса линейной алгебры известно, что в случае неравенства нулю действительных частей l ₁ , l ₂ исходную систему (4.4) при помощи преобразований (4.11) всегда можно преобразовать к каноническому виду (4.10) и изучать ее поведение на фазовой плоскости ξ , η . Рассмотрим различные случаи, которые могут здесь представиться.

Корни λ ₁ , λ ₂ – действительны и одного знака

В этом случае коэффициенты преобразования действительны, мы переходим от действительной плоскости x,y к действительной плоскости ξ, η. Разделив второе из уравнений (4.10) на первое, получим :

. (4.12)

Интегрируя это уравнение, находим :

, где . (4.13)

Условимся понимать под λ ₂ корень характеристического уравнения с большим модулем, что не нарушает общности нашего рассуждения. Тогда, поскольку в рассматриваемом случае корни λ ₁ , λ ₂ – действительны и одного знака, a >1 , и мы имеем дело с интегральными кривыми параболического типа.

Все интегральные кривые (кроме оси η, которой соответствует ) касаются в начале координат оси ξ, которая также является интегральной кривой уравнения (4.11). Начало координат является особой точкой.

Выясним теперь направление движений изображающей точки вдоль фазовых траекторий. Если λ ₁ , λ ₂ – отрицательны, то, как видно из уравнений (4.10), |ξ|, |η| убывают с течением времени. Изображающая точка приближается к началу координат, никогда, однако, не достигая его. В противном случае это противоречило бы теореме Коши, которая утверждает, что через каждую точку фазовой плоскости проходит лишь одна фазовая траектория.

Такая особая точка, через которую проходят интегральные кривые, подобно тому, как семейство парабол проходит через начало координат, носит название узла (рис. 4.5)

Рис. 4.5. Особая точка типа узел на плоскости канонических координат ξ, η

Состояние равновесия типа узел при λ ₁ , λ ₂ 0 устойчиво по Ляпунову, так как изображающая точка по всем интегральным кривым движется по направлению к началу координат. Это устойчивый узел. Если же λ ₁ , λ ₂ > 0, то |ξ|, |η| возрастают с течением времени и изображающая точка удаляется от начала координат. В этом случае особая точка – неустойчивый узел .

На фазовой плоскости x, y общий качественный характер поведения интегральных кривых сохранится, но касательные к интегральным кривым не будут совпадать с осями координат. Угол наклона этих касательных будет определяться соотношением коэффициентов α , β , γ , δ в уравнениях (4.11).

Корни λ ₁ , λ ₂ – действительны и разных знаков.

Преобразование от координат x,y к координатам ξ, η опять действительное. Уравнения для канонических переменных снова имеют вид (4.10), но теперь знаки λ ₁ , λ ₂ различны. Уравнение фазовых траекторий имеет вид :

где , (4.14)

Интегрируя (4.14), находим

(4.15)

Это уравнение определяет семейство кривых гиперболического типа, где обе оси координат – асимптоты (при a=1 мы имели бы семейство равнобочных гипербол) . Оси координат и в этом случае являются интегральными кривыми – это будут единственные интегральные кривые, проходящие через начало координат. Каждая из них состоит из трех фазовых траекторий : из двух движений к состоянию равновесия (или от состояния равновесия) и из состояния равновесия. Все остальные интегральные кривые – суть гиперболы, не проходящие через начало координат (рис. 4.6) Такая особая точка носит название «седло ». Линии уровня вблизи горной седловины ведут себя подобно фазовым траекториям в окрестности седла.

Рис. 4.6. Особая точка типа седло на плоскости канонических координат ξ , η

Рассмотрим характер движения изображающей точки по фазовым траекториям вблизи состояния равновесия. Пусть, например, λ ₁ >0 , λ ₂ . Тогда изображающая точка, помещенная на оси ξ, будет удаляться от начала координат, а помещенная на оси η – будет неограниченно приближаться к началу координат , не достигая его за конечное время . Где бы ни находилась изображающая точка в начальный момент (за исключением особой точки и точек на асимптоте η =0), она в конечном счете будет удаляться от состояния равновесия, даже если в начале она движется по одной из интегральных кривых по направлению к особой точке .

Очевидно, что особая точка типа седла всегда неустойчива . Только при специально выбранных начальных условиях на асимптоте η =0 система будет приближаться к состоянию равновесия. Однако это не противоречит утверждению о неустойчивости системы. Если считать , что все начальные состояния системы на фазовой плоскости равновероятны, то вероятность такого начального состояния, которое соответствует движению по направлению к особой точке, равна нулю. Поэтому всякое реальное движение будет удалять систему от состояния равновесия. Переходя обратно к координатам x,y, мы получим ту же качественную картину характера движения траекторий вокруг начала координат.

Пограничным между рассмотренными случаями узла и седла является случай, когда один из характеристических показателей, например λ ₁ , обращается в нуль, что имеет место, когда определитель системы – выражение ad-bc=0 (см. формулу 4.8 ). В этом случае коэффициенты правых частей уравнений (4.4) пропорциональны друг другу :

и система имеет своими состояниями равновесия все точки прямой :

Остальные интегральные кривые представляют собой семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом , по которым изображающие точки либо приближаются к состоянию равновесия, либо удаляются от него в зависимости от знака второго корня характеристического уравнения λ ₂ = a+d. (Рис.4. 7 ) В этом случае координаты состояния равновесия зависят от начального значения переменных.

Рис. 4.7. Фазовый портрет системы, один из характеристических корней которой равен нулю, а второй отрицателен.

В этом случае при действительных x и y мы будем иметь комплексные сопряженные ξ , η ( 4.10) . Однако , вводя еще одно промежуточное преобразование, можно и в этом случае свести рассмотрение к действительному линейному однородному преобразованию. Положим :

(4.16)

где a,b, и u,v – действительные величины. Можно показать, что преобразование от x,y к u,v является при наших предположениях действительным, линейным, однородным с детерминантом, отличным от нуля. В силу уравнений (4.10, 4.16) имеем :

(4.17)

Разделив второе из уравнений на первое , получим :

которое легче интегрируется , если перейти к полярной системе координат ( r, φ ) . После подстановки получим , откуда :

. (4.18)

Таким образом, на фазовой плоскости u, v мы имеем дело с семейством логарифмических спиралей, каждая из которых имеет асимптотическую точку в начале координат. Особая точка, которая является асимптотической точкой всех интегральных кривых, имеющих вид спиралей , вложенных друг в друга, называется фокусом ( рис.4.8 ) .

Рис. 4.8. Фазовый портрет системы в окрестности особой точки типа фокус на плоскости координат u, v .

Рассмотрим характер движения изображающей точки по фазовым траекториям. Умножая первое из уравнений (4.17) на u , а второе на v и складывая , получаем :

где

Пусть a ₁ 0 ( a ₁ = Re λ ) . Изображающая точка тогда непрерывно приближается к началу координат, не достигая его в конечное время. Это означает, что фазовые траектории представляют собой скручивающиеся спирали и соответствуют затухающим колебаниям переменных. Это – устойчивый фокус .

В случае устойчивого фокуса, как и в случае устойчивого узла, выполнено не только условие Ляпунова, но и более жесткое требование. Именно, при любых начальных отклонениях система по прошествии времени вернется как угодно близко к положению равновесия. Такая устойчивость, при которой начальные отклонения не только не нарастают, но затухают, стремясь к нулю, называют абсолютной устойчивостью .

Если в формуле (4.18) a₁ >0 , то изображающая точка удаляется от начала координат, и мы имеем дело с неустойчивым фокусом . При переходе от плоскости u,v к фазовой плоскости x , y спирали также останутся спиралями, однако будут деформированы.

Рассмотрим теперь случай, когда a ₁ =0 . Фазовыми траекториями на плоскости u, v будут окружности которым на плоскости x,y соответствуют эллипсы :

Таким образом, при a₁ =0 через особую точку x= 0 , y=0 не проходит ни одна интегральная кривая. Такая изолированная особая точка, вблизи которой интегральные кривые представляют собой замкнутые кривые, в частности, эллипсы, вложенные друг в друга и охватывающие особую точку, называется центром.

Таким образом, возможны шесть типов состояния равновесия в зависимости от характера корней характеристического уравнения (4.7). Вид фазовых траекторий на плоскости x, y для этих шести случаев изображен на рис. 4.9.

Рис. 4.9. Типы фазовых портретов в окрестности стационарного состояния для системы линейных уравнений (4.4).

Пять типов состояния равновесия грубые, их характер не изменяется при достаточно малых изменениях правых частей уравнений (4.4). При этом малыми должны быть изменения не только правых частей, но и их производных первого порядка. Шестое состояние равновесия – центр – негрубое. При малых изменениях параметров правой части уравнений он переходит в устойчивый или неустойчивый фокус.

Бифуркационная диаграмма

. (4.11)

Тогда характеристическое уравнение запишется в виде:

. (4.12)

Рассмотрим плоскость с прямоугольными декартовыми координатами s , D и отметим на ней области, соответствующие тому или иному типу состояния равновесия, который определяется характером корней характеристического уравнения

. (4.13)

Условием устойчивости состояния равновесия будет наличие отрицательной действительной части у l ₁ и l ₂ . Необходимое и достаточное условие этого – выполнение неравенств s > 0, D > 0 . На диаграмме (4.15) этому условию соответствуют точки, расположенные в первой четверти плоскости параметров. Особая точка будет фокусом, если l ₁ и l ₂ комплексны. Этому условию соответствуют те точки плоскости, для которых , т.е. точки между двумя ветвями параболы s 2 = 4 D . Точки полуоси s = 0, D >0, соответствуют состояниям равновесия типа центр. Аналогично, l ₁ и l ₂ — действительны, но разных знаков, т.е. особая точка будет седлом, если D , и т.д. В итоге мы получим диаграмму разбиения плоскости параметров s , D , на области, соответствующие различным типам состояния равновесия.

Рис. 4.10. Бифуркационная диаграмма

для системы линейных уравнений 4.4

Если коэффициенты линейной системы a, b, c, d зависят от некоторого параметра, то при изменении этого параметра будут меняться и величины s , D . При переходе через границы характер фазового портрета качественно меняется. Поэтому такие границы называются бифуркационными – по разные стороны от границы система имеет два топологически различных фазовых портрета и, соответственно два разных типа поведения.

На диаграмме видно, как могут проходить такие изменения. Если исключить особые случаи – начало координат, – то легко видеть, что седло может переходить в узел, устойчивый или неустойчивый при пересечении оси ординат. Устойчивый узел может перейти либо в седло, либо в устойчивый фокус, и т.д. Отметим, что переходы устойчивый узел – устойчивый фокус и неустойчивый узел – неустойчивый фокус не являются бифуркационными, так как топология фазового пространства при этом не меняется. Более подробно мы поговорим о топологии фазового пространства и бифуркационных переходах в лекции 6.

При бифуркационных переходах меняется характер устойчивости особой точки. Например, устойчивый фокус через центр может переходить в неустойчивый фокус. Эта бифуркация называется бифуркацией Андронова-Хопфа по именам исследовавших ее ученых. При этой бифуркации в нелинейных системах происходит рождение предельного цикла, и система становится автоколебательной (см. лекцию 8).

Пример. Система линейных химических реакций

Вещество Х притекает извне с постоянной скоростью, превращается в вещество Y и со скоростью, пропорциональной концентрации вещества Y, выводится из сферы реакции. Все реакции имеют первый порядок, за исключением притока вещества извне, имеющего нулевой порядок. Схема реакций имеет вид:

(4.14)

и описывается системой уравнений:

(4.15)

Стационарные концентрации получим, приравняв правые части нулю:

. (4.16)

Рассмотрим фазовый портрет системы. Разделим второе уравнение системы (4.16) на первое. Получим:

. (4.17)

Уравнение (4.17) определяет поведение переменных на фазовой плоскости. Построим фазовый портрет этой системы. Сначала нарисуем главные изоклины на фазовой плоскости. Уравнение изоклины вертикальных касательных:

Уравнение изоклины горизонтальных касательных:

Особая точка (стационарное состояние) лежит на пересечении главных изоклин.

Теперь определим, под каким углом пересекаются координатные оси интегральными кривыми.

Если x=0, то .

Таким образом, тангенс угла наклона касательной к интегральным кривым y=y(x), пересекающим ось ординат x=0, отрицателен в верхней полуплоскости (вспомним, что переменные x, y имеют значения концентраций, и поэтому нас интересует только правый верхний квадрант фазовой плоскости). При этом величина тангенса угла наклона касательной увеличивается с удалением от начала координат.

Рассмотрим ось y=0 . В месте пересечения этой оси интегральными кривыми они описываются уравнением

При тангенс угла наклона интегральных кривых, пересекающих ось абсцисс, положителен и увеличивается от нуля до бесконечности с увеличением x.

при .

Затем при дальнейшем увеличении тангенс угла наклона уменьшается по абсолютной величине, оставаясь отрицательным и стремится к -1 при x ® ¥ . Зная направление касательных к интегральным кривым на главных изоклинах и на осях координат, легко построить всю картину фазовых траекторий.

Рис. 4.12. Фазовый портрет системы линейных химических реакций (4.15)

Простейшие типы точек покоя

Пусть имеем систему двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами причем

Точка , в которой правые части уравнений системы (1) обращаются в ноль, называется точкой покоя системы (1).

Для исследования точки покоя системы (1) надо составить характеристическое уравнение

и найти его корни и .

Возможны следующие случаи.

1. Корни характеристического уравнения (2) вещественные и разные:

а) . Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел, рис. 32);

б) 0,\,\lambda_2>0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел, рис. 33);

в) 0,\,\lambda_2 . Точка покоя неустойчива (седло, рис. 34).

2. Корни характеристического уравнения (2) комплексные:

а) . Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый фокус, рис.35);

q\ne0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAGoAAAAVCAMAAACZi4uxAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qAAAAEHRSTlMAYSHAEJnpQYEB0DHBcbFSUNy43AAAAbpJREFUSMfVVcmShCAMFQKBsJn//9phUTvYdpfW1ByGg5ZWyPMtxGX570v/arN7sF0X+RQdPUGy6JM1d6uLE0BoLaonSBUm2ZvVTpAy6Cscu6s6r97p9vpF8U0NQdRlblqEclVnfMhnpVbO7WP5ng5Osk9MxzVCMdGC6GJU8DOY7wI49m9tFZTo8vwuCVKEG1RrEAwGawzKelLB6guodFYAQt3JeU9aXwraddtO/IKqbBGbvmGyaAazH6B6WizHTWbfF/ZrnKB6Axdj12UQlWAuHWAfWEVurgDSR6d2KBgRzO1mGJczVLXhBHVKu+W1NZvSRUlfQA2vltIe1lObCiQEVFsC51gQtCC73aohoB367QJu2euVNSPQ8FB/iYXmca7qfi2iCtgZx0XEAtcRDn0w7+cqDMHxdGSoh51m/1vn9k2Bswgm1bkzWaXO50G3aOvRPrMFi04eYf827EwqqoT6miwm8RZKmayi8LZVoc043KlWaU1yMF1OVefH15CRrY1xnL+R6hMh6+04w7O/iZpnQz6suiY1jTf76G9iYOpmApvvpMTAAiiPSK0TJ0gJXj4Hs/zlIrr5n/8Bj3oQCknmmsUAAAAASUVORK5CYII=» style=»vertical-align: middle;» />. Точка покоя неустойчива (неустойчивый фокус, рис.36);

3. Корни кратные:

а) . Точка покоя асимптотически устойчива (устойчивый узел, рис.38, 39);

б) 0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />. Точка покоя неустойчива (неустойчивый узел, рис.40, 41).

Пример 1. Определить характер точки покоя (0,0) системы

Решение. Составляем характеристическое уравнение

\lambda_2=3-\sqrt<2>>0″ png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» /> вещественные, разные, положительные. Следовательно, точка покоя — неустойчивый узел.

Связь между типами точек покоя и значениями корней характеристического уравнения (2) можно представить наглядно. Для этого введем обозначения . Тогда характеристическое уравнение запишется в виде .

Рассмотрим плоскость с прямоугольными декартовыми координатами и и отметим на ней области, соответствующие различным типам покоя (рис. 42). Из приведенной выше классификации следует, что условиями устойчивости точки покоя являются . Они выполняются при 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADUAAAARBAMAAACP9fljAAAAJ1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAB+jSoGAAAADHRSTlMAwEURoSHbgmbwMZHLPgtLAAAAy0lEQVQY02NgwA+YF+CWYzmKKcakAKFjjmBKzd4GMczxTAC6XKQCx1QQzTpZxgEswLUVLufDwHAaRHMX6EAtVPSCySUyMIiBaDMDRpiFKkJQxkEGBhkQXc7AdNIAKhYCkeSCyjEnA+kCmGEhGWBnguSAvmAHiutMhrvCPAkmtwBkHQMD43FUOWaomeUgdXALo8FmMkxkYMiEWIewMEQC7j+g2zkmCgJBzmRUP+goMB1iYGA7AwYnwH53gtnKMaOtASUQuVwR7IhWBgYAYb0rVmdybtQAAAAASUVORK5CYII=» /> и 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADAAAAAQCAMAAABncAyDAAAAM1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAADbQS4qAAAAEHRSTlMA0GginYExwEIB4FEh8BGxVXXvTAAAAL9JREFUKM+1kdsOAyEIREURvC///7WV3U1bL0nbh/pgonJkhjHmbysGir/U24SY6Pv6IKFDte3eyJf18oC+NbH73xjdbKCy7sLXMftz0TsSBsDJBYj6biBVBBLk9y7IYbDwAhpAMaWimYbmkHMcAZMU8FU9Mq9eHKa8doiCJ7sFYAPQOSonfi1n+5QUbwDuRLquKRIaTRu+cuhqYrJK5SmJYxyryUKatNolwIPpQ3BdQ7KY7qBLmdS4Xf7OZpX9AFDMBpP54cUeAAAAAElFTkSuQmCC» />, т. е. для точек, которые находятся в первой четверти.

Если и комплексные, то точка покоя будет типа фокуса. Этому условию удовлетворяют точки, которые лежат между ветвями параболы и не принадлежат оси .

Точки полуоси , для которых 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADUAAAARBAMAAACP9fljAAAAJ1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAB+jSoGAAAADHRSTlMAwEURoSHbgmbwMZHLPgtLAAAAy0lEQVQY02NgwA+YF+CWYzmKKcakAKFjjmBKzd4GMczxTAC6XKQCx1QQzTpZxgEswLUVLufDwHAaRHMX6EAtVPSCySUyMIiBaDMDRpiFKkJQxkEGBhkQXc7AdNIAKhYCkeSCyjEnA+kCmGEhGWBnguSAvmAHiutMhrvCPAkmtwBkHQMD43FUOWaomeUgdXALo8FmMkxkYMiEWIewMEQC7j+g2zkmCgJBzmRUP+goMB1iYGA7AwYnwH53gtnKMaOtASUQuVwR7IhWBgYAYb0rVmdybtQAAAAASUVORK5CYII=» />, соответствуют точкам покоя типа центра.

Точки, расположенные вне параболы 4\Delta)» png;base64,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» style=»vertical-align: middle;» />, соответствуют точкам покоя типа узла.

Область плоскости , где , содержит точки покоя типа седла.

Исключая особые случаи (прохождение через начало координат), замечаем, что седло может перейти в узел устойчивый или неустойчивый (рис.42). Устойчивый узел может перейти либо в седло, либо в устойчивый фокус. Случай равных корней соответствует границе между узлами и фокусами, т.е. параболе .

Пример 2. Исследовать уравнение упругих колебаний с учетом трения и сопротивления среды (при 0″ png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAADEAAAAQBAMAAABNQoq8AAAALVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAACttl6nAAAADnRSTlMAAcGe2BFbQSGBMfCxcU2qjNsAAADDSURBVBjTY2AgDYgvxCHB5WyyALtM9wW2HUhcDgs4006A8TGyyprjAlCWiwCjCpDNekkzACLQrA6RYnwkwKgHZK42DVFghkq5CcBlAhi4NjOwPSuGGtMJlmJ/xMCgV8DA9JSB6yXc8kg3IMEKkelTAOo2gMv4Iuypm8DA+DoArgVkGiPQbdpgGdY3DDAXQP3DAPKPiAFjkRMbiqsZ1iWwPweGkY+RafYxEL8IJsHA5jklAeSShQysIHtYEaHD2JbKwAAA/gYrl5lLD9QAAAAASUVORK5CYII=» />)

Решение. Переходим от уравнения (3) к эквивалентной ему системе уравнений

Digiratory

Лаборатория автоматизации и цифровой обработки сигналов

Бифуркации динамических систем

Теория бифуркаций проявляется повсеместно в естествознании. Дифференциальные уравнения, описывающие реальные физические системы, всегда содержат параметры, точные значения которых, не известны. Если уравнение, моделирующее физическую систему, оказывается структурно неустойчивым, то есть поведении его решении может качественно измениться при сколь угодно малом изменении правой части, то необходимо определить, какие бифуркации фазового портрета происходят при изменении параметров

Весьма важным и продуктивным понятием естествознания является понятие динамической системы. Под динамической системой понимают математическую модель того или иного реального процесса, обладающую следующими свойствами. Во-первых, должен быть известен некоторый набор величин, который однозначно задает состояние системы. Во-вторых, должен быть известен закон, по которому можно однозначно определить состояние системы в любой момент времени, если известно ее начальное состояние. Это понятие является очень широким и поэтому примеры динамических систем можно найти практически во всех областях физики, биологии, химии и т.д.

Поведение динамической системы, в частности, установившиеся с течением времени режимы, могут зависеть от некоторых параметров. Оказывается, что при медленном изменении параметра могут происходить качественные перестройки установившихся режимов. Изучение таких перестроек при вариации параметров в динамических системах (причем, не только в отображениях, но и в дифференциальных уравнениях) составляет предмет теории бифуркаций. Она выявляет типичные бифуркации, изучает и классифицирует их. Теория бифуркаций является математической наукой.

Слово «бифуркация» означает «раздвоение» и употребляет как название любого скачкообразного изменения, происходящего при плавном изменении параметров в любо системе: динамической, экологической и т. д. Статья посвящена бифуркациям нелинейных динамических систем.

Часто при моделировании физических процессов часть переменных, изменения которых незначительны в рамках моделируемых процессов, принимают константами. В результате получается система более низкого порядка, чем исходная, но учесть влияние изменения членов, принятых за постоянные, становится невозможно. В этом случае члены можно рассматривать, как возмущения и описывать модель средствами теории бифуркаций.

Бифуркации допускают определенную классификацию. Во-первых, по минимальной величине размерности системы, для которой возможна данная бифуркация. А, во-вторых, по минимальному количеству параметров, необходимых для данного типа перестройки.

1. Понятие бифуркации

Бифуркации имеют фундаментальное значение при исследовании поведения динамических систем. Часто именно бифуркации определяют механизм возникновения многих сложных процессов. Остановимся на некоторых основных положениях теории бифуркации.

Пусть нелинейная модель автономной системы, представленная ДУ

характеризуется изменением параметра \( \lambda\). В реальной системе таким параметром может быть температура, давление, концентрация, коэффициент роста популяции и т. д. Следует подчеркнуть, что изучению подлежит не конкретная модель с фиксированным параметром, а семейство динамических моделей, поведение которых зависит от \(\lambda\).

При некотором значении параметра, называемым критическим значением, процессы в системе претерпевают качественное изменение. В этом случае структура (топология) разбиения фазового пространства (фазовой плоскости при размерности 2) на траектории также качественно изменяется. Такое свойство нелинейной системы принято называть бифуркацией (от латинского слова bifurcus – раздвоенный), а варьируемый параметр \(\lambda\), при котором наблюдается бифуркация – бифуркационным параметром.

Более строго, бифуркационным (критическим) значением параметра \(\lambda\) называется такое его значение, при котором динамическая система становится негрубой (структурно-неустойчивой).

Понятие грубости динамической системы было введено А.А. Андроновым и Л.С. Понтрягиным. Динамическая система, представленная ДУ следующего вида

называется грубой в области \(G \subset <<\bf>^n>\), если для любого \(\varepsilon > 0\) можно указать такое \(\delta > 0\), что при произвольных аналитических функциях \((,\; \ldots ,\;) = (<\bf>)\) изменённой (другими словами – возмущённой) системы

Рис. 1.1 — Временная характеристика системы при различных значениях бифуркационного параметра

2. Классификация

Бифуркации принято классифицировать по числу нарушений условий гиперболичности собственных значений матрицы

Неподвижная точка называется гиперболической, если матрица Якоби \(<\bf>\), определённая в ней, не содержит собственных значений \( \) с нулевой действительной частью, т. е. \(<\rm>\, \ne 0\).

При рассмотрении многопараметрического пространства \(\Lambda \) точка этого пространства (\(\lambda \in \Lambda \)), в которой происходит качественное изменение поведения динамической системы, именуется точкой бифуркации. Для пространства \(\Lambda \) характерна задача определения числа параметров \(\< <\lambda _q>\> \), которые должны присутствовать в модели для того, чтобы данная бифуркация относилась к типичной.

Собственные значения \( \) матрицы \(<\bf>\) представляют собой функции от параметров, т. е. \((<\lambda _1>,\; \ldots ,\;<\lambda _m>)\). Тогда условия нарушения гиперболичности вида \(<\rm>\, = 0\) определяются системой уравнений, составленных относительно параметров. Например, для того, чтобы два действительных собственных значения одновременно обратились в ноль, необходимо найти решение системы двух уравнений относительно неизвестных

При этом возможны следующие типичные ситуации:

если \(m = 1 \) , то решение в общем случае отсутствует; бифуркация не обнаруживается;
если \(m = 2 \), то возможно решение; бифуркация может произойти в одной или нескольких точках \(\Lambda \);
если \(m > 2 \), то в типичных случаях негиперболические точки будут располагаться на поверхности размерности \(m — 2 \) в \(\Lambda \) , т. е. могут образовываться поверхности бифуркации.

В общем случае, если необходимо удовлетворить \(k \) условиям нарушения гиперболичности, то возможные точки бифуркации будут располагаться на \((m — k)\) -мерной поверхности. Величину \(k \), определяющую количество условий нарушения гиперболичности, называют коразмерностью бифуркации. Разность между размерностью пространства и размерностью поверхности бифуркации представляет собой коразмерность поверхности.

Коразмерность бифуркации показывает, каким числом параметров должна определяться динамическая система, чтобы наблюдаемая в ней бифуркация была типичная. Другими словами, коразмерность бифуркации – наименьшая размерность пространства \(\Lambda \), в котором возможна бифуркация соответствующего типа. В дальнейшем для простоты понимания основных положений теории бифуркаций целесообразно ограничиться рассмотрением бифуркаций коразмерности 1, которые наблюдаются в однопараметрических системах. С бифуркациями более высокого порядка можно ознакомиться в специальной литературе.

Изучение распространённых типов бифуркаций производится на моделях первого и второго порядков, представленных определёнными ДУ. При этом в линеаризованных моделях возникает одно нулевое или два мнимых собственных значений матрицы Якоби.

2.1 Бифуркации в системах с простым движением

Негрубость системы означает негрубость тех или иных траекторий. Среди таких траекторий прежде всего выделяются устойчивые состояния равновесия и периодические движения, поскольку они являются математическим образом стационарных состояний и автоколебаний.

Состояние равновесия n-мерной системы \(\mathop x\limits^. = X(x)\) точка \(M()\), где \(\) — решение системы \(X(x) = 0\). Оно негрубое, если среди \(<\lambda _<1,>><\lambda _2>, …<\lambda _n>\) — корней характеристического уравнения \(\det (\frac<<\partial X()>><<\partial x>> — \lambda E) = 0\) имеются корни, лежащие на мнимой оси. В случае, если \(<\mathop<\rm Re>\nolimits><\lambda _i>2\) негрубое периодическое движение носит название седло-узлового.

потерять устойчивость с рождением устойчивого

периодического движения удвоенного периода, если мультипликатор равен (-1),
двумерного инвариантного тора, если \(<\rho _<1,2>> = >\), где \(\phi \ne 0,\pi ,\frac<\pi ><2>,\frac<<2\pi >><3>\).

Устойчивые периодические движения могут также рождаться в результате следующих глобальных бифуркаций:

3. Мягкая и жесткая потеря устойчивости

3.1 Понятие мягкой и жесткой потери устойчивости

Бифуркации условно можно разделить на мягкие и жёсткие, что наглядно демонстрируется следующим примером. На рис. 3.1 и рис. 3.2 изображён перестраиваемый профиль с шариком. В результате изменения какого-либо фактора (параметра), исходный профиль изменяет свою конфигурацию таким образом, что устойчивое равновесное состояние шарика теряется. При этом «рождаются» два новых устойчивых состояния равновесия, в один из которых и сваливается шарик. Вновь появившиеся состояния равновесия перестроившегося профиля располагаются в непосредственной близости от начального состояния равновесия, которое потеряло устойчивость. Бифуркации такого типа называют мягкими. Новый режим функционирования как бы постепенно появляется из режима, потерявшего устойчивость, и сосуществует рядом с ним.

Рис. 3.1 — перестраиваемый профиль с шариком

Характер перестроения профиля, изображённого на рис. 3.2, иной. Для значения параметра меньше критического шарик находится в устойчивом равновесном состоянии. Одновременно существует ещё одно потенциальное неустойчивое равновесное состояние. При перестроении профиля для критического значения параметра устойчивое и неустойчивое состояния сливаются в одно. Далее они оба исчезают, и система «скачком» выбирает новый режим, который существенно отличается от предыдущего и не находится в непосредственной близости от исходного режима. Бифуркации такого типа относятся к жёстким. Именно жёсткие (скачкообразные) бифуркации в первую очередь являются предметом исследования теории катастроф.

Рис. 3.2 — перестраиваемый профиль с шариком

4. Виды бифуркаций

В следующем разделе будут описаны основные виды и примеры бифуркаций как непрерывных, так и дискретных (отражений) функций.

4.1 Касательная (седло-узловая) бифуркация

Пример седло-узловой бифуркации рассмотрим на примере системы, описываемой д.у.:

где \(\lambda \) — варьируемый параметр. Равновесные решения \(x_<<\rm<1>><\rm<,2>>>^<\rm<>> = \pm \sqrt \lambda \) уравнения определены только для \(\lambda \ge 0\); при \(\lambda 0\). Принято говорить, что оба решения «обмениваются устойчивостью» в точке бифуркации \((x = 0,\;\lambda = 0)\). На рис. 4.3, представлены соответствующие графики функций.

Рис. 4.3 — Временная характеристика системы с транскритической бифуркацией

Рис. 4.4 — Диаграмма транскритической бифуркации

4.3 Бифуркация «вилка»

Бифуркация типа «вилка» описывается ДУ вида

Это уравнение имеет одно равновесное решение \(x_1^<\rm<>> = 0 \) при \(\lambda 0\). Соответствующие графики функций (рис. 4.6) симметричны относительно оси \(x\). В данном случае из точки бифуркации выходят три ветви равновесных состояний: две устойчивые и одна неустойчивая.

Рис. 4.5 — Временная характеристика системы с бифуркацией «Вилка»

Рис. 4.4 — Диаграмма бифуркации «Вилка»

Бифуркация типа «вилка» широко рассматривается в теоретической физике, поскольку на ней основываются некоторые теории, объясняющие спонтанное нарушение симметрии (устойчивая равновесная точка \(x_1^<\rm<>> = 0 \) при \(\lambda 0\) – состоянию с нарушенной симметрией). В частности, на этой бифуркации основана теория переходов II рода, предложенная Л. Д. Ландау. В ней чаще всего роль параметра \(\lambda\) играет отклонение температуры от критического значения, а величина \(x\) носит название «параметр порядка».
Рассмотренные бифуркации называются суперкритическими или нормальными. Их особенность заключается в том, что нелинейные члены \(\) и \(\) соответствующих уравнений оказывают влияние, способствующее получению устойчивых равновесных состояний системы. Однако при изменении знаков перед нелинейными членами, последние будут оказывать уже дестабилизирующее влияние на систему. В этих случаях возникают субкритические или обратные бифуркации.

4.4 Бифуркация Андронова – Хопфа (Hopf)

Кроме бифуркаций состояний равновесия в динамических системах при изменении параметра может происходить ещё одна перестройка структуры фазового портрета. Этот тип бифуркации рассматривает рождение предельного цикла из неподвижной точки и является более сложным, чем представленные выше.
Пусть нелинейная модель описывается следующим д. у.:

где \(z \) – комплексная переменная; \(\mu + j\eta \) – комплексный параметр, причём \(j \) – мнимая единица, \(\mu \) – варьируемый бифуркационный параметр.

Уравнение представляет собой комплексный аналог бифуркации типа «вилка». С целью определения всех равновесных решений необходимо произвести замену комплексной переменной \(z \):

где \(\) и \(\) новые вещественные переменные.

В результате подстановки \(z \) в исходное ДУ получается система из двух уравнений первого порядка:

Таким образом, здесь осуществлён переход к модели второго порядка с вещественными параметрами. Полученные уравнения связаны между собой через комплексную переменную \(z \) и имеют следующие два стационарных решения:

\[ = = 0 \ при \ z = 0 \\
x_1^2 + x_2^2 = <\left| z \right|^2>= \mu \ при \ z \ne 0\]

Первое решение является неустойчивым и совпадает с точкой бифуркации, а второе решение определяет окружность радиуса \(\sqrt \mu\) в пространстве координат \((,\;,\;\mu )\). На рис. 4.5 изображены фазовые траектории при фиксированных \(\mu \).

Рис. 4.5 — Фазовый портрет системы с бифуркацией Андронова – Хопфа

4.5 Бифуркации циклов

Образование в динамических системах второго порядка предельных циклов – соответствует бифуркации Андронова–Хопфа. Так, для модели, представленной системой ДУ

точка \(\lambda = 0\) является бифуркационной точкой. При изменении \(\lambda \) с отрицательных значений на положительные от нулевого равновесного состояния \(( = 0, = 0)\) ответвляется периодическая орбита \(x_1^2 + x_2^2 = \lambda \), соответствующая устойчивому предельному циклу. При этом происходит изменение характера особой точки: из устойчивой она становится неустойчивой (рис. 4.6).

Рис. 4.6 — Фазовый портрет системы с бифуркацией циклов

4.6 Бифуркация удвоения периода

Теперь рассмотрим бифуркации отражений. Одномерное отображение – это простейшая модель эволюционного процесса, когда состояние системы характеризуется единственной переменной, а время – дискретно. Примером может служить динамика численности биологической популяции, если наблюдение за ее численностью производится, например, один раз в год.

Простейшей моделью, описывающей бифуркацию удвоения периода, может служить логистическое отображение

Его неподвижные точки ищутся из решения соответствующего квадратного уравнения #\( = 1 — \lambda x_0^2\), так что

При \(\lambda = -0.25\) имеет место касательная бифуркация, в результате которой возникают неустойчивая и устойчивая точки.

Построим бифуркационную диаграмму (Рис. 4.7) с помощью команды математического пакета Maxima:

Рис. 4.7 — бифуркационная диаграмма системы (4.5)

Также изменения поведения системы можно увидеть, построив итерационные диаграммы системы (Рис. 4.8):

Рис. 4.8 — итерационные диаграммы системы

На построенных диаграммах видно, как устойчивая точка равновесия при \(\lambda = -0.1\) теряет устойчивость при \(\lambda = -0.25\) и неустойчива при \(\lambda = -0.5\)

источники:

http://mathhelpplanet.com/static.php?p=prostyeishie-tipy-tochek-pokoya

http://digiratory.ru/229