Извлечение корня из комплексного числа
Третий урок по комплексным числам. В этом уроке вы узнаете:
Начнём с ключевого определения.
1. Определение комплексного корня
Определение. Корнем $n$-й степени из комплексного числа $z$, где $n\in \mathbb
$, $n \gt 1$, называется такое комплексное число $\omega $, что
т.е. $n$-я степень числа $\omega $ равна $z$.
Таких корней на множестве комплексных чисел всегда будет ровно $n$ штук. Все они обозначаются привычным знаком радикала:
Пример. Вычислить $\sqrt[3]<-1>$ на множестве комплексных чисел.
Очевидно, привычная нам единица является таким корнем, потому что $<<\left( -1 \right)>^<3>>=-1$. Но есть ещё два корня:
Итого три корня. Как и предполагалось.
Теорема. Для любого комплексного числа $z\ne 0$ существует ровно $n$ комплексных чисел, каждое из которых является корнем $n$-й степени из числа $z.$
Все эти корни считаются по следующей формуле.
2. Формула корней
Теорема. Пусть комплексное число записано в тригонометрической форме:
\[z=\left| z \right|\cdot \left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)\]
Тогда все корни степени $n$ из этого числа можно найти по формуле:
По сути, эта теорема является обратной к формуле Муавра:
Почему степень всегда одна, а корней несколько — об этом в конце урока. Сейчас для нас главное — алгоритм извлечения корня из комплексного числа. Он состоит из четырёх шагов:
- Перевести комплексное число в тригонометрическую форму;
- Записать общую формулу корня степени $n$;
- Подставить в эту формулу $k=0$, затем $k=1$ и так до $k=n-1$.
- Получим $n$ комплексных корней. Вместе они и будут ответом.
В ответе всегда будет набор из $n$ чисел. Потому что невозможно однозначно извлечь корень из комплексного числа $z\ne 0$.
Представим число $-8i$ в тригонометрической форме:
\[\begin
Запишем формулу корней в общем виде:
\[\sqrt[3]<-8i>=2\cdot \left( \cos \left( -\frac<\pi > <6>\right)+i\sin \left( -\frac<\pi > <6>\right) \right)=\sqrt<3>-i\]
В ответе нужно указать все три числа: $-2i$; $\sqrt<3>-i$; $-\sqrt<3>-i$.
Ещё раз: подставляя разные $k$, мы будем получать разные корни. Всего таких корней будет ровно $n$. А если взять $k$ за пределами диапазона $\left\< 0,1. n-1 \right\>$, то корни начнут повторяться, и ничего нового мы не получим.
3. Геометрическая интерпретация
Если отметить на комплексной плоскости все значения корня $n$-й степени из некоторого комплексного числа $z\ne 0$, то все они будут лежать на окружности с центром в начале координат и радиусом $R=\sqrt[n]<\left| z \right|>$. Более того: эти точки образуют правильный $n$-угольник.
Отметить на комплексной плоскости все числа вида $\sqrt[3]$.
Представим число $z=i$ в тригонометрической форме:
\[\begin
Формула комплексных корней:
\[\sqrt[3]
Это три точки $<
Получили правильный треугольник. Его первая вершина лежит на пересечении окружности радиуса 1 и начального луча, который образован поворотом оси $OX$ на угол $<\pi >/<6>\;$.
Рассмотрим более сложный пример:
Отметить на комплексной плоскости все числа вида $\sqrt[4]<1+i>$.
Сразу запишем формулу корней с выделением начального луча:
\[\sqrt[4]
Отмечаем эти точки на комплексной плоскости. Радиус окружности $R=\sqrt[8]<2>$, начальный луч $<\pi >/<16>\;$:
И вновь всё чётко: четыре точки — правильный четырёхугольник, т.е. квадрат. С отклонением начального луча $<\pi >/<16>\;$.
Ну и ещё один пример — вновь без промежуточных вычислений. Только формулировка задачи, формула корней и окончательный чертёж:
Отметить на комплексной плоскости все числа вида $\sqrt[6]<-64>$.
Формула корней с выделением начального луча:
\[\sqrt[6]
Получили правильный шестиугольник со стороной 2 и начальным лучом $<\pi >/<6>\;$.
Таким образом, мы получаем «графический» алгоритм извлечения корня $n$-й степени из комплексного числа $z\ne 0$:
- Перевести число в тригонометрическую форму;
- Найти модуль корня: $\sqrt[n]<\left| z \right|>$ — это будет радиусом окружности;
- Построить начальный луч с отклонением $\varphi =<\arg \left( z \right)>/
\;$; - Построить все остальные лучи с шагом $<2\pi >/
\;$; - Получим точки пересечения лучей с окружностью — это и есть искомые корни.
Такой алгоритм прекрасно работает, когда аргумент исходного числа и отклонение начального луча $\varphi $ — стандартные «табличные» углы вроде $<\pi >/<6>\;$. На практике чаще всего именно так и бывает. Поэтому берите на вооружение.:)
4. Почему корней всегда ровно n
С геометрической точки зрения, всё очевидно: если мы будем последовательно зачёркивать вершины правильного $n$-угольника, то ровно через $n$ шагов все вершины будут зачёркнуты. И для дальнейшего зачёркивания придётся выбирать вершину среди уже зачёркнутых.
Однако рассмотрим проблему с точки зрения алгебры. Ещё раз запишем формулу корня $n$-й степени:
Последовательно подставим в эту формулу указанные значения параметра $k$:
Очевидно, последняя строка получена при $k=n-1$. Подставим теперь $k=n$:
Поскольку синус и косинус — периодические функции с периодом $2\pi $, $<<\omega >_
5. Выводы
Ключевые факты из урока.
Определение. Корень степени $n$ из комплексного числа $z$ — это такое число $\omega $, что $<<\omega >^
>=z$.
Обозначение. Для обозначения комплексных корней используется знакомый знак радикала: $\omega =\sqrt[n]
Замечание. Если $z\ne 0$, таких чисел корней будет ровно $n$ штук.
Алгоритм нахождения корней состоит из двух шагов.
Шаг 1. Представить исходное число в тригонометрической форме:
\[z=\left| z \right|\cdot \left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right)\]
Шаг 2. Воспользоваться формулой Муавра для вычисления корней:
Все полученные корни лежат на окружности радиуса $\sqrt[n]<\left| z \right|>$ с центром в начале координат и являются вершинами правильного $n$-угольника. Первая вершина лежит на т.н. «начальном луче», который отклонён от положительной полуоси $OX$ на угол $<\varphi >/
Геометрическую интерпретацию можно использовать для быстрого «графического» извлечения корней. Но это требует практики и хорошего понимания, что именно и зачем вы делаете. Технология такого извлечения корней описана выше в разделе «Геометрическая интерпретация».
Всё. В следующем уроке начнём решать уравнения в комплексных числах.:)