Корни которого обратны корням уравнения

Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням ура .

23. Составьте квадратное уравнение, корни которого обратны корням уравнения х 2 — 20х + 96 = 0.

96х 2 + 20х + 1 = 0

96х 2 — 20х + 1 = 0

96х 2 — 20х — 1 = 0

96х 2 + 20х — 1 = 0

Ответ: B

Решение

Общий вид квадратного уравнения: ax 2 + bx + с = 0, где a — I коэффициент, b — II коэффициент, с — III коэффициент или свободный член.

По теореме Виета:

То есть, при a = 1, произведение корней квадратного уравнения равно свободному члену (с), а сумма корней равна II коэффициенту, взятому с противоположным знаком (-b).

Взаимно обратные числа — это числа, чье произведение равно 1. Например: 5 и 1/5, 2/3 и 3/2.

В данном примере х 2 — 20х + 96 = 0 по теореме Виета:

Корни нового уравнения будут 1/x₁ и 1/x₂, т.к. должны быть обратны корням исходного уравнения.

Значит произведение новых корней:

Сумма новых корней:

Таким образом, получается новое уравнение: х 2 — 20/96х + 1/96 = 0.

Умножим обе части уравнения на 96: 96х 2 — 20х + 1 = 0.

Есть более простой и быстрый способ решить этот тест:

Корни нового уравнения имеют те же знаки, что и в исходном уравнении, т.к. взаимно обратные числа имеют одинаковые знаки (2/3 и 3/2, -5 и -1/5). Поэтому по теореме Виета знаки коэффициентов не меняются, т.е. II коэффициент с минусом, III коэффициент с плюсом (96х 2 — 20х + 1 = 0).

Просмотров: 1108
Категория: Алгебра
Все тесты по этому предмету

Теорема Виета для квадратного уравнения

О чем эта статья:

Основные понятия

Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Существует три вида квадратных уравнений:

• не имеют корней;
• имеют один корень;
• имеют два различных корня.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b 2 − 4ac. Его свойства:

• если D 0, есть два различных корня.

В случае, когда второй коэффициент четный, можно воспользоваться формулой нахождения дискриминанта , где .

В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.

Формула Виета

Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:

Рассмотрим квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1: . Такие уравнения называют приведенными квадратными уравнениями. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:

Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.

Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0.

Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:

Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:

Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>

Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное.
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>

Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется:
2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>

Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:

Обучение на курсах по математике помогает быстрее разобраться в новых темах и подтянуть оценки в школе.

Доказательство теоремы Виета

Дано квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Докажем, что следующие равенства верны

• x₁ + x₂ = −b,
• x₁ * x₂ = c.

Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x 2 + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.

Объединим числитель и знаменатель в правой части.

Раскроем скобки и приведем подобные члены:

Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:

Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.

Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.

Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:

Перемножаем числители и знаменатели между собой:

Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a 2 − b 2 . Получаем:

Далее произведем трансформации в числителе:

Нам известно, что D = b2 − 4ac. Подставим это выражение вместо D.

Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:

Сократим:

Мы доказали: x₁ * x₂ = c.

Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.

Обратная теорема Виета

Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:

Обратная теорема Виета

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.

Докажем теорему, обратную теореме Виета

Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.

Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.

Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:

Подставим m в уравнение вместо x, выражение −m − n подставим вместо b, а выражение mn — вместо c:

При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.

1. Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.

   При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.

Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0.

Примеры

Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.

Дано: x 2 − 6x + 8 = 0.

Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/tFokx3SM93Hwlr7ZM9BqX1xiHKv_2dUIB9MoNa8RAwSTmQKXdCcqcFXxTZmxNGw7bOVek-RzRXqBkoCqnYMiqIYVwKhfnHeU-7mA03feEqJTlyKB7e-OsTTKgPaOlddfiaTGszcv» width=»99″>

Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.

Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.

Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:

Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x 2 − 6x + 8 = 0.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»57″ src=»https://lh3.googleusercontent.com/rohB7Bvd-elMhTxEUuOhKqLJjqLAvo9VlJxZvOnMeDAHARfKT-SYOWb1WXTTWEN2h0oKbLl6wH7lc0IWL_vH3Si2AJGAGXVn8TPFDT_J1Wu2WeoQ-WP1qgXjCnZ99tWUkK2BOvF2″ width=»64″>

Неприведенное квадратное уравнение

Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:

ax 2 + bx + c = 0, где а = 1.

Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x 2 .

1. Получилось следующее приведенное уравнение:

Получается, второй коэффициент при x равен, свободный член —. Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:

Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x 2 + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x 2 , то есть на 4.

Корни которого обратны корням уравнения

Разложить на линейные множители выражение

Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа и Решение

Написать квадратное уравнение, корни которого Решение

В уравнении 5x 2 — kx +1=0 определить k таким образом, чтобы разность корней уравнения равнялась единице. Решение

Определить коэффициенты квадратного уравнения

так, чтобы его корни были равны р и q. Решение

Корни квадратного уравнения

равны x₁ и x₂. Составить новое квадратное уравнение, корни которого были бы Решение

Дано квадратное уравнение

Составить новое квадратное уравнение, корни которого:

1) вдвое больше корней данного;

2) обратны корням данного. Решение

Составить квадратное уравнение, корни которого равны кубам корней уравнения

Составить биквадратное уравнение, сумма квадратов корней которого равна 50, а произведение корней равно 144. Решение

Найти все корни уравнения

если один из корней равен 3 + i√ 6 . Решение

Определить свободный член уравнения

если известно, что один из его корней равен 2. Найти остальные два корня. Решение

Зная, что 2 и 3 являются корнями уравнения

определить m и п и найти третий корень уравнения. Решение

При каких численных значениях буквы а уравнение x 2 + 2ах√ a 2 —3 + 4 = 0 имеет равные между собою корни? Решение

В каком промежутке должно измениться число т, чтобы оба корня уравнения