Корни кубического уравнения арифметическая прогрессия

Решение кубических уравнений. Формула Кардано

Схема метода Кардано

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи

Формула Кардано

Пример решения кубического уравнения

Схема метода Кардано

Целью данного раздела является вывод формулы Кардано для решения уравнений третьей степени ( кубических уравнений )

где a₀, a₁, a₂, a₃ – произвольные вещественные числа,

Вывод формулы Кардано состоит из двух этапов.

На первом этапе кубические уравнения вида (1) приводятся к кубическим уравнениям, у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного. Такие кубические уравнения называют трёхчленными кубическими уравнениями .

На втором этапе трёхчленные кубические уравнения решаются при помощи сведения их к квадратным уравнениям.

Приведение кубических уравнений к трехчленному виду

Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a₀ . Тогда оно примет вид

где a, b, c – произвольные вещественные числа.

Заменим в уравнении (2) переменную x на новую переменную y по формуле:

(3)

то уравнение (2) примет вид

В результате уравнение (2) примет вид

Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

где p, q – вещественные числа.

Уравнения вида (5) и являются трёхчленными кубическими уравнениями , у которых отсутствует член со второй степенью неизвестного.

Первый этап вывода формулы Кардано завершён.

Сведение трёхчленных кубических уравнений к квадратным уравнениям при помощи метода Никколо Тартальи

Следуя методу, примененому Никколо Тартальей (1499-1557) для решения трехчленных кубических уравнений, будем искать решение уравнения (5) в виде

(6)

где t – новая переменная.

то выполнено равенство:

Следовательно, уравнение (5) переписывается в виде

(7)

Если теперь уравнение (7) умножить на t , то мы получим квадратное уравнение относительно t :

(8)

Формула Кардано

Решение уравнения (8) имеет вид:

В соответствии с (6), отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет два решения:

В развернутой форме эти решения записываются так:

Покажем, что, несмотря на кажущиеся различия, решения (10) и (11) совпадают.

С другой стороны,

и для решения уравнения (5) мы получили формулу

которая и называется «Формула Кардано» .

Замечание . Поскольку у каждого комплексного числа, отличного от нуля, существуют три различных кубических корня, то, для того, чтобы избежать ошибок при решении кубических уравнений в области комплексных чисел, рекомендуется использовать формулу Кардано в виде (10) или (11).

Пример решения кубического уравнения

Пример . Решить уравнение

Решение . Сначала приведем уравнение (13) к трехчленному виду. Для этого в соответствии с формулой (3) сделаем в уравнении (13) замену

Следовательно, уравнение (13) принимает вид

Теперь в соответствии с формулой (6) сделаем в уравнении (15) еще одну замену

(16)

то уравнение (15) примет вид

(17)

Далее из (17) получаем:

Отсюда по формуле (16) получаем:

Заметим, что такое же, как и в формуле (18), значение получилось бы, если бы мы использовали формулу

или использовали формулу

Далее из равенства (18) в соответствии с (14) получаем:

Таким образом, мы нашли у уравнения (13) вещественный корень

Замечание 1 . У уравнения (13) других вещественных корней нет.

Замечание 2 . Поскольку произвольное кубическое уравнение в комплексной области имеет 3 корня с учетом кратностей, то до полного решения уравнения (13) остается найти еще 2 корня. Эти корни можно найти разными способами, в частности, применив вариант формулы Кардано для области комплексных чисел. Однако применение такого варианта формулы Кардано значительно выходит за рамки курса математики даже специализированных математических школ.

«Формулы Виета как один из способов решения кубических уравнений » (стр. 6 )

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6

из (1): ; (7)

из (6) и (7) получим: ,

,

.

Если подставить найденные корни в (2) , то получится условие, которому должны удовлетворять коэффициенты для того, чтобы кубическое уравнение имело корни, представляющие арифметическую прогрессию:

.

Обратно, если имеется указанная связь между коэффициентами кубического уравнения, то его корни будут членами геометрической прогрессии.

Ответ: а) ; б) .

Решение кубических уравнений и некоторые выводы о рациональности способов решения.

Пример 1.

Рассмотрим два способа решения:

Вывод: Теорема Виета позволяет рациональнее решить это уравнение.

П р и м е р 2 . Решить уравнение: x 3 – 3x 2 – 13x + 15 = 0 .

1 способ. Ищем первый корень перебором чисел: 0, 1, 2, 3

и подстановкой в уравнение. В результате находим, что 1 является корнем. Тогда делим левую часть этого уравнения на двучлен x – 1, и получаем:

Теперь, решая квадратное уравнение: x 2 – 2x – 15 = 0, находим оставшиеся два корня: x1 = – 3 и x2 = 5 . Ответ : 1; -3; 5.

Вывод: Теорема Виета позволяет рациональнее решить это уравнение.

Формулы Виета и кубические уравнения с параметром.

Пример 3. Определить все значения параметра a, при каждом из которых три различных корня уравнения
x3 + (a2 – 9 a) x 2 + 8ax – 64 = 0 образуют геометрическую прогрессию. Найти эти корни.

Шаг 1: Составление соотношений Виета.

Обозначим символами x1, x2 и x3 три различных корня уравнения и выпишем соотношения Виета для кубического уравнения:

Шаг 2: Использование характеристического свойства геометрической прогрессии.

Из характеристического свойства геометрической прогрессии вытекает, что (x2)2 = x1x3, и тогда последнее из соотношений Виета дает: (x2)3 = 64, то есть

x2 = 4. Подставляя полученный корень в исходное уравнение, найдем все возможные значения a:
43 + 16(a2 – 9 a) + 32a – 64 = 0a(a – 7) = 0.

Осталось проверить найденные a (все остальные значения a заведомо не удовлетворяют условию): 1) При a = 0 уравнение принимает вид x3 = 64 и не имеет трех различных корней.

2) При a = 7 уравнение принимает вид x3 – 14 x 2 + 56x – 64 = 0(x – 4)( x 2 –10x + 16) = 0
(x – 4)(x – 2)(x – 8) = 0 (эти разложения на множители получены делением исходного кубического четырехчлена x3 – 14 x 2 + 56x – 64 на двучлен (x – 4) и разложением частного от деления (x 2 – 10x + 16) на линейные множители). Три его различных корня x1 = 2, x2 = 4 и x3 = 8 образуют геометрическую прогрессию.

Пример 4. Найти все значения параметров a и b, при которых найдутся два различных корня уравнения
x3 – 5 x 2 + 7x = a, которые будут также корнями уравнения x3 – 8x + b = 0.

Шаг 1: Составление соотношений Виета.

Обозначим символами x1, x2 и u корни первого уравнения и символами x1, x2 и v корни второго уравнения. Существование третьего корня u для первого уравнения и третьего корня v для второго уравнения доказывается делением соответственно многочлена x3 – 5 x 2 + 7x – a и многочлена
x3 – 8x + b на квадратный трехчлен (x – x1)(x – x2).
Выпишем формулы Виета для корней первого и второго уравнений:

Шаг 2: Составление квадратного уравнения на общие корни и его решение. Вычтем из второго уравнения первое, получим:
.
Числа x1, x2 также являются корнями последнего уравнения, поскольку их подстановка в исходные уравнения приводит к верным числовым равенствам, а тогда верным будет и разность этих числовых равенств. По теореме Виета для квадратного уравнения имеем:

Сопоставляя эти соотношения с соотношениями Виета для кубических уравнений получим: u = 2, v = –3. Подставляя x1 + x2 = 3 и u = 2 в полученное на первом шаге соотношение x1x2 + (x1 + x2)u = 7, получим, что x1x2 = 1. Теперь находим значения параметров из соотношений Виета для кубических уравнений: a = x1x2u = 2, b = –x1x2v = 3, а для корней x1, x2 получаем систему уравнений:

Решив эту систему, получим

и .

При подстановке a = 2, b = 3 заданные уравнения принимают вид:

x3 – 5 x 2 + 7x = 2 и x3 – 8x + 3 = 0. Вспоминая шаг 2, можно предположить, что общими корнями этих уравнений являются числа

и .

Их подстановка в уравнения подтверждает предположение.

Материал, представленный в работе, расширяет кругозор учащихся, пополняет теоретические знания и практические навыки по решению уравнений высших степеней.

В процессе работы над темой «Формулы Виета как один из способов решения кубических уравнений » я

Изучила литературу по данному вопросу; Познакомилась с понятиями кубический и квадратный трехчлен; Исследовала решения кубических уравнений; Изучила историю поиска корней кубического и квадратного уравнения; Исследовала теорему Виета на применение для решения уравнений высших степеней.

и пришла к выводу:

Остаётся ещё много интересных и важных задач, имеющих не только теоретическое, но и сугубо практическое значение. В перспективе я хочу исследовать на применение теоремы Виета в других уравнениях с высшими степенями и изучить историю их открытия.

1. черки по истории математики. – М.: Мир, 1963.

2. стория математики от Декарта до середины XIX столетия. – М.: Наука, 1966.

3. Гариг Тарталья и Кардано о кубических уравнениях и его общественные основы. – М.: Архив истории науки и техники, 1935.

4. Гордиенко алгебры в Европе в XV–XIX столетиях. Учебное пособие для студентов дневного отделения физико-математического факультета / – Воронежский госпедуниверситет, 2007.

5. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия / Под ред. и . Т.1. – М.: Наука, 1970.

6. стория математики в древности. – М.: Наука, 1961.

7. Из истории алгебры XVI – XVII веков. – М.: Наука, 1979.

8. Пачоли Лука. Трактат о счетах и записях. – М.: Финансы и статистика, 1983.

9. Попов задачи. М.: Наука, 1968.

10. Пресман квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. — М., Квант, № 4/72. С. 34.

11. Родионов по математике для поступающих в вузы: Решение задач с параметрами. – М.: МЦ «Аспект», 1992.

12. Рыбников математики. – М.: Изд-во МГУ, 1960.

13. Табачников : Методические разработки для учащихся ОЛ «ВЗМШ» Российской академии образования при МГУ. – М.: Фазис, 1996.

14. Чистяков о математиках. – Минск: Выш. шк., 1963.

15. Чистяков задачи по элементарной математике. – Минск: Выш. шк., 1978.

Решение кубических уравнений

Кубическое уравнение, содержащее коэффициенты с действительным корнем, остальные два считаются комплексно-сопряженной парой. Будут рассмотрены уравнения с двучленами и возвратные, а также с поиском рациональных корней. Вся информация будет подкреплена примерами.

Решение двучленного кубического уравнения вида A x 3 + B = 0

Кубическое уравнение, содержащее двучлен, имеет вид A x 3 + B = 0 . Его необходимо приводить к x 3 + B A = 0 с помощью деления на А , отличного от нуля. После чего можно применять формулу сокращенного умножения суммы кубов. Получаем, что

x 3 + B A = 0 x + B A 3 x 2 — B A 3 x + B A 2 3 = 0

Результат первой скобки примет вид x = — B A 3 , а квадратный трехчлен — x 2 — B A 3 x + B A 2 3 , причем только с комплексными корнями.

Найти корни кубического уравнения 2 x 3 — 3 = 0 .

Решение

Необходимо найти х из уравнения. Запишем:

2 x 3 — 3 = 0 x 3 — 3 2 = 0

Необходимо применить формулу сокращенного умножения. Тогда получим, что

x 3 — 3 2 = 0 x — 3 3 2 6 x 2 + 3 3 2 6 x + 9 2 3 = 0

Раскроем первую скобку и получим x = 3 3 2 6 . Вторая скобка не имеет действительных корней, потому как дискриминант меньше нуля.

Ответ: x = 3 3 2 6 .

Решение возвратного кубического уравнения вида A x 3 + B x 2 + B x + A = 0

Вид квадратного уравнения — A x 3 + B x 2 + B x + A = 0 , где значения А и В являются коэффициентами. Необходимо произвести группировку. Получим, что

A x 3 + B x 2 + B x + A = A x 3 + 1 + B x 2 + x = = A x + 1 x 2 — x + 1 + B x x + 1 = x + 1 A x 2 + x B — A + A

Корень уравнения равен х = — 1 , тогда для получения корней квадратного трехчлена A x 2 + x B — A + A необходимо задействовать через нахождение дискриминанта.

Решить уравнение вида 5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 0 .

Решение

Уравнение является возвратным. Необходимо произвести группировку. Получим, что

5 x 3 — 8 x 2 — 8 x + 5 = 5 x 3 + 1 — 8 x 2 + x = = 5 x + 1 x 2 — x + 1 — 8 x x + 1 = x + 1 5 x 2 — 5 x + 5 — 8 x = = x + 1 5 x 2 — 13 x + 5 = 0

Если х = — 1 является корнем уравнения, тогда необходимо найти корни заданного трехчлена 5 x 2 — 13 x + 5 :

5 x 2 — 13 x + 5 = 0 D = ( — 13 ) 2 — 4 · 5 · 5 = 69 x 1 = 13 + 69 2 · 5 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 — 69 2 · 5 = 13 10 — 69 10

Ответ:

x 1 = 13 10 + 69 10 x 2 = 13 10 — 69 10 x 3 = — 1

Решение кубических уравнений с рациональными корнями

Если х = 0 , то он является корнем уравнения вида A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 . При свободном члене D = 0 уравнение принимает вид A x 3 + B x 2 + C x = 0 . При вынесении х за скобки получим, что уравнение изменится. При решении через дискриминант или Виета оно примет вид x A x 2 + B x + C = 0 .

Найти корни заданного уравнения 3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 .

Решение

3 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 0 x 3 x 2 + 4 x + 2 = 0

Х = 0 – это корень уравнения. Следует найти корни квадратного трехчлена вида 3 x 2 + 4 x + 2 . Для этого необходимо приравнять к нулю и продолжить решение при помощи дискриминанта. Получим, что

D = 4 2 — 4 · 3 · 2 = — 8 . Так как его значение отрицательное, то корней трехчлена нет.

Ответ: х = 0 .

Когда коэффициенты уравнения A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 целые, то в ответе можно получить иррациональные корни. Если A ≠ 1 , тогда при умножении на A 2 обеих частей уравнения проводится замена переменных, то есть у = А х :

A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 A 3 · x 3 + B · A 2 · x 2 + C · A · A · x + D · A 2 = 0 y = A · x ⇒ y 3 + B · y 2 + C · A · y + D · A 2

Приходим к виду кубического уравнения. Корни могут быть целыми или рациональными. Чтобы получить тождественное равенство, необходимо произвести подстановку делителей в полученное уравнение. Тогда полученный y 1 будет являться корнем. Значит и корнем исходного уравнения вида x 1 = y 1 A . Необходимо произвести деление многочлена A x 3 + B x 2 + C x + D на x — x 1 . Тогда сможем найти корни квадратного трехчлена.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Необходимо произвести преобразование с помощью умножения на 2 2 обеих частей, причем с заменой переменной типа у = 2 х . Получаем, что

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 2 3 x 3 — 11 · 2 2 x 2 + 24 · 2 x + 36 = 0 y = 2 x ⇒ y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0

Свободный член равняется 36 , тогда необходимо зафиксировать все его делители:

± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 4 , ± 6 , ± 9 , ± 12 , ± 36

Необходимо произвести подстановку y 3 — 11 y 2 + 24 y + 36 = 0 , чтобы получить тождество вида

1 3 — 11 · 1 2 + 24 · 1 + 36 = 50 ≠ 0 ( — 1 ) 3 — 11 · ( — 1 ) 2 + 24 · ( — 1 ) + 36 = 0

Отсюда видим, что у = — 1 – это корень. Значит, x = y 2 = — 1 2 .

Далее следует деление 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 на x + 1 2 при помощи схемы Горнера:

2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = x + 1 2 2 x 2 — 12 x + 18 = = 2 x + 1 2 x 2 — 6 x + 9

После чего необходимо найти корни квадратного уравнения вида x 2 — 6 x + 9 . Имеем, что уравнение следует привести к виду x 2 — 6 x + 9 = x — 3 2 , где х = 3 будет его корнем.

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3 .

Алгоритм можно применять для возвратных уравнений. Видно, что — 1 – это его корень, значит, левая часть может быть поделена на х + 1 . Только тогда можно будет найти корни квадратного трехчлена. При отсутствии рациональных корней применяются другие способы решения для разложения многочлена на множители.

Решение кубических уравнений по формуле Кардано

Нахождение кубических корней возможно при помощи формулы Кардано. При A 0 x 3 + A 1 x 2 + A 2 x + A 3 = 0 необходимо найти B 1 = A 1 A 0 , B 2 = A 2 A 0 , B 3 = A 3 A 0 .

После чего p = — B 1 2 3 + B 2 и q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 .

Полученные p и q в формулу Кардано. Получим, что

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — q 2 4 + p 3 27 3

Подбор кубических корней должен удовлетворять на выходе значению — p 3 . Тогда корни исходного уравнения x = y — B 1 3 . Рассмотрим решение предыдущего примера, используя формулу Кардано.

Найти корни заданного уравнения 2 x 3 — 11 x 2 + 12 x + 9 = 0 .

Решение

Видно, что A 0 = 2 , A 1 = — 11 , A 2 = 12 , A 3 = 9 .

Необходимо найти B 1 = A 1 A 0 = — 11 2 , B 2 = A 2 A 0 = 12 2 = 6 , B 3 = A 3 A 0 = 9 2 .

Отсюда следует, что

p = — B 1 2 3 + B 2 = — — 11 2 2 3 + 6 = — 121 12 + 6 = — 49 12 q = 2 B 1 3 27 — B 1 B 2 3 + B 3 = 2 · — 11 2 3 27 — — 11 2 · 6 3 + 9 2 = 343 108

Производим подстановку в формулу Кордано и получим

y = — q 2 + q 2 4 + p 3 27 3 + — q 2 — — q 2 4 + p 3 27 3 = = — 343 216 + 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 + — 343 216 — 343 2 4 · 108 2 — 49 3 27 · 12 3 3 = = — 343 216 3 + — 343 216 3

— 343 216 3 имеет три значения. Рассмотрим их ниже.

— 343 216 3 = 7 6 cos π + 2 π · k 3 + i · sin π + 2 π · k 3 , k = 0 , 1 , 2

Если k = 0 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos π 3 + i · sin π 3 = 7 6 1 2 + i · 3 2

Если k = 1 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cosπ + i · sinπ = — 7 6

Если k = 2 , тогда — 343 216 3 = 7 6 cos 5 π 3 + i · sin 5 π 3 = 7 6 1 2 — i · 3 2

Необходимо произвести разбиение по парам, тогда получим — p 3 = 49 36 .

Тогда получим пары: 7 6 1 2 + i · 3 2 и 7 6 1 2 — i · 3 2 , — 7 6 и — 7 6 , 7 6 1 2 — i · 3 2 и 7 6 1 2 + i · 3 2 .

Преобразуем при помощи формулы Кордано:

y 1 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 + i · 3 2 + 7 6 1 2 — i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6 y 2 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = — 7 6 + — 7 6 = — 14 6 y 3 = — 343 216 3 + — 343 216 3 = = 7 6 1 2 — i · 3 2 + 7 6 1 2 + i · 3 2 = 7 6 1 4 + 3 4 = 7 6

x 1 = y 1 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3 x 2 = y 2 — B 1 3 = — 14 6 + 11 6 = — 1 2 x 3 = y 3 — B 1 3 = 7 6 + 11 6 = 3

Ответ: x 1 = — 1 2 , x 2 , 3 = 3

При решении кубических уравнений можно встретить сведение к решению уравнений 4 степени методом Феррари.