Корни квадратного уравнения теорема виета онлайн калькулятор

Теорема Виета

Для приведенного квадратного уравнения (т.е. такого, коэффициент при x 2 в котором равен единице) x 2 + px + q = 0 сумма корней равна коэффициенту p, взятому с обратным знаком, а произведение корней равно свободному члену q:
x₁ + x₂ = -p
x₁x₂ = q

В случае неприведенного квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:
x₁ + x₂ = -b / a
x₁x₂ = c / a

Чтобы не проводить все вычисления вручную, просто подставьте значения коэффициентов в приведенную ниже форму.

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Решение квадратного уравнения.

С помощью этой математической программы вы можете решить квадратное уравнение.

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс решения двумя способами:
— с помощью дискриминанта
— с помощью теоремы Виета (если возможно).

Причём, ответ выводится точный, а не приближенный.
Например, для уравнения \(81x^2-16x-1=0\) ответ выводится в такой форме:

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода квадратного многочлена, рекомендуем с ними ознакомиться.

В качестве переменной может выступать любая латинсая буква.
Например: \( x, y, z, a, b, c, o, p, q \) и т.д.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5x — 3,5x^2

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 3&1/3 — 5&6/5z +1/7z^2
Результат: \( 3\frac<1> <3>— 5\frac<6> <5>z + \frac<1><7>z^2 \)

При вводе выражения можно использовать скобки. В этом случае при решении квадратного уравнения введённое выражение сначала упрощается.
Например: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Немного теории.

Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения

Каждое из уравнений
\( -x^2+6x+1<,>4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac<4><9>=0 \)
имеет вид
\( ax^2+bx+c=0, \)
где x — переменная, a, b и c — числа.
В первом уравнении a = -1, b = 6 и c = 1,4, во втором a = 8, b = —7 и c = 0, в третьем a = 1, b = 0 и c = 4/9. Такие уравнения называют квадратными уравнениями.

Определение.
Квадратным уравнением называется уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где x — переменная, a, b и c — некоторые числа, причём \( a \neq 0 \).

Числа a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения. Число a называют первым коэффициентом, число b — вторым коэффициентом и число c — свободным членом.

В каждом из уравнений вида ax 2 +bx+c=0, где \( a \neq 0 \), наибольшая степень переменной x — квадрат. Отсюда и название: квадратное уравнение.

Заметим, что квадратное уравнение называют ещё уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени.

Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x 2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением. Например, приведёнными квадратными уравнениями являются уравнения
\( x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Если в квадратном уравнении ax 2 +bx+c=0 хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением. Так, уравнения -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 — неполные квадратные уравнения. В первом из них b=0, во втором c=0, в третьем b=0 и c=0.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) ax 2 +c=0, где \( c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, где \( b \neq 0 \);
3) ax 2 =0.

Рассмотрим решение уравнений каждого из этих видов.

Для решения неполного квадратного уравнения вида ax 2 +c=0 при \( c \neq 0 \) переносят его свободный член в правую часть и делят обе части уравнения на a:
\( x^2 = -\frac \Rightarrow x_ <1,2>= \pm \sqrt< -\frac> \)

Так как \( c \neq 0 \), то \( -\frac \neq 0 \)

Значит, неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0 при \( b \neq 0 \) всегда имеет два корня.

Неполное квадратное уравнение вида ax 2 =0 равносильно уравнению x 2 =0 и поэтому имеет единственный корень 0.

Формула корней квадратного уравнения

Рассмотрим теперь, как решают квадратные уравнения, в которых оба коэффициента при неизвестных и свободный член отличны от нуля.

Решим квадратне уравнение в общем виде и в результате получим формулу корней. Затем эту формулу можно будет применять при решении любого квадратного уравнения.

Решим квадратное уравнение ax 2 +bx+c=0

Разделив обе его части на a, получим равносильное ему приведённое квадратное уравнение
\( x^2+\fracx +\frac=0 \)

Преобразуем это уравнение, выделив квадрат двучлена:
\( x^2+2x \cdot \frac<2a>+\left( \frac<2a>\right)^2- \left( \frac<2a>\right)^2 + \frac = 0 \Rightarrow \)

Подкоренное выражение называют дискриминантом квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0 («дискриминант» по латыни — различитель). Его обозначают буквой D, т.е.
\( D = b^2-4ac \)

Теперь, используя обозначение дискриминанта, перепишем формулу для корней квадратного уравнения:
\( x_ <1,2>= \frac < -b \pm \sqrt> <2a>\), где \( D= b^2-4ac \)

Очевидно, что:
1) Если D>0, то квадратное уравнение имеет два корня.
2) Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень \( x=-\frac <2a>\).
3) Если D 0), один корень (при D = 0) или не иметь корней (при D

Теорема Виета

Приведённое квадратное уравнение ax 2 -7x+10=0 имеет корни 2 и 5. Сумма корней равна 7, а произведение равно 10. Мы видим, что сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Таким свойством обладает любое приведённое квадратное уравнение, имеющее корни.

Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Т.е. теорема Виета утверждает, что корни x₁ и x₂ приведённого квадратного уравнения x 2 +px+q=0 обладают свойством:
\( \left\< \begin x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end \right. \)

Решение квадратных уравнений онлайн (нахождение корней)

Калькулятор корней квадратного уравнения

Дано квадратное уравнение:
ax 2 + bx + c = 0

Введите значения коэффициентов

Описание онлайн калькулятора

Чтобы найти корни квадратного уравнения:
(1) ,
введите в соответствующие поля значения коэффициентов , и и нажмите кнопку “Рассчитать корни”. Если коэффициенты введены правильно, то ниже появятся результаты расчета. Если один из коэффициентов введен не правильно, то появится сообщение об ошибке.

Правила ввода чисел

Допустим мы имеем значение коэффициента уравнения . Тогда в поле ввода нужно ввести число в одном из следующих форматов:
–6,626*10^–34
–6.626*10^–34
–6,626e–34 (здесь e – латинское)
–6.626e–34 (здесь e – латинское)
Пробелы не допустимы.

Разделителем целой и дробной части числа может быть запятая или точка.
Перед порядком числа нужно ввести *10^ или e на латинской клавиатуре.

Ввод чисел с погрешностями

Калькулятор можно использовать, и если коэффициенты квадратного уравнения получены в результате обработки экспериментальных данных. Тогда, возможно, коэффициенты a, b, c квадратного уравнения будут не точными числами, а иметь погрешности. В этом случае после ввода значения коэффициента следует ввести два символа ′+-′, а за ними значение погрешности. Пробелы также не допустимы.

Например, если у вас , то нужно ввести
123,7+-3,4

Результаты расчета

Кроме определения корней квадратного уравнения, онлайн калькулятор также вычисляет погрешности, возникающие в результате округления чисел при выполнении расчета.

Если сами коэффициенты квадратного уравнения введены с указанием погрешностей, то вычисляются и ошибки, связанные с неточностями определения коэффициентов.

Ошибки вычислений имеют два вида:
1. Предельные погрешности.
2. Статистические погрешности.

Предельные погрешности

Предельные погрешности – это величины наибольших отклонений точных значений корней от рассчитанных. Если введены точные значения коэффициентов a, b, c , то могут возникать ошибки, связанные с округлением чисел при выполнении расчета. Предельные погрешности показывают границы, в которых заключены точные значения корней.

Если исходные значения коэффициентов не являются точными, но известны их предельные погрешности, то значения коэффициентов следует вводить с указанием их погрешностей. Тогда следует использовать результат в блоке «Предельные погрешности».

Например, если
x ₁ = –9,0852 7 ± 0,000023 ,
то точное значение корня находится в пределах
–9,08527 – 0,000023 ≤ x ₁ ≤ –9,08527 + 0,000023 ;
–9,085293 ≤ x ₁ ≤ –9,085247 .

Статистические погрешности

Статистические погрешности носят вероятностный характер. Они применяются, когда коэффициенты a, b, c введены с погрешностями, связанными с неточностью измерительных приборов.

Обычно данные экспериментов записывают так:
.
Это означает, что с вероятностью 0,683, значение величины a находится в пределах
.
Если ввести значение коэффициентов со статистическими погрешностями, то правильный результат показан в блоке «Статистические погрешности с вероятностью 0,683».

В блоке «Статистические погрешности с вероятностью 0,997» показаны практически достоверные значения корней.

Статистические погрешности рассчитываются и при введении точных значений коэффициентов a, b, c . Они широко используются в вычислительной математике наряду с предельными погрешностями. Однако статистические погрешности дают точную оценку при большом объеме вычислений. Для расчета корней квадратного уравнения они практически не актуальны.

Метод расчета

Чтобы решить квадратное уравнение
(1) ,
мы находим его дискриминант:
.
Если , то уравнение (1) имеет два действительных корня:
; .
Если дискриминант , то квадратное уравнение (1) имеет два кратных действительных корня:
; ; .
Если , то корни комплексно сопряженные:
;
.
Здесь – мнимая единица, ;
и – действительная и мнимая части корней:
; .

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 12-09-2016 Изменено: 06-09-2021