Численные методы решения нелинейных уравнений
В этом разделе приведены примеры решенных задач по теме нахождения корней нелинейных уравнений численными методами. На первом этапе обычно происходит локализация (отделение) корней (графически или аналитически), на втором — уточнение (поиск) корней разными методами: Ньютона, Стеффенсена, секущих, хорд, касательных, простой итерации.
Примеры приближенных решений нелинейных уравнений онлайн
Задача 1. Методом бисекции найти решение нелинейного уравнения на отрезке $[a;b]$ с точностью $\varepsilon = 10^<-2>$. Выбрав полученное решение в качестве начального приближения, найти решение уравнения методом простой итерации с точностью $\varepsilon=10^<-4>$. Для метода простой итерации обосновать сходимость и оценить достаточное для достижения заданной точности число итераций.
Задача 2. Отделить корни нелинейного уравнения аналитически $2 arcctg x -x+3=0$.
Задача 3. Отделить корни нелинейного уравнения аналитически и уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01. $$3x^4-8x^3-18x^2+2=0.$$
Задача 4. Отделить корни нелинейного уравнения графически (например, в среде EXCEL) уточнить один из них методом проб с точностью до 0,01. $$x^2-20 \sin x =0.$$
Задача 5. Отделите корни уравнения графически и уточните один из них методом хорд с точностью до 0,001. Уточните один из корней этого уравнения методом касательных с точностью до 0,001. $$ \sqrt
Задача 6.Отделить корни уравнения графически и уточнить один из них методом итераций с точностью до 0,001. $$\sqrt
Задача 7. На отрезке $[0;2]$ методом Ньютона найти корень уравнения $-x^3-2x^2-4x+10=0$ с точностью 0,01.
Задача 8. Методом хорд найти отрицательный корень уравнения $x^3-2x^2-4x+7=0$ с точностью 0,0001. Требуется предварительное построение графика функции и отделение корней.
Задача 9. Решить нелинейные уравнения с точностью до 0.001. $$1)\, x^3-12x-5=0\, (x \gt 0), \, 2)\, \tan x -1/x=0. $$
3.1. Отделение корней нелинейного уравнения
Отделение корней – это определение их наличия, количества и нахождение для каждого их них достаточно малого отрезка [a, b], которому он принадлежит.
На первом этапе определяется число корней, их тип. Определяется интервал, в котором находятся эти корни, или определяются приближенные значения корней.
В инженерных расчетах, как правило, необходимо определять только вещественные корни. Задача отделения вещественных корней решается Аналитическими и Графическими методами.
Аналитические методы основаны на функциональном анализе.
Для алгебраического многочлена n-ой степени (полинома) с действительными коэффициентами вида
Pn(x) = an x n + an-1xn-1 +. +a1x+ a0 = 0, (an >0) (3.2)
Верхняя граница положительных действительных корней определяется по формуле Лагранжа (Маклорена):
, (3.3)
Где: k ³ 1 – номер первого из отрицательных коэффициентов полинома;
B – максимальный по модулю отрицательный коэффициент.
Нижнюю границу положительных действительных корней можно определить из вспомогательного уравнения
(3.4)
Если для этого уравнения по формуле Лагранжа верхняя граница равна R1, то
= (3.5)
Тогда все положительные корни многочлена лежат в интервале
≤x+≤.
Интервал отрицательных действительных корней многочлена определяется с использованием следующих вспомогательных функций.
и .
≤x–≤ = =.
Рассмотрим пример отделения корней с использованием этого аналитического метода.
Методом Лагранжа определим границы положительных и отрицательных корней многочлена.
3×8 – 5×7 – 6×3 – x – 9 = 0
K = 1 B = |– 9| an = 3
= 4
9×8 + x7 + 6×5 + 5x – 3 = 0
k = 8 B = 3 an = 9
Отсюда границы положительных корней 0,5 ≤ x+ ≤ 4
3×8 + 5×7 + 6×3 + x – 9 = 0
=
9×8 – x7 – 6×5 – 5x – 3 = 0
K = 1 B = 6 an = 9
Следовательно, границы отрицательных корней –2 ≤ x– ≤ –0,6
Формула Лагранжа позволяет оценить интервал, в котором находятся все действительные корни, положительные или отрицательные. Поэтому, для определения расположения каждого корня необходимо проводить дополнительные исследования.
Для трансцендентных уравнений не существует общего метода оценки интервала, в котором находятся корни. Для этих уравнений оцениваются значения функции в особых точках: разрыва, экстремума, перегиба и других.
На практике получил большее распространение Графический метод приближённой оценки вещественных корней. Для этих целей строится график функции по вычисленным её значениям.
Графически корни можно отделить 2-мя способами:
1. Построить график функции y = f(x) и определить координаты пересечений с осью абсцисс− это приближенные значения корней уравнения.На графике 3 корня.
Рис. 3.1 Отделение корней на графике f(x).
2. Преобразовать f(x)=0 к виду j(x) = y(x), где j(x) и y(x) – элементарные функции, и определить абсциссу пересечений графиков этих функций.
На графике 2 корня.
Рис. 3.2 Отделение корней по графикам функций j(x) и y(x).
Графический метод решения нелинейных уравнений широко применяется в технических расчётах, где не требуется высокая точность.
Для отделения вещественных корней можно использовать ЭВМ. Алгоритм отделения корней основан на факте Изменения знака функции в окрестности корня. Действительно, если корень вещественный, то график функции пересекает ось абсцисс, а знак функции изменяется на противоположный.
Рассмотрим Схему алгоритма отделения корней нелинейного уравнения на заданном отрезке в области определения функции.
Алгоритм позволяет определить приближённые значения всех действительных корней на отрезке [a, b]. Введя незначительные изменения в алгоритм, его можно использовать для определения приближённого значения максимального или минимального корня.
Приращение неизвестного Δx не следует выбирать слишком большим, чтобы не «проскочить» два корня.
Недостаток метода – использование большого количества машинного времени.
Численное решение нелинейных уравнений с одной переменной
Учащимся 10-11 классов
доцент кафедры информатики и информационных технологий ГОУ ВПО ДВГГУ
Численное решение нелинейных уравнений с одной переменной
При решении задач прикладного характера в разнообразных разделах физики, механики, техники и других областях возникает необходимость решения нелинейных уравнений с одной переменной. При этом многие уравнения не имеют аналитических решений. Это относится к большинству трансцендентных уравнений. Также доказано, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраические уравнение выше четвертой степени.
Уравнение будем называть линейным[1], алгебраическим или трансцендентным в зависимости от того, имеет ли оно одно решение, n решений или неопределенное число решений.
Нелинейные уравнения можно разделить на два класса – алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). Например, многочлен является целой алгебраической функцией. Уравнения, содержащие другие функции (тригонометрические, показательные, логарифмические и другие) называются трансцендентными.[2]
Методы решения нелинейных уравнений делятся на две группы:
Точные методы позволяют записать корни в виде некоторого конечного соотношения (формулы). Из школьного курса алгебры известны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.
Если алгебраическое или трансцендентное уравнение достаточно сложное, то его корни сравнительно редко удается найти точно. Поэтому большое значение приобретают способы приближенного нахождения корней уравнения и оценки степени их точности. Если точно определить корни уравнения не представляется возможным, для их решения используют численные итерационные (iteration — повторение) методы с заданной степенью точности.
Далее будут рассмотрены несколько численных методов и приведены алгоритмы нахождения корней уравнений.
В общем случае нелинейное уравнение можно записать в виде:
(1)
где функция F(x) — определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном интервале
(2)
где функции f(x) и g(x) также определены и непрерывны на интервале .
Всякое число обращающее уравнения (1) или (2) в верные числовые равенства называется корнем этого уравнения.
Корни уравнения могут быть действительными и комплексными. В дальнейшем будет идти речь только о вычислении действительных корней.
Решить уравнение численно значит:
1) установить имеет ли оно действительные корни;
2) отделить эти корни (то есть на числовой оси найти достаточно тесные промежутки, называемые интервалами изоляции корня[3], содержащие только один корень данного уравнения);
3) уточнить отделенные корни, т. е. найти значения корней с заданной степенью точности .
Последнее означает следующее.
Пусть x* — точный корень уравнения и x* , то есть x* . Если , тогда числа и могут рассматриваться как приближенные значения корня x* соответственно с недостатком и с избытком с точностью до , так как и .
Любое число, содержащееся между и , можно принять за приближенное значение корня x* с точностью до .
Графические методы решения уравнений[4]
Пусть дано уравнение F (х) = 0. Построим график функции F (х). Абсциссы точек пересечения графика с осью Ох и являются корнями уравнения.
Иногда для графического решения уравнения удобнее записать его в виде и построить графики функций: и Абсциссы точек пересечения этих графиков и являются корнями уравнения F (х) = 0 (рис. 1).
Однако этот метод позволяет получить лишь грубо приближенные значения корней уравнения. Для получения значений корней с большей точностью применяются численные методы. Однако, графический метод очень удобен, так как он позволяет найти корни с точностью, достаточной для решения многих практических задач, а также достаточно нагляден, прост и доступен.
Численные методы решения уравнений
Наиболее распространенными на практике численными методами решения уравнения (1) являются: метод половинного деления, метод хорд, метод касательных, метод простой итерации и т. д.[5]
Процесс численного решения уравнений разбивается на три этапа:
1. Отделение корней уравнения. Этот процесс можно сделать как графически, так и аналитически. Важно найти такие отрезки, которые бы содержали по одному корню уравнения (1).
2. Выбор метода решения и преобразование уравнения к виду, удобному для применения данного метода.
3. Уточнение корней с заданной точностью при помощи выбранного численного метода.
Говорят, что корень x* уравнения отделен на отрезке , если он содержится в данном отрезке, и если на этом отрезке других корней нет.
Провести полное отделение всех корней уравнения – значит разбить всю область допустимых значений на интервалы (или на отрезки), в каждом из которых содержится ровно по одному корню (или не содержится ни одного корня).
Отделение корней обычно начинают проводить графически. Для этого строят графики функций, получают интервалы, в которых находятся корни уравнения. Это предположение затем проверяют аналитически, пользуясь следующим свойством непрерывной функции F(x): если функция непрерывна на интервале и на его концах имеет разные знаки (), то между точками a и b имеется хотя бы один корень уравнения .
При этом корней может оказаться и несколько, как показано на рис. 2. Рис.2
Для того, чтобы на интервале существовал только один корень, должно выполняться следующее свойство: если функция непрерывна и монотонна на отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка содержится корень уравнения и этот корень единственный (рис. 3, а, b).
Пример 1: Отделить графически положительные корни уравнения
Решение: Найдем приближенные значения корней уравнения графически. Для этого удобно представить уравнение в следующем виде: e0,3x = 2 sin(2x).
Решением данного уравнения будет являться абсцисса x точки пересечения графиков следующих функций:
На рисунке видно, что графики функций y1(x) и y2(x) пересекаются в двух точках A и B, абсциссы которых положительны и лежат соответственно в промежутках и. Следовательно, уравнение имеет два положительных корня x1 и x2, которые лежат в промежутках и.
Примечание: Графики функций можно строить с помощью компьютера, например, в электронных таблицах Excel или в свободно распространяемой системе компьютерной математики Scilab.[7]
Пример 2: Отделить аналитически корни уравнения
Решение: Для аналитического отделения корней найдем производную функции
Производная этой функции
ни в одной точке не обращается в нуль, т. к. D = 36 -4*3*11 0, следовательно, функция f везде возрастает, и уравнение (4) может иметь один корень.
[3] Методы определения интервала изоляции корня основаны на следующем свойстве: если непрерывная функция f(x) на интервале [a, b] поменяла знак, т. е. f(a)*f(b)
http://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/vychislitelnaia-matematika/3-1-otdelenie-kornei-nelineinogo-uravneniia
http://pandia.ru/text/77/276/87588.php