Корни уравнения 8 класс урок

Конспект урока алгебры в 8-м классе по теме «Квадратное уравнение и его корни»

Разделы: Математика

Базовый учебник: Алгебра-8, Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. М.: Просвещение, 2002.

Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний.

Цель урока: сформулировать определение квадратного уравнения, научить учащихся решать уравнения вида х 2 = а, способствовать формированию получать информацию.

Оформление и оборудование:

• компьютер,
• мультимедиапроектор
• карточки-задания для работы в парах
• карточки с тестами для саморефлексии
• презентация (Приложение).

1. Актуализация знаний

а) Устно: вспомнить понятие арифметического квадратного корня, формулы

б) Применяя эти формулы, решите примеры, и вы отгадаете имя известного математика и астронома IX века.

Ключ к решению: 1 – А, 2 – Д, 16 – И, 4 – Е, 5 – К, 6 – М, 8 – Н, 7 – П, 9 – Р, 10 – Т, 11 – Л, 12 – Ь, 13 – О, 14 – З, 18 – Х.

Решение: Аль-Хорезми. Приложение. Слайд 2.

2. А теперь небольшая историческая справка об этом человеке (рассказ ученика)

Аль-Хорезми (750 – 850). Полное имя – Абу Абдаллах Мухаммад ибн Муса ал Хорезми – один из крупнейших ученых (математик, астроном, историк, географ) средневековья. Приведенные годы жизни условны. Родина Аль-Хорезми – Хорезм, обширная область Средней Азии, которой соответствует теперешний Узбекистан. Он известен тем, что написал основополагающий трактат по алгебре, который был посвящен решению уравнений и ученый рассматривал этот вопрос как самостоятельную науку. В книге Аль-Хорезми шла речь о двух важнейших операциях, необходимых при решении уравнений: переносе членов уравнения с одной стороны равенства в другую и о приведении подобных членов уравнения. От названия книги Ал-джабр произошло слово «алгебра». В книге содержатся решения уравнений 1 и 2 степени. Аль-Хорезми приводил и геометрические способы решения уравнений. Его книга пользовалась большой популярностью, а в математике осталось и имя автора в латинизированном виде: алгоритм. Это слово теперь означает систему вычислений по определенным правилам. Аль-Хорезми впервые представил алгебру как науку об общих методах решения уравнений, дал их классификацию, что было очень существенно для «добуквенной» алгебры.

2х = 8,
3х 2 = 6,
5х 2 – 7х = 0,
х 2 – 4х + 5 = 0,
3х – 6 = 5 + 4х.

Учитель: Какие уравнения относятся к уравнениям 1 и 2 степени? Учащиеся делают сравнительный анализ уравнений 1 и 2 степени.
Учитель: Уравнения 1 степени вы уже решать умеете, а вот уравнения 2 степени еще нет. Теперь ваша очередь познакомиться с ними. Сформулируем теперь тему урока? Учащиеся дают варианты тем. Приложение. Слайд 4.

3. Изучение нового материала. Работа со слайдом 5 (Приложение)

Учитель: На слайде записаны вопросы, на которые, работая в парах, вы должны найти ответ в учебнике.

Вопросы:

• Какое уравнение называется квадратным?
• Как называются числа а, b, с?
• Приведите примеры квадратных уравнений.

Работа с классом. Учащиеся отвечают на поставленные вопросы.

На слайде 6: Квадратным уравнением называется уравнение вида ах 2 + bх + с = 0, где а, b, с – заданные числа, х – неизвестное. (Записать определение в тетрадь)

На слайде 7: ах 2 + bх + с = 0, а – старший коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член. (Записать в тетрадь)

Вопросы по слайду:

– Существенно ли условие а=/=0?
– Могут ли быть равными 0 другие коэффициенты?

Привести два-три примера квадратных уравнений на доске и в тетради

Работа со слайдом 8. Из приведенных уравнений указать квадратные и назвать коэффициенты.

1. 3х 2 + 4х – 7 = 0
2. – 2х 2 + 7х + 5 = 0
3. 2х – 3 = 5
4. 4х – 5х 2 = 1 = 0
5. 6х – 3 = 5х + 5
6. – х 2 – х + 2 = 0

Работа со слайдом 9. С помощью указанных коэффициентов составить квадратное уравнение.

Работа со слайдом 10. Проверить полученные уравнения.

Учитель: Разделите тетрадь на 3 части и решите 3 уравнения. Что значит решить уравнения? (Найти корни, или доказать что их нет). Что значит найти корни? (Найти значение переменной, при которой выполняется верное равенство). Являются ли данные уравнения квадратными?

Учитель. Если рассмотреть уравнение в общем виде х 2 = а, то от чего будет зависеть его решение? (От а)

Попробуем сделать вывод:

Если а > 0, то уравнение имеет 2 корня х₁ = , х₂ = – . (Привести пример решения геометрической задачи на применение теоремы Пифагора. Почему в ответе записываем только один корень?)
Если а = 0, то уравнение имеет один корень, х = 0.
Если а 2 = 121

а) х =
б) х = ± 12
в) корней нет

а) х = 0
б) х =
в) корней нет

6. Подведение итога урока. Домашнее задание

.№ 408 (2, 4, 6), № 409 (2, 4, 6), № 410 (2, 4) – группа А.

Конспект урока «Формула корней квадратного уравнения» 8 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Конспект урока по алгебре в 8 классе на тему: «Формула корней квадратного уравнения»

Учебник: Учебник Алгебра 8 класс Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова

Форма урока : изучение нового материала

Образовательная: изучить новый приём решения квадратных уравнений по формуле.

Воспитательная: воспитывать стремление к достижению цели, уважительное отношение к старшим и друг другу, честность, взаимопомощь, интерес к математике.

Развивающая: развивать память, внимание, логическое мышление, интерес к математике.

Задачи урока: познакомить обучающихся с понятием дискриминанта, вывести формулу корней квадратного уравнения, учить применять её при решении квадратных уравнений.

Эпиграф урока : Чтобы решить уравнение,

Корни его отыскать.

Нужно немного терпения,

Ручку, перо и тетрадь.

I . Организационный момент.

Приветствие, учитель выясняет, кто отсутствует на уроке.

В течение всего урока я попрошу вас делать пометки на полях тетради. Если вы полностью разобрались с материалом, поставьте на полях +. Если у вас возникли вопросы по ходу изложения материала, то поставьте на полях ?. в конце урока мы вернемся к вашим вопросам и ответим на них.

II .Актуализация опорных знаний

Проверка домашнего задания

Проверка домашнего задания. Сверка ответов с учителем. Ответы в тетради.

Ребята, с какими уравнениями мы познакомились на прошедших уроках? Общий вид квадратного уравнения?

Игра «Верю – Не верю». Обучающиеся закрывают глаза и слушают утверждения. Если они согласны с утверждением, то поднимают руку; не согласны – не поднимают.

Квадрат любого числа может быть отрицательным. (Нет)

В квадратном уравнении старший коэффициент не может быть равным нулю. (Да)

Приведённое квадратное уравнение – это уравнение в котором старший коэффициент не равен 1. (Нет)

Числа a , b , c в квадратном уравнении называются его корнями. (Нет)

Уравнение 2х+3=1 квадратное. (Нет)

Если в квадратном уравнении один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным. (Да)

Числа a , b , c являются коэффициентами квадратного уравнения(Да)

Число b это старший коэффициент квадратного уравнения(Нет)

Какие виды неполных квадратных уравнений вы знаете?

На доске записаны уравнения

Какие из записанных уравнений вы умеете решать. Выбирая метод решения предложенных уравнений к какому из них, мы не смогли подобрать рациональный метод. (Для последнего) Правильно. Наших знаний оказалось недостаточно. Каждый известный нам метод оказался бы очень трудоемким. Вот с точно такой же проблемой столкнулись и математики в свое время. А теперь скажите, могли ли математики спать спокойно, если бы для таких нужных и важных уравнений не было бы более простого и универсального способа решения. А что может быть проще, чем воспользоваться для решения задачи какой-либо формулой?

Тема нашего сегодняшнего урока «Формула корней квадратного уравнения»

— Как вы думаете какова цель нашего урока? (найти способ решения квадратных уравнений общего вида)

— Какая задача стоит перед нами? (получить алгоритм решения квадратного уравнения общего вида, выяснить, подойдет ли он для решения всех типов квадратных уравнений)

Ученики отвечают на вопросы, формулируют тему и цель и задачу урока.

Записывают тему в рабочие тетради

IV . Изучение нового материала.

Зная коэффициенты а и b уравнения первой степени ax = b , можно найти его корень по формуле .

Выведем формулу, которая даёт возможность по коэффициентам a , b и c квадратного уравнения находить его корни.

У вас в учебнике приведён способ выделения квадрата двучлена, через деление на старший коэффициент. Вы ознакомитесь с ним дома и на следующий урок скажите какой способ вам кажется легче.

Поскольку а≠0 (почему?), то умножив обе части уравнения на 4а, получим уравнение, равносильное данному.

Выделим в левой части квадрат двучлена для это прибавим и отнимем :

Существование корней уравнения (2) и их количество зависит от знака выражения . Это выражение называют дискриминантом квадратного уравнения и обозначают буквой D , то есть D =.

Теперь уравнение (2) можно записать так:

Возможны три случая:(подумайте какие?) D D =0, D >0.

Если D =0, то уравнение (3) принимает вид:

Вывод: Если D =0, то квадратное уравнение имеет один корень .

Если D >0, то уравнение (3) можно записать в виде:

Отсюда или. Тогда или.

Вывод: если D >0, то квадратное уравнение имеет два корня и

Также используют короткую форму записи:

Эту запись называют формулой корней квадратного уравнения

Рассмотреть уравнение, которое в начале урока вызвало затруднения.

V . Систематизация знаний .

Работа в парах с карточками.

Решение по вариантам в паре

Выпишите коэффициенты уравнений

Укажите неполное квадратное уравнение

Вычислите дискриминант неполных квадратных уравнений

Выполните проверку решения задач соседа, аргументируйте свою точку зрения.

Рисуй глазами треугольник.

Теперь его переверни Вершиной вниз.

И вновь глазами ты по периметру веди.

Рисуй восьмерку вертикально.

Ты головою не крути,

А лишь глазами осторожно ты вдоль по линиям води.

И на бочок ее клади.

Теперь следи горизонтально,

И в центре ты остановись.

Зажмурься крепко, не ленись.

Глаза открываем мы, наконец.

Зарядка окончилась. Ты молодец!

(Дети представляют внешний вид геометрических фигур.)

VI . Закрепление материала

А сейчас ребята прочитают нам стихотворение про дискриминант

Да будет известно тебе, повелитель,

Что дискриминант-это определитель.

Его вычислять ты научишься вскоре,

И, думаю, этим ты будешь доволен.

Определив дискриминанта знак,

Количество корней узнает всяк,

Коль знак этот плюс, то излишни слова,

У уравнения корней ровно…(два).

На корни внимательней я посмотрю,

Коль дискриминант будет равен нулю.

Тебе поведаю, мой господин,

Что в случае этом корень…(один).

Коль минус с тобой мы замечаем,

То это обрадует даже лентяя.

Тогда уравненье корней не имеет,

И прекращается сразу решенье.

Решить из учебника №533, 534 (а – г), 535(а – в), 538

Решая уравнения, мы смогли убедиться в том, что найденный нами способ работает. Значит, можно считать его универсальным.

— А теперь проанализируйте свою работу на уроке. Какова была цель нашего урока?

— Смогли ли мы достичь поставленной цели?

— Просмотрите свои пометки на полях. Что вызвало у вас наибольшее затруднение?

Сформулируйте алгоритм решения квадратного уравнения по формуле.

Домашнее задание(1 мин) Выучить §8 пункт 22, решить

Формулы корней квадратных уравнений. Открытый урок по алгебре 8 класс
план-конспект урока по алгебре (8 класс)

Урок изучения формулы корней квадратного уравнения.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Учитель: Макрова Н.А.

Учебник: Мордкович А.Г.

Тема: Формулы корней квадратных уравнений

Образовательная:
вывод и обоснование формулы корней квадратных уравнений и отработка умений применения формулы при решении простейших квадратных уравнений.

Воспитательная:
воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения.

Развивающая:
развитие логического мышления для сознательного восприятия учебного материала.

• Подвести учащихся к самостоятельному выводу формулы корней квадратного уравнения на основе имеющихся данных.
• Использовать простые логические рассуждения для возможной постановки более сложных заданий и их решения.

• Тесты на усвоение новых понятий и терминов и нахождения корней уравнений разного вида.
• Таблица “Алгоритм решения квадратных уравнений с помощью формулы”

1. Орг момент
2. Проверка д/з №24.22(в), х 0 =8, у 0 =0, ответ: х=8

24.33(в) 49+7р-35=0, 7р=14, р=2. Ответ: х=7.

Во время устного счёта учащиеся называют коэффициенты уравнений. Какие уравнения называются квадратными?

Б) Составьте квадратные уравнения, если известны их коэффициенты:

В) Не решая уравнения, найдите корни, если они имеются

что значит решить уравнение?

4.Изучение новой темы

Вы с начальных классов уже умеете решать уравнения различных видов. А сейчас давайте узнаем, благодаря кому они появились.

Простые уравнения люди научились решать более трех тысяч лет назад в Древнем Египте, Вавилоне. Задачи на квадратные уравнения встречались уже в 499 г. в Древней Индии. Часто они были в стихотворной форме. Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в “Книге абака”,написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. И лишь в XVII веке, благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид. И только в XVI веке французский юрист, тайный советник короля Франции и математик Франсуа Виет впервые вводит в обращение буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для данных, то есть коэффициентов уравнения. Тем самым заложил основы буквенной алгебры.

На каких предметах вы используете слово «Корень»? (русский язык – корень слова, биология – корень дерева)

Какие высказывания вы знаете? («Зри в корень», «Корень зла», «Корень учения горек, да плод его сладок»)

Сегодня на уроке мы будем говорить о корнях квадратного уравнения

Задача 1. Одна сторона прямоугольника больше другой на 2 см., а площадь равна . Найти стороны прямоугольника.

Решение: х см- ширина; (х+2)см-длина; х (х+2)=15; +2х=15. Как мы можем решить данное уравнение? (графическим методом). Сегодня на уроке мы познакомимся еще с одним методом решения квадратных уравнений – аналитическим.

Учащиеся останавливаются на данном шаге. Не могут решить уравнение.

В связи с этим, какая задача возникает перед нами? (Найти способ решения данных уравнений и выяснить, что это за уравнение)

Как мы будем его решать?

1. А какие квадратные уравнения вы знаете? (Приведенные и неприведенные, полные и неполные).Что значит решить уравнение? (Найти корни его или выяснить их отсутствие).
2. Что такое корень квадратного уравнения? (Это значение переменной, при котором квадратный трехчлен равен нулю.)

С помощью выделения полного квадрата мы решим квадратное уравнение в общем виде ах2 + вх + с = 0.

а(x 2 + b/a *x + c/a ) = 0

a(( x 2 + 2x*b/2a + (b/2a) 2 ) – (b/2a) 2 + c/a) = 0

a((x + b/2a) 2 – b 2 /4a 2 + c/a) =0

a((x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/4a 2 ) = 0

a(x + b/2a) 2 – (b 2 – 4ac)/ 4a = 0

а(x + b/2a) 2 = (b 2 – 4ac)/4a; b 2 – 4ac = D Выполняя задание, вы, конечно, обратили внимание на то, что “различителем” числа корней квадратного уравнения является выражение b 2 — 4ас.

Ему дано специальное имя – дискриминант (от discriminantis – по латыни “различающий”, “разделяющий”). Дискриминант различает квадратные уравнения по числу корней.

Дискриминант обозначается буквой D :

А в толковом математическом словаре (дети смотрят сами) дискриминант квадратного трёхчлена – величина, определяющая характер его корней.

Что общего между понятием “светофор” и “дискриминант”?

а(x + b/2a) 2 = D/4a; (x + b/2a) 2 = D/4a 2 ;

1. Сколько корней может иметь квадратное уравнение?

2) Как вы думаете, количество корней квадратного уравнения определяется:

— одним коэффициентом;
— двумя коэффициентами;
— тремя коэффициентами;
— некоторым выражением, составленным из коэффициентов?

3) Как вы думаете, как определить число корней уравнения?

Выясняем, что если

D = 0, то один корень х + b/2а = 0.

Возвращаясь к домашнему заданию, выясняем, что по такой же формуле находится вершина параболы.