Корни уравнения образуют арифметическую прогрессию

Задание 19

б) Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $8x^4-(a+37)x^2+2a^2=0$ имеет ровно четыре действительных корня, образующих арифметическую прогрессию.

в) Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение $x^8-(109a+4)x^4+a^4=0$ имеет ровно четыре действительных корня, образующих арифметическую прогрессию.

г) Числа $cosx, —<3cosx*ctg(2x)\over 7>, sinx$ являются последовательными членами арифметической прогрессии. Найдите x, если известно, что один из членов этой прогрессии равен -0,8 .

Арифметическая прогрессия: свойства и формулы

О чем эта статья:

Определение числовой последовательности

Числовая последовательность — это множество чисел, каждому из которых можно присвоить уникальный номер.

Последовательности можно задавать разными способами:

Словесно

«Последовательность простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. »

Аналитически — когда указана формула ее n-го члена: y_n = f(n).

Последовательность y_n = C называют постоянной или стационарной.

Рекуррентно — когда указывается правило, которое помогает вычислить n-й член последовательности, если известны её предыдущие члены.

Последовательность Фибоначчи — когда каждое следующее число равно сумме двух предыдущих чисел: a_n+1 = a_n + a_n-1.

Пример: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55.

Графически — когда график последовательности состоит из точек с абсциссами
1, 2, 3, 4.

Так как алгебраическая числовая последовательность — это частный случай числовой функции, то ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.

Свойства числовых последовательностей:

n> называют возрастающей, если каждый ее член кроме первого больше предыдущего:

Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными последовательностями.

Последовательность можно назвать периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого N, выполняется равенство: y_n = y_n+T. Число T — длина периода.

Запишем числа, которые первые пришли в голову: 7, 19, 0, −1, −2, −11, 0… Сколько бы чисел не написали, всегда можно сказать, какое из них первое, какое — второе и так до последнего. То есть мы можем их пронумеровать.

Пример числовой последовательности выглядит так:

В такой математической последовательности каждый номер соответствует одному числу. Это значит, что в последовательности не может быть двух первых чисел и т.д. Первое число (как и любое другое) — всегда одно.

N-ный член алгебраической последовательности — это число с порядковым номером n.

Всю последовательность можно обозначить любой буквой латинского алфавита, например, a. Каждый член этой последовательности — той же буквой с индексом, который равен номеру этого члена: a₁, a₂. a₁₀. a_n.

N-ый член последовательности можно задать формулой. Например:

Формула a_n = 3n − 5 задает последовательность: −2, 1, 4, 7, 10…
Формула a_n = 1 : (n + 2) задает последовательность: 1/3, 1/4, 1/5, 1/6.

Определение арифметической прогрессии

Так как числовая последовательность — это частный случай функции, которая определена на множестве натуральных чисел, арифметическую прогрессию можно назвать частным случаем числовой последовательности.

Рассмотрим основные определения и как найти арифметическую прогрессию.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a₁, a₂. a_n. для которой для каждого натурального n выполняется равенство:

a_n+1= a_n + d, где d — это разность арифметической прогрессии.

Описать словами эту формулу можно так: каждый член арифметической прогрессии равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d.

Разность между последующим и предыдущим членами, то есть разность арифметической прогрессии можно найти по формуле:

Если известны первый член a₁ и n-ый член прогрессии, разность можно найти так:

Арифметическая прогрессия бывает трех видов:

Возрастающая

Пример: последовательность чисел 11, 14, 17, 20, 23. — это возрастающая арифметическая прогрессия, так как ее разность d = 3 > 0.

Убывающая — арифметическая прогрессия, у которой отрицательная разность, то есть d

Свойство арифметической прогрессии

Переведем с языка формул на русский: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Что как раз объясняет название «арифметическая» прогрессия.

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Из определения арифметической прогрессии следует, что равенство истинно:

Значит,

Переведем с языка формул на русский: если мы знаем первый член и разность арифметической прогрессии, то можем найти любой ее член.

Арифметическую прогрессию можно назвать заданной, если известен ее первый член и разность.

Формулу a_n = a₁ + d * (n — 1) называют формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Формулы арифметической прогрессии

В 9 классе проходят все формулы арифметической прогрессии. Давайте узнаем, какими способами ее можно задать:

Рекуррентной формулой:
Формулой n-го члена: a_n = a₁+ d · (n — 1).
Формулой вида a_n = kn + b, где k и b — числа, n — число членов последовательности.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии (а_n) обозначается S_n:

Формулы нахождения суммы n членов арифметической прогрессии:

Чтобы быстрее запомнить формулы можно использовать такую табличку с основными определениями:

Рассмотрим пример арифметической прогрессии.

Дано: арифметическая прогрессия (a_n), где a₁ = 0 и d = 2.

Найти: первые пять членов прогрессии и десятый член прогрессии.

Решение арифметической прогрессии:

Используем общую формулу a_n = a₁ + d * (n — 1).

По условиям задачи n = 10, подставляем в формулу:

a₁₀ = a₁ + 2 * (10 — 1) = 0 + 2⋅9 = 18.

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность (b_n), в которой каждый последующий член можно найти, если предыдущий член умножить на одно и то же число q.

Если последовательность (b_n) является геометрической прогрессией, то для любого натурального значения n справедлива зависимость:

b_n+1 = b_n * q, где q — знаменатель геометрической прогрессии

Если в геометрической прогрессии (b_n) известен первый член b₁ и знаменатель q, то можно найти любой член прогрессии:

Общий член геометрической прогрессии bn можно вычислить при помощи формулы:

b_n = b₁ * q n−1 , где n — порядковый номер члена прогрессии, b₁ — первый член прогрессии, q — знаменатель.

Пример 1. 2, 6, 18, 54,… — геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.

Пример 2. 3, -3, 3, -3,… — геометрическая прогрессия b = 3, q = -1.

Пример 3. 7, 7, 7, 7,… — геометрическая прогрессия b = 7, q = 1.

! При каких значениях a корни уравнениявзятые в некотором порядке, составляют арифметическую прогрессию?

Алгебра | 5 — 9 классы

! При каких значениях a корни уравнения

взятые в некотором порядке, составляют арифметическую прогрессию?

Е. корни$x=0;1;\frac<3>$ и пусть они в таком порядке, тогда

чтобы была арифм прогрессия нужно чтобы[img = 10]

Если корни в таком порядке[img = 12]

если корни в таком порадке[img = 15]

Сумма первых десяти членов АРИФМЕТИЧЕСКОЙ прогрессии равна 30?

Сумма первых десяти членов АРИФМЕТИЧЕСКОЙ прогрессии равна 30.

ЧЕТВЁРТЫЙ, СЕДЬМОЙ, ПЯТЫЙ её члены в УКАЗАННОМ порядке составляют ГЕОМЕТРИЧЕСКУЮ прогрессию.

Найти разность арифметической прогрессии, если известно, что все её члены РАЗЛИЧНЫ.

Докажите, что если числа в заданном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию, то числа также образуют конечную арифметическую прогрессию?

Докажите, что если числа в заданном порядке образуют конечную арифметическую прогрессию, то числа также образуют конечную арифметическую прогрессию.

Известно, что х1 и х2 — корни уравнения х * 2 — 3х + а = 0, х3 и х4 — корни уравнения х * 2 — 7х + в = 0, причем х1, х2, х3, х4 составляют в указанном порядке арифметическую прогрессию?

Известно, что х1 и х2 — корни уравнения х * 2 — 3х + а = 0, х3 и х4 — корни уравнения х * 2 — 7х + в = 0, причем х1, х2, х3, х4 составляют в указанном порядке арифметическую прогрессию.

При каких значениях параметра а корни уравнения х ^ 3 + ax ^ 2 + 48x — 27 = 0 составляют геометрическую прогрессию?

При каких значениях параметра а корни уравнения х ^ 3 + ax ^ 2 + 48x — 27 = 0 составляют геометрическую прогрессию.

Восьмой член арифметической прогрессии составляет 40% от четвертого, а их сумма равна 2, 8?

Восьмой член арифметической прогрессии составляет 40% от четвертого, а их сумма равна 2, 8.

Сколько нужно взять членов этой прогресси , чтобы сумма их равнаялась 14, 3.

Корни уравнения x ^ 3 — 6x ^ 2 + 3x + a = 0 при некотором «а» образуют убывающую арифметическую прогрессию?

Корни уравнения x ^ 3 — 6x ^ 2 + 3x + a = 0 при некотором «а» образуют убывающую арифметическую прогрессию.

Найти эту прогрессию.

Три числа образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q, а квадраты этих чисел, взятые в том же порядке, образуют арифметическую прогрессию?

Три числа образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q, а квадраты этих чисел, взятые в том же порядке, образуют арифметическую прогрессию.

Найдите все возможные значения q.

Сумма первых тринадцати членов арифметической прогрессии равна 130?

Сумма первых тринадцати членов арифметической прогрессии равна 130.

Известно, что четвёртый, десятый и седьмой члены этой прогрессии, взятые в указанном порядке, составляют геометрическую прогрессию.

Найдите первый член арифметической прогрессии, при условии, что он не равен её второму члену.

Числа 12 ; 7 ; 2 ; ?

Составляют арифметическую прогрессию.

Найдите двенадцатый член арифметической прогрессии.

Три числа образуют геометрическую прогрессию со знаменателем q, а квадраты этих чисел, взятые в том же порядке, образуют арифметическую прогрессию?

Найдите все возможные значения q.

На этой странице сайта, в категории Алгебра размещен ответ на вопрос ! При каких значениях a корни уравнениявзятые в некотором порядке, составляют арифметическую прогрессию?. По уровню сложности вопрос рассчитан на учащихся 5 — 9 классов. Чтобы получить дополнительную информацию по интересующей теме, воспользуйтесь автоматическим поиском в этой же категории, чтобы ознакомиться с ответами на похожие вопросы. В верхней части страницы расположена кнопка, с помощью которой можно сформулировать новый вопрос, который наиболее полно отвечает критериям поиска. Удобный интерфейс позволяет обсудить интересующую тему с посетителями в комментариях.

источники:

http://skysmart.ru/articles/mathematic/arifmeticheskaya-progressiya

http://algebra.my-dict.ru/q/153972_pri-kakih-znaceniah-a-korni-uravneniavzatye/