Корни уравнения синус икс равно а

Уравнение. Простейшее тригонометрическое уравнение sin х = а.

Существует возможность отобразить всякий корень уравнения sin х = а, как абсциссу некой точки пересечения синусоиды у =sinх и прямой у = а, и, соответственно верно обратное, абсцисса всякой такой точки пересечения выступает одним из корней уравнения.

При | а| >1 синусоида у = sin х не пересечется с прямой у = а. В данном случае у уравнения нет корней.

При а = 0 у уравнение sin x = а будут корни:

где m изменяется по всем целым числам (m = 0, ±1, ±2, ±3, . ).

Несомненно, arcsin0 = 0 и соответственно получаем (-1) m arcsin 0 + mπ = mπ.

При а = 1, корни уравнения определяются по формуле:

где k изменяется по всем целым числам (k = 0, ±1, ±2, ±3, . ).

Для обоснования формулы выполним подстановку: а = 1 в формулу:

(-1) m arcsin0+ mπ = mπ и принимая к сведению, что arcsin 1= π /₂, имеем: (- 1) m arcsin 1 + mπ= (- 1) mπ /₂ + mπ.

где k изменяется по всем целым числам (k = 0, ±1, ±2, ±3, . . .).

Необходимо учитывать, что все вышеуказанные формулы можно применять в том случае, когда искомый угол х представлен в радианах. Когда х представлен в градусах, то эти формулы нужно преобразовать.

К примеру, вместо формулы (-1) m arcsin 0 + mπ = mπ необходимо применять формулу х= (-1) m arcsinа + 180m, вместо формулы х = mπ — формулу х= 180 m и т. д.

Арксинус. Решение уравнения sin x = a

п.1. Понятие арксинуса

В записи \(y=sinx\) аргумент x — это значение угла (в градусах или радианах), функция y – синус угла, действительное число в пределах [-1;1]. Т.е., по заданному углу мы находим косинус.
Можно поставить обратную задачу: по заданному синусy найти угол. Но одному значению синусa соответствует бесконечное количество углов. Например, если \(sinx=1\), то \(x=\frac\pi2+2\pi k,\ k\in\mathbb\); если \(sinx=0\), то \(x=\pi k,\ k\in\mathbb\) и т.д.
Поэтому, чтобы построить однозначную обратную функцию, ограничим значения углов x отрезком, на котором синус принимает все значения из [-1;1], но только один раз: \(-\frac\pi2 \leq x\leq \frac\pi2\) (правая половина числовой окружности).

\(arcsin\frac12=\frac\pi6,\ \ arcsin\left(-\frac<\sqrt<3>><2>\right)=-\frac<\pi><3>\)
\(arcsin2\) – не существует, т.к. 2> 1

п.2. График и свойства функции y=arcsinx

1. Область определения \(-1\leq x\leq1\) .
2. Функция ограничена сверху и снизу \(-\frac\pi2\leq arcsinx\leq \frac\pi2\) . Область значений \(y\in[-\frac\pi2; \frac\pi2]\)
3. Максимальное значение \(y_=\frac\pi2\) достигается в точке x=1
Минимальное значение \(y_=-\frac\pi2\) достигается в точке x =-1
4. Функция возрастает на области определения.
5. Функция непрерывна на области определения.
6. Функция нечётная: \(arcsin(-x)=-arcsin(x)\) .

п.3. Уравнение sin⁡x=a

Значениями арксинуса могут быть только углы от \(-\frac\pi2\) до \(\frac\pi2\) (от -90° до 90°). А как выразить другие углы через арксинус?

Углы в левой части числовой окружности записывают как разность π и арксинуса (угла справа). А остальные углы, которые превышают π по модулю, записывают через сумму арксинуса и величин, которые «не помещаются» в область значений арксинуса.

1) Решим уравнение \(sinx=\frac12\).
Найдем точку \(\frac12\) в числовой окружности на оси синусов (ось OY). Построим горизонталь – перпендикуляр, проходящий через через эту точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках, соответствующих углам \(\frac\pi6\) и \(\frac<5\pi><6>\) — это базовые корни.
Если взять корень справа \(\frac\pi6\) и прибавить к нему полный оборот \(\frac\pi6+2\pi=\frac<13\pi><6>\), синус полученного угла \(sin\frac<13\pi><6>=\frac12\), т.е. \(\frac<13\pi><6>\) также является корнем уравнения. Корнями будут и все другие углы вида \(\frac\pi6+2\pi k\) (с любым количеством добавленных или вычтенных полных оборотов). Аналогично, корнями будут все углы вида \(\frac<5\pi><6>+2\pi k\).
Получаем ответ: \(x_1=\frac\pi6+2\pi k\) и \(x_2=\frac<5\pi><6>+2\pi k\)
Заметим, что \(arcsin\frac12=\frac\pi6\). Полученный ответ является записью вида
\(x_1=arcsin\frac12+2\pi k\) и \(x_2=\pi-arcsin\frac12+2\pi k\)
А т.к. арксинус для \(\frac12\) точно известен и равен \(\frac\pi6\), то мы его просто подставляем и пишем ответ. Но так бывает далеко не всегда.

2) Решим уравнение \(sinx=0,8\)

Найдем точку 0,8 в числовой окружности на оси синусов (ось OY). Построим горизонталь – перпендикуляр, проходящий через точку. Он пересечёт числовую окружность в двух точках. По определению правая точка – это угол, равный arcsin0,8. Тогда левая точка – это разность развернутого угла и арксинуса, т.е. (π–arcsin⁡0,8). Добавление или вычитание полных оборотов к каждому из решений даст другие корни. Получаем ответ: \(x_1=arcsin0,8+2\pi k,\) \(x_2=\pi-arcsin0,8+2\pi k\)

Докажем, что семейства решений для корней справа и слева можно записать одним выражением \(x=(-1)^k arcsina+\pi k\).
Действительно, для чётных \(k=2n\) получаем: $$ x=(-1)^ <2n>arcsina+\pi \cdot 2n=arcsina+2\pi n $$ это семейство решений для корня справа (с добавлением и вычитанием полных оборотов).
Для нечётных \(k=2n+1\):
$$ x=(-1)^ <2n+1>arcsina+\pi \cdot (2n+1)=-arcsina+2\pi n +\pi=\pi-arcsina+2\pi n $$ это семейство решений для корня слева (с добавлением и вычитанием полных оборотов).
Обратное преобразование двух семейств решений в общую запись аналогично.
Следовательно: $$ x=(-1)^k arcsina+\pi k\Leftrightarrow \left[ \begin x=arcsina+2\pi n\\ x=\pi-arcsina+2\pi n \end \right. $$ Что и требовалось доказать.

Для примеров, решённых выше, можем записать: $$ 1) \left[ \begin x_1=\frac\pi6+2\pi k\\ x_2=\frac<5\pi><6>+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow x=(-1)^k\frac\pi6 +\pi k $$
$$ 2) \left[ \begin x_1=arcsin0,8+2\pi k\\ x_2=\pi-arcsin0,8+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow x=(-1)^karcsin0,8 +\pi k $$ Выбор общей или раздельной записи решения зависит от задачи.
Как правило, если ответ еще не найден, и нужны дальнейшие преобразования, решение записывают как два раздельных семейства.
Если же просто нужно записать ответ, то пишут общее выражение.

п.4. Примеры

Пример 1. Найдите функцию, обратную арксинусу. Постройте графики арксинуса и найденной функции в одной системе координат.

Для \(y=arcsinx\) область определения \(-1\leq x\leq 1\), область значений \(-\frac\pi2\leq y\leq \frac\pi2\).
Обратная функция \(y=sinx\) должна иметь ограниченную область определения \(-\frac\pi2\leq x\leq \frac\pi2\) и область значений \(-1\leq y\leq 1\).
Строим графики:

Графики симметричны относительно прямой y=x.
Обратная функция найдена верно.

Пример 2. Решите уравнения:

a) \(sin x=-1\) \(x=-\frac\pi2+2\pi k\)	б) \(sin x=\frac<\sqrt<2>><2>\) $$ \left[ \begin x_1=\frac\pi4+2\pi k\\ x_2=\frac<3\pi><4>+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow x=(-1)^\frac<\pi> <4>+\pi k $$
в) \(sin x=0\) \(x=\pi k\)	г) \(sin x=\sqrt<2>\) \(\sqrt<2>\gt 1,\ \ x\in\varnothing\) Решений нет
д) \(sin x=0,7\) \begin \left[ \begin x_1=arcsin(0,7)+2\pi k\\ x_2=\pi-arcsin(0,7)+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow\ x=(-1)^k arcsin(0,7) +\pi k \end	e) \(sin x=-0,2\) Арксинус нечетный, поэтому: $$ srcsin(-0,2)=-arcsin(0,2) $$ Получаем: \begin \left[ \begin x_1=-arcsin(0,2)+2\pi k\\ x_2=\pi+arcsin(0,7)+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow x=(-1)^arcsin(0,2) +\pi k \end

Пример 3. Запишите в порядке возрастания: $$ arcsin0,2;\ \ arcsin(-0,7);\ \ arcsin\frac\pi4 $$

Способ 1. Решение с помощью числовой окружности

Отмечаем на оси синусов (ось OY) точки с абсциссами 0,2; -0,7; \(\frac\pi4\approx 0,79\)
Значения синусов (углы) считываются на правой половине окружности: чем больше синус (от -1 до 1), тем больше угол (от \(-\frac\pi2\) до \(\frac\pi2\)).
Получаем: $$ arcsin(-0,7)\lt arcsin0,2\lt arcsin\frac\pi4 $$Способ 2. Решение с помощью графика \(y=arcsinx\)

Отмечаем на оси OY аргументы 0,2; -0,7; \(\frac\pi4\approx 0,79\). Восстанавливаем перпендикуляры на кривую, отмечаем точки пересечения. Из точек пересечения с кривой восстанавливаем перпендикуляры на ось OY — получаем значения арксинусов по возрастанию: $$ arcsin(-0,7)\lt arcsin0,2\lt arcsin\frac\pi4 $$Способ 3. Аналитический
Арксинус – функция возрастающая: чем больше аргумент, тем больше функция.
Поэтому располагаем данные в условии аргументы по возрастанию: -0,7; 0,2; \(\frac\pi4\).
И записываем арксинусы по возрастанию: \(arcsin(-0,7)\lt arcsin0,2\lt arcsin\frac\pi4\)

Пример 4*. Решите уравнения:
\(a)\ arcsin(x^2-3x+3)=\frac\pi2\) \begin x^2-3x+3=sin\frac\pi2=1\\ x^2-3x+2=0\\ (x-2)(x-1)=0\\ x_1=1,\ x_2=2 \end Ответ:

\(б)\ arcsin^2x-arcsinx-2=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arcsin x,\ -\frac\pi2\leq t\leq \frac\pi2\)
Решаем квадратное уравнение: $$ t^2-t-2=0\Rightarrow (t-2)(t+1)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=2\gt \frac\pi2 — \text<не подходит>\\ t_2=-1 \end \right. $$ Возвращаемся к исходной переменной: \begin arcsinx=-1\\ x=sin(-1)=-sin1 \end Ответ: -sin1

\(в)\ arcsin^2x-\pi arcsinx+\frac<2\pi^2><9>=0\)
\( \text<ОДЗ:>\ -1\leq x\leq 1 \)
Замена переменных: \(t=arcsin x,\ -\frac\pi2\leq t\leq \frac\pi2\)
Решаем квадратное уравнение: \begin t^2-\pi t+\frac<2\pi^2><9>=0\\ D=(-\pi)^2-4\cdot \frac<2\pi^2><9>=\frac<\pi^2><9>,\ \ \sqrt=\frac\pi3 \Rightarrow \left[ \begin t_1=\frac<\pi-\frac\pi3><2>=\frac\pi3\\ t_2=\frac<\pi+\frac\pi3><2>=\frac<2\pi><3>\gt \frac\pi2 — \text <не подходит>\end \right. \end Возвращаемся к исходной переменной:
\begin arcsinx=\frac\pi3\\ x=sin\frac\pi3=\frac<\sqrt<3>> <2>\end Ответ: \(\frac<\sqrt<3>><2>\)

Решение уравнения sin x = а

Корни уравнения sin(x) = a, -1 ⩽ a ⩽ 1 выражаются формулой x = (-1)arcsin(a)+πn, n ∈ Z.

Примечание: Очевидно, что уравнение sin(x) = a не имеет решений, если а не входит в промежуток [-1;1], то есть |a| ⩽ 1

Попробуем разобраться, почему, решения выражаются этой формулой.

Начертим координатную плоскость и тригонометрическую окружность. Синус, по определению,- это ордината точки пересечения окружности единичного радиуса с центром в начале координат и луча, выходящего из начала координат и составляющего с осью ОХ угол а. Начертим множество всех точек, ординаты которых равны а – это будет прямая y = a. Прямая пересечет окружность в двух точках.

Один из углов, соответствующих этой точке будет иметь величину arcsin(a). Этой же точке будет соответствовать и угол arcsin(a)+2π, и угол arcsin(a)+4π, и угол arcsin(a)+6π и т.д.

Все вместе это можно выразить формулой x = arccos(a)+2πn, n ∈ Z.

Один из углов, соответствующих второй точке, будет иметь величину π-arcsin(a). Этой же точке будет соответствовать и угол π-arcsin(a)+2π, и угол π-arcsin(a)+4π, и угол π-arcsin(a)+6π и т.д.

Все вместе это можно выразить формулой x = π-arcsin(a)+2πk, k ∈ Z.

Объединение этих двух формул дает формулу x = (-1)arcsin(a)+πn, n ∈ Z.

Ошибка в тексте? Выдели её мышкой и нажми

Остались рефераты, курсовые, презентации? Поделись с нами — загрузи их здесь!