Корнями квадратного уравнения x2 px q

Корнями квадратного уравнения x2 px q

Известно, что квадратное уравнение x 2 + px + q = 0 имеет два различных натуральных корня.

а) Найдите все возможные значения p, если q = 26.

б) Найдите все возможные значения q, если q + p = 72.

в) Найдите все возможные значения корней уравнения, если q 2 − p 2 = 2812.

а) По теореме Виета произведение этих корней равно 26, поэтому сами они равны 13 и 2 или 26 и 1. При этом откуда p = −15 или p = −27.

б) Получаем уравнение откуда значит, и или наоборот. В любом случае

Числа и отличаются друг от друга на чётное число, поэтому они одной чётности, поэтому каждое из них делится на 2 и не делится на 4. Кроме того, поэтому остаются такие варианты:

а) и

б) и

Рассмотрим первый случай: Натуральными решениями второго уравнения являются пары чисел (4; 2) или (2; 4), которые не являются решениями первого уравнения. Поэтому этот случай не приводит к решениям.

Рассмотрим второй случай: Всевозможные натуральные решения второго уравнения это (40; 2), (14; 4), (4; 14), (2; 40). Первому уравнению удовлетворяют только пары (14; 4) и (4; 14).

Ответ: а) −27 или −15; б) 148; в) 4 и 14.

Частично дублирует задание 526680 из основной волны ЕГЭ 2019 года.

Аналоги к заданию № 526680: 526701 562497 Все

8.2.3. Теорема Виета

I. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения.

Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

Найти корни приведенного квадратного уравнения, используя теорему Виета.

Пример 1) x 2 -x-30=0. Это приведенное квадратное уравнение ( x 2 +px+q=0), второй коэффициент p=-1, а свободный член q=-30. Сначала убедимся, что данное уравнение имеет корни, и что корни (если они есть) будут выражаться целыми числами. Для этого достаточно, чтобы дискриминант был полным квадратом целого числа.

Находим дискриминант D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121=11 2 .

Теперь по теореме Виета сумма корней должна быть равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, т.е. (-p), а произведение равно свободному члену, т.е. (q). Тогда:

x₁+x₂=1; x₁∙x₂=-30. Нам надо подобрать такие два числа, чтобы их произведение было равно -30, а сумма – единице. Это числа -5 и 6. Ответ: -5; 6.

Пример 2) x 2 +6x+8=0. Имеем приведенное квадратное уравнение со вторым коэффициентом р=6 и свободным членом q=8. Убедимся, что есть целочисленные корни. Найдем дискриминант D₁, так как второй коэффициент – четное число. D₁=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискриминант D₁ является полным квадратом числа 1, значит, корни данного уравнения являются целыми числами. Подберем корни по теореме Виета: сумма корней равна –р=-6, а произведение корней равно q=8. Это числа -4 и -2.

На самом деле: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=q. Ответ: -4; -2.

Пример 3) x 2 +2x-4=0. В этом приведенном квадратном уравнении второй коэффициент р=2, а свободный член q=-4. Найдем дискриминант D₁, так как второй коэффициент – четное число. D₁=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискриминант не является полным квадратом числа, поэтому, делаем вывод: корни данного уравнения не являются целыми числами и найти их по теореме Виета нельзя. Значит, решим данное уравнение, как обычно, по формулам (в данном случае по формулам для частного случая с четным вторым коэффициентом). Получаем:

Пример 4). Составьте квадратное уравнение по его корням, если x₁=-7, x₂=4.

Решение. Искомое уравнение запишется в виде: x 2 +px+q=0, причем, на основании теоремы Виета –p=x₁+x₂=-7+4=-3 → p=3; q=x₁∙x₂=-7∙4=-28. Тогда уравнение примет вид: x 2 +3x-28=0.

Пример 5). Составьте квадратное уравнение по его корням, если:

II. Теорема Виета для полного квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.

Сумма корней равна минус b, деленному на а, произведение корней равно с, деленному на а:

Пример 6). Найти сумму корней квадратного уравнения 2x 2 -7x-11=0.

Решение.

Убеждаемся, что данное уравнение будет иметь корни. Для этого достаточно составить выражение для дискриминанта, и, не вычисляя его, просто убедиться, что дискриминант больше нуля. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0. А теперь воспользуемся теоремой Виета для полных квадратных уравнений.

Пример 7). Найдите произведение корней квадратного уравнения 3x 2 +8x-21=0.

Решение.

Найдем дискриминант D₁, так как второй коэффициент (8) является четным числом. D₁=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0. Квадратное уравнение имеет 2 корня, по теореме Виета произведение корней x₁∙x₂=c:a=-21:3=-7.

Корнями квадратного уравнения x2 px q

УРАВНЕНИЯ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ.

§ 3. Проcтeйшие примeнeния теории квадратного уравнeния

Корни квадратного привeденного уравнeния x 2 + px + q = 0 бывают дeйствительными и различными при условии p 2 > 4q, равными при условии p 2 = 4q и мнимыме при условии p 2 2 + bx + c = 0 дeйствитeльны и различны при условии b 2 > 4ac, равны при условии b 2 = 4ac и мнимы при условия b 2 b /_a, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно отношению коэффициентов с /_a

Пользуясь этими замечаниями, можно определить знаки действительных корней.

Не решая следующих уравнений, определить знаки корней их, если последние действительны:

Пользуясь связью между коэффициентами и корнями квадратного уравнения, можно составлять уравнения по данным корням их. При этом уравнение составляется в приведенной форме. Если же коэффициенты полученного уравнения оказываются дробными, то, уничтожая знаменатель, получаем уравнение в общей форме.

Составить квадратные уравнения по данным корням их:

Разложить трехчлены в произведения:

151. Полагая, что корни уравнения x 2 + px + q = 0 суть x₁ и x₂ , составить уравнение, корни которого были бы и .

151. Полагая, что корни уравнения ax 2 + bx + c = 0 суть x₁ и x₂ , составить уравнение, корни которого были бы и .

152. Составить уравнение, корни которого были бы в m раз больше корней уравнения x 2 + px + q = 0.

152. Составить уравнение, корни которого были бы в m раз больше корней уравнения ax 2 + bx + c = 0.

153. Составить уравнение, корни которого были бы на p /₂ больше корней уравнения x 2 + px + q = 0.

153. Составить уравнение, корни которого были бы на b /_a больше корней уравнения x 2 + px + q = 0.

154. Составить уравнение, корнями которого были бы сумма и произведение корней уравнения x 2 + px + q = 0.

154. Составить уравнение, корнями которого были бы сумма и произведение корней уравнения ax 2 + bx + c = 0.

155. Выразить сумму квадратов корней уравнения x 2 + px + q = 0 через коэффициенты р и q.

155. Выразить разность квадратов корней уравнения x 2 + px + q = 0 через коэффициенты р и q .

156. Выразить сумму кубов корней того же уравнения.

156. Выразить разность кубов корней того же уравнения.

157.Не решая уравнения x 2 —2х—15=0, вычислить сумму квадратов и кубов его корней .

157.Имея уравнение x 2 +2х—35=0, вычислить разность квадратов и кубов его корней.

158. Не решая уравнения 3x 2 +7х+2=0, вычислить сумму квадратов и кубов его корней .

158.Имея уравнение 2x 2 —7х+3=0 вычислить разность квадратов и кубов его корней.

159. Решить уравнение x 2 — 8х + q =0, зная, что сумма квадратов его корней равна 34.

159. Решить уравнение x 2 + рх+21=0, зная, что сумма квадратов его корней равна 58.

160. Решить уравнение x 2 + рх+45=0, зная, что квадрат разности его корней равен 144.

160. Решить уравнение x 2 — 17х + q =0, зная, что квадрат разности его корней равен 49.

161. При каком значении b уравнение 4x 2 + bх+25=0 имеет равные корни?

161. При каком значении b уравнение 9x 2 + bх+64=0 имеет равные корни?

162. Показать, что трехчлен ax 2 + bx + c преобразовывается в полный квадрат при условии b 2 = 4ac.

162. Показать, что трехчлен ax 2 — bx + c преобразовывается в полный квадрат при условии b 2 = 4ac.

163. При каких положительных значениях с корни уравнения 3x 2 — 18х + с =0 действительны и при каких мнимы?

163. При каких положительпых значениях с корни уравнения 5x 2 + 10х + с =0 действительны и при каких мнимы?

164. Определить корни уравнения ax 2 + bx= 0 по общей формуле, разрешающей полное уравнение.

164. Определить корни уравнешя ax 2 + с = 0 по общей формуле, разрешающей полное уравнение.

166. Найти условие, при котором трехчлен (а—b) x 2 —(а + b) x + а—b представляет полный квадрат.

166. Найти условие, при котором трехчлен (а + b) x 2 —(а — b) x + а + b представляет полный квадрат.

167. Каковы должны быть знаки коэффициентов урявнения ax 2 + bx + c = 0 для того, чтобы оба корня этого уравнения были положительны?

167. Каковы должны быть знаки коэффициентов уравнения ax 2 + bx + c = 0 для того, чтобы оба корня этого уравнения были отрицательны?

168. Показать, что корни уравнения x 2 + px + q = 0 при условии р = k + q /_k всегда соизмеримы, если только сами количества р, q и k соизмеримы.

168. Показать, что корни уравнения ax 2 + bx + c = 0 при условии b = ak + c /_k всегда соизмеримы, если только сами количества а, b, с и k соизмеримы.

169. Какое преобразование нужно выполнить с обоими корнями уравнения x 2 + px + q = 0, чтобы в выражениях этих корней числители сделались рациональными, а радикал перешел бы в знаменатель?

169. Какое преобразование нужно выполнить с обоими корнями уравнения ax 2 + bx + c = 0, чтобы в выражениях этих корней числители сделались рационалными, а радикал перешел бы в знаменатель?

170. Пользуясь предыдущим преобразованием, показать, что если в уравнении ax 2 + bx + c = 0, где b есть абсолютное число, коэффициент а беспредельно уменьшается, то один из корней беспредельно увеличивается, а другой приближается к значению c /_b.

170. Пользуясь предыдущим преобразованием, показать, что если в уравнении ax 2 + bx + c = 0, где b есть абсолютное число, коэффициент а беспредельно уменьшается, то один из корней беспредельно увеличивается, а другой приближается к значению — c /_b