Корпускулярно волновой дуализм уравнение шредингера

Корпускулярно волновой дуализм уравнение шредингера

Элементы квантовой механики

Корпускулярно-волновой дуализм свойств частиц вещества.

§1 Волны де Бройля

В 1924г. Луи де Бройль (французский физик) пришел к выводу, что двойственность света должна быть распространена и на частицы вещества — электроны. Гипотеза де Бройля заключалась в том, что электрон, корпускулярные свойства которого (заряд, масса) изучаются давно, имеет еще и волновые свойства, т.е. при определенных условиях ведет себя как волна.

Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые свойства частиц, такие же, как для фотонов.

Идея де Бройля состояла в том, что это соотношение имеет универсальный характер, справедливый для любых волновых процессов. Любой частице, обладающей импульсом р, соответствует волна, длина которой вычисляется по формуле де Бройля.

— волна де Бройля

p = mv — импульс частицы, h — постоянная Планка.

Волны де Бройля , которые иногда называют электронными волнами, не являются электромагнитными.

В 1927 году Дэвиссон и Джермер ( амер. физик ) подтвердили гипотезу де Бройля обнаружив дифракцию электронов на кристалле никеля. Дифракционные максимумы соответствовали формуле Вульфа — Брэггов 2 dsin j = n l , а брэгговская длина волны оказалась в точности равной .

Дальнейшее подтверждение гипотезы де Бройля в опытах Л.С. Тартаковского и Г. Томсона, наблюдавших дифракционную картину при прохождении пучка быстрых электронов (Е » 50 кэВ) через фольгу из различных металлов. Затем была обнаружена дифракция нейтронов, протонов, атомных пучков и молекулярных пучков. Появились новые методы исследования вещества — нейтронография и электронография и возникла электронная оптика.

Макротела также должны обладать всеми свойствами ( m = 1кг, следовательно, l = 6 . 6 2 · 1 0 — 3 1 м — невозможно обнаружить современными методами — поэтому макротела рассматриваются только как корпускулы).

§2 Свойства волн де Бройля

• Пусть частица массы m движется со скоростью v . Тогда фазовая скорость волн де Бройля

.

Т.к. c > v , то фазовая скорость волн де Бройля больше скорости света в вакууме ( v _ф может быть больше и может быть менше с, в отличие от групповой ).

• следовательно, групповая скорость волн де Бройля равна скорости движения частицы.

т.е. групповая скорость равная скорости света.

• Волны де Бройля испытывают дисперсию. Подставив в получим, что v_ф = f (λ). Из-за наличия дисперсии волны де Бройля нельзя представить в виде волнового пакета, т.к. он мгновенно “ расплывется “ (исчезнет) за время 10 -26 с.

§3 Соотношение неопределенностей Гейзенберга

Микрочастицы в одних случаях проявляют себя как волны, в других как корпускулы. К ним не применимы законы классической физики частиц и волн. В квантовой физике доказывается, что к микрочастице нельзя применять понятие траектории, но можно сказать, что частица находится в данном объеме пространства с некоторой вероятностью Р. Уменьшая объем, мы будем уменьшать вероятность обнаружить частицу в нем. Вероятностное описание траектории (или положения) частицы приводит к тому, что импульс и, следовательно, скорость частицы может быть определена с какой-то определенной точностью.

Далее, нельзя говорить о длине волны в данной точке пространства и отсюда следует, что если мы точно задаем координату Х, то мы ничего не сможем сказать о импульсе частицы, т.к. . Только рассматривая протяженный участок D C мы сможем определить импульс частицы. Чем больше D C , тем точнее D р и наоборот, чем меньше D C , тем больше неопределенность в нахождении D р .

Соотношение неопределенностей Гейзенберга устанавливает границу в одновременном определении точности канонически сопряженных величин, к которым относятся координата и импульс, энергия и время.

Соотношение неопределенностей Гейзенберга: произведение неопределенностей значений двух сопряженных величин не может быть по порядку величины меньше постоянной Планка h

( иногда записывают )

Таким образом. для микрочастицы не существует состояний, в которых её координата и импульс имели бы одновременно точные значения. Чем меньше неопределенность одной величины, тем больше неопределенность другой.

Соотношение неопределенностей является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам.

следовательно, чем больше m , тем меньше неопределенности в определении координаты и скорости. При m = 10 -12 кг , ? = 10 -6 и Δ x = 1% ?, Δv = 6,62·10 -14 м/с, т.е. не будет сказываться при всех скоростях, с которыми пылинки могут двигаться, т.е. для макротел их волновые свойства не играют никакой роли.

Пусть электрон движется в атоме водорода. Допустим Δ x » 1 0 -10 м (порядка размеров атома, т.е. электрон принадлежит данному атому). Тогда

Δv = 7,27· 1 0 6 м/с. По классической механике при движении по радиусу r » 0 , 5 · 1 0 — 1 0 м v = 2,3·10 -6 м/с. Т.е. неопределенность скорости на порядок больше величины скорости, следовательно, нельзя применять законы классической механики к микромиру.

Из соотношения следует, что система имеющая время жизни D t , не может быть охарактеризована определенным значением энергии. Разброс энергии возрастает с уменьшением среднего времени жизни. Следовательно, частота излученного фотона также должна иметь неопределенность D n = D E / h , т.е. спектральные линии будут иметь некоторую ширину n ± D E / h , будут размыты. Измерив ширину спектральной линии можно оценить порядок времени существования атома в возбужденном состоянии.

§4 Волновая функция и ее физический смысл

Дифракционная картина, наблюдающаяся для микрочастиц, характеризуется неодинаковым распределением потоков микрочастиц в различных направлениях — имеются минимумы и максимумы в других направлениях. Наличие максимумов в дифракционной картине означает, что в этих направлениях распределяются волны де Бройля с наибольшей интенсивностью. А интенсивность будет максимальной, если в этом направлении распространяется максимальное число частиц. Т.е. дифракционная картина для микрочастиц является проявлением статистической (вероятностной) закономерности в распределении частиц: где интенсивность волны де Бройля максимальная, там и частиц больше.

Волны де Бройля в квантовой механике рассматриваются как волны вероятности, т.е. вероятность обнаружить частицу в различных точках пространства меняется по волновому закону ( т.е.

е — iωt ). Но для некоторых точек пространства такая вероятность будет отрицательной (т.е. частица не попадает в эту область). М. Борн ( немецкий физик ) предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а амплитуда вероятности, которую также называют волновой функцией или y -функцией (пси — функцией).

Волновая функция — функция координат и времени.

Квадрат модуля пси-функции определяет вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV — физический смысл имеет не сама пси-функция, а квадрат ее модуля.

Ψ * — функция комплексно сопряженная с Ψ

Если частица находится в конечном объеме V , то возможность обнаружить ее в этом объеме равна 1, (достоверное событие)

Р = 1 Þ

В квантовой механике принимается, что Ψ и АΨ, где А = const , описывают одно и то же состояние частицы. Следовательно,

интеграл по , означает, что он вычисляется по безграничному объему (пронстранству).

y — функция должна быть

1) конечной (так как Р не может быть больше1),

2) однозначной (нельзя обнаружить частицу при неизменных условиях с вероятностью допустим 0,01 и 0,9, так как вероятность должна быть однозначной).

• непрерывной (следует из неприрывности пространства. Всегда имеется вероятность обнаружить частицу в разных точках пространства, но для разных точек она будет разная),
• Волновая функция удовлетворяет принципусуперпозиции: если система может находится в различных состояниях, описываемых волновыми функциями y ₁ , y ₂ . y _n , то она может находится в состоянии y , описываемой линейной комбинаций этих функций:

С _n ( n =1,2. ) — любые числа.

С помощью волновой функции вычисляются средние значения любой физической величины частицы

§5 Уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера, как и другие основные уравнения физики (уравнения Ньютона, Максвелла), не выводится, а постулируется. Его следует рассматривать как исходное основное предположение, справедливость которого доказывается тем, что все вытекающие из него следствия точно согласуются с экспериментальными данными.

(1)

— Временное уравнение Шредингера.

— набла — оператор Лапласа

— потенциальная функция частицы в силовом поле,

Ψ( y , z , t ) — искомая функция

Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно (т.е. не изменяется с течением времени), то функция U не зависит от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В этом случае решение уравнения Шредингера (т.е. Ψ — функция) может быть представлено в виде произведения двух сомножителей — один зависит только от координат, другой — только от времени:

(2)

Е — полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля.

(3)

— Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Имеется бесконечно много решений. Посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл.

волновые функции должны быть регулярными, т.е.

Решения, удовлетворяющие уравнению Шредингера, называются собственными функциями, а соответствующие им значения энергии — собственными значениями энергии. Совокупность собственных значений называется спектром величины. Если Е _n принимает дискретные значения, то спектр — дискретный, если непрерывные — сплошной или непрерывный.

§6 Движение свободной частицы

Частица называется свободной, если на нее не действуют силовые поля, т.е. U = 0.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в этом случае:

И собственные значения энергии:

Т.к. k может принимать любые значения, то, следовательно, и Е принимает любые значения, т.е. энергетический спектр будет сплошным.

Временная волновая функция

(- уравнение волны)

т.е. представляет плоскую монохромную волну де Бройля.

§7 Частица в “потенциальной яме” прямоугольной формы.

Квантование энергии.

Найдем собственные значения энергии и соответствующие им собственные функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Предположим что, частица может двигаться только вдоль оси x . Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы стенками x = 0, и x = ?. Потенциальная энергия U имеет вид:

Уравнение Шредингера для стационарных состояний для одномерной задачи

За пределы потенциальной ямы частица попасть не сможет, поэтому вероятность обнаружения частицы вне ямы равна 0.Следовательно, и Ψ за пределами ямы равна 0 .Из условий непрерывности следует, что Ψ = 0 и на границах ямы т.е.

В пределах ямы (0 £ x £ l ) U = 0 и уравнение Шредингера.

введя получим

;

из граничных условий следует

Из граничного условия

Þ

Энергия Е _n частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими стенками принимает лишь определенные дискретные значения, т.е. квантуется. Квантованные значения энергии Е _n называются уровнями энергии, а число n , определяющее энергические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Т.е. частицы в «потенциальной яме» могут находиться только на определенном энергетическом уровне Е _n (или находятся в квантовом состоянии n )

Собственные функции:

А найдем из усилия нормировки

— плотность вероятности. Из рис. видно, что плотность вероятности меняется в зависимости от n : при n = 1 частица, скорее всего, будет посередине ямы, но не на краях, при n = 2 — будет или в левой или в правой половине, но не посередине ямы и не на краях, и т.д. Т.е нельзя говорить о траектории движения частицы.

Энергетический интервал между соседними уровнями энергии:

При n = 1 имеет наименьшую энергию отличную от нуля

Наличие минимума энергии следует из соотношения неопределенностей, т.к.,

C ростом n расстояние между уровнями уменьшается и при n ® ¥ Е _n практически непрерывны, т.е. дискретность сглаживается, т.е. выполняется принцип соответствия Бора: при больших значениях квантовых чисел законы квантовой механики переходят в законы классической физики.

Общая трактовка принципа соответствия: всякая новая, более общая теория является развитием классической, не отвергает ее полностью, а включает в себя классическую, указывая границы её применимости.

§ 8 Туннельный эффект.

Прохождение частицы через потенциальный барьер

Для классической частицы : при Е > U она пройдет над барьером, при Е U — отразится от него; для квантовой : при Е > U есть вероятность того, что частица отразится, при Е U есть вероятность того, что пройдет сквозь барьер.

Потенциальная энергия:

Уравнение Шредингера: для области 1 и 3 :

для области 2:

Решение этих диф. уравнений;

Для 1;

Для 2;

Для 3:

Т.к. в области 3 возможно распределение только прошедшей волны, то, Þ , В₃=0.

В области 2 решение зависит от соотношений Е > U или Е U . Физический интерес представляет случай Е U .

q = i b , где

Тогда решение уравнения Шредингера запишутся в виде:

Для 1;

Для 2;

Для 3:

Качественный вид функций показан на рис. 2. Из рис. 2 видно, что функция не равна нулю внутри барьера, а в 3 имеет вид волны де Бройля, если барьер не очень широк.

Явление “проникновения” частицы сквозь потенциальный барьер, называется туннельным эффектом. Туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом. Прохождение частицы можно объяснить используя соотношения неопределенностей: неопределенность импульса D р на отрезке D x = ? составляет . Связанная с этим разбросом в значениях импульса кинетическая энергия может оказаться достаточной для того, чтобы полная энергия частицы оказалась больше потенциальной энергии барьера.

§9 Линейный гармонический осциллятор

Линейный гармонический осциллятор — система, совершающая одномерное колебательное движение под действием квазиупругой силы — является моделью для изучения колебательного движения.

В классической физике — это пружинный, физический и математический маятники. В квантовой физике — квантовый осциллятор.

Записав потенциальную энергию в виде

Уравнение Шредингера запишется в виде:

Тогда собственные значения энергии:

т.е. энергия квантового осциллятора принимает дискретные значения, т.е. квантуется. Минимальное значение — энергия нулевых колебаний — является следствием состояния неопределенности так же, как и в случае частицы в “потенциальной яме”.

Наличие нулевых колебаний означает, что частицы не могут упасть на дно ямы, т.к. в этом случае был бы точно определен ее импульс p = 0, D p = 0, Þ , D x = ¥ — не соответствует соотношению неопределенностей. Наличие энергии нулевых колебаний противоречит классическим представлениям, по которым E _min = 0. — уровни энергии расположенные на равных расстояниях друг от друга. Из квантового рассмотрения следует, что частицу можно обнаружить вне области. По классическому рассмотрению только в пределах – x £ x £ x (Рис.2).

Эксперимент с двумя щелями и границы макромира

В 1900, последнем году XIX века, Макс Планк открыл кванты света: показал, что энергия света передается в виде минимальных энергетических пакетов. Так зародилась квантовая физика, которая, казалось бы, совершенно случайно попала из XXI века в начало XX-го. На практике квантовая механика оказалась одной из самых точных и строгих систем, известных науке: принципы квантовой механики лежат в основе деления атомного ядра, действия лазера, работы полупроводников. Сегодня уже осуществлены квантовая телепортация и квантовые вычисления. При этом, еще в 1927 году, на пятом Сольвеевском конгрессе, посвященном проблемам квантовой механики, состоялся знаменитый спор между Альбертом Эйнштейном и Нильсом Бором по поводу интерпретируемости квантовой механики. На тот момент победила точка зрения Бора («копенгагенская интерпретация»), указывающая, что следует абстрагироваться от концептуализации событий, происходящих при квантовых взаимодействиях, удовлетворившись математической согласованностью квантовой механики. При этом квантовая система понимается во многом как «черный ящик», но ее уравнения с удивительной точностью подтверждают результаты экспериментов.

Основное отличие квантовой физики (доминирует в микромире) от классической физики (доминирует в макромире) заключается в вероятностном характере квантовых процессов. Так, применительно к электрону в атоме, уравнения квантовой механики дают распределение вероятностей, указывающих, в какой точке орбитали должен быть электрон – и именно там он и оказывается по результатам эксперимента.

Именно с неопределенностью результатов квантового эксперимента вплоть до его окончания связаны и разнообразные квантовые парадоксы, увлекательно описанные в книге Николя Жизана «Квантовая случайность». С неопределенностью того же рода связан знаменитый реальный эксперимент с двумя щелями. Ниже я напомню суть этого эксперимента, после чего расскажу о его новейших постановках. Суть этих повторных экспериментов – наблюдать проявление квантовой вероятности не только в случаях с элементарными частицами, но и с атомами, неорганическими молекулами, крупными органическими молекулами и… так далее. Так нащупывается граница между микромиром и макромиром, то есть, областью доминирования квантовой физики и областью доминирования классической физики.

Эксперимент с двумя щелями

В начале XIX века в научном сообществе, представители которого мыслили в духе детерминизма классической физики, всерьез встал вопрос о том, что представляет собой свет: частицы или волны. Ньютон считал, что свет состоит из мельчайших частиц, «корпускул», что и позволяет объяснить его преломление. С другой стороны, теория Гука-Гюйгенса приводит к выводу, что свет проявляет волновые свойства. Ключевым экспериментом, призванным конкретизировать природу света, стал опыт с двумя щелями, поставленный Томасом Юнгом в 1801 году. Именно Томас Юнг, опираясь на феномен интерференции волн, окончательно сформулировал волновую теорию света, которую проиллюстрировал при помощи своего знаменитого эксперимента:

Свет последовательно пропускается через два барьера, в первом из которых прорезана одна щель, а во втором — две. Если бы свет состоял из частиц-корпускул, то на экране, расположенном за вторым барьером, образовывалось бы две освещенные полосы, по одной напротив каждой из щелей. На самом же деле на экране образуется интерференционный узор, свидетельствующий, что свет распространяется по принципу волны. В 1818 году на основании этих данных Французская Академия выступила с вопросом о том, сможет ли кто-нибудь непротиворечиво объяснить природу света. В результате опытов Жака Френеля и Симеона Дени Пуассона на оставшуюся часть XIX века установилось представление о волновой природе света, которое было вновь оспорено только в 1900 году, когда Планк предложил вышеупомянутую концепцию «кванта». Промежуточным итогом, позволившим вписать физические свойства света в квантовую механику, стала теория корпускулярно-волнового дуализма, сформулированная Луи де Бройлем в 1924 году. Согласно этой теории, свет одновременно проявляет свойства волны и потока частиц.

На фоне такого развития событий в 1927 году Клинтон Дэвиссон и Лестер Джермер повторили эксперимент с двумя щелями на электронах, чтобы показать их дифракцию. Длина волны электрона зависит от энергии частицы, и оказалось, что электрон с энергией 100 эВ (электрон-вольт) имеет длину волны 0,1 нм, что весьма сопоставимо с расстоянием между атомами в кристаллической решетке. Поскольку к тому времени уже удалось получить дифракцию рентгеновских лучей в кристаллической решетке, дифракция электронов также дала ожидаемый результат: два пучка электронов, пропускаемых через две щели, оставляли на экране такие следы, которые должны оставаться от двух волн.

Именно тогда в полной мере началась эпоха квантовых парадоксов, на протяжении которой довелось узнать, что на микроуровне мир устроен существенно иначе, нежели на макроуровне, устроен абсурдно и контринтуитивно. Так, был обнаружен квантовый туннельный эффект, при котором квантовая частица с некоторой вероятностью может преодолеть барьер, непроницаемый для классической частицы. Была выявлена зависимость результата опыта от акта измерения, наиболее ярко представленная в виде мысленного эксперимента под названием «кот Шрёдингера» (а также его усложненного варианта под названием «друг Вигнера»):

Не вдаваясь в подробное описание этих экспериментов, отмечу: характер течения квантовых экспериментов ключевым образом зависит от присутствия или отсутствия наблюдателя. Так, в вышеупомянутой постановке двухщелевого эксперимента с электронами интерференционная картина сохраняется, только когда за ходом эксперимента никто не смотрит. Если эксперимент пронаблюдать, то происходит коллапс волновой функции частицы, и поток электронов разделяется надвое. Электроны начинают вести себя как корпускулы и оставлять на экране не интерференционный узор, а две полосы напротив двух щелей. Данное явление называется «декогеренцией». По какой-то причине поток частиц теряет квантовую согласованность и перестает вести себя как единая волна.

При этом в 1949 году советским ученым Биберману, Сушкину и Фабриканту удалось продемонстрировать, что дифракционные свойства присущи не только потоку электронов, но и отдельному электрону, проходящему через детектор. Буквально в процессе подготовки этой публикации, 20 августа 2021 года, появилась новость об экспериментальном подтверждении корпускулярно-волнового дуализма у одиночного фотона. Дифракцию одиночного фотона выполнила команда во главе с Тай Хён Юн из Южнокорейского института фундаментальных наук. Таким образом, квантовой механике подчиняются мельчайшие частицы наблюдаемого мира… а вот каковы самые крупные объекты, которые также ей подчиняются?

Щель расширяется

В начале XXI была поставлена целая череда экспериментов, демонстрирующих, что двухщелевой эксперимент можно проводить не только с элементарными частицами, но и с атомами, молекулами, крупными молекулами, огромными молекулами и, возможно, даже с вирусами.

Подобные эксперименты гораздо сложнее экспериментов над электронами, как с физической, так и с технологической точки зрения. Создать пучок электронов и пропускать их через две щели можно при помощи электронных пушек, расположенных в вакуумированной камере. С молекулами, особенно крупными, приходится учитывать гораздо больше факторов: вес, форму, ориентацию молекул, а также силу химических связей между атомами в них. Для максимального упрощения этих факторов в одном из первых опытов, призванных исследовать квантовые эффекты на примере больших молекул, использовались фуллерены.

У меня в блоге я уже упоминал новейшие исследования, связанные с фуллеренами; напомню, что фуллерены – это крупные неорганические молекулы, состоящие из атомов углерода. Фуллерен C₆₀ напоминает по форме футбольный мяч, а фуллерен C₇₀ – мяч для регби. В описываемом опыте, поставленном в 1999 году, фуллерены доводили до газообразного состояния, нагревая в керамической печи до температуры 900 K, а затем с силой выдувая через щель в ее корпусе. Действительно, в таком опыте фуллерены демонстрируют интерференционный паттерн, характерный для двухщелевого эксперимента:

В данном случае фуллерены проходили через детектор со скоростью около 200 м/c.

В 2019 году в Венском университете группа под руководством Армина Шайеги успешно провела двухщелевой опыт с молекулой грамицидина, состоящей из 15 аминокислот. Длина волны в таком эксперименте тем меньше, чем больше размер молекулы, поэтому детектор должен быть особенно чувствительным. Кроме того, приходится иметь дело с хрупкостью органических молекул, о которой я писал выше. Для проведения опыта Шайеги с коллегами покрыли тонким слоем грамицидина край вращающегося угольного колесика. Затем этот край бомбардировали лазерными импульсами длительностью по несколько фемтосекунд каждый, отщепляя таким образом молекулы грамицидина и по возможности не повреждая их. После этого отдельные молекулы грамицидина подхватывались струей аргона, гнавшей их в детектор со скоростью 600 м/с. Действительно, в данном эксперименте грамицидин продемонстрировал длину волны в 350 фемтометров.

В сентябре 2019 году там же, в Венском университете, был поставлен еще более амбициозный опыт под руководством Маркуса Арндта. В ходе этого опыта удалось наблюдать волновые квантовые свойства у молекулы размером 2000 атомов, формула которой C₇₀₇H₂₆₀F₉₀₈N₁₆S₅₃Zn₄.

Эти молекулы направляли в детектор, пропуская их через пятиметровую вакуумную трубку. Чтобы они случайно ни с чем не провзаимодействовали, для движения молекул выделили узкий «коридор», а саму трубку защитили от малейших колебаний при помощи системы пружин и амортизаторов. Такая молекула настолько огромна по сравнению с фуллереном и даже с элементарной частицей, что напрашиваются теории, предполагающие, что граница между микро- и макромиром вообще отсутствует, и макроскопические объекты также могут находиться в квантовой суперпозиции, правда, в течение исчезающе малых промежутков времени. В статье об этом эксперименте упоминается теория непрерывной спонтанной локализации (CSL), в соответствии с которой в уравнение Шрёдингера вводится стохастический нелинейный член, фактически разрушающий макроскопические суперпозиции с течением времени.

Вирус Шрёдингера

Итак, переходим к самому интересному. Квантовые эффекты в живой природе объективно реальны, например, именно на них основан фотосинтез. Но можно ли поместить живое существо в квантовую суперпозицию, то есть, провести его одновременно через две щели или воспроизвести эксперимент с котом Шрёдингера, но с участием вируса?

В 2009 году группа О. Ромеро-Изарта из Инсбрукского университета предложила осуществить оптическую левитацию вируса, так, чтобы вирус парил в вакуумной полости, а затем добиться запутанности вируса с квантовым состоянием микроскопического объекта, например, фотона.

Ромеро-Изарт указывает, что подобный опыт возможен в реальности, а не только в качестве мысленного эксперимента, поскольку (1) уже осуществлен оптический захват микроорганизмов в жидкости, (2) некоторые микроорганизмы вполне выживают в вакууме, (3) размер вирусов и некоторых других мельчайших организмов сравним с длиной волны лазера, (4) некоторые микроорганизмы прозрачны и, следовательно, проницаемы для фотонов. По мнению Ромеро-Изарта, для квантовой суперпозиции хорошо подошел бы продолговатый вирус табачной мозаики, поскольку ширина его составляет всего 50 нм, а длина — 1 µm.

Насколько я смог выяснить, на данный момент квантовая суперпозиция вируса еще не получена, но в заключение этой статьи хотелось упомянуть о фантастическом рассказе Грега Бира, который называется «Чума Шрёдингера». Фабула рассказа такова: теоретически смертельно опасный вирус можно поместить в квантовое состояние, в котором он либо заразил, либо не заразил человека. Тогда волновая функция вируса, запутанного с радиоактивным ядром, схлопнется в момент распада этого ядра – и из-за этого единичного квантового события человечество может быть поставлено на грань вымирания. С другой стороны, если квантовая функция действительно схлопывается в результате сознательного наблюдения, то заражение таким вирусом ни в коем случае нельзя диагностировать. Если смертельный квантовый вирус есть у нас в организме, то он подействует на нас, только когда врач узнает результаты анализа, либо как только мы сами ощутим у себя симптомы этого вируса. Таким образом, эксперимент с котом Шрёдингера может быть перенесен сразу на все человечество.

Корпускулярно-волновой дуализм

Автор статьи — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ: гипотеза де Бройля о волновых свойствах частиц, корпускулярно-волновой дуализм, дифракция электронов.

Корпускулярно-волновой дуализм (слово дуализм означает двойственность) — это физический принцип, утверждающий, что любой объект природы может вести себя и как частица, и как волна.

С первым проявлением этого принципа мы столкнулись в предыдущем листке, когда говорили о двойственной, корпускулярно-волновой природе света. В явлениях интерференции и дифракции свет демонстрирует свою волновую природу. В явлении фотоэффекта свет выступает как дискретный поток частиц — фотонов.

Является ли свет каким-то особым объектом нашего мира, таким, что подобный дуализм присущ только ему? Или, быть может, корпускулярно-волновой дуализм — это свойство вообще всех материальных объектов, просто впервые обнаружен он был для света?

Гипотеза де Бройля

Идея об универсальной двойственности корпускулярных и волновых свойств всех объектов природы была впервые высказана Луи де Бройлем (в 1924году) в качестве гипотезы о волновых свойствах частиц.

Итак, мы знаем, что свету с частотой и длиной волны соответствуют частицы — фотоны, обладающие энергией и импульсом . Де Бройль, в сущности, постулировал обратное.

Гипотеза де Бройля. Движению каждой частицы соответствует распространение некоторой волны. Частота и длина этой волны определяются энергией и импульсом частицы:

Точно так же, любой волне с частотой и длиной волны отвечают частицы с энергией и импульсом .

Чтобы лучше осмыслить гипотезу де Бройля, давайте обсудим дуализм «волна–частица» на примере электромагнитного излучения.

В случае электромагнитных волн мы имеем следующую закономерность. По мере увеличения длины волны всё легче наблюдать волновые свойства излучения и всё труднее — корпускулярные. И наоборот, чем меньше длина волны, тем ярче выражены корпускулярные свойства излучения и тем труднее наблюдать его волновые свойства. Изменение соотношения корпускулярных и волновых свойств хорошо прослеживается при движении по известной вам шкале электромагнитных волн.

• Радиоволны.Длины волн здесь настолько велики, что корпускулярные свойства излучения практически не проявляются. Волновые свойства в этом диапазоне абсолютно доминируют.

Длины волн могут составлять несколько метров или даже километров, так что волновая природа проявляется «сама собой» — радиоволны в процессе дифракции запросто огибают дома или горы. Излучение радиоволн и их взаимодействие с материальными объектами отлично описывается в рамках классической электродинамики.

• Видимый свет и ультрафиолет. Это своего рода «переходная область»: в оптике мы можем наблюдать как волновые свойства света, так и корпускулярные.

Однако в обоих случаях надо постараться. Так, длины волн видимого света много меньше размеров окружающих нас тел, поэтому в опытах по интерференции или дифракции света нужно создавать специальные условия (малость щелей или отверстий, удалённость экрана). В свою очередь, термин «красная граница фотоэффекта» также подчёркивает пограничность данного диапазона: фотоэффект начинается лишь при переходе через красную границу.

• Рентгеновское и гамма-излучение. Длины волн очень малы, и наблюдать волновые свойства излучения весьма затруднительно. Так, верхняя граница длин волн рентгеновского излучения составляет нм; это лишь на два порядка превышает размер атома. Ясно, что дифракцию на «обычных» препятствиях при такой длине волны наблюдать невозможно.

Однако в рентгеновский диапазон входят длины волн порядка размера атома и межатомных расстояний в кристалле ( нм). Поэтому дифракция рентгеновских лучей наблюдается на «естественных» дифракционных решётках — кристаллических решётках твёрдых тел (эта идея была высказана немецким физиком Лауэ в 1912 году).

Энергия квантов в рентгеновском и гамма-диапазоне настолько велика, что излучение ведёт себя почти стопроцентно как поток частиц.

Рассуждая по аналогии с электромагнитными волнами, можно заключить, что и частица будет проявлять волновые свойства тем лучше, чем больше её длина волны де Бройля (в масштабах данной ситуации).

Так, мы совсем не наблюдаем волновых свойств у окружающих нас тел. (Видели вы, например, интерференцию движущихся автомобилей?) А почему? Давайте посчитаем длину дебройлевской волны объекта массой кг, движущегося со скоростью м/с:

Это на порядков меньше размера атома. Воображение отказывается представить себе столь малую величину. Разумеется, никакого волнового поведения у нашего объекта при таких условиях не обнаруживается — он стопроцентно ведёт себя как «частица», то есть как материальная точка классической механики.

Дифракция электронов

Совсем другое дело — электрон. Масса электрона равна кг, и столь малое значение массы (а стало быть, и импульса в формуле ) может дать длину волны де Бройля, достаточную для экспериментального обнаружения волновых свойств.

И вот оказывается, что электроны с энергией эВ (при такой энергии становится несущественным хаотическое тепловое движение электронов, и электронный пучок можно считать когерентным) имеют дебройлевскую длину волны примерно нм — это как раз порядка размера атома и расстояний между атомами в кристаллической решётке! Опыт по наблюдению дифракции рентгеновских лучей на кристаллических структурах уже имелся, поэтому оставалось направить на кристаллическую решётку пучок электронов.

Впервые это было сделано в знаменитом эксперименте американских физиков Дэвиссона и Джермера (1927 год). Дифракция электронов на кристаллах была обнаружена! Как и ожидалось, полученная дифракционная картина имела тот же характер, что и при дифракции на кристаллической решётке рентгеновских лучей.

Впоследствии волновые свойства были обнаружены и у более крупных частиц: протонов, нейтронов, атомов и молекул. Гипотеза де Бройля, таким образом, получила надёжное опытное подтверждение.

Соотношение неопределённостей

Обнаружение корпускулярных свойств электромагнитных волн и волновых свойств частиц показало, что объекты микромира подчиняются необычным законам. Эти законы совершенно непривычны для нас, привыкших наблюдать за макроскопическими телами.

Наше сознание выработало некоторые образы частицы и волны, вполне пригодные для описания объектов классической физики. Частица — это маленький, локализованный в пространстве сгусток вещества. Волна — это распределённый (не локализованный) в пространстве колебательный процесс. Как же эти понятия могут совмещаться в одном объекте (например, в электроне)?

Вообразить такое действительно получается с трудом. Но что поделать — это факт. Природа оказывается намного богаче нашего воображения. В своей повседневной жизни мы находимся очень далеко от микромира, и в привычном нам диапазоне макроскопических тел природа демонстрирует свои «крайние» проявления — в виде «только частиц» или «только волн». Вот почему корпускулярные и волновые свойства представляются нам несовместимыми друг с другом. Но на самом деле это не так: в микромире оказывается, что один и тот же объект (например, электрон) легко может обладать обоими свойствами одновременно — словно человек, обладающий разными, несовместимыми на первый взгляд чертами характера.

Так, будучи частицей, электрон локализован в пространстве; но, будучи волной, локализован не в точке, а «размазан» по некоторой области. Координаты и скорость электрона не могут быть измерены одновременно сколь угодно точно. Неопределённость координаты и неопределённость соответствующей проекции импульса оказываются связанными соотношением неопределённостей Гейзенберга:

Соотношение неопределённостей (2) имеет фундаментальный характер — оно применимо к любым объектам природы. Чем точнее мы знаем координаты объекта (то есть чем в меньшей пространственной области он локализован), тем больше получается разброс значений его импульса(то есть тем с большей скоростью объект «готов вылететь» из этой области). И наоборот, чем точнее мы знаем импульс объекта, тем меньше у нас информации о том, где этот объект находится.

Но коль скоро нет возможности одновременно точно измерить координаты и скорость, то теряет смысл понятие траектории движения объекта. Механика Ньютона перестаёт работать в микромире и уступает место квантовой механике.