Ковариантная форма уравнения движения заряда

5. Релятивистски-ковариантное уравнение движения заряда в электромагнитном поле. Тензор электромагнитного поля

Инна Головко 4 лет назад Просмотров:

1 5 Релятивистски-ковариантное уравнение движения заряда в электромагнитном поле Тензор электромагнитного поля 51 Необходимость получения уравнения движения в ковариантной форме Уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле имеет вид (218) d mv P = E (, t) + [ v, H (, t)]; P = dt 1 v / 2 2 Это уравнение справедливо для трехмерных векторов Для перехода от одной инерциальной системы координат к другой используются преобразования Лоренца, полученные в четырехмерном пространстве Следовательно, для использования преобразований Лоренца необходимо иметь уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле также в четырехмерном пространстве, т е уравнение движения в ковариантной форме 52 Формулировка задачи в общем виде для получения уравнения движения в ковариантной форме Специфика электромагнитного случая Рассмотрим точки пространственно-временного континуума и Будем полагать эти точки фиксированными, т е δ ( ) = и δ () = Переход из точки в точку осуществляется согласно ПНД так, чтобы δ S = Для заряженной частицы в электромагнитном поле функционал действия имеет вид (18) 2 S = Sm + Smf = m d + Ad

2 53 Вариация функционала действия для заряженной частицы в электромагнитном поле Найдем вариацию функционала действия δ S δ Здесь учтено, что скорости 2 δs = m δ d + δ( Ad ) ( 2) d 2 δd d δd d = = = u dδ 2 2 d ds ds 2 = ; d u d = четырехмерный вектор δ( A d ) = δa d + A δd = δa d + A dδ ds В последних двух соотношениях использовано δd = dδ Тогда вариация функционала действия равна δs = m u dδ + Adδ + δad Проинтегрировав по частям первые два слагаемых, получаем Распишем δs = muδ + Aδ mduδ da δ + δa d A da δ = d δ A A δad = δ d = δ d В последнем соотношении в силу того, что индексы, являются «немыми», выполнена замена

3 Запишем вариацию функционала действия, разделив и домножив подынтегральное выражение на ds δs = ( mu + A) δ + du A d A d + m + + dsδ ds ds ds С учетом того, что u = d ds, получаем окончательное выражение для вариации функционала действия заряженной частицы в электромагнитном поле δs = ( mu + A) δ + du A A + m u + + dsδ ds (51) 54 Уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле в релятивистски-ковариантной форме Согласно ПНД вариация функционала действия должна равняться нулю при условии, что исходная и конечная точки и фиксированы, т е δ S = при δ ( ) = и δ () = Тогда Остается ( mu + A) δ = du A A m u + dsδ ds + = Поскольку точки и произвольны, следовательно, нулю равно подынтегральное выражение Таким образом, получаем уравнение движения заряженной частицы в электромагнитном поле в релятивистски-ковариантной форме

4 du A A m = u ds + du A где ds A и u 4-векторы, а +, (52) 4-тензор второго ранга К этому уравнению можно применять преобразования Лоренца 55 Тензор электромагнитного поля, его общие свойства Определение элементов этого тензора через составляющие (проекции) векторов напряженности электрического и магнитного поля Введем тензор электромагнитного поля F A A = + (53) Это тензор второго ранга в четырехмерном пространстве, характеризующийся 2 4 = 16 компонентами F11 F12 F13 F 14 F21 F22 F23 F 24 F = F31 F32 F33 F 34 F F F F Тогда уравнение (52) запишется в виде Найдем F : du m ds Fu = (54) F A A = + = F, т е тензор электромагнитного поля является антисимметричным, следовательно, его диагональные элементы равны нулю (см Приложение B) и он имеет вид F = F =,

5 F F12 F13 F 14 F F F F F F = F13 F23 F Для определения явного вида компонент тензора электромагнитного поля необходимо найти 6 его компонент F12, F13, F14, F23, F24, F 34 Выразим компоненты тензора через проекции векторов напряженности электрического и магнитного поля Для этого распишем выражения для напряженностей поля через потенциалы в декартовой системе координат (см (A14), (A16)) y z H = ota= = y z A A A y z A A z y A A A z y A y = + z + ; y z z y 1 A E = gdϕ = t ϕ 1 A ϕ 1 A y ϕ 1 A z y = + + z t y t z t (55) Напомним также, что при определении F индексы соответствуют таким координатам: 1 ; 2 y; 3 z; 4 t, а 4-вектор потенциала имеет вид A = ( A, ϕ) = ( A, Ay, Az, ϕ) Тогда с учетом (55), (56) имеем F F A A A A 1 2 y 12 = + = + = 2 1 y A A A A 1 3 z 13 = + = + = 3 1 z A1 A4 A ( ϕ) ϕ 1 A F14 = + = + = = E ( t) t 4 1 H z H ; y ; (56)

6 Аналогично F = H ; F = E ; F = E y 34 z Окончательно тензор электромагнитного поля равен F Hz Hy E Hz H E y = Hy H E z E Ey Ez (57) 56 Четыре скалярных уравнения, которые содержит в себе релятивистски-ковариантное уравнение движения В уравнении движения заряженной частицы в электромагнитном поле, записанном в релятивистски-ковариантной форме (54), индекс принимает значения = 1, 2,3, 4, а по повторяющемуся индексу осуществляется суммирование от 1 до 4 Таким образом, векторному уравнению (54) соответствуют четыре скалярных уравнения, отвечающих четырем возможным значениям Получим эти уравнения Здесь Пусть = 1 u du1 m = F1 u = ( F11u1 + F12u2 + F13u3 + F14u4 ) (58) ds d ds = компоненты четырехмерного вектора скорости С учетом того, что ; y; z; t и ds = dt 1 v 2 / 2, эти компоненты имеют следующие значения: u u v v y = ; u = ; v / 1 v / vz = ; u = v / 1 v / (59) Подставляя эти значения, а также соответствующие значения компонент тензора электромагнитного поля (57) в (58), получим следующие выражения:

7 mv d v / = E + ( v yh z vzh y) dt Выражение, дифференцируемое по времени, есть проекция трехмерного релятивистского механического импульса на ось OX, а vh vh = vh ( ) y z z y, Окончательно имеем, что при = 1 уравнению (54) соответствует скалярное уравнение, являющееся проекцией на ось OX трехмерного уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле dp E = + v, H dt Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что при = 2 и = 3 имеем проекции этого уравнения на оси OY и OZ dp y dt dp dt z E = y + v, H ; y E = z + v, H z Таким образом, при = 1, 2,3 уравнение движения в релятивистскиковариантной форме (54) дает проекции на оси координат трехмерного уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле Если эти уравнения домножить на соответствующие орты и сложить, то получим векторное уравнение движения (218) Рассмотрим = 4 d P = E + [ v, H] dt du4 m = Fu 4 = ( Fu Fu Fu Fu 44 4 ) ds После подстановки компонент 4-вектора скорости и соответствующих значений компонент тензора электромагнитного поля получим

8 2 m d v / = ve ( + ve y y + ve z z) dt Дифференцируемая величина слева есть кинетическая энергия Таким образом, при = 4 имеем полученную нами ранее формулу изменения кинетической энергии (222) de dt k = v E = v F согласно которой изменение кинетической энергии равно скалярному произведению силы Кулона на вектор скорости K,

9 16 Электростатика 161 Вид системы уравнений микроскопической электродинамики в случае электростатики Физический смысл этого приближения Сформулируем физическую постановку задачи микроскопической электродинамики в общем виде: в ограниченном объеме движутся заряженные частицы с массами m и зарядами момент времени радиус-векторами () t, характеризуемые в любой По известному распределению зарядов требуется найти электромагнитное поле в точке наблюдения с радиус-вектором Задача электродинамики в общей постановке описывается исходными уравнениями микроскопической электродинамики (144) 1 H ot E = ; t dv H = ; 1 E 4π ot H = + j; t dv E = 4πρ; ρ= δ( ( t)); () d j = v () t δ( ()); t v() t = ; () dt d m v = Et (, ) [, (, )]; v Ht dt 1 v / ( t) = ; v ( ) ; t = v lm E, H = R Частным случаем общей задачи электродинамики является электростатика Физическая постановка задачи электростатики формулируется следующим образом: требуется найти электромагнитное поле при условии, что:

10 1) все заряженные частицы покоятся, т е все их радиус-векторы не зависят от времени, являются постоянными, а все их скорости равны нулю v d = = ; dt 2) положения всех зарядов заданы, т е все известны Задача упрощается по сравнению с общей формулировкой, т к положения и скорости всех заряженных частиц известны, и нет необходимости интегрировать уравнение движения Можем определить плотность заряда а плотность тока равна нулю () ρ= δ( ), () j = v δ( ) ( v ( t) = ) Кроме того, поскольку все частицы покоятся, то все производные по вре- мени равны нулю ( = ) t В случае электростатики уравнения Максвелла разделяются на две независимые системы уравнений относительно электрического и магнитного полей ot H = ; dv H = (161) ot E = ; dv E = 4πρ (162) Решением системы (161) является постоянный вектор В силу условия излучения lm H = R, магнитное поле на бесконечности должно равняться нулю Следовательно, магнитное поле должно равняться нулю в любой точке пространства, т е H

11 Найдем решение системы (162) Для этого воспользуемся выражением для напряженности электрического поля E через потенциалы (219) с = t учетом того, что : E = gdϕ (163) Здесь ϕ скалярный потенциал Получим уравнение для скалярного потенциала Для этого подставим выражение (163) в систему (162) Подстановка в первое уравнение системы в силу известного векторного тождества (A24) ot gdϕ = превращает уравнение в тождество Подставив выражение (163) во второе уравнение системы и воспользовавшись векторным тождеством (A23) dv gdϕ =Δ ϕ, получаем уравнение Пуассона для скалярного потенциала Δ ϕ= 4πρ (164) В случае ρ = уравнение Пуассона переходит в уравнение Лапласа Δ ϕ = (165) Решив уравнение Пуассона, найдем скалярный потенциал, затем с помощью (163) напряженность электрического поля 162 Идея метода функции Грина Реализация метода функции Грина в случае электростатики Для решения уравнения Пуассона воспользуемся методом функции Грина Мы предполагаем, что все радиус-векторы в некотором замкнутом объеме заданы, т е все известны Кроме радиус-вектора точки наблюдения = + y y+ z z введем вспомогательный вектор = + y y + z z и элемент объема

12 и (113) d = d dy dz Воспользовавшись свойствами трехмерной дельта-функции (112) f ( ), ; f ( ) δ( d ) =, δ( ) = δ( ), запишем плотность заряда в виде интеграла по объему и подставим в уравнение Пуассона где ρ ( ) ρ( ) = d ρ( ) δ( ) (166) Δ ϕ( ) = 4π d ρ( ) δ( ) (167) Решение этого уравнения будем искать в виде ϕ( ) = d ρ( ) g(, ), (168) весовая функция, а g (, ) искомая функция Подставим это представление в уравнение Пуассона (167) При этом учтем, что оператор Лапласа содержит производные по нештрихованным координатам Поменяем порядок интегрирования и дифференцирования d ρ( ) Δ g(, ) = 4π d ρ( ) δ( ) Перепишем это выражение следующим образом: d ρ( ) Δ g(, ) + 4πδ( ) = Поскольку интегрирование производится по произвольному объему, то равенство нулю интеграла означает равенство нулю подынтегрального выражения Поэтому имеем Δ g (, ) = 4πδ( ) (169)

13 Сравнивая (169) и (164) с учетом (114), делаем вывод о том, что это уравнение является уравнением Пуассона для единичного точечного заря- да, а решением его есть функция Грина g (, ) функция, имеющая смысл потенциала единичного точечного источника Вид уравнения для функции Грина не зависит от распределения заряда в объеме Таким образом, если известно решение уравнения для функции Грина, то соотношение (168) позволяет найти потенциал, создаваемый любым заданным распределением заряда Решение уравнения (169) известно: 1 g (, ) = (161) Тогда потенциал определяется соотношением (168) ρ( ) ϕ( ) = d (1611) Зная потенциал, определим напряженность электрического поля с помощью формулы (163) Учтем при этом, что градиент берется по нештрихованным координатам ρ( ) 1 E = ϕ= d = d ρ( ) В явном виде градиент согласно (A34) равен 1 = 3 Тогда окончательное выражение для напряженности электрического поля будет иметь вид E = d ρ( ) (1612) 3

14 163 Мультипольное разложение для потенциала в случае электростатики, область его применимости Найдем приближенное выражение для электростатического потенциала в случае, когда точка наблюдения удалена от объема, в котором со- средоточены заряды, (, = 123,, е ), на значительное расстояние, т 1 1 = ( ) + ( y y ) + ( z z ), при этом, y y, z z Разложим это выражение в ряд Тейлора по малому параметру, ограничив разложение двумя слагаемыми = + Подставив полученное выражение в (1611), представим его в виде двух интегралов ρ( ) 1 ϕ( ) = d d ρ( ) Интегрирование производится по штрихованным координатам, а и 1 зависят от нештрихованных координат, следовательно, эти величи- ны можно вынести за знак интеграла ϕ 1 1 ( ) = d ( ) d ( ) ρ ρ Рассмотрим первый интеграл, воспользовавшись определением плотности заряда (114) ρ( ) = δ( ) и свойством дельта-функции (111) ()

15 1 1 d ρ( ) = d δ( ) = () 1 1 Q = d δ( ) = =, где Q полный заряд объема Здесь () () Второй интеграл с учетом (112) 1 1 d ρ( ) = d δ( ) = () = d δ( ) = = p () () p= дипольный момент системы зарядов Таким образом, для случая, когда точка наблюдения удалена от объе- ма на значительное расстояние ( выражение для электростатического потенциала () ), получаем приближенное ϕ Q 1 ( ) = p + (1613) Это так называемое мультипольное разложение В данном случае мы ограничились дипольным разложением, последующие слагаемые, возникающие при удержании в разложении в ряд Тейлора большего количества членов, являются моментами более высоких порядков

2 Электромагнитное взаимодействие. Фотон (гамма-квант). Квантовая электродинамика (кэд). Уравнения Максвелла в ковариантной форме Четыре вида взаимодействия элементарных частиц

Главная > Документ

2. ЧАСТИЦЫ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 2.3. Электромагнитное взаимодействие

2.3. Электромагнитное взаимодействие

2.3.1. Электромагнитное взаимодействие. Фотон (гамма-квант). Квантовая электродинамика (КЭД). Уравнения Максвелла в ковариантной форме

Четыре вида взаимодействия элементарных частиц

Взаимодействие в физике – это воздействие частиц друг на друга, приводящее к изменению их состояния. Взаимодействие осуществляется посредством тех или иных полей. Согласно квантовой теории поля (КТП) любое поле представляет собой совокупность частиц – квантов этого поля. В природе существует только четыре вида взаимодействия или четыре базовых квантовых поля – сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное. Интенсивность каждого взаимодействия определяется своей константой связи альфа, равной квадрату заряда, деленному на четыре пи ().

Электромагнитное взаимодействие – взаимодействие электрических зарядов с электромагнитным полем. Сила электромагнитного взаимодействия между покоящимися элементарными частицами дальнодействующая и изменяется с расстоянием как 1/ r 2 (закон Кулона). Интенсивность электромагнитных процессов в микромире определяется безразмерным параметром е 2 / hc = 1/137. Характерные времена радиационных распадов элементарных частиц и возбужденных состояний ядер по каналу электромагнитного взаимодействия составляют

10 -12 10 -20 сек. При электромагнитном взаимодействии сохраняются квантовые числа: пространственная четность, зарядовая четность, странность, очарование, красота. Электромагнитное взаимодействие инвариантно относительно обращения времени (т.е. замены t на – t ). При электромагнитном взаимодействии адронов нарушаются законы сохранения изотопического спина и G -четности. Изотопический спин адронов может меняться при испускании или поглощении фотона на ±1 или 0). Равенство нулю массы покоя фотона связано с его дальнодействующим характером электромагнитного взаимодействия. Отрицательная зарядовая четность фотона отвечает возможности радиационного распада истинно нейтральных частиц, обладающих положительной зарядовой четностью на четное число фотонов, например: . Интенсивности процессов электромагнитного взаимодействия мала, по сравнению с интенсивностью процессов сильного взаимодействия. Например, сечение рассеяния фотонов с энергией 320 МэВ на протоне составляет = 2∙10 -6 барна и меньше в 10 5 раз сечения рассеяния π-мезона на протоне.

Электромагнитное взаимодействие универсально для различных явлений и процессов, так как зависит только от электрического заряда.

Принцип калибровочной инвариантности электромагнитного взаимодействия состоит в инвариантности наблюдаемых физических величин относительно калибровочных преобразований векторного и скалярного потенциалов.

Фотон (гамма-квант) – квант электромагнитного поля, имеет спин единицу. Фотоны подчиняются статистике Бозе, т.е. в одном квантовом состоянии может находиться любое число фотонов. Сечение рассеяния фотонов с энергиями 1 ГэВ на протоне составляет 10 -30 см 2 , (см. табл. 2.6).

Квантовая электродинамика (КЭД) – раздел квантовой теории поля, в котором изучают взаимодействие электромагнитного поля с электронно-позитронным полем. Фотонным вакуумом, или вакуумным состоянием электромагнитного поля, называется низшее энергетическое состояние этого поля. При возбуждении фотонного вакуума происходит рождение частицы кванта электромагнитного поля. Квантовая электродинамика описывает сильные и быстроменяющиеся электромагнитные поля и взаимодействия фотонов и лептонов. Уравнения Максвелла описывают слабые, медленно меняющиеся электромагнитные поля.

Уравнения Максвелла в ковариантной форме

Уравнения Максвелла с токами и зарядами имеют вид

. , (2.9)

Напряженность электрического и индукция магнитного полей выражаются через векторный потенциал и скалярный потенциал

. (2.10)

Оба потенциала можно представить через 4-векторный потенциал электромагнитного поля

(2.11)

Калибровочные преобразования векторного потенциала и скалярного

(2.12)

возьмем в виде калибровки Лоренца

, (2.13)

где – 4-контравариантная производная, – 4-ковариантная производная, – 4 радиус-вектор и .

Если ввести 4-вектор электрического тока и антисимметричный тензор напряженности электромагнитного поля

, (2.14)

то уравнения Максвелла примут вид (по дважды повторяющимся индексам предполагается суммирование).

(2.15)

и уравнение для 4-векторного потенциала станет следующим:

, (2.16)

где – оператор Даламбера .

Если , то

 = 0. (2.17)

В калибровке Лоренца закон сохранения заряда , тогда уравнение для фотонного поля

 (2.18)

, 2.19)

где – 4-вектор поляризации фотона, q – 4-импульс фотона.

Подставляя (2.19) в (2.18), получаем

q = , (2.20)

т.е. при индексе i = 0 масса покоя фотона равна нулю: .

2.3.2. Уравнение Клейна-Гордона. Уравнение Дирака. Уравнения Лагранжа. Лагранжиан квантовой электродинамики

Для свободной частицы в СТО справедливо релятивистское соотношение для энергии – импульса

или (при с =1), (2.21)

Подставляя в (2.21) дифференциальные операторы энергии и импульса и полагая ħ = с = 1, получаем операторное уравнение для волновой функции ψ

, или ( – m 2 )ψ = 0, (2.22)

которое называется уравнение Клейна-Гордона (фактически это релятивистское уранение Шредингера).

Напомним, что нерелятивисткое волновое уравнение Шредингера для свободной частицы

.

Если уравнение Клейна–Гордона записать в виде (см .(2.21))

, (2.23)

то уравнение Дирака , это ковариантное линейное уравнение вида

, (2.24)

или с учетом операторов и ,

. (2.25)

Умножая это уравнение слева на , получаем

. (2.26)

Полагая , окончательно получаем ковариантную форму уравнения Дирака

, (2.27)

где – гамма-матрицы Дирака , .

, , ,

, ,

, . (2.28)

Шпур (сумма диагональных элементов матрицы) нечетного числа –матриц равен нулю.

–матрицы антикоммутативны: , .

Покажите: , , , , , .

Формально из уравнения Клейна–Гордона можно получить уравнение Дирака :

ψ. (2.29)

Уравнение называется ковариантным , если оно имеет ту же форму после преобразований координат и функций. Уравнение Клейна–Гордона является ковариантным относительно преобразования Лоренца и описывает частицы с целым спином (0,1). Уравнение Дирака является ковариантным и описывает заряженные частицы со спином ½ (электроны и позитроны). Оба уравнения являются принципиально различными.

Уравнение Дирака – релятивистски инвариантное волновое уравнение, описывающее частицы со спином ½ (электроны, мюоны и нейтрино). Предложено Дираком в 1928 г. В действительности уравнение Дирака представляет собой систему из четырех однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка для четырех волновых функций ( i = 1, 2, 3, 4), в совокупности описывающих состояние частицы. Например, нерелятивистское уравнение Шредингера является уравнением для одной волновой функции .

Функция называется спинорной волновой функцией дираковской частицы.

С помощью матриц Дирака система уравнений для свободной частицы записывается в матричном виде

, (2.30)

где , . По дважды повторяющемуся индексу ведется суммирование: , – обратная комптоновская длина волны частицы с массой .

Для матричных элементов волновой функции получаем четыре уравнения:

, (2.31)

Используя представление Паули для гамма-матриц, получаем систему уравнений Дирака:

,

,

,

. (2.32)

Используя оператор 4-импульса , который является генератором трансляций, уравнение Дирака можно переписать в виде

, (2.33)

. (2.34)

Уравнение для определения собственных функций и собственных значений оператора следующее:

, 2.35)

где собственные значения операторов .

Волновая функция свободной частицы с импульсом и энергией Е описывается плоской волной де Бройля:

. (2.36)

С учетом (2.35) и (2.36) уравнение (2.34) может быть переписано в форме

, (2.37)

где , .

При заданном значении импульса существуют решения, соответствующие двум знакам энергии

. (2.38)

Физический смысл существования решений, отвечающих отрицательной энергии, разъясняется существованием частиц и античастиц. Все уровни с Уравнения Лагранжа

Уравнение Лагранжа для частиц, как известно, имеет вид

, где , (2.39)

здесь функция Лагранжа , Функция Гамильтона ,

где Т – кинетическая энергия системы, V – потенциальная энергия.

Для полей =(систем с непрерывно меняющими координатами)

, (2.40)

плотность оператора Лагранжа (Лагранжиан) :

. (2.41)

Уравнения Эйлера — Лагранжа для полей следующие:

. (2.42)

Пример1. Лагранжиан при подстановке в уравнение (2.42) дает уравнение Клейна–Гордона:

(– m 2 )φ = 0.

Пример 2. Лагранжиан приводит к уравнению Дирака при подстановке в (2.42). Каждая из четырех компонент волновых функций и рассматривается как независимая переменная.

Пример3. При подстановке лагранжиана в уравнение Эйлера–Лагранжа (2.42) получаются уравнения Максвелла:

,

где , электронный ток .

Пример 4. В случае неабелевых (некоммутативных) калибровочных групп роль электромагнитного поля играют многокомпонентные поля , называемые полями Янга – Миллса.

Уравнения Эйлера – Лагранжа для полей Янга – Миллса имеют вид

, (2.43)

где ковариантная производная

, – ток полей материи,

для группы , где – матрицы Паули.(),

для группы SU(3) , где – матрицы Гелл–Мана (),

тензор напряженности поля Янга – Миллса –

, (2.44)

где – константа взамодействия. Физический смысл – тензор кривизны внутреннего пространства. Само поле Янга-Миллса описывает параллельный перенос в пространстве внутренней симметрии.

Действительное векторное поле описывает нейтральные частицы, комплексное векторное поле – заряженные частицы.

Лагранжиан квантовой электродинамики (КЭД)

При описании свойств и взаимодействий элементарных частиц вводится понятие физического поля, которое ставится в соответствие каждой частице. Физические поля состоят из отдельных порций – квантов. Математический аппарат квантовой теории поля позволяет описать рождение и уничтожение частицы в каждой пространственно-временной точке. Для описания процессов, происходящих с элементарными частицами в квантовой теории поля, используется формализм Лагранжа. В Лагранжиане, построенном из полей, участвующих во взаимодействии частиц, заключены все сведения о свойствах частиц и динамике их поведения. Лагранжиан состоит из лагранжиана, описывающего поведение свободных полей и лагранжиана взаимодействия различных полей.

В квантовой теории поля волновые функции частиц и полей становятся операторами. Теория квантовой электродинамики содержит одну заряженную частицу-электрон со спином ½, являющийся фермионом , и одну частицу поля со спином 1 – безмассовый векторный фотон, являющийся бозоном .

Лагранжиан (КЭД) представляет собой сумму кинетической энергии частиц электронного поля – первое слагаемое, кинетической энергии фотонного поля – третье слагаемое, и энергии взаимодействия электронного и фотонного полей – второе слагаемое:

, (2.45)

здесь – сопряженный оператор, уничтожает позитрон или рождает электрон в пространственно–временной точке х ;

– оператор, уничтожает электрон или рождает позитрон;

– четыре матрицы Дирака ,,,;

– частная производная по 4-координате ;

– масса частицы(электрона), е – электрический заряд частицы;

– 4-потенциал фотонного поля;

– калибровочно–инвариантный тензор напряженности поля фотонов;

– антисимметричный тензор электромагнитного поля.

Слагаемое в лагранжиане отсутствует, поэтому частица электромагнитного поля – фотон безмассовая ().

Лагранжиан КЭД инвариантен относительно локального (в точке х ) калибровочного преобразования электронного поля

, (2.46)

и фотонного поля

, (2.47)

– произвольная функция пространственных координат и времени.

Семейство фазовых преобразований образует унитарную абелеву группу , обозначаемую символом U(1) Абелевость выражается в том, что закон умножения рассматриваемой группы U(1) коммутативен

. (2.48)

2.3.3. Диаграммы Феймана

Диаграммы Феймана – графический способ описания взаимодействий в квантовой теории поля. Метод предложен Р.Фейманом в 1949 г. для описания амплитуд рассения и взаимного превращения элементарных частиц. Составными элементами диаграмм являются вершины, внутренние и внешние линии. Внутренние линии присоединяются к двум вершинам. Внешняя линия присоединяется к одной вершине. Иногда диаграммы ориентируют относительно времени, направление которого показывают отдельной стрелкой. Диаграммы могут быть достаточно сложными и образовывать бесконечные ряды. Их используют для расчетов по теории возмущений в квантовой теории поля. Мы будем применять диаграммы только для иллюстрации процессов.

Существуют правила построения диаграмм Феймана. Каждому элементу диаграмм сопоставляют определенный математический объект (величину и операцию).

Вершина – элементарный графический символ (точка или кружок), изображает акт локального элементарного взаимодействия квантовых полей, соответствует каждому отдельному превращению частиц. Узел – кружок, изображающий сложный процесс взаимодействия частиц в вершине.

Внутренним линиям соответствует распространение промежуточной виртуальной частицы от одного акта превращения до другого акта превращения.

Внешним линиям соответствуют волновые функции начальных и конечных реальных частиц, участвующих в процессе.

Например, лептоны обозначают тонкими линиями со стрелкой .

Фотоны (гамма-кванты) изображают волнистой линией .

Кварки обозначаютс я толстыми линиями со стрелкой на линии.

Глюоны – плоскими пересекающимися винтовыми линиями.

Вионы обозначают пунктирными линиями.

Барионы изображаютс я тремя кварковыми линиями,

Мезоны – двумя кварковыми линиями.

Античастицы изображаются линиями со стрелками, направление которых противоположно во времени стрелкам частиц.

Процесс электромагнитного взаимодействия двух электронов можно схематически изобразить на плоскости (координата, время). Часто ось времени ориентируют снизу вверх. Внешними изломанными линиями изображаются мировые линии взаимодействующих частиц до и после взаимодействия. В соответствии с законами сохранения лептонного и электрического зарядов внешние линии нигде не обрываются. Они выходят из и уходят в . Наклоном линии относительно оси времени можно характеризовать величину импульса электрона. Внутренней волнистой линией изображается виртуальный фотон. Сам процесс взаимодействия изображается точкой пересечения внешней линии с внутренней, которая является вершиной диаграммы. Мировая линия от до вершины изображает процесс уничтожения электрона с данным 4-импульсом Р 1 . Внешняя мировая линия от вершины до означает процесс рождения электрона с другим 4-импульсом. Позитрон изображается как электрон, движущийся против стрелы времени (из будущего в прошлое) и обладающий отрицательной энергией.

Следует отметить, что различные авторы используют свои обозначения и общего стандарта начертания диаграмм не существует. Иногда на диаграммах дополнительными стрелками показывают направление импульсов частиц, времени и т.д.

Физический смысл диаграмм Феймана состоит в наглядном представлении реальных реакций, происходящих с элементарными частицами в виде последовательности элементарных виртуальных процессов. В каждом узле феймановской диаграммы сохраняются все законы сохранения зарядов, энергии и импульса и момента импульса. Во внутренних линиях, как правило, имеет место нарушение связи между энергией, массой и импульсом частиц , но закон сохранения энергии выполняется. Такие частицы называются виртуальными и говорят «виртуальные частицы находятся вне массовой поверхности», имея в виду данное неравенство.

В квантовой электродинамике имеется всего одна вершина, одна фотонная линия, одна электронная линия, а также позитронная линия со стрелкой против направления времени (см. рис. 2.8-2.9.)

Рис. 2.8. Вершина в КЭД

а) электронная линия,

б) позитронная линия,

в) фотонная линия,

Рис. 2.9. Линии в КЭД: а) электронная линия, б) позитронная линия, в) фотонная линия

На рис. 2.10, 2.12 приведены феймановские диаграмы комптоновского рассеяния , и мёллеровское рассеяние электронов

Рис. 2.10. Феймановская диаграмма упругого рассеяния гамма-кванта на свободном электроне

Рис. 2.11. Феймановская диаграмма двухфотонной аннигиляции электрона

и позитрона.

Рис.2.12. Мёллеровское рассеяние электронов. . Электрон испускает виртуальный –квант и переходит в состояние . Электрон упруго рассеивается на виртуальном –кванте и переходит в состояние

В заключение отметим, что, хотя квантовая электродинамика описывает электромагнитное взаимодействие только двух частиц электрона и фотона, она является законченной теорией, находится в блестящем согласии с экспериментами и объясняет громадное количество природных явлений. Если «выключить» электромагнитное взаимодействие, то распались бы атомы, молекулы, исчезла бы жизнь, а также исчезли бы силы упругости, силы трения, поверхностного натяжения, химические явления.