Ковариантность уравнений лагранжа относительно точечных преобразований

Теоретическая механика и основы механики сплошной среды

1. Покажите, что уравнения Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея, а уравнения движения точечной частицы в релятивистской механике ковариантны относительно преобразований Лоренца.
2. Приведите вывод законов сохранения энергии, импульса и момента импульса точечной частицы в нерелятивистской и релятивистской механике. Сформулируйте условия, которым должны удовлетворять силы, действующие на частицу.
3. Приведите вывод уравнений, определяющих изменение со временем импульса, энергии и момента импульса системы взаимодействующих частиц во внешнем поле при наличии диссипативных сил. Получите уравнение движения тела с переменной массой (уравнение Мещерского).
4. Приведите общее решение в квадратурах задачи о движении точечной частицы в центральном поле. Найдите условие замкнутости траектории.
5. Найдите общее решение (в квадратурах) задачи двух тел.
6. Решение задачи Кеплера методами теории подобия.
7. Получите выражение для силы гравитационного взаимодействия частицы с силовым центром, считая известными законы Кеплера.
8. Рассмотрите общий случай движения системы отсчета. Найдите уравнения движения материальной точки относительно неинерциальной системы отсчета.

1. Упругое рассеяние частиц, поперечные сечения рассеяния.
2. Найдите траекторию и угол рассеяния частицы при ее инфинитном движении в поле центральной силы отталкивания с потенциалом U = α/r и силы притяжения с потенциалом U = −α/r.
3. Получите формулу для дифференциального эффективного сечения рассеяния жестких сфер.
4. Получите формулу Резерфорда для дифференциального сечения рассеяния легких заряженных частиц на первоначально неподвижных тяжелых ядрах.

1. Уравнения Лагранжа первого рода. Классификация связей. Реакция связей. Функция Лагранжа.
2. Покажите, что функция Лагранжа определена с точностью до полной производной по времени от произвольной скалярной функции координат и времени.
3. Считая заданными уравнения голономных идеальных связей, приведите вывод уравнений Лагранжа с реакциями связей 1-го рода. Выведите уравнение изменения полной энергии системы при наличии связей.
4. Приведите вывод уравнений Лагранжа для системы N частиц с S степенями свободы из уравнений Даламбера.
5. Приведите вывод уравнений Лагранжа из принципа наименьшего действия.
6. Ковариантность уравнений Лагранжа относительно точечных преобразований.
7. Получить выражение для функции Лагранжа и уравнения движения системы взаимодействующих частиц в неинерциальной системе отсчета.
8. Сформулируйте и докажите теорему Нетер и выведите законы сохранения энергии, импульса и момента импульса из требований однородности времени и однородности и изотропности пространства.
9. Запишите уравнения Лагранжа в независимых координатах. Циклические координаты.
10. Законы сохранения обобщенного импульса и обобщенной энергии.
11. Запишите функцию Лагранжа для заряженной массивной частицы в электромагнитном поле.
12. Покажите, что общее выражение силы Лоренца вместе с первой парой уравнений Максвелла может быть получено из уравнений Лагранжа для обобщенно-потенциальных сил.
13. Установите связь калибровочных преобразований электромагнитного поля с неоднозначностью выбора функции Лагранжа.

1. Выведите канонические уравнения Гамильтона из вариационного принципа.
2. Приведите определение скобок Пуассона. Докажите теорему Пуассона. Покажите, что множество динамических функций образует алгебру Ли.
3. Приведите доказательство теоремы Лиувилля.
4. Дайте определение канонических преобразований и приведите производящие функции четырех возможных типов.
5. Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. Интегральные инварианты, канонические уравнения и законы сохранения.
6. Получить канонические уравнения Гамильтона для системы с S степенями свободы при наличии диссипативных сил, исходя из лагранжевой формы уравнений движения.

1. Выведите уравнение Гамильтона-Якоби и докажите теорему Якоби.
2. Сформулируйте метод разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби и его применение для консервативных систем. Продемонстрируйте этот метод на примере.
3. Введите переменные «действие-угол» для системы, совершающей условно-периодическое движение. Сформулируйте метод вычисления частот нормальных колебаний системы.
4. Адиабатические инварианты. Примеры.
5. Приведите доказательство теоремы о вириале для системы частиц с парным потенциалом взаимодействия, зависящим только от расстояний между частицами. Рассмотрите пример кулоновского взаимодействия.

1. Исследуйте одномерное движение в консервативном поле. Получите общую формулу для периода нелинейных колебаний. Найдите функцию Лагранжа для одномерного финитного движения частицы во внешнем поле в приближении линейных колебаний и линейное уравнение движения при наличии диссипативной силы, пропорциональной скорости.
2. Получите формулы первого приближения методом Крылова-Боголюбова для нелинейных систем с медленно меняющимися параметрами.
3. В приближении линейных колебаний найдите общее решение уравнений системы с S степенями свободы при наличии диссипативных сил.
4. Вынужденные колебания системы с S степенями свободы под действием периодической внешней силы при наличии диссипативных сил.
5. Исследовать общее решение уравнений движения консервативной системы в малой окрестности положения равновесия. Найти условия, при которых система будет оставаться в этой окрестности.
6. Написать функцию и уравнения Лагранжа системы с многими степенями свободы в приближении линейных колебаний в нормальных координатах.
7. Приведите общее решение задачи о линейных колебаниях линейной симметричной трехатомной молекулы.
8. Метод усреднения. Эффективная потенциальная энергия «медленного» одномерного движения системы при наличии высокочастотных возмущений.

Динамика твердого тела

1. Уравнения движения твердого тела.
2. Приведите формулы преобразований тензора инерции твердого тела при поворотах и параллельных переносах координатных осей. Главные оси инерции. Тензор инерции твердого тела относительно главных осей инерции.
3. Исследуйте движение тяжелого симметричного волчка с одной неподвижной точкой.
4. Функция Лагранжа твердого тела в случае выбора в качестве обобщенных координат декартовых координат центра масс и углов Эйлера.
5. Найти компоненты угловой скорости твердого тела как функции углов Эйлера и их производных по времени.
6. Вывод уравнений Эйлера движения твердого тела с одной неподвижной точкой. Частота прецессии свободного симметричного твердого тела.

Механика сплошных сред

1. Свойства тензора деформаций сплошной среды.
2. Получите полную систему динамических уравнений сплошной среды.
3. Получите интеграл Бернулли для стационарного движения идеальной жидкости.
4. Выведите уравнение баланса энергии для жидкости.
5. Выведите уравнение Навье-Стокса.
6. Идеальная жидкость. Условия применимости приближения идеальной жидкости. Уравнение Эйлера.
7. Интеграл Коши-Лагранжа для движения идеальной жидкости.
8. Несжимаемая жидкость. Уравнения движения несжимаемой жидкости

В каждый экзаменационный билет включены два вопроса и задача по курсу.

Теоретическая механика. Уравнения Лагранжа

В этой статье мы попробуем разобраться с такой темой, как «Уравнения Лагранжа». Вообще, уравнения Лагранжа довольно полезная штука, например, на их основе решаются задачи на малые колебания. В МГТУ им. Баумана в третьем семестре предлагается самостоятельное домашнее задание, в котором нужно записать уравнения Лагранжа для системы с двумя степенями свободы.

Итак, типовое задание выглядит так.

Прежде чем броситься решать эту задачу, посмотрим на задание и проанализируем его. Есть призма 3, которая движется поступательно по горизонтальной плоскости без трения. В призме сделан паз 2, по которому движется шарик 1. Если вы помните темы прошлого семестра, то легко увидите, что шарик совершает сложное движение — переносное поступательное вместе с призмой 3 и относительное поступательное по пазу 2. Далее есть стержень 4, который соединяет призму и каток 5. Очевидно, что скорость центра катка С равна скорость призмы. Каток движется без скольжения, это важный момент. Движение системы описывается двумя обобщенными координатами, которые любезно выбрал для нас составитель задания.

Итак, приступим к решению.

Поскольку обобщенных координат две (две степени свободы), система уравнений Лагранжа будет выглядеть так:

Расчет начинаем с записи уравнений связи — выражаем скорости всех ключевых точек и тел, имеющих массу, через обобщенные координаты. Из сказанного ранее понятно, что нам понадобится линейная скорость призмы 3, линейная скорость катка 5, угловая скорость катка 5 и скорость шарика 1. С поступательным движением все просто

С угловой скоростью катка тоже все понятно. Так как проскальзывание отсутствует

Самое трудное — выразить скорость шарика 1. Как мы уже говорили, он совершает сложное движение, значит, его скорость складывается из относительной и переносной. Переносная — это скорость поступательного движения призмы 3. Относительное — скольжение вдоль паза 2, которое описано координатой S. Значит

Векторно складываем эти две скорости

Второе выражение здесь — это теорема косинусов. Если нанести все векторы на рисунок, станет понятно, почему так.

Определившись со скоростями, записываем выражение для кинетической энергии системы Т. Полная кинетическая энергия складывается из кинетических энергий всех тел, обладающих массой. То есть в нашем случае, тел 1, 3, 5.

Шарик 1 обладает энергией

Призма 3 движется поступательно

Каток 5 совершает плоское движение, так что его кинетическая энергия складывается из энергии поступательного и вращательного движений

Полная кинетическая энергия системы

Для записи уравнений Лагранжа это выражение нужно несколько раз продифференцировать.

Сначала по координате x. Частные производные

Производную по x с точкой дифференцируем по времени

Теперь то же самое по координате S. Частные производные

Производная по времени

Левая часть уравнений Лагранжа готова. Займемся правой частью. Для нее нужно посчитать обобщенные силы по каждой координате. Есть несколько способов это сделать, мы предпочитаем делать это через элементарную работу на малом приращении координаты. В общем случае формула выглядит так

На практике это применяется следующим образом. Сначала нанесем на рисунок все действующие силы. В нашем случае это сила упругости пружины и силы тяжести.

Сначала считаем обобщенную силу по координате x. Для этого мысленно «замораживаем» координату S, и позволяем системе свободно двигаться по координате x. То есть шарик «приклеивается» к пазу 2, и внутри него никуда не движется. Все перемещение происходит по координате x. Очевидно, что сила упругости работу не совершает, так как ее длина не меняется. Очевидно, что силы тяжести работу не совершают, так как движение происходит горизонтально. Официальным языком это записывается так

Теперь обобщенная сила по координате S. Мысленно «замораживаем» координату x. Получается, что призма 3 вместе с пазом 2 и катком 5 стоит на месте, а внутри неподвижного паза движется шарик. Сила упругости совершает работу, также как и сила тяжести шарика 1. Пружина была растянута на величину статической деформации δ и дополнительно растянута на S в произвольный момент времени, то есть сила упругости равна с·(δ+S). Работа силы упругости отрицательна, так как пружина растягивается. Работа силы тяжести шарика 1 положительна, так как шарик движется вниз. Силы тяжести призмы 3 и катка 5 работу не совершают, так как эти тела покоятся. Получаем

Собственно, все. Собираем все посчитанные величины в уравнения Лагранжа и получаем систему дифференциальных уравнений, описывающих движение системы.

Для проверки можно посмотреть размерности, в обеих частях выражения размерности должны совпадать (обычно это ньютоны).

Конечно, разные задачи немного отличаются в ходе решения, но алгоритм всех задач примерно такой.

1) Определить число степеней свободы и выбрать обобщенные координаты

2) Записать уравнения связей

3) Записать выражение для кинетической энергии

4) Взять необходимые производные

5) Записать обобщенные силы по каждой координате

6) Записать уравнения Лагранжа

Если что-то не получается, не отчаивайтесь, мы всегда рады помочь.