Ковариантный вид уравнений максвелла в средах

2 Электромагнитное взаимодействие. Фотон (гамма-квант). Квантовая электродинамика (кэд). Уравнения Максвелла в ковариантной форме Четыре вида взаимодействия элементарных частиц

Главная > Документ

2. ЧАСТИЦЫ И ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 2.3. Электромагнитное взаимодействие

2.3. Электромагнитное взаимодействие

2.3.1. Электромагнитное взаимодействие. Фотон (гамма-квант). Квантовая электродинамика (КЭД). Уравнения Максвелла в ковариантной форме

Четыре вида взаимодействия элементарных частиц

Взаимодействие в физике – это воздействие частиц друг на друга, приводящее к изменению их состояния. Взаимодействие осуществляется посредством тех или иных полей. Согласно квантовой теории поля (КТП) любое поле представляет собой совокупность частиц – квантов этого поля. В природе существует только четыре вида взаимодействия или четыре базовых квантовых поля – сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное. Интенсивность каждого взаимодействия определяется своей константой связи альфа, равной квадрату заряда, деленному на четыре пи ().

Электромагнитное взаимодействие – взаимодействие электрических зарядов с электромагнитным полем. Сила электромагнитного взаимодействия между покоящимися элементарными частицами дальнодействующая и изменяется с расстоянием как 1/ r 2 (закон Кулона). Интенсивность электромагнитных процессов в микромире определяется безразмерным параметром е 2 / hc = 1/137. Характерные времена радиационных распадов элементарных частиц и возбужденных состояний ядер по каналу электромагнитного взаимодействия составляют

10 -12 10 -20 сек. При электромагнитном взаимодействии сохраняются квантовые числа: пространственная четность, зарядовая четность, странность, очарование, красота. Электромагнитное взаимодействие инвариантно относительно обращения времени (т.е. замены t на – t ). При электромагнитном взаимодействии адронов нарушаются законы сохранения изотопического спина и G -четности. Изотопический спин адронов может меняться при испускании или поглощении фотона на ±1 или 0). Равенство нулю массы покоя фотона связано с его дальнодействующим характером электромагнитного взаимодействия. Отрицательная зарядовая четность фотона отвечает возможности радиационного распада истинно нейтральных частиц, обладающих положительной зарядовой четностью на четное число фотонов, например: . Интенсивности процессов электромагнитного взаимодействия мала, по сравнению с интенсивностью процессов сильного взаимодействия. Например, сечение рассеяния фотонов с энергией 320 МэВ на протоне составляет = 2∙10 -6 барна и меньше в 10 5 раз сечения рассеяния π-мезона на протоне.

Электромагнитное взаимодействие универсально для различных явлений и процессов, так как зависит только от электрического заряда.

Принцип калибровочной инвариантности электромагнитного взаимодействия состоит в инвариантности наблюдаемых физических величин относительно калибровочных преобразований векторного и скалярного потенциалов.

Фотон (гамма-квант) – квант электромагнитного поля, имеет спин единицу. Фотоны подчиняются статистике Бозе, т.е. в одном квантовом состоянии может находиться любое число фотонов. Сечение рассеяния фотонов с энергиями 1 ГэВ на протоне составляет 10 -30 см 2 , (см. табл. 2.6).

Квантовая электродинамика (КЭД) – раздел квантовой теории поля, в котором изучают взаимодействие электромагнитного поля с электронно-позитронным полем. Фотонным вакуумом, или вакуумным состоянием электромагнитного поля, называется низшее энергетическое состояние этого поля. При возбуждении фотонного вакуума происходит рождение частицы кванта электромагнитного поля. Квантовая электродинамика описывает сильные и быстроменяющиеся электромагнитные поля и взаимодействия фотонов и лептонов. Уравнения Максвелла описывают слабые, медленно меняющиеся электромагнитные поля.

Уравнения Максвелла в ковариантной форме

Уравнения Максвелла с токами и зарядами имеют вид

. , (2.9)

Напряженность электрического и индукция магнитного полей выражаются через векторный потенциал и скалярный потенциал

. (2.10)

Оба потенциала можно представить через 4-векторный потенциал электромагнитного поля

(2.11)

Калибровочные преобразования векторного потенциала и скалярного

(2.12)

возьмем в виде калибровки Лоренца

, (2.13)

где – 4-контравариантная производная, – 4-ковариантная производная, – 4 радиус-вектор и .

Если ввести 4-вектор электрического тока и антисимметричный тензор напряженности электромагнитного поля

, (2.14)

то уравнения Максвелла примут вид (по дважды повторяющимся индексам предполагается суммирование).

(2.15)

и уравнение для 4-векторного потенциала станет следующим:

, (2.16)

где – оператор Даламбера .

Если , то

 = 0. (2.17)

В калибровке Лоренца закон сохранения заряда , тогда уравнение для фотонного поля

 (2.18)

, 2.19)

где – 4-вектор поляризации фотона, q – 4-импульс фотона.

Подставляя (2.19) в (2.18), получаем

q = , (2.20)

т.е. при индексе i = 0 масса покоя фотона равна нулю: .

2.3.2. Уравнение Клейна-Гордона. Уравнение Дирака. Уравнения Лагранжа. Лагранжиан квантовой электродинамики

Для свободной частицы в СТО справедливо релятивистское соотношение для энергии – импульса

или (при с =1), (2.21)

Подставляя в (2.21) дифференциальные операторы энергии и импульса и полагая ħ = с = 1, получаем операторное уравнение для волновой функции ψ

, или ( – m 2 )ψ = 0, (2.22)

которое называется уравнение Клейна-Гордона (фактически это релятивистское уранение Шредингера).

Напомним, что нерелятивисткое волновое уравнение Шредингера для свободной частицы

.

Если уравнение Клейна–Гордона записать в виде (см .(2.21))

, (2.23)

то уравнение Дирака , это ковариантное линейное уравнение вида

, (2.24)

или с учетом операторов и ,

. (2.25)

Умножая это уравнение слева на , получаем

. (2.26)

Полагая , окончательно получаем ковариантную форму уравнения Дирака

, (2.27)

где – гамма-матрицы Дирака , .

, , ,

, ,

, . (2.28)

Шпур (сумма диагональных элементов матрицы) нечетного числа –матриц равен нулю.

–матрицы антикоммутативны: , .

Покажите: , , , , , .

Формально из уравнения Клейна–Гордона можно получить уравнение Дирака :

ψ. (2.29)

Уравнение называется ковариантным , если оно имеет ту же форму после преобразований координат и функций. Уравнение Клейна–Гордона является ковариантным относительно преобразования Лоренца и описывает частицы с целым спином (0,1). Уравнение Дирака является ковариантным и описывает заряженные частицы со спином ½ (электроны и позитроны). Оба уравнения являются принципиально различными.

Уравнение Дирака – релятивистски инвариантное волновое уравнение, описывающее частицы со спином ½ (электроны, мюоны и нейтрино). Предложено Дираком в 1928 г. В действительности уравнение Дирака представляет собой систему из четырех однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка для четырех волновых функций ( i = 1, 2, 3, 4), в совокупности описывающих состояние частицы. Например, нерелятивистское уравнение Шредингера является уравнением для одной волновой функции .

Функция называется спинорной волновой функцией дираковской частицы.

С помощью матриц Дирака система уравнений для свободной частицы записывается в матричном виде

, (2.30)

где , . По дважды повторяющемуся индексу ведется суммирование: , – обратная комптоновская длина волны частицы с массой .

Для матричных элементов волновой функции получаем четыре уравнения:

, (2.31)

Используя представление Паули для гамма-матриц, получаем систему уравнений Дирака:

,

,

,

. (2.32)

Используя оператор 4-импульса , который является генератором трансляций, уравнение Дирака можно переписать в виде

, (2.33)

. (2.34)

Уравнение для определения собственных функций и собственных значений оператора следующее:

, 2.35)

где собственные значения операторов .

Волновая функция свободной частицы с импульсом и энергией Е описывается плоской волной де Бройля:

. (2.36)

С учетом (2.35) и (2.36) уравнение (2.34) может быть переписано в форме

, (2.37)

где , .

При заданном значении импульса существуют решения, соответствующие двум знакам энергии

. (2.38)

Физический смысл существования решений, отвечающих отрицательной энергии, разъясняется существованием частиц и античастиц. Все уровни с Уравнения Лагранжа

Уравнение Лагранжа для частиц, как известно, имеет вид

, где , (2.39)

здесь функция Лагранжа , Функция Гамильтона ,

где Т – кинетическая энергия системы, V – потенциальная энергия.

Для полей =(систем с непрерывно меняющими координатами)

, (2.40)

плотность оператора Лагранжа (Лагранжиан) :

. (2.41)

Уравнения Эйлера — Лагранжа для полей следующие:

. (2.42)

Пример1. Лагранжиан при подстановке в уравнение (2.42) дает уравнение Клейна–Гордона:

(– m 2 )φ = 0.

Пример 2. Лагранжиан приводит к уравнению Дирака при подстановке в (2.42). Каждая из четырех компонент волновых функций и рассматривается как независимая переменная.

Пример3. При подстановке лагранжиана в уравнение Эйлера–Лагранжа (2.42) получаются уравнения Максвелла:

,

где , электронный ток .

Пример 4. В случае неабелевых (некоммутативных) калибровочных групп роль электромагнитного поля играют многокомпонентные поля , называемые полями Янга – Миллса.

Уравнения Эйлера – Лагранжа для полей Янга – Миллса имеют вид

, (2.43)

где ковариантная производная

, – ток полей материи,

для группы , где – матрицы Паули.(),

для группы SU(3) , где – матрицы Гелл–Мана (),

тензор напряженности поля Янга – Миллса –

, (2.44)

где – константа взамодействия. Физический смысл – тензор кривизны внутреннего пространства. Само поле Янга-Миллса описывает параллельный перенос в пространстве внутренней симметрии.

Действительное векторное поле описывает нейтральные частицы, комплексное векторное поле – заряженные частицы.

Лагранжиан квантовой электродинамики (КЭД)

При описании свойств и взаимодействий элементарных частиц вводится понятие физического поля, которое ставится в соответствие каждой частице. Физические поля состоят из отдельных порций – квантов. Математический аппарат квантовой теории поля позволяет описать рождение и уничтожение частицы в каждой пространственно-временной точке. Для описания процессов, происходящих с элементарными частицами в квантовой теории поля, используется формализм Лагранжа. В Лагранжиане, построенном из полей, участвующих во взаимодействии частиц, заключены все сведения о свойствах частиц и динамике их поведения. Лагранжиан состоит из лагранжиана, описывающего поведение свободных полей и лагранжиана взаимодействия различных полей.

В квантовой теории поля волновые функции частиц и полей становятся операторами. Теория квантовой электродинамики содержит одну заряженную частицу-электрон со спином ½, являющийся фермионом , и одну частицу поля со спином 1 – безмассовый векторный фотон, являющийся бозоном .

Лагранжиан (КЭД) представляет собой сумму кинетической энергии частиц электронного поля – первое слагаемое, кинетической энергии фотонного поля – третье слагаемое, и энергии взаимодействия электронного и фотонного полей – второе слагаемое:

, (2.45)

здесь – сопряженный оператор, уничтожает позитрон или рождает электрон в пространственно–временной точке х ;

– оператор, уничтожает электрон или рождает позитрон;

– четыре матрицы Дирака ,,,;

– частная производная по 4-координате ;

– масса частицы(электрона), е – электрический заряд частицы;

– 4-потенциал фотонного поля;

– калибровочно–инвариантный тензор напряженности поля фотонов;

– антисимметричный тензор электромагнитного поля.

Слагаемое в лагранжиане отсутствует, поэтому частица электромагнитного поля – фотон безмассовая ().

Лагранжиан КЭД инвариантен относительно локального (в точке х ) калибровочного преобразования электронного поля

, (2.46)

и фотонного поля

, (2.47)

– произвольная функция пространственных координат и времени.

Семейство фазовых преобразований образует унитарную абелеву группу , обозначаемую символом U(1) Абелевость выражается в том, что закон умножения рассматриваемой группы U(1) коммутативен

. (2.48)

2.3.3. Диаграммы Феймана

Диаграммы Феймана – графический способ описания взаимодействий в квантовой теории поля. Метод предложен Р.Фейманом в 1949 г. для описания амплитуд рассения и взаимного превращения элементарных частиц. Составными элементами диаграмм являются вершины, внутренние и внешние линии. Внутренние линии присоединяются к двум вершинам. Внешняя линия присоединяется к одной вершине. Иногда диаграммы ориентируют относительно времени, направление которого показывают отдельной стрелкой. Диаграммы могут быть достаточно сложными и образовывать бесконечные ряды. Их используют для расчетов по теории возмущений в квантовой теории поля. Мы будем применять диаграммы только для иллюстрации процессов.

Существуют правила построения диаграмм Феймана. Каждому элементу диаграмм сопоставляют определенный математический объект (величину и операцию).

Вершина – элементарный графический символ (точка или кружок), изображает акт локального элементарного взаимодействия квантовых полей, соответствует каждому отдельному превращению частиц. Узел – кружок, изображающий сложный процесс взаимодействия частиц в вершине.

Внутренним линиям соответствует распространение промежуточной виртуальной частицы от одного акта превращения до другого акта превращения.

Внешним линиям соответствуют волновые функции начальных и конечных реальных частиц, участвующих в процессе.

Например, лептоны обозначают тонкими линиями со стрелкой .

Фотоны (гамма-кванты) изображают волнистой линией .

Кварки обозначаютс я толстыми линиями со стрелкой на линии.

Глюоны – плоскими пересекающимися винтовыми линиями.

Вионы обозначают пунктирными линиями.

Барионы изображаютс я тремя кварковыми линиями,

Мезоны – двумя кварковыми линиями.

Античастицы изображаются линиями со стрелками, направление которых противоположно во времени стрелкам частиц.

Процесс электромагнитного взаимодействия двух электронов можно схематически изобразить на плоскости (координата, время). Часто ось времени ориентируют снизу вверх. Внешними изломанными линиями изображаются мировые линии взаимодействующих частиц до и после взаимодействия. В соответствии с законами сохранения лептонного и электрического зарядов внешние линии нигде не обрываются. Они выходят из и уходят в . Наклоном линии относительно оси времени можно характеризовать величину импульса электрона. Внутренней волнистой линией изображается виртуальный фотон. Сам процесс взаимодействия изображается точкой пересечения внешней линии с внутренней, которая является вершиной диаграммы. Мировая линия от до вершины изображает процесс уничтожения электрона с данным 4-импульсом Р 1 . Внешняя мировая линия от вершины до означает процесс рождения электрона с другим 4-импульсом. Позитрон изображается как электрон, движущийся против стрелы времени (из будущего в прошлое) и обладающий отрицательной энергией.

Следует отметить, что различные авторы используют свои обозначения и общего стандарта начертания диаграмм не существует. Иногда на диаграммах дополнительными стрелками показывают направление импульсов частиц, времени и т.д.

Физический смысл диаграмм Феймана состоит в наглядном представлении реальных реакций, происходящих с элементарными частицами в виде последовательности элементарных виртуальных процессов. В каждом узле феймановской диаграммы сохраняются все законы сохранения зарядов, энергии и импульса и момента импульса. Во внутренних линиях, как правило, имеет место нарушение связи между энергией, массой и импульсом частиц , но закон сохранения энергии выполняется. Такие частицы называются виртуальными и говорят «виртуальные частицы находятся вне массовой поверхности», имея в виду данное неравенство.

В квантовой электродинамике имеется всего одна вершина, одна фотонная линия, одна электронная линия, а также позитронная линия со стрелкой против направления времени (см. рис. 2.8-2.9.)

Рис. 2.8. Вершина в КЭД

а) электронная линия,

б) позитронная линия,

в) фотонная линия,

Рис. 2.9. Линии в КЭД: а) электронная линия, б) позитронная линия, в) фотонная линия

На рис. 2.10, 2.12 приведены феймановские диаграмы комптоновского рассеяния , и мёллеровское рассеяние электронов

Рис. 2.10. Феймановская диаграмма упругого рассеяния гамма-кванта на свободном электроне

Рис. 2.11. Феймановская диаграмма двухфотонной аннигиляции электрона

и позитрона.

Рис.2.12. Мёллеровское рассеяние электронов. . Электрон испускает виртуальный –квант и переходит в состояние . Электрон упруго рассеивается на виртуальном –кванте и переходит в состояние

В заключение отметим, что, хотя квантовая электродинамика описывает электромагнитное взаимодействие только двух частиц электрона и фотона, она является законченной теорией, находится в блестящем согласии с экспериментами и объясняет громадное количество природных явлений. Если «выключить» электромагнитное взаимодействие, то распались бы атомы, молекулы, исчезла бы жизнь, а также исчезли бы силы упругости, силы трения, поверхностного натяжения, химические явления.

Релятивистская ковариантность уравнений Максвелла Текст научной статьи по специальности « Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Идаятов Э.И., Мусаев Г.М., Рабазанов А.К.

Приведено непосредственное доказательство ковариантности уравнений Максвелла в материальной среде при наличии зарядов и токов в трехмерной форме относительно преобразований Лоренца. Показана невозможность доказательства ковариантности отдельно взятого уравнения Максвелла относительно преобразований Лоренца. Ковариантность двух уравнений Максвелла, не содержащих заряды и токи, доказывается отдельно от ковариантности двух других уравнений Максвелла, содержащих заряды и токи. Внесена ясность в часто обсуждаемый в литературе вопрос о том, какие из уравнений Максвелла считать первой парой, а какие второй парой. Также указано на ошибочность часто повторяемого в литературе утверждения о том, что уравнения Максвелла релятивистски инвариантны.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Идаятов Э.И., Мусаев Г.М., Рабазанов А.К.

Maxwell»s equations relativistic covariance

The given article produces immediate proof of Maxwell’s equations covariance in the material medium under the conditions of charges and currents in three-dimensional form with regard to Lorentz’s transformation laws. The authors stress that it is impossible to prove covariance of Maxwell equation taken separately with the regard to Lorentz’s transformation laws. The covariance of Maxwell’s two equations containing no charges and currents is proved apart from two other equations containing charges and currents. The problem widely debated in literature concerning the order of priority in Maxwell’s equations (which pair of the equations comes first) is clarified. It is also stressed that a widely propagated statement that Maxwell’s equations are relatively invariant are misguiding and errraneous.

Текст научной работы на тему «Релятивистская ковариантность уравнений Максвелла»

Э.И. Идаятов, Г.М. Мусаев, А.К. Рабазанов

Релятивистская ковариантность уравнений Максвелла

Дагестанский государственный университет; Россия, 367001, г. Махачкала, ул. М. Гаджиева, 43 а; mgm20001942@mail.ru

Приведено непосредственное доказательство ковариантности уравнений Максвелла в материальной среде при наличии зарядов и токов в трехмерной форме относительно преобразований Лоренца. Показана невозможность доказательства ковариантности отдельно взятого уравнения Максвелла относительно преобразований Лоренца. Ковариантность двух уравнений Максвелла, не содержащих заряды и токи, доказывается отдельно от ковариантности двух других уравнений Максвелла, содержащих заряды и токи. Внесена ясность в часто обсуждаемый в литературе вопрос о том, какие из уравнений Максвелла считать первой парой, а какие — второй парой. Также указано на ошибочность часто повторяемого в литературе утверждения о том, что уравнения Максвелла релятивистски инвариантны.

Ключевые слова: ковариантность уравнений Максвелла в трехмерной форме, первая и вторая пара уравнений Максвелла.

Известно, что уравнения Максвелла

rot E = -18B, div B = 0, rot H = — j + 18D, div D = 4жр, (1)

лежащие в основе электродинамики, не изменяются при переходе от одной системы отсчета S к другой инерциальной системе отсчета S’, движущейся относительно S прямолинейно и равномерно с произвольной скоростью v . Другими словами, уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца для координат x, y, z и времени t. Однако численные значения конкретных физических величин

E, B, H, D, j, р, входящих в уравнения (1), изменяются.

В обширной литературе, посвященной изложению теории электромагнитных явлений в средах 6, непосредственно в трехмерной форме не показана ковариантность уравнений Максвелла (1) относительно преобразований Лоренца.

Чтобы показать ковариантность уравнений (1) относительно преобразований Лоренца, положим, что система отсчета S’ движется относительно S с постоянной скоростью v вдоль оси Ox и соответственные оси обеих систем параллельны. В этом случае преобразования Лоренца для координат и времени можно записать в виде:

где i, p пробегают значения 0,1,2,3 ; индекс p в (2) немой, следовательно, по p идет суммирование от 0 до 3; x0 = ct, x1 = x, x2 = y, x3 = z, x’° = ct’, x’1 = x’, x’2 = y’, x’3 = z ; oc’p — матрица преобразований Лоренца от системы S к системе S’:

Свяжем с равномерно и прямолинейно движущейся средой систему отсчета 5′, которая движется вдоль оси Ох со скоростью V , равной скорости среды. Относительно этой системы 5 ‘ среда покоится, но относительно системы отсчета 5 среда движется. Уравнения Максвелла относительно системы отсчета 5 ‘ будут

rot’E = — —, divB = 0, rot’H = — J + , div’D = 4кр’. c dt’ c c dt’

Здесь штрих означает, что производные по координатам и времени берутся по X’, у’, z’, t’ от величин Е’, В’, Н’, D’ , 7′, р’, измеряемых наблюдателем, покоящимся относительно 5 ‘, т. е. наблюдателем, движущимся вместе со средой.

Преобразования Лоренца для компонент векторов Е’, В’, Н’, D’ , 7′ и плотности заряда р’ задаются формулами [3]:

Е’х = ЕХ, Е’у = у( Еу — рвг), е: = у( Е + рВу),

В’х = Вх, Ву = у( Ву + 0: ), в: = у( ВВ: — рЕу ) ,

Ях = ^Зх, Ву = у(¿у — рНг), Я: = у(Д + рНу), НХ = Н, ну = у( ну + рЬг), н: = у( Н: — рЬу),

¿Х = у(!’х — ^), ]’у = 1у, ¿’г = Л , р’ = у

Заметим, что Е, В, Н, Д 7 и р есть значения этих величин, измеряемые наблюдателем относительно 5 , но не покоящимся относительно 5 , т. е. относительно

движущеися среды. Очевидно, что

аг . а«и а«и ахк K а«

ах’ ‘ ах’ ‘ ахк ах’р

где « — ^ -тая компонента любого из вышеприведенных векторов E , B , H , D , J или величина р .

Если в уравнениях (4) переИти от штрихованных величин E’ , B’ , H’ , D’ , J’, р ‘ к нештрихованным величинам согласно (5) и воспользоваться соотношениями (6), то получим (учитывая, что /3 = —c = const):